이 관문은 62강부터 120강까지를 범위로 합니다. S4 선형대수학 공간과 변환, S5 다변수 미적분과 최적화 두 과목을 섞어 다시 묻습니다.
새로 배울 것은 없습니다. 대신 강의에서는 알려 주던 것을 여기서는 알려 주지 않습니다. 어느 과목의 도구를 써야 하는지, 계산으로 갈지 증명으로 갈지, 참을 보일지 반례를 들지를 문제만 보고 판단해야 합니다.
이 관문에는 앞의 두 관문에 없던 성격이 하나 더 있습니다. 두 과목이 만나는 자리를 묻습니다. S5의 헤세 행렬은 S4의 대칭행렬이고, S5의 수렴 속도는 S4의 조건수이며, S5의 알고리즘 선택은 S4의 노름 선택입니다.
| S4에서 배운 것 | S5에서 무엇이 되었는가 |
|---|---|
| 대칭행렬과 스펙트럼 정리 | 헤세 행렬의 고유값 분해 |
| 이차형식의 양정치성 | 극소점 판정 |
| 조건수 | 경사하강법의 걸음 수 |
| 벡터 노름 | 최속강하 방향의 정의 |
| 정사영 | 제약 위로의 사영과 KKT |
| 네 가지 기본 부분공간 | 라그랑주 조건의 근거 |
| 대각화 | 미분방정식 해의 성분 분해 |
한쪽만 알아서는 풀리지 않는 문항이 곳곳에 있습니다. 그 자리가 이 관문의 숨은 채점 기준입니다.
| 정답 수 | 판정 |
|---|---|
| 개 이상 (약 ) | 통과입니다. 121강으로 넘어갑니다 |
| 개 | 틀린 문항이 몰린 단원만 다시 읽고 그 단원 문제집을 다시 풉니다 |
| 개 이하 | 통과하지 못했습니다. 아래 표를 보고 해당 단원을 다시 읽습니다 |
틀린 문항이 어느 부에 몰렸는지 세어 돌아갈 곳을 정합니다.
| 부 | 문항 | 되돌아갈 곳 |
|---|---|---|
| 1부 | 62~65강 (S4 01단원 벡터와 기하) | |
| 2부 | 66~70강 (S4 02단원 행렬과 연립방정식) | |
| 3부 | 71~79강 (S4 03단원 벡터공간, 04단원 선형변환과 행렬식) | |
| 4부 | 80~83강 (S4 05단원 직교성과 최소제곱) | |
| 5부 | 84~92강 (S4 06단원 고유값과 분해, 07단원 수치와 안정성) | |
| 6부 | 93~102강 (S5 01단원 다변수 미분, 02단원 이차 근사와 임계점) | |
| 7부 | 103~112강 (S5 03단원 다변수 적분, 04단원 볼록성과 경사법) | |
| 8부 | 113~120강 (S5 05단원 제약 최적화, 06단원 미분방정식과 흐름) |
한 부에서 절반 이하를 맞혔다면 다른 부의 점수와 무관하게 그 단원으로 돌아갑니다.
문제 1. 내적의 정의를 두 가지 방식으로 쓰고 둘이 같음을 잇는 정리를 쓰세요.
답. 성분으로는 이고 기하로는 이며, 코사인 법칙이 둘을 잇습니다.
문제 2. 코시슈바르츠 부등식을 쓰고 등호 조건을 쓰세요.
답. 이며 두 벡터가 평행할 때 등호가 성립합니다.
문제 3. 위로의 의 정사영을 쓰고, 그 결과가 의 길이에 의존하지 않는 이유를 쓰세요.
답. 이며 분모와 분자에 가 한 번씩 들어가 방향만 남기 때문입니다.
문제 4. 외적의 크기가 무엇을 나타내며 방향이 어떻게 정해지는지 쓰세요.
답. 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이이며 방향은 오른손 법칙으로 두 벡터에 수직입니다.
문제 5. 평면의 방정식 에서 의 기하적 의미를 쓰세요.
답. 평면에 수직인 법선벡터입니다.
문제 6. 점 에서 평면 까지의 거리를 쓰세요.
답. 입니다.
문제 7. 삼중곱 가 무엇과 같은지 쓰고, 그것이 이면 무엇을 뜻하는지 쓰세요.
답. 세 벡터를 열로 하는 행렬의 행렬식이며, 이면 세 벡터가 한 평면에 있습니다.
문제 8. 95강에서 기울기가 등고선에 수직이라고 했습니다. 이 사실과 문제 5의 법선벡터가 어떻게 이어지는지 쓰세요.
답. 등고선의 접평면 방정식이 이므로 가 법선벡터 역할을 합니다.
문제 9. 행렬 곱 의 성분을 쓰고, 행렬 곱이 교환법칙을 어긴다는 것을 반례로 보이세요.
답. 이며 과 의 두 순서 곱이 다릅니다.
문제 10. 가우스 소거법의 세 가지 행 연산을 쓰세요.
답. 두 행을 바꾸고, 한 행에 이 아닌 수를 곱하고, 한 행의 배수를 다른 행에 더합니다.
문제 11. 기약행사다리꼴에서 해의 개수를 판정하는 기준을 쓰세요.
답. 모순 행이 있으면 해가 없고, 자유변수가 없으면 유일하며, 있으면 무한히 많습니다.
문제 12. 계수 , 미지수 일 때 해공간의 차원을 쓰세요.
답. 이며 이것이 영공간의 차원입니다.
문제 13. 역행렬이 존재할 필요충분조건을 세 가지 서로 다른 표현으로 쓰세요.
답. 행렬식이 이 아니고, 계수가 이며, 영공간이 영벡터뿐입니다.
문제 14. LU 분해가 무엇이며 왜 유용한지 쓰세요.
답. 로 하삼각과 상삼각의 곱으로 쓰는 것이며, 우변이 여러 개일 때 소거를 한 번만 하면 됩니다.
문제 15. 부분 피벗팅이 왜 필요한지 쓰세요.
답. 피벗이 작으면 나눗셈이 오차를 크게 증폭하므로 절댓값이 가장 큰 항을 피벗으로 올립니다.
문제 16. 소거의 연산량 차수를 쓰고, 이것이 112강 뉴턴법의 한계와 어떻게 이어지는지 쓰세요.
답. 이며 뉴턴법이 매 걸음 이 비용을 치르므로 대규모 학습에 쓰이지 못합니다.
문제 17. 블록 행렬 곱이 성립하는 조건을 쓰세요.
답. 블록의 크기가 곱셈이 정의되도록 맞아야 합니다.
문제 18. 119강 심화 2의 후진 오일러 를 푸는 것이 이 부의 어느 도구인지 쓰세요.
답. 연립방정식 풀이이며 소거 또는 LU 분해를 씁니다.
문제 19. 부분공간이 되기 위한 세 조건을 쓰세요.
답. 영벡터를 포함하고 덧셈과 스칼라배에 닫혀 있어야 합니다.
문제 20. 일차독립의 정의를 쓰세요.
답. 이 가 모두 일 때만 성립하는 것입니다.
문제 21. 기저와 생성집합의 차이를 쓰세요.
답. 생성집합은 공간 전체를 만들면 되고, 기저는 그러면서 일차독립이어야 합니다.
문제 22. 계수정리를 쓰세요.
답. 입니다.
문제 23. 네 가지 기본 부분공간을 쓰고 두 쌍의 직교 관계를 쓰세요.
답. 열공간, 영공간, 행공간, 좌영공간이며 행공간과 영공간이 직교하고 열공간과 좌영공간이 직교합니다.
문제 24. 113강 라그랑주 조건의 증명에서 이 직교 관계가 어떻게 쓰이는지 쓰세요.
답. 제약의 접공간이 들의 영공간이고 가 그 직교여공간, 곧 행공간에 있어야 하므로 들의 일차결합이 됩니다.
문제 25. 기저 변환 행렬의 뜻을 쓰세요.
답. 한 기저의 좌표를 다른 기저의 좌표로 옮기는 행렬입니다.
문제 26. 선형변환이 되기 위한 두 조건을 쓰세요.
답. 이고 입니다.
문제 27. 닮음 가 무엇을 뜻하는지 쓰세요.
답. 같은 선형변환을 다른 기저에서 본 표현행렬입니다.
문제 28. 행렬식의 세 가지 성질을 쓰세요.
답. 다중선형이고 교대적이며 단위행렬에서 입니다.
문제 29. 행렬식의 기하적 의미를 쓰고, 105강 변수변환 공식에서 야코비 행렬식이 왜 절댓값으로 들어가는지 쓰세요.
답. 부피 배율이며, 넓이는 방향과 무관한 양이므로 부호를 버리고 절댓값을 씁니다.
문제 30. 를 부피 배율로 설명하세요.
답. 변환을 이어 하면 배율이 곱해지기 때문입니다.
문제 31. 그람슈미트 과정의 한 걸음을 쓰세요.
답. 새 벡터에서 앞서 만든 정규직교벡터들 위로의 정사영을 빼고 정규화합니다.
문제 32. QR 분해에서 와 의 성질을 쓰세요.
답. 는 열이 정규직교이고 은 상삼각입니다.
문제 33. 정규방정식을 쓰고 그 기하적 뜻을 쓰세요.
답. 이며 잔차가 열공간에 직교한다는 뜻입니다.
문제 34. 정사영 행렬 의 두 성질을 쓰세요.
답. 이고 입니다.
문제 35. 최소제곱을 정규방정식 대신 QR로 푸는 이유를 쓰세요.
답. 를 만들면 조건수가 제곱되어 오차가 크게 증폭되기 때문입니다.
문제 36. 114강 문제 5에서 단위구 위로의 사영이 KKT 해임을 보였습니다. 그 사영과 이 부의 정사영이 어떻게 다른지 쓰세요.
답. 부분공간 위로의 사영은 선형이지만 볼록집합 위로의 사영은 일반적으로 비선형입니다.
문제 37. 최소제곱 문제를 의 최소화로 보고 를 구하세요.
답. 이며 으로 두면 정규방정식이 나옵니다.
문제 38. 문제 37의 헤세 행렬을 구하고 양반정부호임을 보이세요.
답. 이며 임의의 에 대해 입니다.
문제 39. 고유값 방정식과 특성방정식을 쓰세요.
답. 이고 입니다.
문제 40. 대각화가 가능할 조건을 쓰세요.
답. 일차독립인 고유벡터가 개 있어야 합니다.
문제 41. 스펙트럼 정리를 쓰세요.
답. 실대칭행렬은 실고유값을 가지며 정규직교 고유벡터로 대각화됩니다.
문제 42. 이차형식 의 양정치 판정법을 두 가지 쓰세요.
답. 모든 고유값이 양수이거나 모든 선행 주소행렬식이 양수입니다.
문제 43. 특이값 분해를 쓰고 고유값 분해와 다른 점을 쓰세요.
답. 이며 정사각이 아니어도, 대각화 불가능해도 언제나 존재합니다.
문제 44. 저계수 근사에서 에카트영 정리가 무엇을 보장하는지 쓰세요.
답. 상위 개 특이값만 남긴 것이 계수 근사 중 최적임을 보장합니다.
문제 45. 유도 노름 가 무엇과 같은지 쓰세요.
답. 최대 특이값입니다.
문제 46. 조건수의 정의를 쓰고, 대칭 양정치 행렬에서 어떻게 단순해지는지 쓰세요.
답. 이며 대칭 양정치이면 입니다.
문제 47. 부동소수점 덧셈이 결합법칙을 어긴다는 것을 한 줄로 설명하세요.
답. 매 연산마다 반올림하므로 더하는 순서에 따라 결과가 달라집니다.
문제 48. 109강에서 경사하강법의 수렴 인자가 성분별로 였습니다. 이 식을 이 부의 어느 정리로 얻는지 쓰세요.
답. 대칭행렬의 스펙트럼 정리로 고유기저에서 좌표를 분리해 얻습니다.
문제 49. 조건수 가 클 때 경사하강법이 느린 이유를 문제 48의 식으로 설명하세요.
답. 가 로 막히므로 방향의 인자 이 에 가까워 느리게 줄어듭니다.
문제 50. 119강 문제 3은 연속시간 수렴률에 가 없다고 했습니다. 문제 49와 모순이 아닌 이유를 쓰세요.
답. 흐름 자체는 로 줄지만 이산화가 로 막혀 걸음 수에서 가 나타나기 때문입니다.
문제 51. 편미분의 정의를 쓰세요.
답. 다른 변수를 고정하고 한 변수에 대해서만 극한을 취한 도함수입니다.
문제 52. 편미분이 모두 존재해도 미분가능하지 않을 수 있음을 예로 설명하세요.
답. 은 원점에서 두 편미분이 이지만 연속조차 아닙니다.
문제 53. 전미분가능의 정의를 쓰세요.
답. 입니다.
문제 54. 방향도함수를 기울기로 쓰고 최대가 되는 방향을 구하세요.
답. 이며 에서 최대입니다.
문제 55. 다변수 연쇄법칙을 야코비 행렬로 쓰세요.
답. 입니다.
문제 56. 역전파가 이 식의 어느 방향 계산인지 쓰고 이유를 쓰세요.
답. 뒤에서 앞으로 곱하는 방향이며, 출력이 스칼라라 행벡터를 계속 유지해 행렬끼리 곱하지 않아도 되기 때문입니다.
문제 57. 혼합편미분이 같아질 조건을 쓰세요.
답. 두 혼합편미분이 연속이면 같습니다.
문제 58. 헤세 행렬이 대칭인 근거를 쓰세요.
답. 문제 57의 조건이 성립하면 이기 때문입니다.
문제 59. 2차 테일러 근사를 벡터 표기로 쓰세요.
답. 입니다.
문제 60. 임계점 분류표를 헤세 고유값으로 쓰세요.
답. 모두 양수면 극소, 모두 음수면 극대, 부호가 섞이면 안장이며 이 있으면 판정 불가입니다.
문제 61. 이 분류가 5부의 어느 정리에 의존하는지 쓰세요.
답. 스펙트럼 정리이며, 헤세가 대칭이라 실고유값과 직교 고유기저를 가지기 때문입니다.
문제 62. 곡률 만으로 그릇과 돔을 구별할 수 없는 이유와 보완 지표를 쓰세요.
답. 두 주곡률의 곱이라 부호가 같으면 같은 값이 나오므로 의 부호를 함께 봅니다.
문제 63. 푸비니 정리를 쓰고 성립 조건을 쓰세요.
답. 적분 순서를 바꿀 수 있다는 정리이며 가 유한해야 합니다.
문제 64. 극좌표 변환의 면적소를 쓰고 이 왜 붙는지 쓰세요.
답. 이며 반지름이 클수록 같은 각에 대응하는 호가 길기 때문입니다.
문제 65. 변수변환 공식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 66. 볼록집합과 볼록함수의 정의를 각각 쓰세요.
답. 두 점을 잇는 선분이 집합에 들어가는 것과, 그 선분 아래로 함수값이 내려가는 것입니다.
문제 67. 이계 판정법으로 볼록성을 쓰세요.
답. 헤세 행렬이 양반정부호이면 볼록이고 양정치이면 강볼록입니다.
문제 68. 젠센 부등식을 쓰세요.
답. 볼록함수에서 입니다.
문제 69. -매끄러움의 정의와 그로부터 나오는 하강 부등식을 쓰세요.
답. 이며 입니다.
문제 70. 경사하강법의 학습률 상한과 그 네 갈래 판정을 쓰세요.
답. 이 보다 작으면 수렴, 이면 진동, 크면 발산이며 이 수렴 조건입니다.
문제 71. 모멘텀의 두 줄 갱신을 쓰고 유효 학습률을 쓰세요.
답. , 이며 유효 학습률이 입니다.
문제 72. 뉴턴법의 갱신을 쓰고 수렴 차수를 쓰세요.
답. 이며 국소적으로 이차수렴입니다.
문제 73. 라그랑주 조건을 쓰고 승수의 경제적 해석을 쓰세요.
답. 이며 이므로 제약 한 단위의 잠재가격입니다.
문제 74. KKT 조건 네 가지를 쓰세요.
답. 정류성, 실행가능성, 승수의 부호 조건 , 상보성 입니다.
문제 75. 약쌍대성을 쓰고 왜 언제나 성립하는지 쓰세요.
답. 이며 먼저 움직이는 쪽이 불리하기 때문입니다.
문제 76. 쌍대 간극이 생기는 대표적 상황을 쓰세요.
답. 실행가능집합이 이산이거나 볼록이 아닐 때이며 정수계획이 대표입니다.
문제 77. 벌점 형태와 제약 형태의 대응을 쓰고 의 정체를 쓰세요.
답. 와 s.t. 가 대응하며 가 그 제약의 승수입니다.
문제 78. 정규화가 희소해를 주는 기하적 근거와 그 한계를 쓰세요.
답. 단위구가 마름모라 꼭짓점이 축 위에 있어 해가 축에 붙기 쉬우며, 다만 보장이 아니라 경향입니다.
문제 79. 경사흐름의 소산 항등식을 쓰고 그것이 안정성 이론에서 무엇에 해당하는지 쓰세요.
답. 이며 가 리아푸노프 함수임을 뜻합니다.
문제 80. 미분방정식 풀이에는 RK4가 유리한데 최적화에는 오일러법이 유리한 이유를 쓰세요.
답. 전자는 궤적의 정확도가 목표이고 후자는 종점 도달이 목표라, 기울기 호출당 나아가는 시간이 우열을 정하기 때문입니다.
정답 수를 세고 위의 통과 기준표로 판정합니다. 통과했다면 다음은 S6 확률과 통계(121~157강)입니다. 집필 진행 상황은 학습 순서와 커리큘럼에서 확인합니다.
통과하지 못했다면 되돌아갈 곳 표를 보고 해당 단원의 강의와 문제집을 다시 풉니다. 관문을 다시 볼 때는 답을 외운 상태이므로 판정이 정확하지 않습니다. 최소 일주일 뒤에 다시 봅니다.
두 과목을 잇는 문항을 따로 셉니다. 문제 8, 16, 18, 24, 29, 36, 37, 38, 48, 49, 50, 56, 61, 79, 80이 그런 유형입니다. 이 중 절반 이상을 틀렸다면 각 과목은 알지만 연결이 서 있지 않은 상태입니다. 점수가 통과선을 넘었더라도 다음 표의 대응을 손으로 다시 써 보십시오.
| S4의 것 | S5에서 무엇이 되는가 | 확인 문항 |
|---|---|---|
| 스펙트럼 정리 | 헤세 고유값 분류 | , |
| 조건수 | 경사하강법의 걸음 수 | , , |
| 네 부분공간 | 라그랑주 조건 | , |
| 정사영 | KKT의 사영 해 | , |
| 행렬식과 부피 | 변수변환의 야코비 | , |
| 소거의 | 뉴턴법의 한계 | , |
| 대각화 | 미분방정식의 성분 분해 | , |
문제 50이 이 관문에서 가장 중요한 한 문항입니다. 앞의 두 관문에는 이런 자리가 없었습니다. 문제 49와 문제 50이 겉으로 모순되어 보이는데, 둘 다 참이며 화해시키는 것이 "는 흐름이 아니라 이산화에서 온다"는 한 문장입니다. 이 문장을 스스로 재구성할 수 있으면 S4와 S5가 한 덩어리로 붙은 것입니다.
S6부터는 확률이 들어옵니다. 여기서 세운 것이 그대로 도구가 됩니다. 공분산은 대칭 양반정부호 행렬이라 문제 41과 문제 42가 쓰이고, 확률밀도의 적분은 문제 63부터 문제 65가 쓰이며, 최대가능도추정은 문제 60의 임계점 분류가 쓰입니다.