이 관문은 121강부터 157강까지를 범위로 합니다. S6 확률과 통계 한 과목을 일곱 단원 전체에서 섞어 다시 묻습니다.
새로 배울 것은 없습니다. 대신 강의에서는 알려 주던 것을 여기서는 알려 주지 않습니다. 어느 단원의 도구를 써야 하는지, 계산으로 갈지 유도로 갈지, 참을 보일지 반례를 들지를 문제만 보고 판단해야 합니다.
이 관문에는 앞의 세 관문과 다른 성격이 하나 있습니다. 거의 모든 문항이 앞 과목의 도구를 다시 씁니다. 확률론은 새 수학을 만들지 않고 있는 도구를 새 대상에 썼기 때문입니다.
| 앞에서 배운 것 | 확률에서 무엇이 되었는가 |
|---|---|
| 26강 집합의 연산 | 사건의 연산 |
| 19강 순열과 조합 | 표본공간의 크기 |
| 48~53강 정적분 | 확률밀도의 넓이 |
| 103~106강 다중적분 | 결합밀도의 부피 |
| 105강 야코비 행렬식 | 변수변환의 밀도 |
| 58~61강 푸리에 변환 | 특성함수 |
| 80강 정사영 | 조건부기댓값 |
| 86강 스펙트럼 정리 | 공분산행렬의 분해 |
| 87강 이차형식 | 다변량 정규의 지수 |
| 84강 고유값 | 마르코프 연쇄의 수렴 |
| 107~112강 최적화 | 최대우도추정 |
| 116강 정규화 | 사전분포 |
| 18강 급수 | 랜덤워크의 재귀성 판정 |
한쪽만 알아서는 풀리지 않는 문항이 곳곳에 있습니다. 그 자리가 이 관문의 숨은 채점 기준입니다.
| 정답 수 | 판정 |
|---|---|
| 개 이상 (약 ) | 통과입니다. 158강으로 넘어갑니다 |
| 개 | 틀린 문항이 몰린 단원만 다시 읽고 그 단원 문제집을 다시 풉니다 |
| 개 이하 | 통과하지 못했습니다. 아래 표를 보고 해당 단원을 다시 읽습니다 |
틀린 문항이 어느 부에 몰렸는지 세어 돌아갈 곳을 정합니다.
| 부 | 문항 | 되돌아갈 곳 |
|---|---|---|
| 1부 | 121~125강 (01단원 확률의 언어) | |
| 2부 | 126~131강 (02단원 확률변수와 분포) | |
| 3부 | 132~135강 (03단원 기댓값과 적률) | |
| 4부 | 136~141강 (04단원 여러 변수의 확률) | |
| 5부 | 142~147강 (05단원 표본과 극한) | |
| 6부 | 148~153강 (06단원 추론) | |
| 7부 | 154~157강 (07단원 확률과정) |
한 부에서 절반 이하를 맞혔다면 다른 부의 점수와 무관하게 그 단원으로 돌아갑니다.
문제 1. 표본공간과 사건을 각각 정의하고 둘의 관계를 쓰세요.
답. 표본공간은 가능한 결과 전체의 집합이고 사건은 그 부분집합이며, 사건의 연산이 곧 집합의 연산입니다.
문제 2. 확률의 세 공리를 쓰세요.
답. 음이 아닐 것, 전체의 확률이 일 것, 배반인 사건들의 합집합에 대해 가법적일 것입니다.
문제 3. 두 사건에 대한 포함배제 원리를 쓰고 배반일 때 어떻게 되는지 쓰세요.
답. 이며 배반이면 마지막 항이 입니다.
문제 4. 조건부확률의 정의와 곱셈법칙을 쓰세요.
답. 이며 곱셈법칙은 입니다.
문제 5. 전체 확률 법칙을 쓰고 그것이 필요한 이유를 쓰세요.
답. 분할 에 대해 이며, 조건을 걸면 쉬워지는 경우를 나눠 더하기 위해서입니다.
문제 6. 베이즈 정리를 쓰고 분모가 무엇인지 쓰세요.
답. 이며 분모는 전체 확률 법칙으로 계산한 입니다.
문제 7. 독립과 배반의 차이를 쓰세요.
답. 독립은 이고 배반은 이며, 확률이 양수인 두 사건이 배반이면 독립일 수 없습니다.
문제 8. 쌍별 독립과 완전 독립의 차이를 쓰세요.
답. 쌍별 독립은 두 개씩만 곱으로 쪼개지는 것이고 완전 독립은 모든 부분집합에서 쪼개지는 것이며, 앞이 뒤를 함의하지 않습니다.
문제 9. 조건부 독립이 독립을 함의하는지 쓰세요.
답. 함의하지 않으며 반대 방향도 성립하지 않습니다.
문제 10. 생일 문제에서 명이 절반이 되는 이유를 기댓값으로 설명하세요.
답. 기대 충돌 쌍 수가 로 에 가까워 이기 때문입니다.
문제 11. 확률변수의 정의를 쓰고 그것이 하는 일을 쓰세요.
답. 표본공간에서 실수로 가는 함수이며, 확률을 수직선 위로 옮겨 미적분을 쓸 수 있게 합니다.
문제 12. 분포함수의 세 성질을 쓰세요.
답. 비감소이고, 오른쪽 연속이며, 양 끝에서 과 로 갑니다.
문제 13. 확률질량함수와 확률밀도함수의 결정적 차이를 쓰세요.
답. 질량함수의 값은 확률이지만 밀도함수의 값은 확률이 아니며 을 넘을 수 있습니다.
문제 14. 베르누이와 이항분포의 평균과 분산을 쓰세요.
답. 와 , 그리고 와 입니다.
문제 15. 이항분포에 정규근사를 쓸 조건을 쓰세요.
답. 대략 이고 입니다.
문제 16. 포아송분포의 평균과 분산, 그리고 이항과의 관계를 쓰세요.
답. 둘 다 이며 인 이항의 극한입니다.
문제 17. 기하분포의 무기억성을 쓰세요.
답. 이미 기다린 횟수가 남은 대기 분포에 영향을 주지 않습니다.
문제 18. 연속확률변수에서 한 점의 확률이 얼마인지와 그 함의를 쓰세요.
답. 이며 부등호의 등호 유무가 확률을 바꾸지 않습니다.
문제 19. 정규분포에서 , , 표준편차 안의 확률을 쓰세요.
답. 약 , , 입니다.
문제 20. 표준화가 무엇이고 왜 하는지 쓰세요.
답. 이며 단위를 없애 하나의 표로 모든 정규분포를 다루기 위해서입니다.
문제 21. 지수분포의 무기억성과 감마분포와의 관계를 쓰세요.
답. 이미 기다린 시간이 남은 대기에 영향을 주지 않으며 독립인 지수 개의 합이 감마입니다.
문제 22. 확률적분변환을 쓰고 어디에 쓰이는지 쓰세요.
답. 연속 에 대해 이며 역변환 표집과 값의 균등성에 쓰입니다.
문제 23. 기댓값의 물리적 해석과 그것이 실제 값으로 나오는지 쓰세요.
답. 확률을 질량으로 본 무게중심이며 주사위의 처럼 실제 값이 아닐 수 있습니다.
문제 24. LOTUS를 쓰고 그 이점을 쓰세요.
답. 이며 의 분포를 구할 필요가 없습니다.
문제 25. 기댓값의 선형성에 필요한 조건과 분산의 가법성에 필요한 조건을 각각 쓰세요.
답. 선형성에는 조건이 없고 분산의 가법성에는 독립이 필요합니다.
문제 26. 지시함수 분해를 쓰고 그것이 푸는 문제 유형을 쓰세요.
답. 이면 이며 세는 문제를 한 줄로 풉니다.
문제 27. 기댓값의 존재 조건과 존재하지 않는 예를 쓰세요.
답. 이며 코시분포가 예입니다.
문제 28. 분산의 두 계산식과 수치적 위험을 쓰세요.
답. 과 이며 앞쪽은 평균이 크면 파국적 상쇄로 무너집니다.
문제 29. 합의 분산에서 공분산 항의 역할을 예로 쓰세요.
답. 이라 분산이 인데 각 분산의 합은 양수이며 차이 전부가 공분산 항입니다.
문제 30. 전체 분산 법칙을 쓰고 두 항의 이름을 쓰세요.
답. 이며 집단 내 분산과 집단 간 분산입니다.
문제 31. 적률생성함수가 독립 합에 대해 하는 일과 그 구조적 원형을 쓰세요.
답. 로 합성곱을 곱으로 바꾸며 푸리에 변환과 같은 구조입니다.
문제 32. 마르코프, 체비쇼프, 체르노프가 공통으로 쓰는 것과 각각의 감소 속도를 쓰세요.
답. 셋 다 마르코프 부등식이며 , , 로 줄어듭니다.
문제 33. 주변분포를 모두 알면 결합분포가 정해지는지 쓰고 그 차이에 무엇이 있는지 쓰세요.
답. 정해지지 않으며 그 차이에 두 변수 사이의 관계가 들어 있습니다.
문제 34. 독립을 결합분포의 언어로 쓰고 판정할 때 주의할 점을 쓰세요.
답. 모든 점에서 여야 하며 한 점만 확인해서는 안 됩니다.
문제 35. 가 수인지 함수인지 쓰세요.
답. 의 함수이며 따라서 확률변수입니다.
문제 36. 전체 기댓값 법칙을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 37. 제곱오차를 최소로 만드는 예측과 그 기하적 정체를 쓰세요.
답. 이며 의 함수들이 이루는 공간 위로의 정사영입니다.
문제 38. 상관계수의 정의와 범위, 그리고 그 근거를 쓰세요.
답. 이고 이며 코시-슈바르츠 부등식이 근거입니다.
문제 39. 무상관이 독립을 뜻하는지 쓰고 반례를 드세요.
답. 아니며 가 대칭이고 이면 상관이 인데 완전히 결정됩니다.
문제 40. 공분산행렬의 두 성질과 양반정부호인 이유를 쓰세요.
답. 대칭이고 양반정부호이며 이기 때문입니다.
문제 41. 다변수 변환에서 밀도에 붙는 인자와 그 이유를 쓰세요.
답. 역변환의 야코비 행렬식 절댓값이며 변환이 부피를 바꾸기 때문입니다.
문제 42. 다변량 정규에서 무상관과 독립의 관계를 쓰고 주의할 점을 쓰세요.
답. 서로 같지만 각 성분이 정규이고 무상관인 것만으로는 다변량 정규가 아닙니다.
문제 43. 다변량 정규의 조건부기댓값과 조건부분산의 모양을 쓰세요.
답. 조건 값의 정확한 일차식이고 조건부분산은 조건 값과 무관한 상수입니다.
문제 44. 독립 합의 분포를 구하는 두 방법과 합에 닫히지 않는 예를 쓰세요.
답. 합성곱과 적률생성함수의 곱이며 기하분포는 닫히지 않아 음이항이 됩니다.
문제 45. 표본평균의 평균과 분산을 쓰고 정확도를 한 자리 올리는 비용을 쓰세요.
답. 와 이며 표본을 배 늘려야 합니다.
문제 46. 약한 큰 수의 법칙과 강한 큰 수의 법칙을 각각 진술하고 차이를 쓰세요.
답. 확률 수렴과 거의 확실한 수렴이며 앞은 한 시점을, 뒤는 경로 전체를 묻습니다.
문제 47. 큰 수의 법칙의 최소 가정과 그것이 깨지는 예를 쓰세요.
답. 평균의 존재이며 코시에서 깨지고 표본평균의 분포가 과 무관하게 같습니다.
문제 48. 글리벤코-칸텔리 정리와 그 속도를 쓰세요.
답. 이며 속도는 입니다.
문제 49. 중심극한정리를 진술하고 극한에 원래 분포의 무엇이 남는지 쓰세요.
답. 표준화한 합이 표준정규로 분포수렴하며 와 만 남습니다.
문제 50. 표준화한 합의 차 누율 항이 갖는 크기와 그것이 뜻하는 바를 쓰세요.
답. 이며 차 이상이 모두 사라져 차만 남기에 극한이 정규입니다.
문제 51. 특성함수가 언제나 존재하는 이유와 그 정체를 쓰세요.
답. 이라 적분이 유한하며 정체는 푸리에 변환입니다.
문제 52. 베리-에센 부등식을 쓰고 "이면 정규"라는 규칙을 판정하세요.
답. 이며 베르누이 의 에서 거리가 라 규칙이 무너집니다.
문제 53. 델타 방법과 그것이 깨지는 조건을 쓰세요.
답. 이며 에서 깨집니다.
문제 54. 표본분산을 로 나누는 이유를 두 가지로 쓰세요.
답. 편차의 합이 이라 자유로운 것이 개이고 잔차가 차원 부분공간에 살기 때문입니다.
문제 55. 의 분포와 성립 조건을 쓰세요.
답. 이며 정규 표본이면 모든 에서 정확합니다.
문제 56. 표본평균과 표본분산이 독립인 분포와 그 성질이 왜 필요한지 쓰세요.
답. 정규분포뿐이며 통계량의 분자와 분모가 독립이어야 분포를 얻기 때문입니다.
문제 57. 분포와 분포의 정의, 그리고 둘의 관계를 쓰세요.
답. 와 자유도로 나눈 두 카이제곱의 비이며 입니다.
문제 58. 호에프딩 부등식과 합집합 상한을 결합했을 때 표본 크기가 후보 개수에 어떻게 의존하는지 쓰세요.
답. 에 을 곱하며 필요한 이 에 비례합니다.
문제 59. 평균제곱오차를 두 조각으로 쪼개고 불편성이 목표인지 쓰세요.
답. 편향의 제곱과 분산의 합이며 불편성은 목표가 아니라 하나의 성질일 뿐입니다.
문제 60. 인수분해 정리를 쓰고 균등분포의 충분통계량을 쓰세요.
답. 로 쪼개지면 가 충분하며 에서는 최댓값입니다.
문제 61. 피셔 정보의 두 표현과 크라메르-라오 하한을 쓰세요.
답. 점수함수 제곱의 기댓값이자 로그 우도 이차도함수의 음의 기댓값이며 하한은 입니다.
문제 62. 불편성과 일치성이 서로를 함의하는지 쓰고 반례를 각각 드세요.
답. 어느 쪽도 함의하지 않으며 첫 관측과 으로 나눈 표본분산이 반례입니다.
문제 63. 라오-블랙웰 정리와 그 증명 도구를 쓰세요.
답. 충분통계량으로 조건화하면 분산이 줄며 전체 분산 법칙으로 증명합니다.
문제 64. 최대우도추정의 정의와 로그를 쓰는 두 이유를 쓰세요.
답. 우도를 최대로 만드는 모수이며 아래넘침을 피하고 미분이 항별 합으로 쪼개지기 때문입니다.
문제 65. 최대우도추정량의 점근 분포와 불변성을 쓰세요.
답. 이며 의 추정량이 입니다.
문제 66. 모형이 틀렸을 때 최대우도추정량이 수렴하는 곳과 표준오차의 문제를 쓰세요.
답. KL 발산을 최소로 하는 모수로 가며 모형 기반 표준오차는 크게 과소평가합니다.
문제 67. 베이즈 갱신 식과 의 유효 표본 크기를 쓰세요.
답. 사후는 우도와 사전의 곱에 비례하며 유효 표본 크기는 입니다.
문제 68. 릿지와 라소에 대응하는 사전분포와 정규화 강도를 쓰세요.
답. 정규 사전과 라플라스 사전이며 릿지의 강도는 입니다.
문제 69. 최대사후추정이 재모수화에 불변인지 쓰고 이유를 쓰세요.
답. 불변이 아니며 변수변환의 야코비가 밀도에 곱해져 봉우리를 옮기기 때문입니다.
문제 70. 신뢰구간의 올바른 해석 문장을 쓰고 흔한 오해를 쓰세요.
답. 같은 절차를 반복하면 가 참값을 덮는다는 뜻이며 특정 구간에 확률을 붙이는 것은 오해입니다.
문제 71. 값의 정의와 이 참일 때의 분포, 그리고 흔한 오해를 쓰세요.
답. 아래 관측만큼 극단적일 확률이고 균등분포이며 이 참일 확률이 아닙니다.
문제 72. 회귀에서 잔차분산의 자유도와 계수 검정의 분포를 쓰세요.
답. 이며 계수의 통계량이 을 따릅니다.
문제 73. 마르코프 성질을 쓰고 그것을 "기억이 없다"로 읽으면 안 되는 이유를 쓰세요.
답. 미래가 현재만 주어지면 과거와 조건부 독립이며 현재가 필요한 기억을 다 담고 있다는 뜻입니다.
문제 74. 채프먼-콜모고로프 등식과 걸음 뒤의 분포를 쓰세요.
답. 이며 분포는 입니다.
문제 75. 첫걸음 조건화로 나오는 두 방정식을 쓰세요.
답. 와 입니다.
문제 76. 정상분포의 존재, 유일성, 의 수렴에 각각 필요한 조건을 쓰세요.
답. 유한이면 언제나 존재하고, 유일성은 기약성, 수렴은 기약성과 비주기성입니다.
문제 77. 마르코프 연쇄의 수렴 속도를 정하는 양과 적분 자기상관 시간을 쓰세요.
답. 두 번째 고유값의 크기이며 가 유효 표본 크기를 정합니다.
문제 78. 폴리아의 정리를 쓰고 랜덤워크의 스케일링 극한을 쓰세요.
답. 는 재귀이고 은 일시적이며 이 브라운 운동으로 수렴합니다.
문제 79. 브라운 운동의 이차변동과 그것이 낳는 보정을 쓰세요.
답. 이차변동이 라 이며 이토 공식에 항이 생깁니다.
문제 80. 메트로폴리스가 정규화 상수를 요구하지 않는 이유와 조율의 판단 기준을 쓰세요.
답. 비 만 쓰기 때문이며 수용률이 아니라 유효 표본 크기로 판단합니다.
정답 수를 세고 위의 통과 기준표로 판정합니다. 통과했다면 다음은 S7 데이터 분석: 탐색과 기술(158~177강)입니다. 집필 진행 상황은 학습 순서와 커리큘럼에서 확인합니다.
통과하지 못했다면 되돌아갈 곳 표를 보고 해당 단원의 강의와 문제집을 다시 풉니다. 관문을 다시 볼 때는 답을 외운 상태이므로 판정이 정확하지 않습니다. 최소 일주일 뒤에 다시 봅니다.
앞 과목과 잇는 문항을 따로 셉니다. 문제 , , , , , , , , , , , , , , 가 그런 유형입니다. 이 중 절반 이상을 틀렸다면 확률은 알지만 앞 과목과의 연결이 서 있지 않은 상태입니다. 점수가 통과선을 넘었더라도 다음 표의 대응을 손으로 다시 써 보십시오.
| 앞 과목의 것 | 확률에서 무엇이 되는가 | 확인 문항 |
|---|---|---|
| 26강 집합의 연산 | 사건의 연산 | |
| 19강 조합 | 표본공간의 크기와 기대 충돌 | |
| 48~53강 정적분 | 밀도의 넓이와 확률적분변환 | |
| 92강 파국적 상쇄 | 분산 계산의 수치 위험 | |
| 58강 푸리에 변환 | 적률생성함수와 특성함수 | , |
| 80강 정사영 | 조건부기댓값과 자유도 | , |
| 86강 스펙트럼 정리 | 공분산행렬의 양반정부호 | |
| 105강 야코비 행렬식 | 변수변환의 밀도 | |
| 109강 헤세 행렬 | 피셔 정보 | |
| 116강 정규화 | 사전분포 | |
| 74강 행렬 거듭제곱 | 걸음 전이 | |
| 18강 급수 | 랜덤워크의 재귀성 판정 | |
| 33강 미분 | 이토 공식의 보정 항 |
문제 이 이 관문에서 가장 중요한 한 문항입니다. 표본평균과 표본분산이 독립이라는 사실은 정규분포만의 성질이고, 그 한 줄이 분포와 분포를 가능하게 하며, 그 위에 신뢰구간과 가설검정과 회귀 추론 전체가 서 있습니다. 이 연결을 스스로 재구성할 수 있으면 05단원과 06단원이 한 덩어리로 붙은 것입니다.
문제 와 문제 을 이어서 설명할 수 있는지 확인하십시오. 불편성이 목표가 아니라는 사실과 정규화가 사전분포라는 사실이 같은 이야기입니다. 편향을 조금 받아들이고 분산을 크게 줄이는 거래가 릿지와 라소이며, S8의 편향-분산 분해와 정규화가 그것을 훨씬 큰 규모로 반복합니다.
S7부터는 실제 자료가 들어옵니다. 여기서 세운 것이 그대로 도구가 됩니다. 기술통계는 문제 부터 이 쓰이고, 표본 설계는 문제 와 이 쓰이며, 인과 추론은 문제 와 회귀의 생략변수 문제가 쓰입니다. 그리고 S8의 손실함수는 문제 의 최대우도가, 모델 선택은 문제 의 합집합 상한이 그대로 다시 나옵니다.