99강부터 102강까지를 섞어 묻습니다. 모두 문항이며 세 부분으로 나뉩니다.
| 부분 | 범위 | 문항 |
|---|---|---|
| 1부 | 헤세 행렬과 이차형식 | ~ |
| 2부 | 테일러 근사와 임계점 판정 | ~ |
| 3부 | 곡률과 최적화로의 연결 | ~ |
합격선은 문항입니다. 이 단원의 판정법은 04단원 전체의 전제이므로 빈틈을 남기면 최적화에서 계속 걸립니다. 특히 판정이 통하지 않는 경우와 실베스터 관성법칙은 반드시 손으로 설명할 수 있어야 합니다.
문제 1. 헤세 행렬의 정의를 쓰세요.
답. 2계 편미분을 모은 행렬이며 성분이 입니다.
문제 2. 의 헤세를 구하세요.
답. 입니다.
문제 3. 의 헤세를 구하세요.
답. 입니다.
문제 4. 헤세가 대칭인 근거를 쓰세요.
답. 클레로 정리에 의해 이기 때문입니다.
문제 5. 그 대칭성에서 무엇이 따라옵니까?
답. 스펙트럼 정리가 적용되어 실수 고유값과 직교하는 고유벡터를 가집니다.
문제 6. 변수에서 실제로 계산할 2계 편미분은 몇 개입니까?
답. 대칭이므로 개입니다.
문제 7. 의 뜻을 쓰세요.
답. 방향의 이차 변화율, 즉 휘어짐입니다.
문제 8. 단위벡터에 대한 의 최대와 최소를 쓰세요.
답. 와 이며 레일리 몫의 결과입니다.
문제 9. 은 무엇입니까?
답. 입니다.
문제 10. 헤세를 야코비로 표현하세요.
답. 이며 기울기장의 야코비입니다.
문제 11. 그 관계에서 뉴턴법의 방향을 유도하세요.
답. 에서 입니다.
문제 12. 의 다른 이름과 뜻을 쓰세요.
답. 라플라시안이며 모든 방향의 휘어짐을 합친 값입니다.
문제 13. 인 함수를 무엇이라 하고 그 임계점은 무엇입니까?
답. 조화함수이며 고유값의 합이 이라 임계점이 모두 안장입니다.
문제 14. 좌표를 로 바꾸면 헤세는 어떻게 변합니까?
답. 가 되며 이는 닮음이 아니라 합동변환입니다.
문제 15. 그때 무엇이 보존되고 무엇이 보존되지 않습니까?
답. 고유값의 부호 개수는 보존되고 고유값 자체는 보존되지 않습니다. 실베스터 관성법칙입니다.
문제 16. 일 때 헤세를 저장할 수 있습니까? 대안을 쓰세요.
답. 성분이 개라 저장할 수 없습니다. 로 곱만 계산합니다.
문제 17. 이차 테일러 다항식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 18. 일차 근사와 이차 근사의 오차 차수를 각각 쓰세요.
답. 와 입니다.
문제 19. 라그랑주 나머지 형태를 쓰고 의 평가점을 밝히세요.
답. 이며 는 선분 위의 어떤 점입니다.
문제 20. 그 나머지의 상한을 쓰세요.
답. 이며 은 선분 위 의 최댓값입니다.
문제 21. 다변수 테일러 정리의 증명 전략을 한 문장으로 쓰세요.
답. 로 직선 위에 제한해 한 변수 테일러를 적용하고 되돌립니다.
문제 22. 영방향의 정의를 쓰세요.
답. 인 단위벡터입니다.
문제 23. 임계점에서 테일러 전개가 어떻게 됩니까?
답. 일차항이 사라져 함숫값의 변화가 통째로 이차형식이 됩니다.
문제 24. 왜 3계가 아니라 이차에서 멈춥니까?
답. 계 편미분이 개라 큰 에서 다룰 수 없기 때문입니다.
문제 25. 임계점의 정의와 극값의 필요조건을 쓰세요.
답. 인 점이며, 미분가능한 극값은 반드시 임계점입니다.
문제 26. 역이 성립합니까? 근거를 쓰세요.
답. 성립하지 않습니다. 안장이 반례입니다.
문제 27. 이계 판정법의 네 경우를 쓰세요.
답. 양정치면 극소, 음정치면 극대, 부정부호면 안장, 준정치면 결론 없음입니다.
문제 28. 양정치일 때 증명이 주는 정량적 부등식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 29. 그 증명에서 연속성을 어디에 씁니까?
답. 의 고유값을 의 것으로 바꾸는 데 씁니다.
문제 30. 이변수 판정법을 와 로 쓰세요.
답. 이고 이면 극소, 이면 극대, 이면 안장, 이면 결론 없음입니다.
문제 31. 헤세가 인 세 함수의 예와 각각의 성격을 쓰세요.
답. 는 엄밀한 극소, 는 안장, 는 엄밀하지 않은 극소입니다.
문제 32. 고차원에서 임계점이 대개 안장인 이유를 쓰세요.
답. 고유값 개가 모두 같은 부호일 확률이 이 커질수록 급격히 낮아지기 때문이며 에서 이미 거의 입니다.
문제 33. 곡률의 정의를 호길이로 쓰세요.
답. 이며 단위 진행거리당 방향이 도는 정도입니다.
문제 34. 매개곡선의 곡률 공식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 35. 의 원점에서 곡률과 곡률반지름을 구하세요.
답. 이고 입니다.
문제 36. 반지름 인 원의 곡률을 쓰고 매개화에 의존하는지 답하세요.
답. 이며 매개화에 의존하지 않습니다.
문제 37. 임계점에서 법곡률을 헤세로 쓰세요.
답. 입니다.
문제 38. 임계점이 아니면 무엇이 달라집니까?
답. 로 나누는 기울기 보정이 붙습니다.
문제 39. 주곡률과 주방향을 대수적으로 쓰세요.
답. 헤세의 고유값과 고유벡터이며 주방향은 서로 직교합니다.
문제 40. 평균곡률과 가우스곡률을 헤세로 쓰세요.
답. 와 입니다.
문제 41. 가우스곡률의 부호와 임계점 성격의 대응을 쓰세요.
답. 이면 극값, 이면 안장, 이면 보류이며 101강의 판별식 와 같은 것입니다.
문제 42. 오일러 공식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 43. , 일 때 점근방향의 각을 구하세요.
답. 이므로 입니다.
문제 44. 가우스의 놀라운 정리를 한 문장으로 쓰세요.
답. 가우스곡률은 곡면을 구부려도 변하지 않고 곡면 안에서 잰 거리만으로 결정됩니다.
문제 45. 그 정리로 세계지도가 반드시 왜곡되는 이유를 설명하세요.
답. 구면은 이고 평면은 이라 늘이지 않고 펼 수 없기 때문입니다.
문제 46. 안정 학습률의 상한을 헤세로 쓰고 근거를 쓰세요.
답. 입니다. 에서 이어야 하기 때문입니다.
문제 47. 조건수가 수렴 속도에 어떻게 나타납니까?
답. 최적 학습률에서 수렴 인자가 이라 가 클수록 에 가까워 느립니다.
문제 48. 경사흐름 의 야코비를 쓰고 임계점 분류와 연결하세요.
답. 입니다. 극소는 안정한 평형점이 되고 안장은 불안정한 평형점이 됩니다.
틀린 문항이 어느 부분에 몰렸는지를 먼저 봅니다.
| 몰린 곳 | 다시 볼 것 |
|---|---|
| 1부 | 99강 문제 2와 문제 3, 심화 1 |
| 2부 | 100강 문제 3, 101강 문제 2와 문제 4 |
| 3부 | 102강 문제 3과 문제 4, 99강 심화 5 |
문항 , 를 틀렸다면 반드시 돌아갑니다. 좌표변환에서 고유값이 변하는데도 판정이 유효한 이유가 실베스터 관성법칙이고, 이를 모르면 판정법을 신뢰할 근거가 없습니다.
문항 , 도 중요합니다. 판정법의 한계를 모르면 준정치인 경우에 잘못된 결론을 내게 되고, 고차원의 실제 상황을 오해하게 됩니다.
문항 , , 은 04단원과 06단원의 예고입니다. 여기서 막혔다면 99강 심화 5를 다시 읽습니다. 이 단원의 곡률이 최적화의 거의 모든 것을 정한다는 점이 그곳에 있습니다.
다음은 103강부터 시작하는 03단원 다변수 적분입니다. 미분을 두 단원에 걸쳐 세웠으니 이제 반대 방향을 세웁니다.