기하는 무엇인가를 정의하는 데서 시작할 것 같지만, 사실은 정의하지 않는 대상에서 시작합니다.
점은 위치만 있고 크기가 없습니다.
선은 점이 이어져 생긴, 폭이 없는 길이입니다.
면은 선이 이어져 생긴, 두께가 없는 넓이입니다.
이들을 무정의 용어라고 부릅니다. 무엇으로도 더 쪼개어 설명하지 않고, 그냥 있다고 받아들이는 대상입니다.
왜 정의하지 않을까요. 모든 말을 다른 말로 정의하려 하면 끝이 없기 때문입니다. 어딘가에서는 더 쪼개지 않고 출발점으로 삼아야 합니다. 점, 선, 면이 바로 그 출발점입니다.
직관으로 보면, 점은 아주 뾰족한 연필로 찍은 자국, 선은 자를 대고 그은 자국, 면은 종이의 표면이라고 생각하면 됩니다. 다만 진짜 점은 크기가 0이고, 진짜 선은 폭이 0입니다.
문제 1. (기초) 점, 선, 면 중에서 크기(길이·넓이)를 전혀 갖지 않는 대상은 무엇인지 답하시오. 답. 점. 풀이. 점은 위치만 있고 길이도 넓이도 없습니다. 선은 길이가 있고, 면은 넓이가 있으므로 크기를 갖습니다. 따라서 크기를 전혀 갖지 않는 대상은 점입니다.
문제 2. (기초) 두 점 A, B를 잇는 곧은 선의 일부를 나타내는 기호를 쓰시오. 답.AB. 풀이. 두 점을 잇는 선의 일부는 선분이고, 선분은 위에 짧은 막대를 붙여 AB로 씁니다. 양쪽으로 무한히 뻗으면 직선 AB, 한쪽으로만 뻗으면 반직선 AB입니다.
문제 3. (표준) 무정의 용어가 왜 필요한지 한 문장으로 설명하시오. 답. 모든 말을 다른 말로 정의하면 끝없이 이어지므로, 더 쪼개지 않고 받아들이는 출발점이 필요하기 때문입니다. 풀이. 정의는 이미 아는 말로 새 말을 설명하는 것입니다. 그런데 그 아는 말도 다시 정의해야 하고, 이 과정은 무한히 이어집니다. 이를 끊으려면 정의하지 않고 받아들이는 대상, 즉 무정의 용어가 있어야 합니다.
무정의 용어에서 시작해도, 그것들 사이의 관계를 정하는 규칙이 필요합니다. 이 규칙 중 증명 없이 참이라고 받아들이는 것을 공리(또는 공준)라고 합니다.
유클리드는 다섯 개의 공준에서 기하 전체를 세웠습니다.
서로 다른 두 점을 지나는 직선을 그을 수 있다.
선분을 양쪽으로 얼마든지 늘일 수 있다.
한 점을 중심으로 하고 임의의 반지름을 갖는 원을 그릴 수 있다.
모든 직각은 서로 같다.
한 직선이 두 직선과 만날 때, 같은 쪽 안쪽 두 각의 합이 180∘보다 작으면, 그 두 직선은 그쪽에서 만난다.
이 다섯 번째 공준은 평행선 공준이라고도 부릅니다. 흔히 쓰는 형태는 이렇습니다.
한 직선 밖의 한 점을 지나면서 그 직선과 평행한 직선은 오직 하나뿐이다.
공리에서 논리로 이끌어낸 참인 성질을 정리라고 합니다. 예를 들어 삼각형의 세 내각의 합이 180∘라는 것은 공리가 아니라 정리입니다. 공준에서 증명으로 얻기 때문입니다.
정리하면, 공리는 출발점으로 받아들이는 규칙이고, 정리는 그 규칙에서 증명으로 얻는 성질입니다.
문제 4. (기초) 다음 중 공리에 해당하는 것을 고르시오. (가) 삼각형의 내각의 합은 180∘이다. (나) 서로 다른 두 점을 지나는 직선을 그을 수 있다. 답. (나). 풀이. (나)는 유클리드의 첫 번째 공준으로 증명 없이 받아들이는 규칙입니다. (가)는 공준에서 증명으로 얻는 성질이므로 정리입니다.
문제 5. (표준) 공리와 정리의 차이를 한 문장으로 설명하시오. 답. 공리는 증명 없이 받아들이는 규칙이고, 정리는 공리에서 증명으로 이끌어낸 성질입니다. 풀이. 기하는 무정의 용어와 공리를 출발점으로 삼습니다. 여기서 논리를 따라가면 새로운 참인 문장이 얻어지는데, 이를 정리라고 합니다. 즉 정리는 증명이라는 과정을 거쳐야 하지만, 공리는 그 과정 없이 처음부터 참으로 둡니다.
문제 6. (심화) 평행선 공준을 흔히 쓰는 형태로 한 문장으로 쓰시오. 답. 한 직선 밖의 한 점을 지나면서 그 직선과 평행한 직선은 오직 하나뿐입니다. 풀이. 유클리드의 다섯 번째 공준은 원래 두 각의 합으로 서술되지만, 이와 논리적으로 같은 형태가 이 문장입니다. 만약 평행선이 여러 개이거나 하나도 없다고 바꾸면 유클리드가 아닌 다른 기하가 됩니다.
한 점에서 나온 두 반직선이 벌어진 정도를 각이라고 합니다. 두 반직선이 만나는 점을 꼭짓점, 두 반직선을 변이라고 합니다.
각의 크기는 도로 재며, 크기에 따라 이름이 붙습니다.
0∘보다 크고 90∘보다 작은 각: 예각
90∘인 각: 직각
90∘보다 크고 180∘보다 작은 각: 둔각
180∘인 각: 평각
180∘보다 크고 360∘보다 작은 각: 우각
평각은 두 변이 반대 방향으로 일직선을 이룬 각입니다. 그래서 한 직선 위에서 한 점을 기준으로 한쪽 각들을 모두 더하면 180∘입니다.
문제 7. (기초) 크기가 120∘인 각은 예각, 직각, 둔각 중 무엇인가? 답. 둔각. 풀이.120∘는 90∘보다 크고 180∘보다 작습니다. 이 범위의 각은 둔각입니다.
문제 8. (표준) 한 직선 위의 점 O에서 세 각 ∠1, ∠2, ∠3이 한쪽에 나란히 있고 ∠1=50∘, ∠2=70∘일 때 ∠3을 구하시오. 답.60∘. 풀이. 한 직선 위 한 점의 한쪽 각들의 합은 평각 180∘입니다. 따라서 ∠3=180∘−50∘−70∘=60∘입니다.
문제 9. (표준) 직각의 절반과 평각의 61 중 어느 각이 더 큰지 구하시오. 답. 직각의 절반(45∘)이 더 큽니다. 풀이. 직각의 절반은 90∘÷2=45∘입니다. 평각의 61은 180∘÷6=30∘입니다. 45∘>30∘이므로 직각의 절반이 더 큽니다.
문제 11. (표준) 두 직선이 만나서 생긴 한 각이 110∘일 때, 그 맞꼭지각과 이웃한 각을 각각 구하시오. 답. 맞꼭지각은 110∘, 이웃한 각은 70∘. 풀이. 맞꼭지각은 서로 같으므로 110∘입니다. 이웃한 각은 한 직선 위에서 보각을 이루므로 180∘−110∘=70∘입니다.
문제 12. (심화) 어떤 각의 보각이 그 각의 3배일 때, 그 각을 구하시오. 답.45∘. 풀이. 각을 x라 하면 보각은 180∘−x입니다. 조건에서 180∘−x=3x이므로 180∘=4x, 따라서 x=45∘입니다. 확인하면 보각은 135∘이고 이는 45∘의 3배가 맞습니다.
문제 13. (심화) 어떤 각이 자신의 여각보다 20∘ 클 때, 그 각을 구하시오. 답.55∘. 풀이. 각을 x라 하면 여각은 90∘−x입니다. 조건에서 x=(90∘−x)+20∘이므로 x=110∘−x, 즉 2x=110∘, x=55∘입니다. 확인하면 여각은 35∘이고 55∘는 그보다 20∘ 큽니다.
두 직선을 한 직선이 가로질러 만날 때, 그 가로지르는 직선을 횡단선이라고 합니다. 이때 여러 각이 생기는데, 위치 관계에 따라 이름이 붙습니다.
같은 위치에 있는 두 각을 동위각이라고 합니다. 예를 들어 두 교점에서 모두 오른쪽 위에 있는 각끼리가 동위각입니다.
횡단선을 사이에 두고 안쪽에서 서로 엇갈린 위치에 있는 두 각을 엇각이라고 합니다.
두 직선이 평행할 때 다음이 성립합니다.
평행선에서 동위각은 서로 같고, 엇각도 서로 같다.
이는 평행선 공준에서 나오는 정리입니다. 반대로 동위각이나 엇각이 같으면 두 직선은 평행합니다.
한 가지 더, 횡단선의 같은 쪽 안쪽 두 각을 동측내각이라고 하며, 평행선에서 이 두 각의 합은 180∘입니다.
[그림 설명: 두 개의 가로 직선 l과 m이 위아래로 평행하게 놓이고, 비스듬한 횡단선 t가 이 둘을 지나며 위 교점 P와 아래 교점 Q를 만든다. P의 오른쪽 아래 각과 Q의 오른쪽 아래 각이 동위각으로 같고, P의 오른쪽 아래 각과 Q의 왼쪽 위 각이 엇각으로 같다.]
문제 14. (기초) 평행한 두 직선을 횡단선이 지날 때, 한 동위각이 65∘이면 다른 동위각의 크기는? 답.65∘. 풀이. 평행선에서 동위각은 서로 같습니다. 따라서 다른 동위각도 65∘입니다.
문제 15. (표준) 평행한 두 직선을 지나는 횡단선에서 한 엇각이 72∘일 때, 같은 위치의 동측내각의 크기를 구하시오. 답.108∘. 풀이. 엇각이 72∘이므로 반대편 안쪽 각도 엇각으로 72∘입니다. 동측내각은 이 각과 한 직선 위에서 보각을 이루므로 180∘−72∘=108∘입니다. 실제로 평행선의 동측내각의 합은 180∘이므로 결과가 일치합니다.
문제 16. (표준) 두 직선을 횡단선이 지날 때 엇각이 각각 50∘와 50∘로 같았다. 두 직선은 평행한가? 답. 평행합니다. 풀이. 엇각이 같으면 두 직선은 평행하다는 성질을 씁니다. 두 엇각이 모두 50∘로 같으므로 두 직선은 평행합니다.
문제 17. (심화) 평행한 두 직선 사이에 한 점 P가 있고, P에서 두 직선에 각각 평행선을 그어 꺾은선을 만들었다. 위 직선과 이루는 각이 40∘, 아래 직선과 이루는 각이 30∘일 때, P에서 꺾인 각의 크기를 구하시오. 답.70∘. 풀이. 점 P를 지나 두 평행선과 평행한 보조선을 그으면, 꺾인 각이 두 부분으로 나뉩니다. 각 부분은 위 직선, 아래 직선과의 엇각으로 각각 40∘, 30∘가 됩니다. 따라서 꺾인 각은 40∘+30∘=70∘입니다.
문제 20. (기초) 한 점 둘레를 세 각이 완전히 채우고 있고 두 각이 150∘, 130∘일 때 나머지 각을 구하시오. 답.80∘. 풀이. 한 점 둘레의 각들의 합은 360∘입니다. 따라서 나머지 각은 360∘−150∘−130∘=80∘입니다.
문제 21. (표준) 두 직선이 만나 생긴 네 각 중 하나가 x이고 그 이웃한 각이 x+40∘일 때 x를 구하시오. 답.70∘. 풀이. 이웃한 두 각은 한 직선 위에서 보각을 이루므로 x+(x+40∘)=180∘입니다. 정리하면 2x=140∘, x=70∘입니다.
문제 22. (표준) 어떤 각과 그 여각의 비가 2:3일 때, 그 각을 구하시오. 답.36∘. 풀이. 각을 2k, 여각을 3k라 하면 합이 90∘이므로 5k=90∘, k=18∘입니다. 따라서 각은 2k=36∘입니다. 확인하면 여각은 54∘이고 비는 36:54=2:3입니다.
문제 23. (표준) 평행한 두 직선을 지나는 횡단선에서 한 동측내각이 115∘일 때, 다른 동측내각과 엇각을 각각 구하시오. 답. 다른 동측내각은 65∘, 엇각은 65∘. 풀이. 두 동측내각의 합은 180∘이므로 다른 동측내각은 180∘−115∘=65∘입니다. 115∘인 각의 엇각은 반대편 안쪽 각으로, 다른 동측내각과 맞꼭지각 관계이거나 같은 위치가 되어 65∘입니다.
문제 24. (표준) 두 각이 서로 보각이면서 하나가 다른 하나의 4배일 때, 두 각을 구하시오. 답.36∘와 144∘. 풀이. 작은 각을 x라 하면 큰 각은 4x이고 합이 180∘이므로 5x=180∘, x=36∘입니다. 큰 각은 144∘입니다.
문제 25. (표준) 두 직선이 평행하고 횡단선과 이루는 한 각이 3x, 그 동위각이 x+50∘일 때 x를 구하시오. 답.x=25∘. 풀이. 동위각은 서로 같으므로 3x=x+50∘입니다. 정리하면 2x=50∘, x=25∘입니다.
문제 26. (심화) 각 ∠AOB=90∘이고 반직선 OC가 그 내부를 지나 ∠AOC=2∠BOC가 되도록 나눈다. ∠BOC를 구하시오. 답.30∘. 풀이.∠AOC+∠BOC=90∘이고 ∠AOC=2∠BOC입니다. 대입하면 2∠BOC+∠BOC=90∘, 3∠BOC=90∘, ∠BOC=30∘입니다.
문제 27. (심화) 세 직선이 한 점에서 만나 여섯 개의 각을 만든다. 그중 이웃하지 않은 세 각의 합을 구하시오. 답.180∘. 풀이. 한 점 둘레의 여섯 각의 합은 360∘이고, 마주 보는 각끼리 맞꼭지각으로 같습니다. 서로 맞꼭지각이 아닌, 한 바퀴를 반씩 나눈 세 각을 고르면 그 합은 전체의 절반인 180∘입니다.
문제 28. (심화) 평행한 두 직선 l∥m을 두 횡단선이 지나 삼각형 모양을 만들 때, l 위에서 잰 두 엇각이 55∘, 65∘이면 두 횡단선이 이루는 각을 구하시오. 답.60∘. 풀이. 두 엇각은 평행선 성질로 삼각형의 두 내각과 각각 같아 55∘, 65∘가 됩니다. 삼각형의 세 내각의 합은 180∘이므로 나머지 각, 즉 두 횡단선이 이루는 각은 180∘−55∘−65∘=60∘입니다.
문제 29. (심화) 어떤 각의 보각이 여각의 4배일 때, 그 각을 구하시오. 답.60∘. 풀이. 각을 x라 하면 보각은 180∘−x, 여각은 90∘−x입니다. 조건에서 180∘−x=4(90∘−x)이므로 180∘−x=360∘−4x, 3x=180∘, x=60∘입니다. 확인하면 보각은 120∘, 여각은 30∘이고 120∘는 30∘의 4배입니다.