여기서 조심할 점이 있습니다. 두 변과 그 사이가 아닌 각이 같은 경우(SSA)는 일반적으로 합동이 되지 않습니다. 끼인각이 아닌 각으로는 삼각형이 두 가지로 그려질 수 있기 때문입니다.
또 세 각이 같은 경우(AAA)는 합동이 아니라 닮음만 보장합니다. 각만 같고 크기는 다를 수 있기 때문입니다.
문제 7. (기초) 세 변의 길이가 각각 같은 두 삼각형은 어떤 판정으로 합동인가? 답. SSS. 풀이. 세 쌍의 대응변이 각각 같으므로 SSS 합동입니다.
문제 8. (표준) 두 삼각형에서 AB=DE=5, AC=DF=7, ∠A=∠D=40∘일 때 두 삼각형이 합동인 이유를 판정 이름으로 답하시오. 답. SAS. 풀이. 같은 두 변 AB, AC의 끼인각이 ∠A이고, 대응하는 DE, DF의 끼인각이 ∠D입니다. 두 변과 끼인각이 각각 같으므로 SAS 합동입니다.
문제 9. (표준) 두 변과 그 사이가 아닌 각이 같은 SSA 조건이 왜 합동을 보장하지 못하는지 설명하시오. 답. 끼인각이 아닌 각으로는 남은 꼭짓점의 위치가 두 곳으로 정해질 수 있어 서로 다른 두 삼각형이 만들어지기 때문입니다. 풀이. 주어진 각의 변 위에 정해진 길이의 변을 그으면, 그 끝점에서 남은 변의 길이를 반지름으로 하는 원이 대개 두 점에서 만납니다. 두 교점 각각이 서로 다른 삼각형을 만들므로 삼각형이 하나로 정해지지 않습니다.
문제 10. (심화) 직각삼각형 두 개에서 빗변이 각각 13으로 같고 한 변이 각각 5로 같다. 두 삼각형은 합동인가? 판정 이름과 나머지 한 변의 길이를 구하시오. 답. RHS 합동, 나머지 한 변은 12. 풀이. 직각삼각형에서 빗변과 다른 한 변이 각각 같으므로 RHS 합동입니다. 나머지 변은 피타고라스 정리로 132−52=169−25=144=12입니다.
AA: 두 쌍의 대응각이 각각 같으면 닮음입니다. 삼각형은 두 각이 정해지면 나머지 한 각도 정해지므로, 두 각만 같으면 충분합니다.
SAS닮음: 두 쌍의 대응변의 비가 같고 그 끼인각이 같으면 닮음입니다.
SSS닮음: 세 쌍의 대응변의 비가 모두 같으면 닮음입니다.
가장 자주 쓰는 것은 AA입니다. 각을 두 개만 확인하면 되기 때문입니다.
문제 13. (기초) 두 삼각형에서 대응각 두 쌍이 각각 같으면 어떤 판정으로 닮음인가? 답. AA. 풀이. 두 각이 같으면 나머지 각도 자동으로 같아지므로 AA 닮음입니다.
문제 14. (표준) △ABC에서 DE∥BC이고 D는 AB 위, E는 AC 위에 있다. △ADE와 △ABC가 닮음인 이유를 판정 이름으로 답하시오. 답. AA. 풀이.∠A는 공통입니다. DE∥BC이므로 ∠ADE=∠ABC가 동위각으로 같습니다. 두 각이 같으므로 AA 닮음입니다.
문제 15. (표준) 두 삼각형에서 대응변의 비가 AB:DE=AC:DF=3:2이고 끼인각 ∠A=∠D일 때 닮음인 이유를 판정 이름으로 답하시오. 답. SAS닮음. 풀이. 두 쌍의 대응변의 비가 같고 그 끼인각이 같으므로 SAS닮음입니다.
문제 16. (심화) △ABC에서 DE∥BC, AD=4, DB=2, DE=6일 때 BC를 구하시오. 답.9. 풀이.△ADE∼△ABC입니다. 닮음비는 AD:AB=4:(4+2)=4:6=2:3입니다. 따라서 DE:BC=2:3이고 6:BC=2:3이므로 BC=26×3=9입니다.
문제 20. (기초) 삼각형의 두 내각이 90∘, 35∘일 때 나머지 각을 구하시오. 답.55∘. 풀이. 세 내각의 합이 180∘이므로 180∘−90∘−35∘=55∘입니다.
문제 21. (기초) 닮음비가 3:4인 두 삼각형의 넓이비를 구하시오. 답.9:16. 풀이. 넓이비는 닮음비의 제곱이므로 32:42=9:16입니다.
문제 22. (표준) 이등변삼각형에서 두 밑각이 같고 꼭지각이 40∘일 때 한 밑각의 크기를 구하시오. 답.70∘. 풀이. 두 밑각을 x라 하면 40∘+2x=180∘이므로 2x=140∘, x=70∘입니다.
문제 23. (표준) △ABC∼△DEF이고 AB=10, DE=4, EF=6일 때 BC를 구하시오. 답.15. 풀이. 닮음비는 AB:DE=10:4=5:2입니다. BC:EF=5:2이므로 BC:6=5:2, BC=26×5=15입니다.
문제 24. (표준) 직각삼각형에서 두 직각변이 6과 8일 때 빗변의 길이를 구하시오. 답.10. 풀이. 피타고라스 정리로 빗변은 62+82=36+64=100=10입니다.
문제 25. (표준) △ABC에서 DE∥BC이고 AD:DB=3:2일 때 DE:BC를 구하시오. 답.3:5. 풀이. 닮음비는 AD:AB=3:(3+2)=3:5입니다. 대응변인 DE:BC도 같은 비 3:5입니다.
문제 26. (심화) 키 1.6m인 사람의 그림자가 2m이고, 같은 시각 나무의 그림자가 7.5m일 때 나무의 높이를 구하시오. 답.6m. 풀이. 사람과 나무, 각자의 그림자가 이루는 두 직각삼각형은 태양의 각이 같아 AA 닮음입니다. 높이와 그림자의 비가 같으므로 21.6=7.5h입니다. 따라서 h=21.6×7.5=212=6이므로 6m입니다.
문제 27. (심화) 두 닮은 삼각형의 넓이가 각각 9와 36이고 작은 삼각형의 한 변이 5일 때 큰 삼각형의 대응변을 구하시오. 답.10. 풀이. 넓이비가 9:36=1:4이므로 닮음비는 1:4=1:2입니다. 대응변은 5×2=10입니다.
문제 28. (심화) △ABC에서 ∠A=90∘이고 꼭짓점 A에서 빗변 BC에 내린 수선의 발을 H라 한다. BH=4, CH=9일 때 수선 AH의 길이를 구하시오. 답.6. 풀이.△ABH∼△CAH입니다. 두 삼각형에서 ∠AHB=∠CHA=90∘이고 ∠ABH=∠CAH이므로 AA 닮음입니다. 대응변의 비에서 BHAH=AHCH이므로 AH2=BH×CH=4×9=36, AH=6입니다.
문제 29. (심화) 삼각형의 세 내각 중 한 각이 나머지 두 각의 합과 같을 때, 그 삼각형이 직각삼각형임을 보이시오. 답. 그 한 각이 90∘이므로 직각삼각형입니다. 풀이. 큰 각을 x, 나머지 두 각의 합을 y라 하면 x=y이고 x+y=180∘입니다. 대입하면 2x=180∘, x=90∘입니다. 한 내각이 90∘이므로 직각삼각형입니다.