문제 1. (표준) 어떤 각의 보각이 그 각의 여각의 2배보다 15∘ 크다. 그 각을 구하시오. 답.15∘. 풀이. 각을 x라 하면 보각은 180∘−x, 여각은 90∘−x입니다. 조건에서 180∘−x=2(90∘−x)+15∘=195∘−2x이므로 x=15∘입니다. 확인하면 보각 165∘, 여각의 2배 150∘, 그 차가 15∘로 맞습니다.
문제 2. (표준) 서로 여각인 두 각의 비가 4:5일 때, 두 각을 구하시오. 답.40∘와 50∘. 풀이. 두 각을 4k, 5k라 하면 합이 90∘이므로 9k=90∘, k=10∘입니다. 따라서 두 각은 40∘와 50∘입니다.
문제 3. (표준) 두 직선이 만나 생긴 이웃한 두 각의 비가 3:7일 때, 두 각을 구하시오. 답.54∘와 126∘. 풀이. 이웃한 두 각은 한 직선 위에서 보각을 이루므로 합이 180∘입니다. 3k+7k=180∘에서 k=18∘이므로 두 각은 54∘와 126∘입니다.
문제 4. (심화) ∠AOB=120∘의 내부를 반직선 OC, OD가 삼등분한다. ∠AOD를 구하시오. 답.80∘. 풀이. 삼등분한 각 하나는 3120∘=40∘입니다. ∠AOD는 그중 두 칸이므로 2×40∘=80∘입니다.
문제 5. (표준) 평행한 두 직선을 지나는 횡단선에서 한 동측내각이 다른 동측내각보다 40∘ 크다. 두 동측내각을 구하시오. 답.110∘와 70∘. 풀이. 두 동측내각의 합은 180∘입니다. 큰 각을 a, 작은 각을 b라 하면 a+b=180∘, a−b=40∘입니다. 더하면 2a=220∘, a=110∘, b=70∘입니다.
문제 6. (심화) 어떤 각의 보각과 여각의 차를 구하시오. 답.90∘. 풀이. 각을 x라 하면 보각은 180∘−x, 여각은 90∘−x입니다. 차는 (180∘−x)−(90∘−x)=90∘로, 각의 크기에 상관없이 항상 90∘입니다.
문제 7. (표준) 한 직선 위 한 점의 한쪽에 세 각이 나란히 있고 그 비가 2:3:4일 때, 가장 큰 각을 구하시오. 답.80∘. 풀이. 세 각의 합은 평각 180∘입니다. 2k+3k+4k=180∘에서 9k=180∘, k=20∘이므로 가장 큰 각은 4k=80∘입니다.
문제 8. (심화) 두 직선이 만나 생긴 한 각이 4x+5∘이고 그 맞꼭지각이 3x+25∘일 때, 그 각의 크기를 구하시오. 답.85∘. 풀이. 맞꼭지각은 서로 같으므로 4x+5∘=3x+25∘입니다. 정리하면 x=20∘이고, 각은 4x+5∘=85∘입니다.
문제 9. (심화) 어떤 각이 그 보각의 32일 때, 그 각을 구하시오. 답.72∘. 풀이. 각을 x라 하면 x=32(180∘−x)입니다. 양변에 3을 곱하면 3x=360∘−2x, 5x=360∘, x=72∘입니다. 확인하면 보각 108∘의 32은 72∘입니다.
문제 10. (심화) 평행한 두 직선 l∥m을 두 횡단선이 지나 삼각형을 만든다. l 위에서 잰 두 엇각이 각각 48∘, 57∘일 때, 두 횡단선이 이루는 각을 구하시오. 답.75∘. 풀이. 두 엇각은 평행선 성질로 삼각형의 두 내각과 같아 48∘, 57∘가 됩니다. 세 내각의 합이 180∘이므로 나머지 각은 180∘−48∘−57∘=75∘입니다.
문제 11. (표준) 평행한 두 직선 사이에 점 P가 있고, P에서 꺾은선을 그었다. 위 직선과 이루는 각이 55∘, 아래 직선과 이루는 각이 25∘일 때, P에서 꺾인 각을 구하시오. 답.80∘. 풀이.P를 지나 두 평행선과 평행한 보조선을 그으면 꺾인 각이 두 부분으로 나뉩니다. 각 부분은 위·아래 직선과의 엇각으로 55∘, 25∘가 되므로 꺾인 각은 55∘+25∘=80∘입니다.
문제 12. (심화) 두 각이 서로 보각이고, 큰 각이 작은 각의 4배일 때 두 각을 구하시오. 답.36∘와 144∘. 풀이. 작은 각을 x라 하면 큰 각은 4x이고 합이 180∘이므로 5x=180∘, x=36∘입니다. 큰 각은 144∘입니다.
문제 13. (표준) 삼각형의 세 내각의 비가 3:4:5일 때 가장 큰 내각을 구하시오. 답.75∘. 풀이. 세 각을 3k, 4k, 5k라 하면 합이 180∘이므로 12k=180∘, k=15∘입니다. 가장 큰 각은 5k=75∘입니다.
문제 14. (표준) △ABC∼△DEF이고 닮음비가 3:5이다. △ABC의 둘레가 24일 때 △DEF의 둘레를 구하시오. 답.40. 풀이. 닮은 도형에서 둘레의 비는 닮음비와 같으므로 3:5입니다. 24:x=3:5에서 x=324×5=40입니다.
문제 15. (심화) 닮음비가 2:3인 두 도형의 넓이 차가 20일 때, 작은 도형의 넓이를 구하시오. 답.16. 풀이. 넓이비는 22:32=4:9입니다. 두 넓이를 4k, 9k라 하면 차 5k=20이므로 k=4입니다. 작은 도형의 넓이는 4k=16입니다.
문제 16. (표준) 직각삼각형에서 빗변이 25, 한 직각변이 7일 때 나머지 직각변을 구하시오. 답.24. 풀이. 피타고라스 정리로 나머지 변은 252−72=625−49=576=24입니다.
문제 17. (심화) △ABC에서 DE∥BC이고 D는 AB, E는 AC 위에 있다. AD=6, DB=3, AE=8일 때 EC를 구하시오. 답.4. 풀이.DE∥BC이면 두 변이 같은 비로 나뉩니다. AD:DB=AE:EC이므로 6:3=8:EC입니다. 따라서 EC=63×8=4입니다.
문제 18. (표준) 길이 1.5m인 막대의 그림자가 2.4m이고, 같은 시각 건물의 그림자가 20m일 때 건물의 높이를 구하시오. 답.12.5m. 풀이. 막대와 건물이 이루는 두 직각삼각형은 태양의 각이 같아 AA 닮음입니다. 2.41.5=20h이므로 h=2.41.5×20=2.430=12.5입니다.
문제 19. (심화) 직각삼각형 △ABC에서 ∠A=90∘이고 A에서 빗변에 내린 수선의 발을 H라 한다. BH=9, CH=16일 때 수선 AH를 구하시오. 답.12. 풀이.△ABH∼△CAH이므로 AH2=BH×CH=9×16=144입니다. 따라서 AH=12입니다.
문제 20. (표준) 넓이비가 49:64인 두 닮은 도형의 닮음비를 구하시오. 답.7:8. 풀이. 닮음비는 넓이비의 제곱근이므로 49:64=7:8입니다.
문제 21. (심화) 닮음비가 3:4인 두 삼각형에서 큰 삼각형의 넓이가 작은 삼각형보다 42 크다. 작은 삼각형의 넓이를 구하시오. 답.54. 풀이. 넓이비는 9:16입니다. 두 넓이를 9k, 16k라 하면 차 7k=42이므로 k=6입니다. 작은 삼각형의 넓이는 9k=54입니다.
문제 22. (표준) △ABC≡△DEF이고 ∠A=55∘, ∠B=65∘일 때 ∠F를 구하시오. 답.60∘. 풀이.∠C=180∘−55∘−65∘=60∘이고, 대응에서 ∠F=∠C이므로 ∠F=60∘입니다.
문제 23. (심화) 두 닮은 삼각형의 대응변이 각각 6과 15이고 작은 삼각형의 넓이가 8일 때 큰 삼각형의 넓이를 구하시오. 답.50. 풀이. 닮음비는 6:15=2:5이므로 넓이비는 4:25입니다. 4:25=8:S에서 S=48×25=50입니다.
문제 24. (표준) △ABC∼△DEF이고 닮음비가 5:2이다. AB=20일 때 대응변 DE를 구하시오. 답.8. 풀이.AB:DE=5:2이므로 20:DE=5:2입니다. 따라서 DE=520×2=8입니다.
문제 27. (심화) 반지름 10인 원에서 중심으로부터 거리 6만큼 떨어진 현의 길이를 구하시오. 답.16. 풀이. 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분합니다. 반현은 102−62=100−36=64=8이므로 현의 길이는 2×8=16입니다.
문제 28. (표준) 원에 내접하는 사각형 ABCD에서 ∠A=3x, ∠C=x+40∘일 때 ∠A를 구하시오. 답.105∘. 풀이. 마주 보는 두 각의 합이 180∘이므로 3x+(x+40∘)=180∘입니다. 4x=140∘, x=35∘이므로 ∠A=3x=105∘입니다.
문제 29. (심화) 원 안의 점 E에서 두 현 AB, CD가 만난다. AE=6, EB=4, CE=3일 때 ED를 구하시오. 답.8. 풀이. 두 현이 원 안에서 만나면 AE×EB=CE×ED입니다. 6×4=3×ED이므로 ED=324=8입니다.
문제 30. (심화) 원 밖의 점 P에서 그은 할선이 원과 A, B에서 만나고 PA=4, PB=9이다. 같은 점에서 그은 접선의 길이 PT를 구하시오. 답.6. 풀이. 접선과 할선 사이에는 PT2=PA×PB가 성립합니다. PT2=4×9=36이므로 PT=6입니다.
문제 31. (표준) 지름 AB에 대한 원 위의 점 C에서 AC=8, BC=6일 때 지름 AB를 구하시오. 답.10. 풀이. 지름에 대한 원주각이므로 ∠ACB=90∘입니다. AB=82+62=64+36=100=10입니다.
문제 32. (심화) 반지름 13인 원에서 길이 24인 현이 중심으로부터 떨어진 거리를 구하시오. 답.5. 풀이. 반현은 224=12입니다. 반지름, 반현, 중심에서 현까지의 거리가 직각삼각형을 이루므로 거리는 132−122=169−144=25=5입니다.
문제 33. (표준) 원 밖의 점 P에서 그은 두 접선의 접점을 A, B, 중심을 O라 한다. ∠APB=40∘일 때 ∠AOB를 구하시오. 답.140∘. 풀이. 사각형 PAOB에서 접점의 두 각은 ∠PAO=∠PBO=90∘입니다. 네 각의 합이 360∘이므로 ∠AOB=360∘−90∘−90∘−40∘=140∘입니다.
문제 34. (심화) 호 AB에 대한 원주각이 2x−10∘, 중심각이 3x일 때 중심각을 구하시오. 답.60∘. 풀이. 중심각은 원주각의 2배이므로 3x=2(2x−10∘)=4x−20∘입니다. 정리하면 x=20∘이고 중심각은 3x=60∘입니다. 확인하면 원주각은 30∘로 중심각의 절반입니다.
문제 35. (표준) 반지름 6, 중심각 60∘인 부채꼴의 호의 길이를 구하시오. 답.2π. 풀이.ℓ=2π×6×360∘60∘=12π×61=2π입니다.
문제 36. (심화) 접점에서 그은 현과 접선이 이루는 각이 62∘일 때, 그 현이 자른 반대쪽 호에 대한 원주각과 그 호에 대한 중심각을 각각 구하시오. 답. 원주각 62∘, 중심각 124∘. 풀이. 접현각 정리로 접선과 현이 이루는 각은 반대쪽 호의 원주각과 같으므로 원주각은 62∘입니다. 중심각은 원주각의 2배이므로 124∘입니다.
문제 37. (표준) 세 변이 9, 10, 17인 삼각형의 넓이를 헤론의 공식으로 구하시오. 답.36. 풀이.s=29+10+17=18입니다. S=18(18−9)(18−10)(18−17)=18×9×8×1=1296=36입니다.
문제 38. (표준) 세 변이 10, 10, 12인 이등변삼각형의 넓이를 구하시오. 답.48. 풀이.s=210+10+12=16입니다. S=16(16−10)(16−10)(16−12)=16×6×6×4=2304=48입니다.
문제 39. (심화) 세 변이 10, 17, 21인 삼각형의 넓이를 구하시오. 답.84. 풀이.s=210+17+21=24입니다. S=24(24−10)(24−17)(24−21)=24×14×7×3=7056=84입니다.
문제 40. (표준) 윗변 8, 아랫변 14, 높이 9인 사다리꼴의 넓이를 구하시오. 답.99. 풀이.S=21×(8+14)×9=21×22×9=99입니다.
문제 41. (심화) 윗변 8, 아랫변 16, 두 다리가 모두 5인 이등변사다리꼴의 넓이를 구하시오. 답.36. 풀이. 아랫변이 윗변보다 양쪽으로 216−8=4씩 넓습니다. 높이는 52−42=25−16=3입니다. 넓이는 21×(8+16)×3=21×24×3=36입니다.
문제 42. (표준) 정구각형의 한 내각의 크기를 구하시오. 답.140∘. 풀이. 내각의 합은 (9−2)×180∘=1260∘이고 아홉 각이 같으므로 91260∘=140∘입니다.
문제 43. (표준) 한 외각이 20∘인 정다각형은 몇 각형인지 구하시오. 답. 정십팔각형. 풀이. 외각의 합은 360∘이므로 n=20∘360∘=18입니다.
문제 44. (심화) 내각의 합이 1440∘인 다각형은 몇 각형인지 구하시오. 답. 십각형. 풀이.(n−2)×180∘=1440∘이므로 n−2=180∘1440∘=8, n=10입니다.
문제 45. (표준) 한 변이 6인 정육각형의 넓이를 구하시오. 답.543. 풀이.S=233a2=233×62=233×36=543입니다.
문제 46. (심화) 한 변이 10이고 한 대각선이 12인 마름모의 넓이를 구하시오. 답.96. 풀이. 두 대각선은 서로를 수직이등분합니다. 한 대각선의 절반이 6이므로 다른 대각선의 절반은 102−62=64=8, 다른 대각선은 16입니다. 넓이는 21×12×16=96입니다.
문제 47. (표준) 세 점 (0,0), (7,2), (3,8)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 신발끈 공식으로 구하시오. 답.25. 풀이.S=21∣0(2−8)+7(8−0)+3(0−2)∣=21∣0+56−6∣=21×50=25입니다.
문제 48. (심화) 네 점 (1,1), (6,2), (5,6), (2,5)를 차례로 이은 사각형의 넓이를 신발끈 공식으로 구하시오. 답.16. 풀이.∑(xiyi+1−xi+1yi)을 계산합니다. (1⋅2−6⋅1)+(6⋅6−5⋅2)+(5⋅5−2⋅6)+(2⋅1−1⋅5)=(−4)+26+13+(−3)=32입니다. 넓이는 21×32=16입니다.
문제 49. (심화) 정십이각형의 한 내각의 크기를 구하시오. 답.150∘. 풀이. 내각의 합은 (12−2)×180∘=1800∘이고 열두 각이 같으므로 121800∘=150∘입니다.