원의 기본 요소인 반지름, 지름, 현, 호, 부채꼴을 구분할 수 있습니다.
중심각과 호의 길이가 비례함을 이용할 수 있습니다.
원주각이 같은 호에 대한 중심각의 절반임을 설명하고 각을 구할 수 있습니다.
반원에 대한 원주각이 9 0 ∘ 9 0 ∘
원에 내접하는 사각형의 마주 보는 두 각의 합이 18 0 ∘ 1 8 0 ∘
접선과 반지름이 수직임을, 접선과 현이 이루는 각이 원주각과 같음을 이용할 수 있습니다.
기호
읽는 법
뜻
O O 중심 O O
원의 중심
r r 반지름
중심에서 원 위 점까지의 거리
현
현
원 위 두 점을 잇는 선분
\overparen
호 A B A B
원 위 두 점 사이의 원의 일부
∠ A O B ∠ A O B 중심각
호 A B A B O O
∠ A P B ∠ A P B 원주각
호 A B A B P P
접선
접선
원과 한 점에서만 만나는 직선
같은 두 점 A A B B
원은 한 점에서 같은 거리에 있는 점들을 모두 모은 도형입니다. 그 한 점이 중심이고, 같은 거리가 반지름입니다.
원의 요소를 정리합니다.
반지름: 중심에서 원 위의 점까지의 선분, 또는 그 길이입니다.
지름: 중심을 지나 원을 가로지르는 현으로, 길이는 반지름의 2 2
현: 원 위의 두 점을 잇는 선분입니다. 가장 긴 현이 지름입니다.
호: 원 위의 두 점 사이의 원의 일부입니다.
부채꼴: 두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 부분입니다.
활꼴: 하나의 현과 그 현이 자른 호로 둘러싸인 부분입니다.
문제 1. (기초) 반지름이 5 5 답. 10 1 0 풀이. 지름은 반지름의 2 2 5 × 2 = 10 5 × 2 = 1 0
문제 2. (기초) 원에서 가장 긴 현은 무엇인가?답. 지름.풀이. 현 중에서 중심을 지나는 것이 가장 길고, 그것이 지름입니다.
문제 3. (표준) 두 반지름과 그 사이의 호로 둘러싸인 부분의 이름을 쓰시오.답. 부채꼴.풀이. 두 반지름과 호로 둘러싸이면 부채꼴, 하나의 현과 호로 둘러싸이면 활꼴입니다.
같은 원에서 중심각이 커지면 그만큼 호도 길어집니다. 정확히 말하면, 같은 원에서 호의 길이는 중심각에 정비례합니다.
중심각이 θ θ θ 36 0 ∘ 3 6 0 ∘ θ r r 2 π r 2 π r
ℓ = 2 π r × θ 36 0 ∘ ℓ = 2 π r × 3 6 0 ∘ θ
입니다. 부채꼴의 넓이도 같은 비율이므로
S = π r 2 × θ 36 0 ∘ S = π r 2 × 3 6 0 ∘ θ
입니다.
문제 4. (기초) 반지름 6 6 9 0 ∘ 9 0 ∘ 답. 3 π 3 π 풀이. 호의 길이는 2 π × 6 × 9 0 ∘ 36 0 ∘ = 12 π × 1 4 = 3 π 2 π × 6 × 3 6 0 ∘ 9 0 ∘ = 1 2 π × 4 1 = 3 π
문제 5. (표준) 반지름 6 6 9 0 ∘ 9 0 ∘ 답. 9 π 9 π 풀이. 넓이는 π × 6 2 × 9 0 ∘ 36 0 ∘ = 36 π × 1 4 = 9 π π × 6 2 × 3 6 0 ∘ 9 0 ∘ = 3 6 π × 4 1 = 9 π
문제 6. (표준) 같은 원에서 중심각이 4 0 ∘ 4 0 ∘ 2 2 10 0 ∘ 1 0 0 ∘ 답. 5 5 풀이. 호의 길이는 중심각에 비례하므로 4 0 ∘ : 10 0 ∘ = 2 : ℓ 4 0 ∘ : 1 0 0 ∘ = 2 : ℓ ℓ = 2 × 10 0 ∘ 4 0 ∘ = 5 ℓ = 4 0 ∘ 2 × 1 0 0 ∘ = 5
원 위의 한 점에서 어떤 호의 양 끝을 바라본 각을 원주각이라고 합니다. 같은 호에 대해 중심에서 바라본 각이 중심각입니다.
이 둘 사이에는 아주 중요한 관계가 있습니다.
같은 호에 대한 원주각은 그 호에 대한 중심각의 절반이다.
∠ A P B = 1 2 ∠ A O B ∠ A P B = 2 1 ∠ A O B
왜 그런지 가장 간단한 경우로 확인합니다. 원주각의 꼭짓점 P P O O P A ‾ P A
[그림 설명: 중심 O O P P B B P A ‾ P A O P B O P B O P ‾ = O B ‾ = r O P = O B = r ∠ O P B = ∠ O B P ∠ O P B = ∠ O B P ∠ A O B ∠ A O B
삼각형 O P B O P B ∠ O P B = ∠ O B P ∠ O P B = ∠ O B P α α ∠ A P B = α ∠ A P B = α ∠ A O B ∠ A O B O P B O P B O O α + α = 2 α α + α = 2 α
∠ A O B = 2 ∠ A P B ∠ A O B = 2 ∠ A P B
입니다. 일반적인 위치도 이 경우를 두 번 쓰거나 빼서 같은 결론이 나옵니다.
이 관계에서 따라오는 성질이 있습니다.
같은 호에 대한 원주각은 어디에서 보든 모두 같다.
원주각이 모두 같은 중심각의 절반이기 때문입니다.
문제 7. (기초) 호 A B A B 8 0 ∘ 8 0 ∘ 답. 4 0 ∘ 4 0 ∘ 풀이. 원주각은 중심각의 절반이므로 1 2 × 8 0 ∘ = 4 0 ∘ 2 1 × 8 0 ∘ = 4 0 ∘
문제 8. (표준) 호 A B A B 3 5 ∘ 3 5 ∘ 답. 7 0 ∘ 7 0 ∘ 풀이. 중심각은 원주각의 2 2 2 × 3 5 ∘ = 7 0 ∘ 2 × 3 5 ∘ = 7 0 ∘
문제 9. (표준) 한 호를 서로 다른 두 점 P P Q Q ∠ A P B ∠ A P B ∠ A Q B ∠ A Q B ∠ A P B = 4 8 ∘ ∠ A P B = 4 8 ∘ ∠ A Q B ∠ A Q B 답. 4 8 ∘ 4 8 ∘ 풀이. 같은 호에 대한 원주각은 모두 같으므로 ∠ A Q B = ∠ A P B = 4 8 ∘ ∠ A Q B = ∠ A P B = 4 8 ∘
지름이 자르는 반원에 대한 원주각은 항상 9 0 ∘ 9 0 ∘
지름에 대한 중심각은 지름이 일직선이므로 18 0 ∘ 1 8 0 ∘
∠ A P B = 1 2 × 18 0 ∘ = 9 0 ∘ ∠ A P B = 2 1 × 1 8 0 ∘ = 9 0 ∘
입니다. 즉 지름을 밑변으로 하고 꼭짓점이 원 위에 있는 삼각형은 항상 직각삼각형입니다. 이를 탈레스의 정리라고 부르기도 합니다.
문제 10. (기초) 지름 A B ‾ A B P P ∠ A P B ∠ A P B 답. 9 0 ∘ 9 0 ∘ 풀이. 지름에 대한 원주각은 항상 직각이므로 ∠ A P B = 9 0 ∘ ∠ A P B = 9 0 ∘
문제 11. (표준) 지름 A B ‾ A B P P ∠ P A B = 2 5 ∘ ∠ P A B = 2 5 ∘ ∠ P B A ∠ P B A 답. 6 5 ∘ 6 5 ∘ 풀이. ∠ A P B = 9 0 ∘ ∠ A P B = 9 0 ∘ 18 0 ∘ 1 8 0 ∘ ∠ P B A = 18 0 ∘ − 9 0 ∘ − 2 5 ∘ = 6 5 ∘ ∠ P B A = 1 8 0 ∘ − 9 0 ∘ − 2 5 ∘ = 6 5 ∘
문제 12. (심화) 반지름 5 5 A B ‾ A B P P P A ‾ = 6 P A = 6 P B ‾ P B 답. 8 8 풀이. 지름의 길이는 2 × 5 = 10 2 × 5 = 1 0 ∠ A P B = 9 0 ∘ ∠ A P B = 9 0 ∘ P B ‾ = 1 0 2 − 6 2 = 100 − 36 = 64 = 8 P B = 1 0 2 − 6 2 = 1 0 0 − 3 6 = 6 4 = 8
네 꼭짓점이 모두 한 원 위에 있는 사각형을 원에 내접하는 사각형이라고 합니다. 이때 마주 보는 두 내각의 합은 항상 18 0 ∘ 1 8 0 ∘
왜 그런지 봅시다. 사각형 A B C D A B C D ∠ A ∠ A B C D B C D ∠ C ∠ C B A D B A D 36 0 ∘ 3 6 0 ∘
∠ A + ∠ C = 1 2 × 36 0 ∘ = 18 0 ∘ ∠ A + ∠ C = 2 1 × 3 6 0 ∘ = 1 8 0 ∘
입니다. 마찬가지로 ∠ B + ∠ D = 18 0 ∘ ∠ B + ∠ D = 1 8 0 ∘
문제 13. (기초) 원에 내접하는 사각형에서 한 각이 9 5 ∘ 9 5 ∘ 답. 8 5 ∘ 8 5 ∘ 풀이. 마주 보는 두 각의 합은 18 0 ∘ 1 8 0 ∘ 18 0 ∘ − 9 5 ∘ = 8 5 ∘ 1 8 0 ∘ − 9 5 ∘ = 8 5 ∘
문제 14. (표준) 원에 내접하는 사각형 A B C D A B C D ∠ A = 7 0 ∘ ∠ A = 7 0 ∘ ∠ B = 10 0 ∘ ∠ B = 1 0 0 ∘ ∠ C ∠ C ∠ D ∠ D 답. ∠ C = 11 0 ∘ ∠ C = 1 1 0 ∘ ∠ D = 8 0 ∘ ∠ D = 8 0 ∘ 풀이. ∠ A + ∠ C = 18 0 ∘ ∠ A + ∠ C = 1 8 0 ∘ ∠ C = 11 0 ∘ ∠ C = 1 1 0 ∘ ∠ B + ∠ D = 18 0 ∘ ∠ B + ∠ D = 1 8 0 ∘ ∠ D = 8 0 ∘ ∠ D = 8 0 ∘
문제 15. (심화) 원에 내접하는 사각형의 한 외각이 8 5 ∘ 8 5 ∘ 답. 8 5 ∘ 8 5 ∘ 풀이. 외각이 8 5 ∘ 8 5 ∘ 18 0 ∘ − 8 5 ∘ = 9 5 ∘ 1 8 0 ∘ − 8 5 ∘ = 9 5 ∘ 18 0 ∘ − 9 5 ∘ = 8 5 ∘ 1 8 0 ∘ − 9 5 ∘ = 8 5 ∘
원과 한 점에서만 만나는 직선을 접선이라고 하고, 그 만나는 점을 접점이라고 합니다.
접선의 첫 번째 성질입니다.
접선은 그 접점을 지나는 반지름과 수직이다.
만약 수직이 아니라면, 중심에서 접선까지의 가장 가까운 점이 접점이 아닌 다른 점이 되고, 그 경우 접선이 원과 두 점에서 만나게 되어 접선이 아니게 됩니다. 그래서 접선은 반지름과 정확히 9 0 ∘ 9 0 ∘
두 번째 성질은 접선과 현이 이루는 각에 관한 것입니다.
접선과 그 접점에서 그은 현이 이루는 각은, 그 현이 자른 반대쪽 호에 대한 원주각과 같다.
이를 접현각 정리라고 합니다. 접점을 T T T A ‾ T A T A T A
문제 16. (기초) 접점에서 그은 반지름과 접선이 이루는 각을 구하시오.답. 9 0 ∘ 9 0 ∘ 풀이. 접선은 접점을 지나는 반지름과 수직이므로 그 각은 9 0 ∘ 9 0 ∘
문제 17. (표준) 원 밖의 점 P P T T O O O T ‾ = 3 O T = 3 O P ‾ = 5 O P = 5 P T ‾ P T 답. 4 4 풀이. O T ‾ O T O T P O T P ∠ O T P = 9 0 ∘ ∠ O T P = 9 0 ∘ P T ‾ = O P ‾ 2 − O T ‾ 2 = 25 − 9 = 16 = 4 P T = O P 2 − O T 2 = 2 5 − 9 = 1 6 = 4
문제 18. (심화) 접점 T T T A ‾ T A 5 5 ∘ 5 5 ∘ T A ‾ T A 답. 5 5 ∘ 5 5 ∘ 풀이. 접현각 정리에 따라 접선과 현이 이루는 각은 그 현이 자른 반대쪽 호에 대한 원주각과 같습니다. 따라서 원주각은 5 5 ∘ 5 5 ∘
상황
핵심 관계
쓰는 식
부채꼴의 호
중심각에 비례
\ell=2\pi r\cdot\dfrac{\theta}
부채꼴의 넓이
중심각에 비례
S=\pi r^2\cdot\dfrac{\theta}
원주각과 중심각
원주각은 절반
∠ A P B = 1 2 ∠ A O B ∠ A P B = 2 1 ∠ A O B
같은 호의 원주각
모두 같다
∠ A P B = ∠ A Q B ∠ A P B = ∠ A Q B
지름에 대한 원주각
직각
∠ A P B = 9 0 ∘ ∠ A P B = 9 0 ∘
내접 사각형
마주 보는 각의 합
∠ A + ∠ C = 18 0 ∘ ∠ A + ∠ C = 1 8 0 ∘
내접 사각형
한 외각
마주 보는 내각과 같다
접선과 반지름
수직
접점에서 9 0 ∘ 9 0 ∘
접선과 현
접현각
반대쪽 호의 원주각과 같다
원 문제는 먼저 어떤 각이 중심각이고 어떤 각이 원주각인지, 어떤 호를 바라보는지 표시하는 것이 시작입니다. 지름이 보이면 직각을, 네 점이 한 원 위에 있으면 내접 사각형 성질을 떠올립니다.
문제 19. (기초) 반지름 9 9 답. 18 π 1 8 π 풀이. 원의 둘레는 2 π r = 2 π × 9 = 18 π 2 π r = 2 π × 9 = 1 8 π
문제 20. (기초) 중심각이 12 0 ∘ 1 2 0 ∘ 답. 6 0 ∘ 6 0 ∘ 풀이. 원주각은 중심각의 절반이므로 1 2 × 12 0 ∘ = 6 0 ∘ 2 1 × 1 2 0 ∘ = 6 0 ∘
문제 21. (표준) 반지름 4 4 4 5 ∘ 4 5 ∘ 답. 2 π 2 π 풀이. 넓이는 π × 4 2 × 4 5 ∘ 36 0 ∘ = 16 π × 1 8 = 2 π π × 4 2 × 3 6 0 ∘ 4 5 ∘ = 1 6 π × 8 1 = 2 π
문제 22. (표준) 원 위의 세 점 A A B B C C B C B C ∠ B A C = 3 0 ∘ ∠ B A C = 3 0 ∘ ∠ B O C ∠ B O C 답. 6 0 ∘ 6 0 ∘ 풀이. 중심각은 원주각의 2 2 2 × 3 0 ∘ = 6 0 ∘ 2 × 3 0 ∘ = 6 0 ∘
문제 23. (표준) 원에 내접하는 사각형 A B C D A B C D ∠ A = x + 2 0 ∘ ∠ A = x + 2 0 ∘ ∠ C = 2 x − 1 0 ∘ ∠ C = 2 x − 1 0 ∘ x x 답. x = 17 0 ∘ 3 ≈ 56. 7 ∘ x = 3 1 7 0 ∘ ≈ 5 6 . 7 ∘ 풀이. 마주 보는 각의 합이 18 0 ∘ 1 8 0 ∘ ( x + 2 0 ∘ ) + ( 2 x − 1 0 ∘ ) = 18 0 ∘ ( x + 2 0 ∘ ) + ( 2 x − 1 0 ∘ ) = 1 8 0 ∘ 3 x + 1 0 ∘ = 18 0 ∘ 3 x + 1 0 ∘ = 1 8 0 ∘ 3 x = 17 0 ∘ 3 x = 1 7 0 ∘ x = 17 0 ∘ 3 x = 3 1 7 0 ∘
문제 24. (표준) 지름 A B ‾ A B C C A C ‾ = 5 A C = 5 B C ‾ = 12 B C = 1 2 답. 13 1 3 풀이. ∠ A C B = 9 0 ∘ ∠ A C B = 9 0 ∘ A B ‾ = 5 2 + 1 2 2 = 25 + 144 = 169 = 13 A B = 5 2 + 1 2 2 = 2 5 + 1 4 4 = 1 6 9 = 1 3
문제 25. (표준) 원 밖의 점 P P A A B B P A ‾ = 7 P A = 7 P B ‾ P B 답. 7 7 풀이. 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 서로 같습니다. 삼각형 P A O P A O P B O P B O P B ‾ = P A ‾ = 7 P B = P A = 7
문제 26. (심화) 원에서 두 현 A B ‾ A B C D ‾ C D E E A E ‾ = 4 A E = 4 E B ‾ = 6 E B = 6 C E ‾ = 3 C E = 3 E D ‾ E D 답. 8 8 풀이. 두 현이 원 안에서 만나면 A E ‾ × E B ‾ = C E ‾ × E D ‾ A E × E B = C E × E D △ A E C ∼ △ D E B △ A E C ∼ △ D E B 4 × 6 = 3 × E D ‾ 4 × 6 = 3 × E D E D ‾ = 24 3 = 8 E D = 3 2 4 = 8
문제 27. (심화) 원 밖의 점 P P A A B B P A ‾ = 3 P A = 3 P B ‾ = 12 P B = 1 2 P T ‾ P T 답. 6 6 풀이. 접선과 할선 사이에는 P T ‾ 2 = P A ‾ × P B ‾ P T 2 = P A × P B P T ‾ 2 = 3 × 12 = 36 P T 2 = 3 × 1 2 = 3 6 P T ‾ = 6 P T = 6
문제 28. (심화) 삼각형 A B C A B C A B ‾ A B ∠ B A C = 4 0 ∘ ∠ B A C = 4 0 ∘ B C B C A A 답. 8 0 ∘ 8 0 ∘ 풀이. ∠ B A C ∠ B A C B C B C 4 0 ∘ 4 0 ∘ 2 2 8 0 ∘ 8 0 ∘
문제 29. (심화) 반지름 6 6 O O 20 2 0 답. 8 8 풀이. 중심에서 현에 내린 수선은 현을 이등분합니다. 반현, 중심에서 현까지의 거리, 반지름이 직각삼각형을 이루므로 반현은 6 2 − ( 20 ) 2 = 36 − 20 = 16 = 4 6 2 − ( 2 0 ) 2 = 3 6 − 2 0 = 1 6 = 4 2 2 8 8
반지름, 지름, 현, 호, 부채꼴을 구분해 말할 수 있는가?
부채꼴의 호의 길이와 넓이를 중심각으로 구할 수 있는가?
원주각이 중심각의 절반임을 이등변삼각형으로 설명할 수 있는가?
같은 호에 대한 원주각이 왜 모두 같은지 말할 수 있는가?
지름에 대한 원주각이 왜 9 0 ∘ 9 0 ∘
원에 내접하는 사각형에서 마주 보는 각의 합이 왜 18 0 ∘ 1 8 0 ∘
접선이 반지름과 수직인 이유와 접현각 정리를 말할 수 있는가?
정답
반지름은 중심에서 원까지, 지름은 중심을 지나는 현으로 반지름의 2 2
호는 2 π r ⋅ θ 36 0 ∘ 2 π r ⋅ 3 6 0 ∘ θ π r 2 ⋅ θ 36 0 ∘ π r 2 ⋅ 3 6 0 ∘ θ
반지름 두 개로 이루어진 이등변삼각형의 두 밑각이 같고, 중심각이 그 외각이라 두 밑각의 합, 즉 원주각의 2 2
모든 원주각이 같은 호의 같은 중심각의 절반이므로 서로 같다.
지름의 중심각은 18 0 ∘ 1 8 0 ∘ 9 0 ∘ 9 0 ∘
마주 보는 두 각이 원을 이루는 두 호의 원주각이고, 두 중심각의 합이 36 0 ∘ 3 6 0 ∘ 18 0 ∘ 1 8 0 ∘
접선이 반지름과 수직이 아니면 원과 두 점에서 만나 접선이 아니게 되므로 수직이어야 하고, 접선과 현이 이루는 각은 그 현이 자른 반대쪽 호의 원주각과 같다.