이 관문은 33강부터 61강까지를 범위로 합니다. S3 미적분학 I에서 만든 도구를 섞어 다시 묻습니다.
새로 배울 것은 없습니다. 대신 강의에서는 알려 주던 것을 여기서는 알려 주지 않습니다. 어느 단원의 도구를 써야 하는지, 계산으로 갈지 증명으로 갈지, 참을 보일지 반례를 들지를 문제만 보고 판단해야 합니다.
이 과목에서 특히 자주 틀리는 자리가 있습니다. 판정법의 방향입니다. 이면 증가하지만 증가한다고 은 아니고, 항이 으로 가는 것이 급수 수렴의 충분조건은 아니며, 무한번 미분가능해도 테일러 급수가 원함수와 같다는 보장이 없습니다. 충분조건과 필요조건을 뒤집지 않는지가 이 관문의 숨은 채점 기준입니다.
| 정답 수 | 판정 |
|---|---|
| 개 이상 (약 ) | 통과입니다. 62강으로 넘어갑니다 |
| 개 | 틀린 문항이 몰린 단원만 다시 읽고 그 단원 문제집을 다시 풉니다 |
| 개 이하 | 통과하지 못했습니다. 아래 표를 보고 해당 단원을 다시 읽습니다 |
틀린 문항이 어느 부에 몰렸는지 세어 돌아갈 곳을 정합니다.
| 부 | 문항 | 되돌아갈 곳 |
|---|---|---|
| 1부 | 33~36강 (01단원 극한과 연속) | |
| 2부 | 37~41강 (02단원 미분) | |
| 3부 | 42~47강 (03단원 미분의 활용) | |
| 4부 | 48~53강 (04단원 적분) | |
| 5부 | 54~57강 (05단원 급수와 근사) | |
| 6부 | 58~61강 (06단원 복소지수와 푸리에) |
한 부에서 절반 이하를 맞혔다면 다른 부의 점수와 무관하게 그 단원으로 돌아갑니다.
문제 1. 수열의 극한 을 과 으로 정의하세요.
답. 임의의 에 대해 어떤 이 있어 이면 입니다.
문제 2. 함수의 극한 정의에 라는 조건이 왜 들어갑니까?
답. 에서의 함숫값과 무관하게 극한을 정의하기 위해서입니다. 이 조건 덕분에 미분계수처럼 그 점에서 분모가 이 되는 식의 극한을 다룰 수 있습니다.
문제 3. 를 구하고 그 값에 어느 쪽에서 다가가는지 판정하세요.
답. 입니다. 차이가 이므로 아래에서 다가갑니다.
문제 4. 샌드위치 정리를 쓰고 를 구하세요.
답. 이고 두 바깥이 같은 극한을 가지면 도 그 값으로 갑니다. 이므로 극한은 입니다.
문제 5. 의 정당한 증명 방법을 쓰고, 로피탈로 하면 안 되는 이유를 말하세요.
답. 부채꼴 넓이 비교와 샌드위치 정리로 증명합니다. 의 유도에 이 극한이 이미 쓰였으므로 로피탈은 순환논법입니다.
문제 6. 불연속의 네 종류를 쓰세요.
답. 제거가능, 도약, 무한, 진동입니다.
문제 7. 디리클레 함수가 모든 점에서 불연속인 이유를 쓰세요.
답. 어떤 점 근처에도 유리수와 무리수가 모두 있어 함숫값이 과 사이를 오가므로 극한이 존재하지 않기 때문입니다.
문제 8. 중간값 정리를 쓰고 그 가정을 하나라도 빼면 어떻게 되는지 예로 보이세요.
답. 에서 연속이면 와 사이의 모든 값을 취합니다. 연속을 빼면 계단함수가 반례이며 중간값을 건너뜁니다.
문제 9. 최대·최소 정리를 쓰고 열린구간에서 무너지는 예를 드세요.
답. 닫힌 유계구간에서 연속이면 최댓값과 최솟값을 취합니다. 를 에서 보면 최댓값이 없습니다.
문제 10. 이 에 근을 가짐을 보이세요.
답. 이고 이며 연속이므로 중간값 정리에 의해 그 사이에 근이 있습니다.
문제 11. 미분계수의 정의를 쓰고 그것이 34강의 어떤 성질에 기대는지 말하세요.
답. 입니다. 을 제외하고 극한을 보는 성질에 기댑니다.
문제 12. 미분가능하면 연속임을 보이세요.
답. 이므로 입니다.
문제 13. 역이 거짓임을 반례로 보이세요.
답. 는 에서 연속이지만 좌우 미분계수가 과 로 달라 미분되지 않습니다.
문제 14. 이 거짓임을 예로 보이고 올바른 규칙을 쓰세요.
답. 이면 왼쪽이 이고 오른쪽이 입니다. 올바른 규칙은 입니다.
문제 15. 을 구하세요.
답. 몫의 미분법으로 입니다.
문제 16. 를 구하세요.
답. 연쇄법칙으로 입니다.
문제 17. 의 유도에서 의 정의가 어떻게 쓰이는지 쓰세요.
답. 이 이 되는 밑이 이며, 그 성질이 도함수를 자기 자신으로 만듭니다.
문제 18. 삼각함수 도함수에 호도법이 필요한 이유를 쓰세요.
답. 이 호도법에서만 성립하며, 도수법을 쓰면 상수 인수가 붙습니다.
문제 19. 에서 를 구하세요.
답. 음함수 미분으로 이므로 입니다.
문제 20. 역함수 미분법을 쓰고 을 유도하세요.
답. 입니다. 이면 이고 이므로 입니다.
문제 21. 과 의 차이를 쓰세요.
답. 앞은 계 도함수이고 뒤는 제곱입니다.
문제 22. 미분가능한데 이 아닌 함수를 들고 이유를 쓰세요.
답. (단 )입니다. 미분가능하지만 도함수가 에서 진동해 불연속입니다.
문제 23. 평균값 정리를 쓰고 그 증명이 어느 정리에 기대는지 말하세요.
답. 인 가 존재합니다. 롤의 정리에 기대며 롤은 최대·최소 정리와 페르마의 정리에서 나옵니다.
문제 24. 이면 상수라는 따름 정리에 필요한 조건을 쓰고 어기면 어떻게 되는지 예를 드세요.
답. 정의역이 하나의 구간이어야 합니다. 처럼 두 구간이면 각 구간의 상수가 달라도 됩니다.
문제 25. 이면 증가한다는 판정의 역이 거짓임을 반례로 보이세요.
답. 은 순증가하지만 입니다.
문제 26. 임계점의 정의를 두 경우로 나눠 쓰고, 임계점이 극값이 아닌 예를 드세요.
답. 내부에서 이거나 이 없는 점입니다. 의 이 임계점이지만 극값이 아닙니다.
문제 27. 의 에서 최댓값과 최솟값을 구하세요.
답. 임계점 과 끝점 에서 값이 이므로 최댓값 , 최솟값 입니다.
문제 28. 인데 변곡점이 아닌 예를 들고 이유를 쓰세요.
답. 의 입니다. 이 좌우 모두 양수라 볼록성이 바뀌지 않습니다.
문제 29. 볼록함수의 접선 부등식을 쓰고 그것이 무엇을 뜻하는지 말하세요.
답. 입니다. 그래프가 모든 접선 위에 있다는 뜻입니다.
문제 30. 로피탈 정리의 네 가지 가정을 쓰세요.
답. 부정형일 것, 미분가능할 것, 일 것, 의 극한이 존재할 것입니다.
문제 31. 가 발산하면 원래 극한도 발산합니까? 반례를 드세요.
답. 아닙니다. 에서 도함수 비는 진동하지만 원래 극한은 입니다.
문제 32. 를 구하세요.
답. 이므로 답은 입니다.
문제 33. 무한구간에서 최솟값의 존재를 어떻게 논증합니까?
답. 양 끝에서 함숫값이 로 감을 보여 바깥을 잘라내고 남은 닫힌구간에 최대·최소 정리를 적용합니다.
문제 34. 뉴턴법의 실패 방식 세 가지를 쓰세요.
답. 순환, 발산, 에 의한 정지입니다.
문제 35. 정적분의 정의를 서술하고 노름을 통제해야 하는 이유를 쓰세요.
답. 일 때 모든 분할과 표본점에 대해 리만합이 같은 값에 수렴하면 그 값입니다. 개수만 늘리면 큰 소구간이 남아 근사가 개선되지 않기 때문입니다.
문제 36. 유계인데 적분가능하지 않은 함수를 들고 이유를 쓰세요.
답. 디리클레 함수입니다. 상합이 늘 , 하합이 늘 이라 두 값이 다가가지 않습니다.
문제 37. 제1기본정리를 쓰고 증명에 쓰이는 두 도구를 말하세요.
답. 입니다. 구간가법성과 적분의 평균값 정리를 씁니다.
문제 38. 제2기본정리의 증명이 어느 강의의 따름 정리에 기대는지 쓰세요.
답. 42강의 "도함수가 같으면 상수 차이" 따름 정리입니다.
문제 39. 가 틀린 이유를 두 가지로 말하세요.
답. 양수함수의 적분이 음수일 수 없고, 에서 연속이 아니라 정리를 적용할 수 없습니다.
문제 40. 를 구하세요.
답. 라이프니츠 규칙으로 입니다.
문제 41. 정방향 치환에 단사성이 필요합니까? 이유를 쓰세요.
답. 필요 없습니다. 증명에서 양변이 모두 가 되어 양 끝의 값만 남기 때문입니다.
문제 42. 를 구하세요.
답. 로 치환해 입니다.
문제 43. 부분적분의 성공 조건과 LIATE 순서를 쓰세요.
답. 바뀐 적분이 더 쉬워야 합니다. 순서는 로그, 역삼각, 대수, 삼각, 지수입니다.
문제 44. 를 구하세요.
답. , 로 두어 입니다.
문제 45. 유리함수의 원시함수에 나올 수 있는 함수 종류를 모두 쓰고 그 근거를 말하세요.
답. 유리함수, 로그, 아크탄젠트입니다. 실계수 다항식이 일차식과 기약 이차식의 곱으로 분해되기 때문입니다.
문제 46. 와 의 수렴 조건을 각각 쓰고 부등호가 반대인 이유를 말하세요.
답. 과 입니다. 치환에서 가 되어 부등호가 뒤집힙니다.
문제 47. 코시 주값이 적분과 다른 점을 쓰세요.
답. 좌우를 같은 속도로 좁힌 극한이며, 적분이 발산해도 주값은 존재할 수 있습니다.
문제 48. 코시분포의 평균이 존재하지 않는다는 말의 뜻을 쓰세요.
답. 의 두 조각이 모두 발산해 정의되지 않는다는 뜻이며, 주값 과는 다릅니다.
문제 49. 급수의 수렴을 정의하세요.
답. 부분합 의 극한이 존재하면 수렴합니다.
문제 50. 항이 으로 가면 수렴합니까? 반례를 드세요.
답. 아닙니다. 조화급수가 반례입니다.
문제 51. 조화급수의 발산을 한 가지 방법으로 보이세요.
답. 항을 의 거듭제곱 단위로 묶으면 각 묶음이 을 넘습니다.
문제 52. 적분판정법의 세 조건과 결론을 쓰세요.
답. 양수, 감소, 연속이면 급수와 이상적분이 동시에 수렴하거나 동시에 발산합니다.
문제 53. 조건수렴 급수를 재배열하면 무슨 일이 생깁니까?
답. 리만 재배열 정리에 의해 임의의 실수로 수렴시키거나 발산시킬 수 있습니다.
문제 54. 아벨 보조정리를 쓰고 그 결론이 무엇을 보장하는지 말하세요.
답. 한 점에서 수렴하면 더 가까운 모든 점에서 절대수렴합니다. 수렴 집합이 구간임을 보장합니다.
문제 55. 의 수렴구간을 구하세요.
답. 이고 중심이 입니다. 에서 발산하고 에서 수렴하므로 입니다.
문제 56. 의 수렴반경이 인 이유를 쓰세요.
답. 복소평면의 에 특이점이 있고 원점에서의 거리가 이기 때문입니다.
문제 57. 테일러 계수가 유일함을 어떻게 보입니까?
답. 항별로 번 미분하고 중심을 대입하면 이 나오기 때문입니다.
문제 58. 인데 해석적이 아닌 함수를 들고 이유를 쓰세요.
답. (단 )입니다. 모든 도함수가 에서 사라져 급수가 항등적으로 이 되기 때문입니다.
문제 59. 라그랑주 나머지를 쓰고 인 경우가 어떤 정리인지 말하세요.
답. 입니다. 이면 평균값 정리입니다.
문제 60. 뉴턴법의 이차 수렴 상수를 쓰고 어떻게 유도합니까?
답. 입니다. 뉴턴 사상에 의 테일러 정리를 적용하고 을 씁니다.
문제 61. 의 정의와 그 정당성을 쓰세요.
답. 으로 정의합니다. 절대수렴해 복소평면 전체에서 수렴하고 실수에서 기존 정의와 일치합니다.
문제 62. 오일러 공식을 쓰고 를 복소지수로 나타내세요.
답. 이고 입니다.
문제 63. 를 구하세요.
답. 입니다.
문제 64. 복소로그가 여러 값을 가지는 이유를 쓰세요.
답. 가 주기 를 가져 단사가 아니므로 역함수가 하나로 정해지지 않기 때문입니다.
문제 65. 삼각함수계의 직교성을 식으로 쓰고 그것이 계수 추출에서 하는 역할을 말하세요.
답. 입니다. 다른 진동수 항을 없애 원하는 항 하나만 남깁니다.
문제 66. 디리클레 정리를 쓰고 불연속점에서 어디로 수렴하는지 말하세요.
답. 조각별로 매끄러우면 좌우 극한의 중점으로 수렴합니다.
문제 67. 깁스 현상이 사라지지 않는 이유를 쓰세요.
답. 봉우리가 좁아지며 도약점으로 다가갈 뿐 높이가 줄지 않기 때문입니다.
문제 68. 파스발 항등식으로 을 구하는 과정을 요약하세요.
답. 톱니파에 적용해 왼쪽 과 오른쪽 을 같다고 두면 이 나옵니다.
문제 69. 푸리에 변환에서 의 변환을 쓰고 그 성질이 왜 유용한지 말하세요.
답. 입니다. 미분방정식이 대수방정식으로 바뀌기 때문입니다.
문제 70. 불확정성 원리를 쓰고 등호 조건을 말하세요.
답. 이며 가우스함수에서만 등호입니다.
문제 71. 합성곱 정리를 쓰고 증명에 쓰이는 성질을 말하세요.
답. 이며 이동 성질 를 씁니다.
문제 72. 독립인 두 확률변수의 합의 밀도가 왜 합성곱인지 한 문장으로 쓰세요.
답. 가 되는 모든 쪼갬 , 에 대해 확률을 더하기 때문입니다.
정답 수를 세고 위의 통과 기준표로 판정합니다. 통과했다면 다음은 S4 선형대수학 공간과 변환(62~92강)입니다. 집필 진행 상황은 학습 순서와 커리큘럼에서 확인합니다.
통과하지 못했다면 되돌아갈 곳 표를 보고 해당 단원의 강의와 문제집을 다시 풉니다. 관문을 다시 볼 때는 답을 외운 상태이므로 판정이 정확하지 않습니다. 최소 일주일 뒤에 다시 봅니다.
통과했더라도 판정의 방향을 틀린 문항이 있었다면 그 자리는 따로 표시해 두십시오. 문제 25, 31, 41, 50, 58이 그런 유형이며, 계산 실수와 달리 스스로 알아채기 어렵습니다. S4에서도 같은 구조의 함정이 계속 나옵니다.