평행사변형은 마주 보는 두 쌍의 변이 각각 평행한 사각형입니다. 한 변을 밑변으로 삼고, 그 변에서 마주 보는 변까지의 수직 거리를 높이로 하면
S평행사변형=b×h
입니다. 평행사변형의 한쪽 끝을 잘라 반대쪽에 붙이면 밑변 b, 높이 h인 직사각형이 되기 때문입니다. 여기서 높이는 기울어진 변의 길이가 아니라 수직 거리임에 주의합니다.
마름모는 네 변의 길이가 모두 같은 평행사변형입니다. 마름모는 두 대각선이 서로를 수직이등분하므로, 두 대각선의 길이를 d1, d2라 하면
S마름모=21×d1×d2
입니다.
문제 9. (기초) 가로 7, 세로 4인 직사각형의 넓이를 구하시오. 답.28. 풀이.S=7×4=28입니다.
문제 10. (기초) 밑변 10, 높이 6인 평행사변형의 넓이를 구하시오. 답.60. 풀이.S=b×h=10×6=60입니다.
문제 11. (표준) 두 대각선의 길이가 8과 5인 마름모의 넓이를 구하시오. 답.20. 풀이.S=21×d1×d2=21×8×5=20입니다.
문제 12. (심화) 넓이가 48이고 밑변이 12인 평행사변형에서, 밑변과 이웃한 변의 길이가 5일 때 두 변 사이의 각의 사인 값을 구하시오. 답.54. 풀이. 높이는 48=12×h에서 h=4입니다. 이웃한 변의 길이가 5이고 그 변과 밑변이 이루는 각을 θ라 하면 h=5sinθ이므로 4=5sinθ, sinθ=54입니다.
한 쌍의 대변만 평행한 사각형을 사다리꼴이라고 합니다. 평행한 두 변을 각각 윗변 a, 아랫변 b라 하고 그 사이의 수직 거리를 높이 h라 하면
S사다리꼴=21×(a+b)×h
입니다. 사다리꼴을 하나 더 복사해 뒤집어 붙이면 밑변이 a+b, 높이가 h인 평행사변형이 되고, 사다리꼴은 그 절반이기 때문입니다.
[그림 설명: 윗변 a, 아랫변 b, 높이 h인 사다리꼴을 복사해 180∘ 돌려 붙이면 밑변 a+b, 높이 h인 평행사변형이 되고, 원래 사다리꼴은 그 절반이다.]
문제 13. (기초) 윗변 4, 아랫변 6, 높이 5인 사다리꼴의 넓이를 구하시오. 답.25. 풀이.S=21×(4+6)×5=21×10×5=25입니다.
문제 14. (표준) 넓이가 36, 높이가 6인 사다리꼴에서 윗변이 5일 때 아랫변을 구하시오. 답.7. 풀이.36=21×(5+b)×6=3(5+b)이므로 5+b=12, b=7입니다.
문제 15. (심화) 윗변 6, 아랫변 10인 사다리꼴의 두 다리(빗변)가 모두 길이 13인 이등변사다리꼴의 넓이를 구하시오. 답.24. 풀이. 아랫변에서 윗변이 안쪽으로 들어간 양은 양쪽 합해 10−6=4이고 대칭이므로 한쪽이 2입니다. 높이는 (13)2−22=13−4=9=3입니다. 넓이는 21×(6+10)×3=21×16×3=24입니다.
정n각형의 넓이는 중심에서 각 꼭짓점으로 선을 그어 합동인 삼각형 n개로 나누어 구합니다.
가장 다루기 쉬운 정육각형을 봅니다. 한 변의 길이가 a인 정육각형은 중심에서 이으면 한 변이 a인 정삼각형 6개로 나뉩니다. 정삼각형 하나의 넓이가 43a2이므로
S정육각형=6×43a2=233a2
입니다.
일반적으로 한 변이 a인 정삼각형의 넓이는 높이가 23a이므로 21×a×23a=43a2입니다. 이 값은 자주 쓰이니 외워 두면 좋습니다.
문제 20. (기초) 한 변이 2인 정삼각형의 넓이를 구하시오. 답.3. 풀이.43a2=43×22=43×4=3입니다.
문제 21. (표준) 한 변이 4인 정육각형의 넓이를 구하시오. 답.243. 풀이.233a2=233×42=233×16=243입니다.
문제 22. (심화) 한 변이 6인 정육각형을 중심에서 나눈 정삼각형 한 개의 넓이를 구하고, 이를 6배 하여 전체 넓이가 공식과 일치함을 확인하시오. 답. 정삼각형 한 개는 93, 전체는 543. 풀이. 정삼각형 한 개는 43×62=93입니다. 6배 하면 543입니다. 공식으로도 233×62=233×36=543으로 같습니다.
꼭짓점의 좌표를 알면 신발끈 공식으로 넓이를 바로 구할 수 있습니다. 꼭짓점을 한 방향(시계 반대 방향 또는 시계 방향)으로 차례로 (x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)이라 하면
S=21∣∣∣∣∣∣i=1∑n(xiyi+1−xi+1yi)∣∣∣∣∣∣
입니다. 여기서 (xn+1,yn+1)은 처음 꼭짓점 (x1,y1)로 되돌아갑니다. 좌표를 위아래로 엇갈려 곱하는 모양이 신발끈을 묶는 것과 닮아 신발끈 공식이라고 부릅니다.
삼각형 세 점 (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3)의 경우로 풀어 쓰면
S=21∣x1(y2−y3)+x2(y3−y1)+x3(y1−y2)∣
입니다.
예를 들어 (0,0), (4,0), (0,3)을 넣으면
S=21∣0(0−3)+4(3−0)+0(0−0)∣=21×12=6
이고, 이는 밑변 4, 높이 3인 직각삼각형의 넓이 21×4×3=6과 같습니다.
문제 23. (기초) 세 점 (0,0), (6,0), (0,4)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오. 답.12. 풀이. 밑변 6, 높이 4인 직각삼각형이므로 S=21×6×4=12입니다.
문제 24. (표준) 세 점 (1,1), (5,2), (3,6)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 신발끈 공식으로 구하시오. 답.9. 풀이.S=21∣1(2−6)+5(6−1)+3(1−2)∣=21∣−4+25−3∣=21×18=9입니다.
문제 25. (심화) 네 점 (0,0), (4,0), (5,3), (1,3)을 차례로 이은 사각형의 넓이를 구하시오. 답.12. 풀이. 신발끈 공식으로 ∑(xiyi+1−xi+1yi)을 계산합니다. (0⋅0−4⋅0)+(4⋅3−5⋅0)+(5⋅3−1⋅3)+(1⋅0−0⋅3)=0+12+12+0=24입니다. 넓이는 21×24=12입니다. 이 도형은 윗변 4, 아랫변 4, 높이 3인 평행사변형이므로 4×3=12와 일치합니다.
문제 26. (기초) 밑변 14, 높이 9인 삼각형의 넓이를 구하시오. 답.63. 풀이.S=21×14×9=2126=63입니다.
문제 27. (기초) 가로 9, 세로 6인 직사각형의 넓이를 구하시오. 답.54. 풀이.S=9×6=54입니다.
문제 28. (기초) 두 대각선이 10과 12인 마름모의 넓이를 구하시오. 답.60. 풀이.S=21×10×12=60입니다.
문제 29. (표준) 윗변 7, 아랫변 11, 높이 8인 사다리꼴의 넓이를 구하시오. 답.72. 풀이.S=21×(7+11)×8=21×18×8=72입니다.
문제 30. (표준) 세 변이 6, 8, 10인 삼각형의 넓이를 헤론의 공식으로 구하시오. 답.24. 풀이.s=26+8+10=12입니다. S=12(12−6)(12−8)(12−10)=12×6×4×2=576=24입니다. 6-8-10은 직각삼각형이므로 21×6×8=24와 같습니다.
문제 31. (표준) 정팔각형의 한 내각의 크기를 구하시오. 답.135∘. 풀이. 내각의 합은 (8−2)×180∘=1080∘이고 여덟 각이 같으므로 81080∘=135∘입니다.
문제 32. (표준) 한 외각이 24∘인 정다각형은 몇 각형인지 구하시오. 답. 정십오각형. 풀이. 외각의 합이 360∘이므로 n=24∘360∘=15입니다.
문제 33. (표준) 세 점 (2,1), (6,1), (4,7)을 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이를 구하시오. 답.12. 풀이. 밑변을 (2,1)과 (6,1)을 잇는 변으로 보면 길이가 4이고, 높이는 7−1=6입니다. S=21×4×6=12입니다.
문제 34. (심화) 한 변이 10인 정삼각형의 넓이를 구하시오. 답.253. 풀이.43a2=43×100=253입니다.
문제 35. (심화) 다섯 점 (0,0), (5,0), (5,4), (2,4), (0,2)를 차례로 이은 오각형의 넓이를 신발끈 공식으로 구하시오. 답.18. 풀이.∑(xiyi+1−xi+1yi)을 차례로 계산합니다. (0⋅0−5⋅0)+(5⋅4−5⋅0)+(5⋅4−2⋅4)+(2⋅2−0⋅4)+(0⋅0−0⋅2)=0+20+12+4+0=36입니다. 넓이는 21×36=18입니다.
문제 36. (심화) 세 변이 13, 14, 15인 삼각형의 넓이를 구하시오. 답.84. 풀이.s=213+14+15=21입니다. S=21(21−13)(21−14)(21−15)=21×8×7×6=7056=84입니다.
문제 37. (심화) 밑변이 12인 삼각형과 넓이가 같고 밑변이 9인 삼각형이 있다. 앞 삼각형의 높이가 6일 때 뒤 삼각형의 높이를 구하시오. 답.8. 풀이. 앞 삼각형의 넓이는 21×12×6=36입니다. 뒤 삼각형은 36=21×9×h이므로 36=4.5h, h=8입니다.