99강부터 101강까지 대수로 진행했습니다. 헤세를 세우고 고유값을 구해 부호를 셌습니다.
이 강의는 같은 것을 기하로 봅니다.
99강 문제 3에서 가 "방향별 휘어짐"이라 했는데, 그 말이 비유가 아니라 정확한 기하적 사실임을 보입니다. 그리고 99강 심화 3에서 물음표로 남긴 대각합과 행렬식이 각각 평균곡률과 가우스곡률이라는 이름을 얻습니다.
"안장점"이라는 이름도 여기서 설명됩니다. 앞뒤로 올라가고 좌우로 내려가는 실제 말안장이 음의 가우스곡률을 갖는 곡면입니다.
출발은 한 변수입니다. 55강에서 곡선이 얼마나 휘는지를 쟀는데, 그것을 매개곡선으로 일반화하고 곡면으로 넓힙니다.
이것으로 02단원이 끝나고, 03단원에서 적분으로 넘어갑니다.
문제. (1) 의 에서 곡률을 구하세요.
(2) 각 점의 곡률반지름을 구하세요.
(3) 반지름 인 원의 곡률을 구하세요.
생각의 실마리. 휘어짐을 재는 자연스러운 기준이 원입니다. 작은 원은 심하게 휘고 큰 원은 완만합니다. 그러니 "이 점에서 곡선을 가장 잘 흉내 내는 원의 반지름"의 역수를 곡률로 삼습니다.
풀이. (1) 55강의 공식을 씁니다.
이면 , 이므로 검산에서
| 곡률반지름 | ||
|---|---|---|
꼭짓점에서 가장 심하게 휘고 멀어질수록 펴집니다. 로 일정한데도 곡률이 줄어드는 것은 분모의 때문이며, 기울어질수록 같은 가 덜 휘게 만듭니다.
(2) 이며 위 표의 셋째 열입니다.
(3) 매개곡선의 곡률 공식을 씁니다.
검산에서 가 무엇이든 이며 입니다.
이 문제에서 배우는 것: 곡률.
곡률. 매개곡선 의 곡률은
이며 평면에서는 입니다. 를 곡률반지름이라 합니다.
65강의 외적이 여기서 쓰입니다. 분자는 속도벡터와 가속도벡터가 이루는 평행사변형의 넓이이며, 두 벡터가 나란할수록 작습니다.
직선 위를 달리면 가속도가 진행 방향과 나란해 속력만 변하고 방향은 그대로입니다. 휘어짐은 가속도의 수직 성분에서 옵니다.
| 상황 | 가속도 | 곡률 |
|---|---|---|
| 직선 운동 | 속도와 나란합니다 | |
| 등속 원운동 | 속도와 수직입니다 | |
| 일반 | 두 성분이 섞입니다 | 수직 성분에 비례 |
분모의 세제곱이 매개변수를 어떻게 잡든 같은 값이 나오게 합니다. 곡률은 곡선 자체의 성질이지 달리는 속도의 성질이 아니어야 하기 때문이며, 이 성질을 매개화 불변이라 합니다.
바로 확인 1.
확인 1-1. 곡률과 곡률반지름의 관계를 쓰세요.
답. 입니다.
확인 1-2. 반지름 인 원의 곡률을 쓰세요.
답. 입니다.
확인 1-3. 직선의 곡률은 얼마입니까?
답. 입니다.
문제. 과 원점을 봅니다.
(1) 헤세를 구하세요.
(2) , , 방향으로 자른 단면 곡선의 계 도함수를 구하세요.
(3) 와 비교하세요.
생각의 실마리. 곡면은 방향마다 다르게 휩니다. 한 방향을 고르면 곡선이 되고, 곡선의 휘어짐은 문제 1에서 잴 줄 압니다.
풀이. (1) , , 이므로
(2)와 (3) 검산에서
| 방향 | \mathbf{u}^{\top}H\mathbf | 단면의 계 도함수 |
|---|---|---|
| 0^ | ||
| 45^ | ||
| 90^ |
정확히 같습니다.
이 문제에서 배우는 것: 법곡률.
법곡률. 곡면 위의 점에서 접평면의 단위벡터 를 잡고, 와 법선벡터가 이루는 평면으로 곡면을 자른 단면 곡선의 곡률을 그 방향의 법곡률이라 합니다. 부호를 법선 방향 기준으로 붙입니다.
임계점에서는 계산이 단순해집니다. 이면 접평면이 수평이고 법선이 수직이라, 자르는 평면이 방향의 수직면이 됩니다. 그 단면이 이고 99강 심화 2에서
이며, 이므로 문제 1의 곡률 공식에서 분모가 이 되어
**부호까지 살리면 **입니다.
임계점이 아니면 보정이 필요합니다. 접평면이 기울어 있으므로
같은 형태가 되며 분모가 기울기의 보정입니다. 문제 1에서 포물선의 곡률이 기울어질수록 줄어든 것과 같은 이유입니다. 99강과 101강이 임계점만 다룬 덕분에 이 보정이 필요 없었습니다.
바로 확인 2.
확인 2-1. 법곡률의 정의를 쓰세요.
답. 법선을 포함하는 평면으로 자른 단면 곡선의 곡률입니다.
확인 2-2. 임계점에서 법곡률을 헤세로 쓰세요.
답. 입니다.
확인 2-3. 임계점이 아니면 무엇이 달라집니까?
답. 로 나누는 보정이 붙습니다.
문제. 같은 곡면과 점을 봅니다.
(1) 의 고유값과 고유벡터를 구하세요.
(2) 모든 방향의 법곡률 중 최대와 최소를 구하세요.
(3) 와 를 고유값으로 표현하세요.
생각의 실마리. 99강 문제 3에서 레일리 몫으로 이 답을 이미 얻었습니다. 이번에는 기하적 이름을 붙입니다.
풀이. (1) 이므로 고유값이 와 이고 고유벡터가 축과 축입니다.
(2) 검산에서 방향을 개 훑으면 최소 , 최대 입니다.
(3) 이고 이며, 검산에서 평균이 이고 곱이 입니다.
이 문제에서 배우는 것: 주곡률, 평균곡률, 가우스곡률.
주곡률과 주방향. 법곡률의 최댓값과 최솟값을 주곡률 라 하고, 그것이 달성되는 방향을 주방향이라 합니다.
정리. 주곡률은 헤세의 고유값이고 주방향은 고유벡터입니다.
86강의 레일리 몫이 이 정리의 증명 전부입니다. 새로 증명할 것이 없고 이름만 붙였습니다.
여기서 두 가지 곡률이 정의됩니다.
평균곡률과 가우스곡률.
99강 심화 3에서 물음표로 남긴 것들이 이름을 얻었습니다.
| 대수 | 기하 |
|---|---|
| 고유값 | 주곡률 |
| 고유벡터 | 주방향 |
| 평균곡률 | |
| 가우스곡률 | |
| 라플라시안 | 평균곡률의 두 배 |
주방향이 직교하는 것은 스펙트럼 정리의 직접적 결과입니다. 대칭행렬의 고유벡터가 직교하므로, 가장 심하게 휘는 방향과 가장 덜 휘는 방향이 언제나 수직입니다.
말안장에서 확인할 수 있습니다. 앞뒤 방향으로 가장 많이 내려가고 좌우 방향으로 가장 많이 올라가며, 두 방향이 수직입니다.
두 곡률의 성격이 다릅니다. 평균곡률은 곡면이 공간에 어떻게 놓였는지에 따라 달라지지만, 가우스곡률은 곡면 자체의 성질입니다. 이것이 가우스의 놀라운 정리이며 심화 3에서 다룹니다.
바로 확인 3.
확인 3-1. 주곡률이 무엇입니까?
답. 법곡률의 최댓값과 최솟값이며 헤세의 고유값입니다.
확인 3-2. 주방향은 어떤 관계입니까?
답. 서로 직교합니다.
확인 3-3. 가우스곡률을 헤세로 쓰세요.
답. 입니다.
문제. 네 곡면의 원점에서 와 를 구하고 모양과 임계점의 성격을 판정하세요.
(1)
(2)
(3)
(4) z=x^
생각의 실마리. 101강의 판정표와 나란히 놓으면 같은 표일 것입니다.
풀이. 검산에서
| 곡면 | 모양 | 임계점 | ||
|---|---|---|---|---|
| x^{2}+y^ | 그릇 | 극소 | ||
| 돔 | 극대 | |||
| x^{2}-y^ | 말안장 | 안장 | ||
| x^ | 원기둥 | 보류 |
101강의 이변수 판정법과 완전히 같습니다.
이 문제에서 배우는 것: 기하와 대수가 같은 표입니다.
| 101강의 판정 | 102강의 기하 |
|---|---|
| , 이면 극소 | 이고 위로 볼록이면 그릇 |
| , 이면 극대 | 이고 아래로 볼록이면 돔 |
| 이면 안장 | 이면 말안장 |
| 이면 보류 | 이면 원기둥형 |
와 가 같은 것입니다. 101강에서 라 했고, 여기서 그것이 가우스곡률입니다.
"안장점"의 이름이 이제 설명됩니다. 인 점을 쌍곡점이라 하고, 그 근처의 곡면이 말안장 모양입니다. 앞뒤로는 올라가고 좌우로는 내려갑니다.
곡면 위의 점을 곡률로 분류하는 표준 용어가 있습니다.
| 이름 | 조건 | 모양 |
|---|---|---|
| 타원점 | 그릇이나 돔 | |
| 쌍곡점 | 말안장 | |
| 포물점 | , 한쪽만 | 원기둥 |
| 평탄점 | , 둘 다 | 평면에 가까움 |
이름의 유래가 등고선에 있습니다. 이면 등고선이 타원이고 이면 쌍곡선입니다. 93강 문제 5에서 안장의 등고선이 쌍곡선이라 한 것이 이 이름의 근거였습니다.
바로 확인 4.
확인 4-1. 인 점을 무엇이라 합니까?
답. 쌍곡점이며 말안장 모양입니다.
확인 4-2. 인데 그릇과 돔을 어떻게 구별합니까?
답. 의 부호로 구별합니다.
확인 4-3. 와 의 관계를 쓰세요.
답. 같은 것이며 둘 다 입니다.
문제. 인 점을 봅니다.
(1) 주방향에서 잰 각 에 대해 법곡률의 식을 추측하세요.
(2) 도에서 확인하세요.
(3) 법곡률이 이 되는 방향을 구하세요.
생각의 실마리. 주방향이 직교하므로 정규직교기저를 이룹니다. 임의의 단위벡터를 그 기저로 분해하면 계산이 대각화됩니다.
풀이. (1) 주방향을 라 하고 로 두면, 고유벡터의 직교성에서
(2) , 입니다. 검산에서
| 직접 계산 | 오일러 공식 | |
|---|---|---|
| 0^ | ||
| 30^ | ||
| 45^ | ||
| 60^ | ||
| 90^ |
(3) 에서 이므로 검산에서 입니다.
이 문제에서 배우는 것: 오일러 공식.
오일러 공식. 주방향에서 잰 각이 인 방향의 법곡률은
입니다.
주곡률 둘만 알면 모든 방향의 곡률을 알 수 있습니다. 스펙트럼 정리가 준 정보의 압축입니다.
96강에서 하나가 모든 방향의 기울기를 담았던 것과 같은 구조이며, 차수만 하나 올라갔습니다.
| 차수 | 압축된 정보 | 방향별 값 |
|---|---|---|
| (개 수) | \nabla f\cdot\mathbf | |
| 주곡률 (개 수)와 주방향 | \sum\kappa_{i}\cos^{2}\theta_ |
법곡률이 이 되는 방향에 이름이 있습니다.
점근방향. 인 방향을 점근방향이라 합니다.
100강 문제 4의 영방향과 같은 것입니다. 그때 대수적으로 이라 했고 여기서는 "그 방향으로는 순간적으로 휘지 않는다"는 기하적 뜻을 얻습니다.
| 점근방향 | |
|---|---|
| 두 개 있습니다 | |
| 없습니다 | |
| 주방향 중 하나입니다 |
****라는 값이 나온 것은 두 주곡률의 크기가 와 로 달랐기 때문입니다. 이면 가 되며, 93강의 에서 점근방향이 였던 것이 그 경우입니다.
말안장 위에서 이 방향으로 걸으면 높이가 거의 변하지 않습니다. 최적화에서는 이런 방향이 골칫거리인데, 기울기도 작고 곡률도 이라 어느 쪽으로 가야 할지 알기 어렵습니다.
바로 확인 5.
확인 5-1. 오일러 공식을 쓰세요.
답. 입니다.
확인 5-2. 점근방향이 무엇입니까?
답. 법곡률이 인 방향이며 100강의 영방향과 같습니다.
확인 5-3. 이면 점근방향이 몇 개입니까?
답. 없습니다.
| 개념 | 식 |
|---|---|
| 곡선의 곡률 | \lVert\boldsymbol{\gamma}'\times\boldsymbol{\gamma}''\rVert/\lVert\boldsymbol{\gamma}'\rVert^ |
| 그래프의 곡률 | \lvert y''\rvert/(1+y'^{2})^ |
| 곡률반지름 | |
| 법곡률(임계점) | \mathbf{u}^{\top}H\mathbf |
| 오일러 공식 |
| 대수 | 기하 |
|---|---|
| 고유값 | 주곡률 |
| 고유벡터 | 주방향 |
| 평균곡률 | |
| 가우스곡률 | |
| 영방향 | 점근방향 |
| 이름 | 모양 | 임계점 | |
|---|---|---|---|
| 타원점 | 그릇이나 돔 | 극값 | |
| 쌍곡점 | 말안장 | 안장 | |
| 포물점 | 원기둥 | 보류 |
| 자주 하는 실수 | 바로잡기 |
|---|---|
| 임계점이 아닌 곳에서 를 곡률이라 합니다 | 기울기 보정이 필요합니다 |
| 평균곡률을 곡면 고유의 양이라 봅니다 | 가우스곡률만 그렇습니다 |
| 를 매개화에 의존한다고 봅니다 | 불변입니다 |
| 주방향이 직교하지 않을 수 있다고 봅니다 | 언제나 직교합니다 |
문제 6. 의 에서 곡률을 구하세요.
답. , 이므로 입니다.
문제 7. 직선의 곡률과 곡률반지름을 쓰세요.
답. 곡률은 이고 곡률반지름은 무한대입니다.
문제 8. 의 원점에서 곡률을 구하세요.
답. , 이므로 입니다.
문제 9. 의 원점에서 주곡률을 구하세요.
답. 이므로 둘 다 입니다.
문제 10. 문제 9의 가우스곡률과 평균곡률을 구하세요.
답. 이고 평균곡률은 입니다.
문제 11. 의 원점에서 주곡률을 구하세요.
답. 의 고유값이므로 입니다.
문제 12. 문제 11의 주방향을 구하세요.
답. 와 입니다.
문제 13. 문제 11의 가우스곡률과 점근방향을 구하세요.
답. 이며 점근방향은 두 좌표축입니다.
문제 14. 평면의 가우스곡률을 쓰세요.
답. 입니다. 주곡률이 둘 다 입니다.
문제 15. 원기둥의 두 주곡률을 쓰세요.
답. 하나는 이고 다른 하나는 이라 입니다.
문제 16. , 일 때 의 법곡률을 구하세요.
답. 입니다.
문제 17. 같은 조건에서 점근방향의 각을 구하세요.
답. 이므로 입니다.
문제 18. 주곡률이 서로 같은 점을 무엇이라 합니까?
답. 제점입니다. 모든 방향의 곡률이 같으며 구면의 모든 점이 그렇습니다.
심화 1. 곡률 공식을 유도하세요.
**곡률의 본질은 "단위 진행거리당 방향이 얼마나 도는가"**입니다. 이 정의에서 공식을 끌어냅니다.
곡선을 호길이 로 매개화하면 인 단위접벡터 가 있고
로 정의합니다. 방향이 도는 속도입니다.
일반 매개변수 로 옮깁니다. 라 두면 이고, 미분하면
속도와 가속도의 외적을 취합니다. 이므로
이면 이라 두 벡터가 수직이므로, 외적의 크기가 두 크기의 곱입니다.
따라서
에서 가 나온 것이 증명의 요령입니다. 을 미분하면 입니다. 크기가 일정한 벡터의 변화는 언제나 자신과 수직이며, 등속 원운동의 가속도가 중심을 향하는 것도 같은 이유입니다.
분모의 세제곱이 매개화 불변성을 줍니다. 를 로 바꾸면 분자가 배, 분모도 배가 되어 상쇄됩니다.
그래프 의 경우는 로 두면 , 이라
55강의 공식이 이렇게 나옵니다.
심화 2. 임계점이 아닌 곳의 법곡률 공식을 유도하세요.
문제 2에서 임계점에서는 라 했습니다. 일반적인 점에서는 보정이 붙습니다.
곡면 의 점 에서 접평면 방향 를 잡습니다. 그 방향의 단면 곡선을 매개화하면
로 두면 이고 입니다.
심화 1의 그래프 공식을 이 곡선에 적용하면
그런데 이것은 법곡률이 아닙니다. 법곡률은 곡선의 곡률 중 곡면의 법선 방향 성분만 세기 때문이며, 자르는 평면이 법선을 포함하도록 잡아야 합니다. 그 보정까지 하면
가 됩니다. 여기서 는 접평면 위의 단위벡터로 잡되 평면에 사영한 것으로 표현했습니다.
**임계점에서 이라 분모가 **이 되어 문제 2의 결과가 나옵니다.
정확한 일반론은 제1기본형식과 제2기본형식으로 씁니다.
두 이차형식의 비이며, 이 형태를 일반화된 레일리 몫이라 합니다. 86강 심화에서 다룬 일반화 고유값 문제와 같은 구조이고, 주곡률이 의 고유값입니다.
99강과 101강이 임계점만 다룬 것이 우연이 아닙니다. 그곳에서 기하가 가장 단순해집니다.
심화 3. 가우스의 놀라운 정리를 설명하세요.
평균곡률과 가우스곡률의 성격이 다르다고 했습니다. 차이를 정확히 밝힙니다.
종이를 원기둥으로 말아 봅니다.
| 상태 | \kappa_ | \kappa_ | 평균곡률 | |
|---|---|---|---|---|
| 평면 | ||||
| 원기둥 |
평균곡률은 변했는데 가우스곡률은 그대로입니다.
가우스의 놀라운 정리. 가우스곡률은 곡면을 늘이거나 찢지 않고 구부리는 변형에 대해 불변입니다. 곡면 위에서 잰 거리만으로 결정됩니다.
"놀랍다"는 이름이 붙은 이유는 정의가 그렇게 보이지 않기 때문입니다. 인데 과 는 각각 곡면이 공간에 어떻게 놓였는지에 의존합니다. 그런데 그 곱은 놓인 방식과 무관합니다.
결과가 실질적입니다.
첫째, 지도를 정확히 그릴 수 없습니다. 구면은 이고 평면은 이므로, 구면의 조각을 늘이지 않고 평면에 펼 수 없습니다. 모든 세계지도가 반드시 왜곡됩니다.
둘째, 원기둥은 펼 수 있습니다. 이므로 종이를 말고 펴는 것이 자유롭습니다. 원뿔도 마찬가지입니다.
셋째, 곡면 위의 삼각형 내각의 합이 를 알려 줍니다.
가우스-보네 정리이며, 곡면 위에 사는 존재가 밖을 보지 않고도 곡률을 잴 수 있다는 뜻입니다.
| 곡면 | 삼각형 내각의 합 | |
|---|---|---|
| 평면 | ||
| 구면 | 보다 큽니다 | |
| 말안장 | 보다 작습니다 |
이 관점이 일반상대성이론의 출발점입니다. 시공간의 곡률을 안에서 재는 방법이 필요했고, 가우스의 이 정리가 리만 기하로 확장되어 그 언어가 됐습니다.
기계학습에서도 쓰입니다. 236강의 자연경사법은 파라미터 공간을 곡면으로 보고 피셔 정보행렬을 계량으로 삼는데, 이는 "안에서 잰 거리"의 발상입니다. 96강 심화 3에서 노름 선택이 최급강하 방향을 바꾼다고 했던 것의 기하적 뿌리입니다.
심화 4. 곡률이 최적화에서 어떻게 쓰이는지 정리하세요.
이 단원 내내 곡률과 최적화가 얽혔습니다. 한자리에 모읍니다.
| 곡률의 양 | 최적화에서의 뜻 | 강의 |
|---|---|---|
| \lambda_ | 학습률 상한 2/\lambda_ | 99 심화 5 |
| \lambda_ | 수렴의 하한, 강볼록 상수 | 101 문제 2 |
| \lambda_{\max}/\lambda_ | 조건수, 수렴 속도 | 93 심화 5 |
| 고유값 부호 | 극소인지 안장인지 | 101 |
| 근사를 믿는 반지름 | 100 심화 3 | |
| 점근방향 | 진행이 느린 방향 | 102 문제 5 |
여섯 줄이 모두 헤세의 스펙트럼입니다. 하나의 대상이 여섯 가지 질문에 답합니다.
실무의 관찰 몇 가지를 적어 둡니다.
첫째, 손실 지형은 대개 매우 이방적입니다. 조건수가 을 넘는 경우가 흔하고, 이는 등고선이 극단적으로 길쭉한 타원이라는 뜻입니다. 93강 심화 5에서 본 지그재그가 심하게 나타납니다.
둘째, 평탄한 방향이 대부분입니다. 101강 문제 5에서 본 대로 고유값이 근처에 몰립니다. 이런 방향에서는 값이 거의 변하지 않아 어디에 멈추든 비슷합니다.
셋째, 곡률이 훈련 중에 변합니다. 초기에는 급격하고 후반에는 평탄해지는 경향이 있으며, 그래서 학습률 감쇠가 효과적입니다. 가 커지면 가 작아지므로 학습률을 줄여야 합니다.
넷째, 평탄한 최소가 더 잘 일반화한다는 관찰이 있습니다. 가 작은 최소에 도달하면 검증 성능이 좋은 경향이 있고, 이는 파라미터가 조금 흔들려도 손실이 크게 늘지 않기 때문이라 설명됩니다. 214강에서 다룹니다.
곡률을 실제로 재는 방법은 99강 심화 4의 입니다. 헤세를 만들지 않고 멱반복으로 를, 이동 반복으로 을 추정합니다.
심화 5. 곡률이 나타나는 다른 자리들을 정리하세요.
곡률은 이 과목 밖에서도 여러 곳에 나타납니다. 뒤에서 만날 자리들을 미리 적어 둡니다.
첫째, 미분방정식의 안정성입니다. 118강에서 평형점 근처의 거동을 선형화해 판정하는데, 그 판정이 야코비의 고유값 부호로 이뤄집니다. 119강에서 경사흐름을 다루면 그 야코비가 바로 이고, 극소는 안정한 평형점, 안장은 불안정한 평형점이 됩니다.
101강의 분류가 118강의 안정성 분류와 같은 것입니다.
둘째, 확률분포의 기하입니다. 140강의 다변량 정규분포는
이라 **로그밀도의 헤세가 **입니다. 등고선인 신뢰타원의 모양이 이 헤세로 정해지며, 87강의 이차형식과 같은 그림입니다.
| 개념 | 최적화 | 확률 |
|---|---|---|
| 헤세 | 곡률 | 정밀도행렬 \Sigma^ |
| 고유값 | 주곡률 | 주축 방향의 정밀도 |
| 등고선 | 손실 등고선 | 신뢰타원 |
| 조건수 | 수렴 속도 | 상관의 강도 |
셋째, 곡면 표현입니다. 397강의 부호거리함수와 401강의 가우시안 스플래팅에서 법선과 곡률을 씁니다. 398강의 부피 렌더링에서도 표면의 방향이 필요하며, 95강 심화 4에서 본 가 그 법선입니다.
넷째, 정보기하입니다. 236강의 자연경사법은 파라미터 공간의 피셔 정보행렬을 계량으로 삼는데, 이는 확률분포들이 이루는 곡면 위의 거리입니다. 심화 3의 "안에서 잰 거리"가 그대로 쓰입니다.
다섯째, 확산모형입니다. 269강의 점수 함수 의 야코비가 로그밀도의 헤세이고, 270강의 확률흐름 ODE가 119강의 경사흐름과 같은 구조입니다.
이것이 수학을 순서대로 배우는 이유입니다. 헤세를 한 번 제대로 이해해 두면 뒤에서 다섯 번 다시 배우지 않아도 됩니다.
심화 6. 02단원을 정리하고 03단원을 예고하세요.
02단원은 한 차수를 올리는 단원이었습니다.
| 강의 | 한 일 |
|---|---|
| 99 | 헤세를 세우고 고유값의 뜻을 밝혔습니다 |
| 100 | 이차 근사를 정식화하고 오차를 쟀습니다 |
| 101 | 극값을 판정하고 증명했습니다 |
| 102 | 기하적 뜻을 완성했습니다 |
S4의 06단원이 통째로 쓰였습니다.
| S4에서 만든 것 | S5에서 쓰인 곳 |
|---|---|
| 86강 스펙트럼 정리 | 헤세의 대각화 |
| 86강 레일리 몫 | 방향별 곡률의 극단 |
| 87강 이차형식과 양정치성 | 극값 판정 |
| 84강 대각합과 행렬식 | 평균곡률과 가우스곡률 |
| 90강 노름 | 테일러 나머지의 상한 |
87강에서 이차형식을 왜 배웠는지가 여기서 답을 얻습니다. 그때는 "부호를 판정한다"는 계산이었는데, 그것이 함수의 극값 판정이었습니다.
이 단원의 반복된 주제를 정리합니다.
그리고 그 이차형식의 부호 구조가 함수의 성질이고, 크기는 좌표계의 성질이었습니다. 99강 심화 1의 실베스터 관성법칙이 그 구별을 정확히 했습니다.
03단원은 방향을 바꿉니다. 미분을 두 단원에 걸쳐 세웠으니 이제 적분입니다.
| 강의 | 하는 일 | 쓰는 앞 도구 |
|---|---|---|
| 103 | 이중적분을 세웁니다 | 48~53강 |
| 104 | 극좌표로 적분합니다 | 98강 |
| 105 | 변수변환을 일반화합니다 | 79강, 98강 |
| 106 | 삼중적분과 부피를 다룹니다 | 103~105강 |
105강이 이 과목에서 98강과 79강을 잇습니다. 야코비 행렬식이 국소 부피 배율이라는 사실이 적분의 치환 공식이 되며, 98강 문제 3에서 정사각형의 상 넓이가 배였던 관찰이 정리가 됩니다.
03단원이 끝나면 04단원에서 이 단원의 결과를 알고리즘으로 만듭니다. 무엇이 최소인지 알았으니 어떻게 찾는지에 답할 차례이며, 이 단원에서 얻은 부등식들이 그 수렴 증명의 재료가 됩니다.
import numpy as np
# --- 문제 1: 곡선의 곡률 -------------------------------------------------
print(" 포물선 y = x^2 의 곡률 k = |y''| / (1+y'^2)^{3/2}")
kap = lambda x: abs(2.0)/(1 + (2*x)**2)**1.5
for x in [0.0, 0.5, 1.0, 2.0]:
print(" x=%.1f k = %.6f 곡률반지름 R = %.6f" % (x, kap(x), 1/kap(x)))
print(" 반지름 3 인 원의 곡률")
c = lambda t: np.array([3*np.cos(t), 3*np.sin(t)])
d1 = lambda t: np.array([-3*np.sin(t), 3*np.cos(t)])
d2 = lambda t: np.array([-3*np.cos(t), -3*np.sin(t)])
for t in [0.0, 1.0, 2.5]:
x1, y1 = d1(t); x2, y2 = d2(t)
k = abs(x1*y2 - y1*x2)/ (x1**2 + y1**2)**1.5
print(" t=%.1f k = %.6f (= 1/3 = %.6f)" % (t, k, 1/3))
# 포물선 y = x^2 의 곡률 k = |y''| / (1+y'^2)^{3/2}
# x=0.0 k = 2.000000 곡률반지름 R = 0.500000
# x=0.5 k = 0.707107 곡률반지름 R = 1.414214
# x=1.0 k = 0.178885 곡률반지름 R = 5.590170
# x=2.0 k = 0.028534 곡률반지름 R = 35.046398
# 반지름 3 인 원의 곡률
# t=0.0 k = 0.333333 (= 1/3 = 0.333333)
# t=1.0 k = 0.333333 (= 1/3 = 0.333333)
# t=2.5 k = 0.333333 (= 1/3 = 0.333333)
# y'' = 2 로 일정한데 곡률이 줄어듭니다. 기울어질수록 같은 y'' 가 덜 휘게 만듭니다.
# --- 문제 2: 곡면의 방향별 곡률 = 헤세의 이차형식 -----------------------
# z = f(x,y) 의 임계점에서 방향 u 의 법곡률은 u^T H u
H = np.array([[4.0, 0.0], [0.0, -2.0]]) # f = 2x^2 - y^2 의 헤세
f = lambda x, y: 2*x**2 - y**2
print(" f = 2x^2 - y^2 의 원점, H = diag(4, -2)")
print(" 방향 u^T H u 단면의 2계 도함수")
for th in [0.0, np.pi/4, np.pi/2]:
u = np.array([np.cos(th), np.sin(th)]); s = 1e-4
d2v = (f(*(s*u)) - 2*f(0.0,0.0) + f(*(-s*u)))/s**2
print(" %6.1f도 %+10.6f %+10.6f" % (np.degrees(th), u @ H @ u, d2v))
# f = 2x^2 - y^2 의 원점, H = diag(4, -2)
# 방향 u^T H u 단면의 2계 도함수
# 0.0도 +4.000000 +4.000000
# 45.0도 +1.000000 +1.000000
# 90.0도 -2.000000 -2.000000
# --- 문제 3: 주곡률과 주방향 --------------------------------------------
lam, V = np.linalg.eigh(H)
print(" 주곡률 %s" % lam)
print(" 주방향(열) =\n", V)
print(" 평균곡률 (k1+k2)/2 = %.4f, 가우스곡률 k1 k2 = %.4f" % (lam.mean(), lam.prod()))
print(" tr H = %.1f, det H = %.1f" % (np.trace(H), np.linalg.det(H)))
ths = np.linspace(0, 2*np.pi, 200000)
U = np.stack([np.cos(ths), np.sin(ths)], 1)
kn = np.einsum('ij,jk,ik->i', U, H, U)
print(" 방향을 훑은 법곡률 최소 %.6f 최대 %.6f" % (kn.min(), kn.max()))
# 주곡률 [-2. 4.]
# 주방향(열) =
# [[0. 1.]
# [1. 0.]]
# 평균곡률 (k1+k2)/2 = 1.0000, 가우스곡률 k1 k2 = -8.0000
# tr H = 2.0, det H = -8.0
# 방향을 훑은 법곡률 최소 -2.000000 최대 4.000000
# --- 문제 4: 가우스곡률의 부호와 임계점 ---------------------------------
cases = [("z = x^2 + y^2 ", np.array([[2.,0.],[0.,2.]])),
("z = -(x^2+y^2) ", np.array([[-2.,0.],[0.,-2.]])),
("z = x^2 - y^2 ", np.array([[2.,0.],[0.,-2.]])),
("z = x^2 ", np.array([[2.,0.],[0.,0.]]))]
print(" 곡면 K=det H tr H 모양 임계점")
for name, M in cases:
K = np.linalg.det(M); T = np.trace(M)
if K > 0 and T > 0: shape, kind = "그릇 ", "극소"
elif K > 0 and T < 0: shape, kind = "돔 ", "극대"
elif K < 0: shape, kind = "말안장", "안장"
else: shape, kind = "원기둥", "보류"
print(" %s %+7.1f %+6.1f %s %s" % (name, K, T, shape, kind))
# 곡면 K=det H tr H 모양 임계점
# z = x^2 + y^2 +4.0 +4.0 그릇 극소
# z = -(x^2+y^2) +4.0 -4.0 돔 극대
# z = x^2 - y^2 -4.0 +0.0 말안장 안장
# z = x^2 +0.0 +2.0 원기둥 보류
# 101강의 이변수 판정표와 완전히 같습니다. D 가 곧 가우스곡률입니다.
# --- 문제 5: 오일러 공식 -------------------------------------------------
k1, k2 = lam[1], lam[0] # 4 와 -2
print(" 오일러 공식 k(th) = k1 cos^2 th + k2 sin^2 th, k1=%.0f k2=%.0f" % (k1, k2))
print(" 각 직접 계산 오일러 공식")
for th in [0.0, np.pi/6, np.pi/4, np.pi/3, np.pi/2]:
# 주방향 기준 각도. V[:,1] 이 k1 의 방향
u = np.cos(th)*V[:,1] + np.sin(th)*V[:,0]
euler = k1*np.cos(th)**2 + k2*np.sin(th)**2
print(" %6.1f도 %+12.6f %+12.6f" % (np.degrees(th), u @ H @ u, euler))
print(" 법곡률이 0 이 되는 각: tan^2 th = k1/(-k2) = %.4f -> %.4f 도" % (k1/(-k2), np.degrees(np.arctan(np.sqrt(k1/(-k2))))))
# 오일러 공식 k(th) = k1 cos^2 th + k2 sin^2 th, k1=4 k2=-2
# 각 직접 계산 오일러 공식
# 0.0도 +4.000000 +4.000000
# 30.0도 +2.500000 +2.500000
# 45.0도 +1.000000 +1.000000
# 60.0도 -0.500000 -0.500000
# 90.0도 -2.000000 -2.000000
# 법곡률이 0 이 되는 각: tan^2 th = k1/(-k2) = 2.0000 -> 54.7356 도
# 주곡률 두 개만으로 모든 방향의 곡률이 정해집니다.
문제 4의 표가 이 단원의 마무리입니다. 101강에서 대수로 만든 판정표와 102강에서 기하로 만든 분류표가 글자 그대로 같습니다.
103강에서 적분으로 넘어갑니다.
정답.
| 기호 | 읽는 법 | 뜻 |
|---|---|---|
| 곡률 | 휘어지는 정도입니다 | |
| 곡률반지름 | 가장 잘 맞는 원의 반지름입니다 | |
| \mathbf | 단위접벡터 | 진행 방향입니다 |
| 법곡률 | 그 방향 단면의 곡률입니다 | |
| \kappa_{1},\kappa_ | 주곡률 | 법곡률의 극단이며 헤세의 고유값입니다 |
| 주방향 | principal direction | 헤세의 고유벡터이며 직교합니다 |
| 가우스곡률 | 구부려도 변하지 않습니다 | |
| 평균곡률 | 놓인 방식에 의존합니다 | |
| 점근방향 | asymptotic direction | 법곡률이 인 방향입니다 |
| 제점 | umbilical point | 주곡률이 같은 점입니다 |
이것으로 02단원 이차 근사와 임계점이 끝납니다. 다음 103강부터 시작하는 03단원 다변수 적분에서는 방향을 바꿔 적분을 세웁니다. 48강부터 53강까지의 한 변수 적분을 여러 변수로 옮기고, 105강에서 98강의 야코비 행렬식이 적분의 치환 인자임을 확인합니다. 79강에서 행렬식이 부피 배율이라 한 사실이 그곳에서 완성됩니다.