93강부터 98강까지를 섞어 묻습니다. 모두 48문항이며 세 부분으로 나뉩니다.
| 부분 |
범위 |
문항 |
| 1부 |
함수와 등고선, 편미분 |
1~16 |
| 2부 |
전미분과 기울기, 방향도함수 |
17~32 |
| 3부 |
연쇄법칙과 야코비 행렬 |
33~48 |
합격선은 43문항입니다. 이 단원은 S5 전체의 언어를 만드는 곳이라 빈틈을 남기면 뒤에서 계속 걸립니다. 특히 반례 넷과 전미분가능성의 정의는 반드시 손으로 쓸 수 있어야 합니다.
문제 1. f(x,y)=x2y−3y의 f(2,1)을 구하세요.
답. 4−3=1입니다.
문제 2. 9−x2−y2의 정의역을 쓰세요.
답. x2+y2≤9인 닫힌 원판입니다.
문제 3. ln(xy)의 정의역을 쓰세요.
답. xy>0인 곳, 즉 제1사분면과 제3사분면의 내부입니다.
문제 4. f(x,y)=4−x2−y2의 등고선 f=0을 구하세요.
답. x2+y2=4이므로 반지름 2인 원입니다.
문제 5. 같은 함수에서 f=5인 등고선을 구하세요.
답. 공집합입니다. 최댓값이 4이기 때문입니다.
문제 6. f(x,y)=2x−y의 등고선을 말하세요.
답. 기울기 2인 평행한 직선들입니다.
문제 7. 등고선이 촘촘한 곳의 성질을 쓰세요.
답. 가파릅니다. ∥∇f∥가 큽니다.
문제 8. lim(x,y)→(0,0)x2+y2xy이 존재합니까?
답. 없습니다. y=0에서 0이고 y=x에서 1/2입니다.
문제 9. lim(x,y)→(0,0)x2+y2xy2을 구하세요.
답. 0입니다. ∣xy2/(x2+y2)∣≤∣x∣이므로 조임정리로 따릅니다.
문제 10. f(x,y)=x3y−2y2의 fx와 fy를 구하세요.
답. fx=3x2y이고 fy=x3−4y입니다.
문제 11. f(x,y)=x+yx의 fx를 구하세요.
답. (x+y)2(x+y)−x=(x+y)2y입니다.
문제 12. f(x,y)=sin(x2y)의 fy를 구하세요.
답. x2cos(x2y)입니다.
문제 13. f(x,y)=x2y3의 fxy와 fyx를 구해 비교하세요.
답. 둘 다 6xy2이며 같습니다. 클레로 정리가 적용됩니다.
문제 14. 클레로 정리의 조건을 정확히 쓰세요.
답. 두 혼합편미분이 근방에서 존재하고 그 점에서 연속이어야 합니다.
문제 15. fxy=fyx인 함수의 예와 그 값을 쓰세요.
답. xy(x2−y2)/(x2+y2)이며 원점에서 −1과 +1입니다.
문제 16. 편미분이 모두 존재하는데 불연속인 함수를 쓰고 이유를 설명하세요.
답. xy/(x2+y2)입니다. 두 축 위에서 항등적으로 0이라 편미분이 이상을 감지하지 못하는데, 축을 벗어나면 값이 ±1/2까지 튑니다.
문제 17. 전미분가능성의 정의를 쓰세요.
답. 나머지를 ∥h∥로 나눈 극한이 0인 것입니다.
문제 18. 나머지가 0으로 가기만 하면 왜 부족한지 쓰세요.
답. 오차가 ∥h∥보다 빨리 줄어야 선형근사라 부를 수 있기 때문입니다.
문제 19. f(x,y)=x2+3y2의 ∇f(1,2)를 구하세요.
답. (2x,6y)=(2,12)입니다.
문제 20. 같은 함수의 (1,2)에서 접평면을 쓰세요.
답. f(1,2)=13이므로 z=13+2(x−1)+12(y−2)입니다.
문제 21. f(x,y)=exy의 ∇f(1,0)을 구하세요.
답. (yexy,xexy)=(0,1)입니다.
문제 22. 전미분 df를 f=x2y3에 대해 쓰세요.
답. df=2xy3dx+3x2y2dy입니다.
문제 23. ∇f의 세 가지 뜻을 쓰세요.
답. 선형근사의 계수, 등고선의 법선, 최급증가 방향입니다.
문제 24. 기울기가 등고선에 수직인 이유를 한 문장으로 쓰세요.
답. 등고선 위에서 값이 변하지 않으므로 선형근사도 0이어야 하기 때문입니다.
문제 25. 전미분가능하면 연속입니까? 근거를 쓰세요.
답. 연속입니다. 나머지와 ∇f⋅h가 모두 0으로 가기 때문이며 코시-슈바르츠를 씁니다.
문제 26. C1과 전미분가능의 관계를 쓰세요.
답. C1이면 전미분가능하지만 역은 성립하지 않습니다.
문제 27. 전미분가능한데 C1이 아닌 함수를 쓰세요.
답. r2sin(1/r)이며 원점에서 편미분이 진동해 불연속입니다.
문제 28. Duf의 계산 공식과 그 전제를 쓰세요.
답. ∇f⋅u이며 전미분가능해야 합니다.
문제 29. f(x,y)=x2y의 (1,2)에서 u=(3,4)/5 방향의 방향도함수를 구하세요.
답. ∇f=(2xy,x2)=(4,1)이므로 (4,1)⋅(0.6,0.8)=3.2입니다.
문제 30. 같은 점에서 최급증가 방향과 값을 구하세요.
답. (4,1)/17 방향이며 값은 17≈4.123입니다.
문제 31. 최적 방향에서 60∘ 벗어나면 변화율의 몇 배가 남습니까?
답. cos60∘=0.5이므로 절반입니다.
문제 32. 최급강하 방향이 무엇에 의존하는지 쓰고, 헤세 노름을 쓰면 어떤 방향이 되는지 쓰세요.
답. 거리를 재는 노름에 의존합니다. 헤세 노름을 쓰면 −H−1∇f가 되며 이것이 뉴턴법의 방향입니다.
문제 33. 경로를 따른 연쇄법칙을 쓰세요.
답. dtdf(γ(t))=∇f(γ(t))⋅γ′(t)입니다.
문제 34. z=x2+y, x=sint, y=cost일 때 dz/dt를 구하세요.
답. 2xcost−sint=2sintcost−sint입니다.
문제 35. z=f(x,y), x=x(s,t), y=y(s,t)일 때 ∂z/∂s를 쓰세요.
답. fxxs+fyys입니다.
문제 36. 다변수 연쇄법칙에서 왜 합이 나오는지 쓰세요.
답. 흔든 변수가 여러 경로로 결과에 도달하기 때문입니다.
문제 37. 계산 그래프의 경로 규칙을 쓰세요.
답. 각 경로의 화살표를 곱하고 경로들끼리 더합니다.
문제 38. f=x2+y2이고 y=x2일 때 x=2에서 ∂f/∂x와 df/dx를 각각 구하세요.
답. 편미분은 2x=4이고 전미분은 2x+4x3=36입니다.
문제 39. 두 값 중 실제 변화율은 어느 쪽입니까?
답. 전미분입니다. y가 x를 따라 움직이기 때문입니다.
문제 40. tanh의 국소 미분을 출력으로 표현하세요.
답. 1−y2입니다.
문제 41. 기울기 소실이 연쇄법칙의 어떤 구조에서 오는지 쓰세요.
답. 국소 미분들이 곱해지는 구조에서 옵니다. 작은 인자가 반복 곱해지면 지수적으로 줄어듭니다.
문제 42. 출력이 하나이고 입력이 109개일 때 어느 미분 방식이 유리합니까?
답. 역방향입니다. 출력 쪽부터 곱하면 벡터 하나만 들고 다니면 되기 때문입니다.
문제 43. 역방향 미분이 치르는 대가를 쓰세요.
답. 국소 미분 계산에 필요한 순전파 중간값을 저장하는 메모리 비용입니다.
문제 44. F(x,y)=(x2−y2,2xy)의 야코비 행렬을 구하세요.
답. (2x2y−2y2x)입니다.
문제 45. 야코비 행렬의 배열 규칙을 쓰세요.
답. 행이 출력이고 열이 입력이며 크기는 m×n입니다.
문제 46. 연쇄법칙의 행렬 형태를 쓰고 JG의 평가점을 밝히세요.
답. JG∘F=JG(F(a))JF(a)이며 중간값에서 평가합니다.
문제 47. 극좌표 변환의 야코비 행렬식과 넓이 요소를 쓰세요.
답. detJ=r이고 dA=rdrdθ입니다.
문제 48. 기울기 벡터와 헤세 행렬을 야코비의 언어로 표현하세요.
답. 기울기는 1×n 야코비의 전치이고 헤세는 ∇f의 야코비, 즉 Hf=J∇f입니다.
틀린 문항이 어느 부분에 몰렸는지를 먼저 봅니다.
| 몰린 곳 |
다시 볼 것 |
| 1부 |
93강 문제 4, 94강 문제 4와 문제 5 |
| 2부 |
95강 문제 1, 96강 문제 3과 문제 5 |
| 3부 |
97강 문제 4, 98강 문제 2와 문제 3 |
반례를 묻는 문항(15, 16, 27)을 틀렸다면 반드시 되돌아갑니다. 이 단원이 정의를 세 번 밀어 올린 이유가 그 반례들에 있고, 그것을 모르면 전미분가능성이라는 조건이 왜 필요한지 알 수 없습니다.
문항 38과 39를 틀렸다면 특히 위험합니다. ∂과 d의 구별은 실제 계산에서 가장 흔한 오류이고, 값이 4와 36처럼 크게 갈립니다.
다음은 99강부터 시작하는 02단원 이차 근사와 임계점입니다. 이 단원의 기울기가 0이 되는 자리에서 무엇을 해야 하는지를 다룹니다.