103강부터 106강까지를 섞어 묻습니다. 모두 문항이며 세 부분으로 나뉩니다.
| 부분 | 범위 | 문항 |
|---|---|---|
| 1부 | 이중적분과 반복적분 | ~ |
| 2부 | 극좌표와 변수변환 | ~ |
| 3부 | 삼중적분과 응용 | ~ |
합격선은 문항입니다. 이 단원의 계산은 S6 확률과 통계 전체의 기반이므로 빈틈을 남기면 결합분포부터 막힙니다. 특히 야코비를 빠뜨리는 실수는 반드시 없애야 합니다.
문제 1. 이중적분을 리만합으로 정의하세요.
답. 영역을 작은 직사각형으로 나눠 의 극한입니다.
문제 2. 일 때 이중적분의 기하적 뜻을 쓰세요.
답. 곡면 아래의 부피입니다.
문제 3. 중점법칙의 오차 차수를 쓰고 이유를 설명하세요.
답. 입니다. 중점 대칭성으로 일차항이 상쇄되기 때문입니다.
문제 4. 푸비니 정리를 쓰세요.
답. 연속이면 이중적분이 두 순서의 반복적분과 모두 같습니다.
문제 5. 반복적분에서 안쪽 적분의 기하적 뜻을 쓰세요.
답. 한 방향으로 자른 단면의 넓이입니다.
문제 6. 를 계산하세요.
답. 안쪽이 이므로 입니다.
문제 7. 에서 를 적분하세요.
답. 입니다.
문제 8. 피적분함수가 이고 영역이 직사각형이면 어떻게 됩니까?
답. 두 한 변수 적분의 곱으로 분리됩니다.
문제 9. 유형 I 영역의 반복적분을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 10. 반복적분에서 바깥 범위의 조건을 쓰고 어기면 어떻게 되는지 쓰세요.
답. 반드시 상수여야 하며, 변수가 남으면 범위를 잘못 세운 것입니다.
문제 11. 의 순서를 바꾸세요.
답. 영역이 이므로 입니다.
문제 12. 를 계산하세요.
답. 순서를 바꾸면 입니다.
문제 13. 순서를 바꾸기 전에 반드시 할 일을 쓰세요.
답. 적분 영역을 그립니다.
문제 14. 영역의 넓이와 함수의 평균값을 적분으로 쓰세요.
답. 와 그것으로 를 나눈 값입니다.
문제 15. 푸비니가 깨지는 조건과 반례를 쓰세요.
답. 절댓값의 적분이 발산하면 깨지며 이 예로 두 반복적분이 입니다.
문제 16. 차원이 오르면 격자가 왜 무너지는지 쓰고 대안을 쓰세요.
답. 오차는 차원과 무관하지만 점의 수가 로 늡니다. 몬테카를로는 오차가 로 차원과 무관합니다.
문제 17. 극좌표 변환식과 넓이 요소를 쓰세요.
답. , 이고 입니다.
문제 18. 이 붙는 이유를 기하와 대수 두 가지로 설명하세요.
답. 각 방향의 변이 호의 길이 이기 때문이고, 야코비 행렬식이 이기 때문입니다.
문제 19. 을 빠뜨리면 단위원판의 넓이가 얼마로 나옵니까?
답. 이며 참값의 두 배입니다.
문제 20. 방사대칭 함수의 적분 공식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 21. 단위원판에서 을 적분하세요.
답. 입니다.
문제 22. 단위원판에서 을 적분하세요.
답. 입니다.
문제 23. 가우스 적분의 값과 유도의 열쇠를 쓰세요.
답. 이며 극좌표의 이 치환을 가능하게 했습니다.
문제 24. 와 표준정규분포의 정규화 상수를 쓰세요.
답. 이고 정규화 상수는 입니다.
문제 25. 변수변환 공식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 26. 동시에 바꿔야 할 세 가지를 쓰세요.
답. 영역, 피적분함수, 넓이 요소입니다.
문제 27. 변수변환 정리의 조건 세 가지를 쓰세요.
답. 이고 내부에서 일대일이며 입니다.
문제 28. 야코비에 절댓값을 쓰는 이유를 쓰세요.
답. 넓이는 양수이고 다변수에서는 영역에 방향을 주지 않기 때문입니다.
문제 29. 변환 설계의 원칙을 쓰세요.
답. 영역의 조건에 나타나는 식을 새 변수로 삼습니다.
문제 30. 정방향과 역방향 야코비 행렬식의 관계와 근거를 쓰세요.
답. 서로 역수입니다. 연쇄법칙에서 이고 행렬식이 곱셈적이기 때문입니다.
문제 31. 반축 인 타원의 넓이를 변수변환으로 구하세요.
답. , 로 두면 이므로 입니다.
문제 32. 다변량 가우스의 정규화 상수를 쓰고 의 뜻을 쓰세요.
답. 이며 가 표준 가우스를 늘인 부피 배율입니다.
문제 33. 삼중적분에서 이면 무엇을 얻습니까?
답. 부피입니다.
문제 34. 삼중 반복적분의 순서는 몇 가지입니까?
답. 가지입니다.
문제 35. 사면체 , 의 부피를 구하세요.
답. 입니다.
문제 36. 차원 단체의 부피를 쓰고 그 이유를 쓰세요.
답. 입니다. 단위정육면체를 좌표의 크기 순서로 나누면 합동인 조각 개가 나오기 때문입니다.
문제 37. 원기둥좌표의 부피 요소를 쓰세요.
답. 입니다.
문제 38. 극좌표와 야코비가 같은 이유를 쓰세요.
답. 방향이 변하지 않아 야코비가 블록 대각이고 아래 블록이 이기 때문입니다.
문제 39. 52강의 원판법과 원기둥좌표의 관계를 쓰세요.
답. 원판법은 원기둥좌표 적분의 안쪽 두 개를 미리 계산한 것입니다.
문제 40. 구면좌표의 부피 요소를 쓰세요.
답. 입니다.
문제 41. 과 의 뜻을 각각 쓰세요.
답. 은 반지름이 커지면 구면이 넓어지는 것이고, 는 극지방에서 경도선이 모이는 것입니다.
문제 42. 의 범위와 표기 관습의 주의점을 쓰세요.
답. 입니다. 물리에서는 와 의 역할이 반대일 수 있으므로 "축에서 잰 각의 사인"으로 기억합니다.
문제 43. 공의 부피와 구면의 넓이를 구면좌표로 유도하세요.
답. 이고 를 빼면 입니다.
문제 44. 직교곡선좌표에서 야코비를 척도인자로 쓰세요.
답. 이며 구면좌표는 입니다.
문제 45. 무게중심의 정의를 쓰세요.
답. 모멘트를 질량으로 나눈 것이며 입니다.
문제 46. 균일한 반구와 밀도가 인 반구의 를 각각 쓰세요.
답. 과 입니다. 밀도가 위로 갈수록 커져 무게중심이 올라갑니다.
문제 47. 좌표 선택의 원칙을 쓰고 공의 부피에 어느 좌표가 좋은지 쓰세요.
답. 영역의 대칭과 좌표계의 대칭을 맞춥니다. 공에는 구면좌표가 좋으며 근호 없이 세 적분이 완전히 분리됩니다.
문제 48. 확률밀도 변환에서 야코비가 어떻게 들어가고 왜 그런지 쓰세요.
답. 로 나눕니다. 확률은 보존되고 부피만 바뀌므로 부피가 늘면 밀도가 묽어지기 때문입니다.
틀린 문항이 어느 부분에 몰렸는지를 먼저 봅니다.
| 몰린 곳 | 다시 볼 것 |
|---|---|
| 1부 | 103강 문제 3과 문제 4, 심화 1 |
| 2부 | 104강 문제 2와 문제 4, 105강 문제 2 |
| 3부 | 106강 문제 3, 심화 1 |
야코비를 빠뜨린 실수(문항 , , )가 있다면 반드시 돌아갑니다. 이 단원에서 가장 흔하고 가장 조용한 오류입니다. 답이 나오기는 하는데 틀린 값이라 알아채기 어렵습니다. 피적분함수를 로 두고 넓이나 부피가 맞는지 확인하는 습관을 들이면 대부분 잡힙니다.
문항 를 틀렸다면 특히 중요합니다. 푸비니 정리를 조건 없이 쓰는 것은 85강에서 대각화를 조건 없이 쓴 것과 같은 종류의 실수이며, 이 과목이 반복해서 경고하는 자리입니다.
문항 은 139강의 예고입니다. 적분에서는 곱하고 밀도에서는 나눈다는 이 부호가 273강 흐름 기반 생성모형의 로그가능도를 결정합니다.
다음은 107강부터 시작하는 04단원 볼록성과 경사법입니다. 02단원에서 무엇이 최소인지 답했으니 이제 어떻게 찾는지에 답할 차례입니다.