이 관문은 1강부터 32강까지를 범위로 합니다. S1 수학 기초 다지기와 S2 수학의 언어에서 만든 도구를 섞어 다시 묻습니다.
새로 배울 것은 없습니다. 대신 강의에서는 알려 주던 것을 여기서는 알려 주지 않습니다. 어느 단원의 도구를 써야 하는지, 계산으로 갈지 증명으로 갈지, 참을 보일지 반례를 들지를 문제만 보고 판단해야 합니다.
- 전체 72문항입니다. 한 번에 이어서 풉니다.
- 책과 공식표를 덮고 풉니다.
- 목표 시간은 180분입니다. 시간을 넘겨도 끝까지 풀되 초과했다는 사실은 적어 둡니다.
- 계산기를 쓰지 않습니다. 코드 검산은 채점이 끝난 뒤에 합니다.
| 정답 수 |
판정 |
| 58개 이상 (약 80%) |
통과입니다. 33강으로 넘어갑니다 |
| 50∼57개 |
틀린 문항이 몰린 단원만 다시 읽고 그 단원 문제집을 다시 풉니다 |
| 49개 이하 |
통과하지 못했습니다. 아래 표를 보고 해당 과목을 다시 읽습니다 |
틀린 문항이 어느 부에 몰렸는지 세어 돌아갈 곳을 정합니다.
| 부 |
문항 |
되돌아갈 곳 |
| 1부 |
1∼8 |
1~4강 (S1 01단원) |
| 2부 |
9∼16 |
5~8강 (S1 02단원) |
| 3부 |
17∼24 |
9~12강 (S1 03단원) |
| 4부 |
25∼34 |
13~17강 (S1 04단원) |
| 5부 |
35∼42 |
18~20강 (S1 05단원) |
| 6부 |
43∼54 |
21~25강 (S2 01단원) |
| 7부 |
55∼64 |
26~29강 (S2 02단원) |
| 8부 |
65∼72 |
30~32강 (S2 03단원) |
한 부에서 절반 이하를 맞혔다면 다른 부의 점수와 무관하게 그 단원으로 돌아갑니다.
문제 1. (−5)2의 값을 구하세요.
답. 5입니다. x2=∣x∣이므로 부호가 사라집니다.
문제 2. (2x−3)2을 전개하세요.
답. 4x2−12x+9입니다.
문제 3. x3−8을 인수분해하세요.
답. (x−2)(x2+2x+4)입니다.
문제 4. x2−5x+6을 인수분해하세요.
답. (x−2)(x−3)입니다.
문제 5. x1−x+11을 하나의 분수로 만드세요.
답. x(x+1)1입니다.
문제 6. 3−12의 분모를 유리화하세요.
답. 분자와 분모에 3+1을 곱하면 22(3+1)=3+1입니다.
문제 7. x−3x2−9의 정의역을 쓰고 약분한 식을 쓰세요.
답. 정의역은 x=3인 실수이고 약분하면 x+3입니다. 약분해도 x=3은 정의역에 들어오지 않습니다.
문제 8. ∣x−2∣가 수직선에서 무엇을 뜻하는지 쓰세요.
답. 점 x와 점 2 사이의 거리입니다.
문제 9. 2x2−7x+3=0을 푸세요.
답. (2x−1)(x−3)=0이므로 x=21 또는 x=3입니다.
문제 10. x2−4x+7=0의 판별식을 구하고 실근의 개수를 말하세요.
답. D=16−28=−12<0이므로 실근이 없습니다.
문제 11. x2+kx+9=0이 중근을 가지도록 하는 k를 모두 구하세요.
답. D=k2−36=0이므로 k=6 또는 k=−6입니다.
문제 12. x2−5x+3=0의 두 근의 합과 곱을 구하세요.
답. 합은 5이고 곱은 3입니다.
문제 13. 연립방정식 2x+y=7, x−y=2를 푸세요.
답. 더하면 3x=9이므로 x=3이고 y=1입니다.
문제 14. x2−x−6<0의 해를 구하세요.
답. (x−3)(x+2)<0이므로 −2<x<3입니다.
문제 15. ∣2x−1∣≤5의 해를 구하세요.
답. −5≤2x−1≤5이므로 −2≤x≤3입니다.
문제 16. y=x2−6x+5의 꼭짓점과 최솟값을 구하세요.
답. y=(x−3)2−4이므로 꼭짓점은 (3,−4)이고 최솟값은 −4입니다.
문제 17. f(x)=x−21의 정의역을 쓰세요.
답. x=2인 실수 전체입니다.
문제 18. f(x)=x2+1의 치역을 쓰세요.
답. [1,∞)입니다.
문제 19. f(x)=2x+1, g(x)=x2일 때 (f∘g)(3)을 구하세요.
답. f(9)=19입니다.
문제 20. f(x)=3x−5의 역함수를 구하세요.
답. f−1(y)=3y+5입니다.
문제 21. y=(x−2)2+3은 y=x2을 어떻게 옮긴 것입니까?
답. 오른쪽으로 2, 위로 3 평행이동한 것입니다.
문제 22. y=f(x)의 그래프를 y축에 대해 대칭이동한 식을 쓰세요.
답. y=f(−x)입니다.
문제 23. y=x−11+2의 두 점근선을 구하세요.
답. x=1과 y=2입니다.
문제 24. 어떤 함수가 역함수를 가지려면 그래프가 어떤 조건을 만족해야 합니까?
답. 모든 수평선과 정확히 한 점에서 만나야 합니다. 두 점 이상에서 만나면 단사가 아니고, 만나지 않는 수평선이 있으면 전사가 아닙니다.
문제 25. 82/3을 계산하세요.
답. (81/3)2=22=4입니다.
문제 26. 2x=32를 푸세요.
답. 32=25이므로 x=5입니다.
문제 27. log28+log24를 계산하세요.
답. 3+2=5입니다. 또는 log232=5로 계산해도 같습니다.
문제 28. log35를 상용로그로 나타내세요.
답. 밑변환으로 log103log105입니다.
문제 29. log10x=2.7일 때 x는 몇 자리 정수입니까?
답. 지표가 2이므로 3자리입니다.
문제 30. 65π를 도로 고치세요.
답. 150도입니다.
문제 31. sin32π의 값을 구하세요.
답. 23입니다.
문제 32. y=3sin2x의 진폭과 주기를 구하세요.
답. 진폭은 3이고 주기는 π입니다.
문제 33. sin2θ+cos2θ의 값을 쓰고 근거를 말하세요.
답. 1입니다. 단위원 위의 점 (cosθ,sinθ)가 반지름 1인 원 위에 있기 때문입니다.
문제 34. sin2θ를 sinθ와 cosθ로 나타내세요.
답. 2sinθcosθ입니다.
문제 35. 첫째항이 3이고 공차가 4인 등차수열의 제10항을 구하세요.
답. 3+4⋅9=39입니다.
문제 36. 첫째항이 2이고 공비가 3인 등비수열의 첫 5항의 합을 구하세요.
답. 2⋅3−135−1=2⋅2242=242입니다.
문제 37. k=1∑20k를 계산하세요.
답. 220⋅21=210입니다.
문제 38. k=1∑n(2k+3)을 n의 식으로 나타내세요.
답. n(n+1)+3n=n2+4n입니다.
문제 39. 7명 중 3명을 뽑아 일렬로 세우는 방법의 수를 구하세요.
답. 7⋅6⋅5=210가지입니다.
문제 40. 9명 중 4명을 뽑는 방법의 수를 구하세요.
답. (49)=126가지입니다.
문제 41. BANANA를 일렬로 배열하는 방법의 수를 구하세요.
답. 3!2!6!=60가지입니다.
문제 42. (x+2)5의 전개식에서 x2의 계수를 구하세요.
답. (35)23=10⋅8=80입니다.
문제 43. ¬(p∧q)를 드모르간 법칙으로 바꾸세요.
답. ¬p∨¬q입니다.
문제 44. p→q가 거짓이 되는 유일한 경우를 쓰세요.
답. p가 참이고 q가 거짓인 경우입니다.
문제 45. "n이 12의 배수이면 n은 4의 배수입니다"의 대우와 역을 각각 쓰세요.
답. 대우는 "n이 4의 배수가 아니면 n은 12의 배수가 아닙니다"이고, 역은 "n이 4의 배수이면 n은 12의 배수입니다"입니다.
문제 46. 문제 45의 역이 거짓임을 반례로 보이세요.
답. n=8입니다. 4의 배수이지만 12의 배수가 아닙니다.
문제 47. ∀x∈R,(x2>1→x>1)의 부정을 쓰고 참거짓을 판정하세요.
답. 부정은 ∃x∈R,(x2>1∧x≤1)입니다. x=−2가 이를 만족하므로 부정이 참이고 원래 명제는 거짓입니다.
문제 48. ∀x∃y와 ∃y∀x 중 더 강한 주장은 무엇입니까? 그 이유를 쓰세요.
답. ∃y∀x가 더 강합니다. 모든 x에 통하는 y 하나를 요구하기 때문이며, 이쪽이 참이면 다른 쪽도 참이지만 역은 성립하지 않습니다.
문제 49. "두 홀수의 곱은 홀수입니다"를 증명하세요.
답. m=2j+1, n=2k+1이면 mn=2(2jk+j+k)+1이고 괄호 안이 정수이므로 홀수입니다.
문제 50. "n2이 짝수이면 n도 짝수입니다"를 증명하고, 어느 증명법을 왜 골랐는지 밝히세요.
답. 대우증명을 씁니다. 직접 하면 n2=2k에서 제곱근을 취해야 해 정수라는 정보를 잃기 때문입니다. 대우 "n이 홀수이면 n2은 홀수"는 n=2k+1에서 n2=2(2k2+2k)+1로 곱셈만으로 끝납니다.
문제 51. 2가 무리수임을 증명할 때 기약분수로 놓는 이유를 쓰세요.
답. "분자와 분모의 공약수가 1뿐"이라는 사실을 모순의 재료로 쓰기 위해서입니다. 마지막에 둘 다 짝수임을 얻어 이 조건과 충돌시킵니다.
문제 52. 소수 무한성 증명에서 N=p1⋯pk+1이 소수라고 주장해도 됩니까?
답. 안 됩니다. 2⋅3⋅5⋅7⋅11⋅13+1=30031=59⋅509처럼 소수가 아닐 수 있습니다. 증명이 말하는 것은 N의 소인수가 목록 밖에 있다는 것뿐입니다.
문제 53. 모든 자연수 n에 대하여 i=1∑n(2i−1)=n2임을 귀납법으로 증명하세요.
답. n=1에서 양변이 1입니다. ∑i=1k(2i−1)=k2을 가정하고 2k+1을 더하면 k2+2k+1=(k+1)2이므로 성립합니다.
문제 54. 기초 단계 없이 귀납 단계만 성립하는 거짓 명제를 하나 들고, 기초 단계가 왜 필요한지 쓰세요.
답. "모든 자연수 n에 대하여 n=n+1입니다"가 그렇습니다. k=k+1에서 양변에 1을 더하면 k+1=k+2가 되어 귀납 단계가 통과하지만 n=1에서 거짓입니다. 기초 단계가 도미노를 실제로 넘어뜨리는 유일한 접점입니다.
문제 55. U={1,…,8}, A={2,4,6}, B={1,2,3,4}일 때 A∩B와 Ac를 구하세요.
답. A∩B={2,4}이고 Ac={1,3,5,7,8}입니다.
문제 56. A=B를 증명하려면 무엇을 보여야 합니까?
답. A⊆B와 B⊆A를 각각 보여야 합니다.
문제 57. ∅⊆A가 모든 집합에서 참인 이유를 쓰세요.
답. 정의가 조건문인데 가정 x∈∅이 항상 거짓이므로 공허하게 참입니다.
문제 58. ∣A∣=5일 때 ∣P(A)∣를 구하세요.
답. 25=32입니다.
문제 59. f:R→R, f(x)=x2−2x가 단사가 아님을 반례로 보이세요.
답. f(x)=(x−1)2−1이므로 f(0)=0=f(2)이고 0=2입니다.
문제 60. f:R→R, f(x)=2x−7이 전사임을 증명하세요.
답. 임의의 y에 대해 x=2y+7가 실수이고 f(x)=y입니다.
문제 61. 단사 여부는 무엇에 달려 있고 전사 여부는 무엇에 달려 있습니까?
답. 단사는 정의역에, 전사는 공역에 달려 있습니다.
문제 62. g∘f가 단사일 때 반드시 단사인 것은 f입니까 g입니까? 다른 쪽의 반례를 드세요.
답. f입니다. g의 반례는 A={1}, B={a,b}, C={p}에서 f(1)=a, g(a)=g(b)=p입니다.
문제 63. 역함수가 존재할 필요충분조건을 쓰고, 전사와 단사가 각각 무엇을 보장하는지 밝히세요.
답. f가 전단사인 것입니다. 전사가 값의 존재를, 단사가 값의 유일성을 보장합니다.
문제 64. Q는 셀 수 있고 R는 셀 수 없습니다. 각각을 보이는 방법을 한 줄씩 쓰세요.
답. Q는 분자와 분모의 격자를 대각선으로 훑어 나열합니다. R는 목록이 있다고 가정한 뒤 대각선 논법으로 목록에 없는 실수를 만들어 모순을 얻습니다.
문제 65. (3−2i)(1+4i)를 계산하세요.
답. 3+12i−2i−8i2=3+10i+8=11+10i입니다.
문제 66. 2−i4를 a+bi 꼴로 쓰세요.
답. 켤레 2+i를 곱하면 분모가 5이므로 58+4i=58+54i입니다.
문제 67. (1+i)8을 드무아브르 정리로 계산하세요.
답. r=2, θ=4π이므로 (2)8(cos2π+isin2π)=16입니다.
문제 68. z3=1의 해가 복소평면에서 이루는 도형을 말하세요.
답. 단위원 위의 정삼각형 꼭짓점입니다.
문제 69. i=1∑naibi=(∑ai)(∑bi)가 거짓인 이유를 쓰세요.
답. 오른쪽에는 지표가 다른 항끼리 곱한 교차항이 들어 있고 왼쪽에는 없기 때문입니다. a=b=(1,1)이면 2와 4로 다릅니다.
문제 70. i=1∑ni(i+1)1을 계산하세요.
답. 부분분수로 망원합이 되어 1−n+11=n+1n입니다.
문제 71. a1=1, an+1=2an+3의 닫힌 형태를 구하세요.
답. 고정점이 −3이므로 bn=an+3이 공비 2인 등비수열이고 b1=4입니다. 따라서 an=2n+1−3입니다.
문제 72. a1=1, a2=2, an+2=3an+1−2an의 닫힌 형태를 구하세요.
답. 특성방정식 t2−3t+2=0의 근이 1,2이므로 an=A+B⋅2n입니다. A+2B=1과 A+4B=2를 풀면 B=21, A=0이므로 an=2n−1입니다.
정답 수를 세고 위의 통과 기준표로 판정합니다. 통과했다면 다음은 S3 미적분학 I(33~61강)이며 33강 수열의 극한부터 시작합니다. 집필 진행 상황은 학습 순서와 커리큘럼에서 확인합니다.
통과하지 못했다면 되돌아갈 곳 표를 보고 해당 단원의 강의와 문제집을 다시 풉니다. 관문을 다시 볼 때는 답을 외운 상태이므로 판정이 정확하지 않습니다. 최소 일주일 뒤에 다시 봅니다.