103강에서 직교좌표 격자로 영역을 나눴습니다. 영역이 원형이면 이 격자가 어울리지 않습니다.
단위원판 위에서 적분하려면 유형 I로 이렇게 써야 합니다.
− 1 ≤ x ≤ 1 , − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 − 1 ≤ x ≤ 1 , − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2
근호가 안쪽 범위에 들어갑니다. 계산이 지저분해지고, 영역이 구면이나 원기둥이면 더 나빠집니다.
좌표를 바꾸면 됩니다. 극좌표에서 원판은 직사각형입니다.
0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π
공짜는 아닙니다. 격자가 달라졌으니 조각의 넓이도 달라집니다.
d A = r d r d θ d A = r d r d θ
이 r r 야코비 행렬식 이었습니다. 이 강의는 그것을 실제로 쓰고, 그 힘으로 직교좌표에서는 계산할 수 없던 적분 을 풉니다.
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π
한 변수로는 부정적분이 없어 손도 못 대는 이 적분이, 평면으로 올려 극좌표로 바꾸면 몇 줄에 끝납니다. 그리고 이 값이 140강 정규분포의 정규화 상수 입니다.
영역을 극좌표로 기술할 수 있습니다.
d A = r d r d θ d A = r d r d θ 원형 영역 위의 적분을 극좌표로 계산할 수 있습니다.
가우스 적분을 유도할 수 있습니다.
극좌표가 불리한 경우를 판단할 수 있습니다.
문제. 단위원판 x 2 + y 2 ≤ 1 x 2 + y 2 ≤ 1
생각의 실마리. 원판은 중심에서의 거리 로 정의된 영역입니다. 그 거리를 좌표로 삼으면 조건이 단순해질 것입니다.
풀이. (1) 검산에서
− 1 ≤ x ≤ 1 , − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2 − 1 ≤ x ≤ 1 , − 1 − x 2 ≤ y ≤ 1 − x 2
안쪽 범위에 근호가 들어갑니다.
(2) x = r cos θ x = r cos θ y = r sin θ y = r sin θ x 2 + y 2 = r 2 x 2 + y 2 = r 2
0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ r ≤ 1 , 0 ≤ θ ≤ 2 π
두 범위가 모두 상수이며 직사각형입니다.
(3) 넓이 요소가 r d r d θ r d r d θ
∬ D 1 d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r d r d θ = 2 π ⋅ 1 2 = π ∬ D 1 d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 r d r d θ = 2 π ⋅ 2 1 = π
검산에서 3.1415926536 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6 0 0
이 문제에서 배우는 것: 극좌표.
극좌표. x = r cos θ x = r cos θ y = r sin θ y = r sin θ r ≥ 0 r ≥ 0 θ θ [ 0 , 2 π ) [ 0 , 2 π ) r = x 2 + y 2 r = x 2 + y 2 θ = atan2 ( y , x ) θ = a t a n 2 ( y , x )
좌표변환의 목적이 영역을 단순하게 만드는 것 입니다.
영역
직교좌표
극좌표
원판 r ≤ a r ≤ a
근호가 필요합니다
직사각형입니다
고리 a ≤ r ≤ b a ≤ r ≤ b
두 조각으로 나뉩니다
직사각형입니다
부채꼴
복잡합니다
직사각형입니다
정사각형
직사각형입니다
복잡합니다
마지막 줄이 중요합니다. 좌표변환이 언제나 이득은 아니며, 문제 5에서 다룹니다.
θ θ 2 π 2 π [ − π , π ] [ − π , π ] r r 0 0 θ θ
바로 확인 1.
확인 1-1. 극좌표 변환식을 쓰세요.
답. x = r cos θ x = r cos θ y = r sin θ y = r sin θ
확인 1-2. x 2 + y 2 x 2 + y 2
답. r 2 r 2
확인 1-3. 단위원판의 극좌표 범위를 쓰세요.
답. 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ r ≤ 1 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ θ ≤ 2 π
문제. 넓이 요소를 봅니다.r r ∫ 0 2 π ∫ 0 1 d r d θ ∫ 0 2 π ∫ 0 1 d r d θ r r
생각의 실마리. 격자가 달라졌으면 조각의 크기도 달라집니다. 직교좌표의 조각은 어디서나 Δ x Δ y Δ x Δ y
풀이. (1) 검산에서 6.2831853072 6 . 2 8 3 1 8 5 3 0 7 2
(2) 참값 π = 3.1415926536 π = 3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 6 정확히 두 배 입니다.
(3) 두 가지로 설명합니다.
기하적 설명. 극좌표의 작은 조각은 r r r + d r r + d r θ θ θ + d θ θ + d θ d r d r r d θ r d θ
d A ≈ d r ⋅ r d θ = r d r d θ d A ≈ d r ⋅ r d θ = r d r d θ
바깥으로 갈수록 같은 각도가 더 긴 호를 만듭니다. 그래서 조각이 커집니다.
대수적 설명. 98강 문제 4에서 야코비 행렬식을 구했습니다.
J = ( cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ) , det J = r J = ( cos θ sin θ − r sin θ r cos θ ) , det J = r
**국소 부피 배율이 r r d A = ∣ det J ∣ d r d θ = r d r d θ d A = ∣ det J ∣ d r d θ = r d r d θ
이 문제에서 배우는 것: 넓이 요소는 좌표계가 정합니다.
극좌표 적분.
∬ D f ( x , y ) d A = ∬ D ′ f ( r cos θ , r sin θ ) r d r d θ ∬ D f ( x , y ) d A = ∬ D ′ f ( r cos θ , r sin θ ) r d r d θ
r r
∫ 0 1 r d r = 1 2 vs ∫ 0 1 d r = 1 ∫ 0 1 r d r = 2 1 vs ∫ 0 1 d r = 1
r r
확인하는 습관 을 들이면 좋습니다. 피적분함수를 1 1
영역
극좌표 넓이 계산
참값
반지름 a a
2 π ⋅ a 2 / 2 2 π ⋅ a 2 / 2 \pi a^
반지름 a , b a , b
2 π ( b 2 − a 2 ) / 2 2 π ( b 2 − a 2 ) / 2 π ( b 2 − a 2 ) π ( b 2 − a 2 )
각 α α
α ⋅ a 2 / 2 α ⋅ a 2 / 2 α a 2 / 2 α a 2 / 2
바로 확인 2.
확인 2-1. 극좌표의 넓이 요소를 쓰세요.
답. r d r d θ r d r d θ
확인 2-2. r r
답. 각 방향의 변이 호의 길이 r d θ r d θ
확인 2-3. r r
답. 2 π 2 π
문제. (1) 반지름 2 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 1 1 y y
생각의 실마리. 피적분함수를 극좌표로 바꾸면 r r θ θ
풀이. (1) x 2 + y 2 = r 2 x 2 + y 2 = r 2
∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 ⋅ r d r d θ = ( ∫ 0 2 π d θ ) ( ∫ 0 2 r 3 d r ) = 2 π ⋅ 4 = 8 π ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 2 ⋅ r d r d θ = ( ∫ 0 2 π d θ ) ( ∫ 0 2 r 3 d r ) = 2 π ⋅ 4 = 8 π
검산에서 25.1327412287 2 5 . 1 3 2 7 4 1 2 2 8 7 25.1327404433 2 5 . 1 3 2 7 4 0 4 4 3 3
(2) y = r sin θ y = r sin θ 0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ θ ≤ π
∫ 0 π ∫ 0 1 ( r sin θ ) r d r d θ = ( ∫ 0 1 r 2 d r ) ( ∫ 0 π sin θ d θ ) = 1 3 ⋅ 2 = 2 3 ∫ 0 π ∫ 0 1 ( r sin θ ) r d r d θ = ( ∫ 0 1 r 2 d r ) ( ∫ 0 π sin θ d θ ) = 3 1 ⋅ 2 = 3 2
검산에서 0.6666666667 0 . 6 6 6 6 6 6 6 6 6 7
(3) 두 경우 모두 분리됩니다.
이 문제에서 배우는 것: 분리의 조건.
f ( r cos θ , r sin θ ) ⋅ r = g ( r ) h ( θ ) ⟹ ∬ = ( ∫ g d r ) ( ∫ h d θ ) f ( r cos θ , r sin θ ) ⋅ r = g ( r ) h ( θ ) ⟹ ∬ = ( ∫ g d r ) ( ∫ h d θ )
영역이 직사각형이어야 하고 피적분함수가 곱으로 갈려야 합니다. 103강 문제 9에서 직교좌표에 대해 본 것과 같은 조건이며, 극좌표에서는 r r
어떤 함수가 잘 갈리는지 정리합니다.
함수
극좌표
갈립니까
x^{2}+y^
r^
갈립니다
x 2 + y 2 x 2 + y 2 r r 갈립니다
e − ( x 2 + y 2 ) e − ( x 2 + y 2 ) e − r 2 e − r 2 갈립니다
x x r cos θ r cos θ 갈립니다
x y x y r 2 cos θ sin θ r 2 cos θ sin θ 갈립니다
x+y^
섞입니다
갈리지 않습니다
r r
방사대칭 함수의 적분 공식 을 따로 적어 둘 만합니다.
∬ r ≤ R f ( r ) d A = 2 π ∫ 0 R f ( r ) r d r ∬ r ≤ R f ( r ) d A = 2 π ∫ 0 R f ( r ) r d r
θ θ 2 π 2 π 한 변수 적분 하나로 줄어듭니다.
바로 확인 3.
확인 3-1. 방사대칭 함수의 적분 공식을 쓰세요.
답. 2 π ∫ 0 R f ( r ) r d r 2 π ∫ 0 R f ( r ) r d r
확인 3-2. x 2 + y 2 x 2 + y 2
답. r 2 r 2
확인 3-3. 분리가 되려면 무엇이 필요합니까?
답. 영역이 직사각형이고 f ⋅ r f ⋅ r g ( r ) h ( θ ) g ( r ) h ( θ )
문제. I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x I = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x e − x 2 e − x 2 I 2 I 2
생각의 실마리. 한 변수로는 손을 못 댑니다. 차원을 하나 올려 평면 문제로 만든 뒤 극좌표로 내려옵니다.
풀이. (1) 초등함수로 표현되지 않습니다. 오차함수 erf e r f
(2) 같은 적분을 두 번 곱하되 변수 이름을 다르게 씁니다.
I 2 = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) ( ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y ) = ∬ R 2 e − ( x 2 + y 2 ) d A I 2 = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) ( ∫ − ∞ ∞ e − y 2 d y ) = ∬ R 2 e − ( x 2 + y 2 ) d A
103강 문제 9의 분리를 거꾸로 쓴 것 입니다. 두 한 변수 적분의 곱을 이중적분으로 되돌렸습니다.
(3) 극좌표로 바꾸면 x 2 + y 2 = r 2 x 2 + y 2 = r 2 d A = r d r d θ d A = r d r d θ
I 2 = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ I 2 = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ
안쪽 적분에 r r u = r 2 u = r 2 d u = 2 r d r d u = 2 r d r
∫ 0 ∞ e − r 2 r d r = 1 2 ∫ 0 ∞ e − u d u = 1 2 ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r = 2 1 ∫ 0 ∞ e − u d u = 2 1
따라서 I 2 = 2 π ⋅ 1 2 = π I 2 = 2 π ⋅ 2 1 = π
I = π I = π
검산에서 1.7724538509 1 . 7 7 2 4 5 3 8 5 0 9 2.220 × 1 0 − 16 2 . 2 2 0 × 1 0 − 1 6
이 문제에서 배우는 것: 가우스 적분.
∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π
계산의 열쇠가 r r 극좌표의 넓이 요소가 만들어 준 r r ∫ 0 y d x = y ∫ 0 y d x = y
좌표변환이 필요한 인자를 만들어 줍니다 좌표변환이 필요한 인자를 만들어 줍니다
정규분포의 정규화 상수 가 여기서 나옵니다. x → x / 2 x → x / 2
∫ − ∞ ∞ e − x 2 / 2 d x = 2 π ∫ − ∞ ∞ e − x 2 / 2 d x = 2 π
검산에서 2.5066282746 2 . 5 0 6 6 2 8 2 7 4 6
p ( x ) = 1 2 π e − x 2 / 2 p ( x ) = 2 π 1 e − x 2 / 2
이고, 앞의 계수가 전체 적분을 1 1 140강에서 다변량으로 확장할 때도 같은 계산 이며, 그때는 n n
∫ R n e − 1 2 x ⊤ Σ − 1 x d x = ( 2 π ) n / 2 det Σ ∫ R n e − 2 1 x ⊤ Σ − 1 x d x = ( 2 π ) n / 2 det Σ
가 되며 105강의 변수변환과 86강의 대각화가 함께 쓰입니다.
이 적분이 나타나는 자리 를 적어 둡니다.
분야
쓰임
확률
정규분포의 정규화
통계역학
분배함수
신호처리
가우스 필터
기계학습
변분추론의 KL 항
바로 확인 4.
확인 4-1. 가우스 적분의 값을 쓰세요.
답. π π
확인 4-2. 계산의 열쇠가 무엇이었습니까?
답. 극좌표의 넓이 요소가 만든 r r
확인 4-3. ∫ e − x 2 / 2 d x ∫ e − x 2 / 2 d x
답. 2 π 2 π
문제. 정사각형 [ 0 , 1 ] 2 [ 0 , 1 ] 2
생각의 실마리. 극좌표가 좋았던 이유는 원형 영역이 직사각형이 되기 때문 이었습니다. 영역이 사각형이면 반대가 됩니다.
풀이. (1) 원점에서 각 θ θ θ θ
θ θ 닿는 변
r r
0 ≤ θ ≤ π / 4 0 ≤ θ ≤ π / 4 오른쪽 변 x = 1 x = 1
1 / cos θ 1 / cos θ
π / 4 ≤ θ ≤ π / 2 π / 4 ≤ θ ≤ π / 2 위쪽 변 y = 1 y = 1
1 / sin θ 1 / sin θ
영역이 두 조각으로 나뉘고 상한이 θ θ 입니다.
(2) 대칭성을 쓰면
넓이 = 2 ∫ 0 π / 4 ∫ 0 1 / cos θ r d r d θ = 2 ∫ 0 π / 4 2 θ 2 d θ = [ tan θ ] 0 π / 4 = 1 넓이 = 2 ∫ 0 π / 4 ∫ 0 1 / c o s θ r d r d θ = 2 ∫ 0 π / 4 2 sec 2 θ d θ = [ tan θ ] 0 π / 4 = 1
검산에서 1.0000000000 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
(3) 직교좌표로는
∫ 0 1 ∫ 0 1 d x d y = 1 ∫ 0 1 ∫ 0 1 d x d y = 1
한 줄에 끝납니다.
이 문제에서 배우는 것: 좌표는 영역이 고릅니다.
좌표변환은 도구이지 목적이 아닙니다 좌표변환은 도구이지 목적이 아닙니다
판단 기준 을 정리합니다.
영역이나 함수
좋은 좌표
원, 고리, 부채꼴
극
방사대칭 함수
극
사각형, 직선 경계
직교
원기둥, 축 대칭
원기둥
구, 구대칭
구면
영역과 함수가 다른 좌표를 원하면 저울질 해야 합니다. 원판 위에서 x + y 2 x + y 2
105강이 이 선택을 일반화 합니다. 극좌표는 특별한 하나의 변환일 뿐이고, 임의의 변환에 대해 같은 공식이 성립합니다.
바로 확인 5.
확인 5-1. 정사각형을 극좌표로 쓰면 무엇이 문제입니까?
답. r r θ θ
확인 5-2. 좌표를 고르는 기준을 쓰세요.
답. 영역이 단순해지는 좌표를 고릅니다.
확인 5-3. 영역과 함수가 다른 좌표를 원하면 어느 쪽을 따릅니까?
답. 대개 영역을 따릅니다. 범위가 복잡하면 계산이 성립하지 않기 때문입니다.
개념
내용
극좌표
x = r cos θ x = r cos θ y = r sin θ y = r sin θ
넓이 요소
d A = r d r d θ d A = r d r d θ
근거
야코비 행렬식 det J = r det J = r
방사대칭
2 π ∫ 0 R f ( r ) r d r 2 π ∫ 0 R f ( r ) r d r
가우스 적분
∫ e − x 2 d x = π ∫ e − x 2 d x = π
영역
극좌표 범위
원판 r ≤ a r ≤ a
0 ≤ r ≤ a 0 ≤ r ≤ a 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ θ ≤ 2 π
고리
a ≤ r ≤ b a ≤ r ≤ b 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ θ ≤ 2 π
위쪽 반원
0 ≤ r ≤ a 0 ≤ r ≤ a 0 ≤ θ ≤ π 0 ≤ θ ≤ π
부채꼴
0 ≤ r ≤ a 0 ≤ r ≤ a α ≤ θ ≤ β α ≤ θ ≤ β
원 r = 2 a cos θ r = 2 a cos θ
0 ≤ r ≤ 2 a cos θ 0 ≤ r ≤ 2 a cos θ
자주 하는 실수
바로잡기
r r 넓이가 두 배로 나옵니다
θ θ 2 π 2 π 영역에 맞춰 잡습니다
사각형에 극좌표를 씁니다
직교좌표가 낫습니다
r < 0 r < 0 r ≥ 0 r ≥ 0
문제 6. 반지름 3 3
답. 2 π ⋅ 9 / 2 = 9 π 2 π ⋅ 9 / 2 = 9 π
문제 7. 1 ≤ r ≤ 2 1 ≤ r ≤ 2
답. 2 π ( 4 − 1 ) / 2 = 3 π 2 π ( 4 − 1 ) / 2 = 3 π
문제 8. 단위원판에서 x 2 + y 2 x 2 + y 2
답. 2 π ∫ 0 1 r ⋅ r d r = 2 π / 3 2 π ∫ 0 1 r ⋅ r d r = 2 π / 3
문제 9. 단위원판에서 x 2 x 2
답. ∫ 0 2 π 2 θ d θ ∫ 0 1 r 3 d r = π ⋅ 1 4 = π / 4 ∫ 0 2 π cos 2 θ d θ ∫ 0 1 r 3 d r = π ⋅ 4 1 = π / 4
문제 10. 문제 9와 y 2 y 2
답. π / 2 π / 2 r 2 r 2
문제 11. 단위원판에서 x x
답. ∫ 0 2 π cos θ d θ = 0 ∫ 0 2 π cos θ d θ = 0 0 0
문제 12. 위쪽 반원(반지름 a a y y
답. a 3 3 ⋅ 2 = 2 a 3 3 3 a 3 ⋅ 2 = 3 2 a 3
문제 13. r = 2 cos θ r = 2 cos θ
답. 중심 ( 1 , 0 ) ( 1 , 0 ) 1 1
문제 14. 단위원판에서 e − ( x 2 + y 2 ) e − ( x 2 + y 2 )
답. 2 π ∫ 0 1 e − r 2 r d r = π ( 1 − e − 1 ) 2 π ∫ 0 1 e − r 2 r d r = π ( 1 − e − 1 )
문제 15. ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x ∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x a > 0 a > 0
답. π / a π / a
문제 16. 표준정규분포의 정규화 상수를 쓰세요.
답. 1 / 2 π 1 / 2 π
문제 17. 극좌표에서 θ θ
답. ( ∫ 0 R r d r ) ( ∫ 0 2 π h ( θ ) d θ ) ( ∫ 0 R r d r ) ( ∫ 0 2 π h ( θ ) d θ )
문제 18. 극좌표를 쓰면 안 되는 영역의 예를 쓰세요.
답. 정사각형처럼 직선 경계로 둘러싸인 영역입니다.
심화 1. 넓이 요소를 야코비로 유도하고 기하적 설명과 맞추세요.
98강에서 극좌표 변환의 야코비를 구했습니다.
P ( r , θ ) = ( r cos θ , r sin θ ) , J P = ( cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ) P ( r , θ ) = ( r cos θ , r sin θ ) , J P = ( cos θ sin θ − r sin θ r cos θ )
det J P = r 2 θ + r 2 θ = r det J P = r cos 2 θ + r sin 2 θ = r
98강 문제 3에서 야코비 행렬식이 국소 부피 배율 이라 했습니다. 따라서 ( r , θ ) ( r , θ ) d r × d θ d r × d θ x y x y r d r d θ r d r d θ
기하적 설명과 정확히 맞습니다. 야코비의 두 열을 보면
c 1 = ( cos θ , sin θ ) , c 2 = r ( − sin θ , cos θ ) c 1 = ( cos θ , sin θ ) , c 2 = r ( − sin θ , cos θ )
첫 열은 반지름 방향 단위벡터이고 둘째 열은 그에 수직인 방향의 길이 r r 두 열이 직교 하므로 행렬식이 길이의 곱이고, 그것이 1 × r = r 1 × r = r
반지름 방향으로 d r , 각 방향으로 r d θ 반지름 방향으로 d r , 각 방향으로 r d θ
두 설명이 같은 것을 다르게 말합니다.
관점
설명
기하
호의 길이가 r d θ r d θ
대수
야코비 행렬식이 r r
선형대수
직교하는 두 열의 길이 곱입니다
r = 0 r = 0 det J = 0 det J = 0 θ θ 적분에서는 문제가 되지 않습니다. 한 점의 넓이가 0 0 0 0
심화 2. 가우스 적분의 다른 유도를 하나 더 보이세요.
문제 4에서 극좌표로 유도했습니다. 매개변수 미분을 쓰는 방법 도 있습니다.
F ( t ) = ( ∫ 0 t e − x 2 d x ) 2 , G ( t ) = ∫ 0 1 e − t 2 ( 1 + u 2 ) 1 + u 2 d u F ( t ) = ( ∫ 0 t e − x 2 d x ) 2 , G ( t ) = ∫ 0 1 1 + u 2 e − t 2 ( 1 + u 2 ) d u
로 두고 F + G F + G
F F
F ′ ( t ) = 2 e − t 2 ∫ 0 t e − x 2 d x F ′ ( t ) = 2 e − t 2 ∫ 0 t e − x 2 d x
G G
G ′ ( t ) = ∫ 0 1 − 2 t ( 1 + u 2 ) e − t 2 ( 1 + u 2 ) 1 + u 2 d u = − 2 t e − t 2 ∫ 0 1 e − t 2 u 2 d u G ′ ( t ) = ∫ 0 1 1 + u 2 − 2 t ( 1 + u 2 ) e − t 2 ( 1 + u 2 ) d u = − 2 t e − t 2 ∫ 0 1 e − t 2 u 2 d u
x = t u x = t u d x = t d u d x = t d u
= − 2 e − t 2 ∫ 0 t e − x 2 d x = − F ′ ( t ) = − 2 e − t 2 ∫ 0 t e − x 2 d x = − F ′ ( t )
따라서 F + G F + G 입니다. t = 0 t = 0 F ( 0 ) = 0 F ( 0 ) = 0
G ( 0 ) = ∫ 0 1 d u 1 + u 2 = π 4 G ( 0 ) = ∫ 0 1 1 + u 2 d u = 4 π
이므로 상수가 π / 4 π / 4 t → ∞ t → ∞ G ( t ) → 0 G ( t ) → 0
t → ∞ F ( t ) = π 4 ⟹ ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π 2 t → ∞ lim F ( t ) = 4 π ⟹ ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = 2 π
전체 직선에서는 두 배 이므로 π π
두 유도를 비교합니다.
방법
쓰는 도구
성격
극좌표
좌표변환
짧고 기하적입니다
매개변수 미분
적분 기호 아래 미분
한 변수만 씁니다
첫째가 표준이고 더 짧습니다. 다만 둘째 방법은 다변수를 쓰지 않는다는 점에서 흥미롭고, 심화 4의 기법을 보여 주는 예로 값어치가 있습니다.
π π π π θ θ 2 π 2 π e − ( x 2 + y 2 ) e − ( x 2 + y 2 )
심화 3. 방사대칭 함수의 적분을 n n
문제 3에서 평면의 방사대칭 적분이
∬ r ≤ R f ( r ) d A = 2 π ∫ 0 R f ( r ) r d r ∬ r ≤ R f ( r ) d A = 2 π ∫ 0 R f ( r ) r d r
였습니다. 2 π r 2 π r r r
∫ ∥ x ∥ ≤ R f ( ∥ x ∥ ) d x = ∫ 0 R f ( r ) S n − 1 ( r ) d r ∫ ∥ x ∥ ≤ R f ( ∥ x ∥ ) d x = ∫ 0 R f ( r ) S n − 1 ( r ) d r
여기서 S n − 1 ( r ) S n − 1 ( r ) r r n − 1 n − 1
S n − 1 ( r ) = 2 π n / 2 Γ ( n / 2 ) r n − 1 S n − 1 ( r ) = Γ ( n / 2 ) 2 π n / 2 r n − 1
차원별로 확인합니다.
n n S n − 1 ( r ) S n − 1 ( r ) 이름
1 1 2 2 두 점
2 2 2 π r 2 π r 원의 둘레
3 3 4\pi r^
구면의 넓이
4 4 2\pi^{2}r^
r n − 1 r n − 1
반지름 0.9 R 안의 부피 반지름 R 안의 부피 = 0. 9 n 반지름 R 안의 부피 반지름 0 . 9 R 안의 부피 = 0 . 9 n
n = 100 n = 1 0 0 0. 9 100 ≈ 2.7 × 1 0 − 5 0 . 9 1 0 0 ≈ 2 . 7 × 1 0 − 5 부피의 99.997 % 9 9 . 9 9 7 % 10 % 1 0 %
고차원 공에서 부피는 껍질에 있습니다 고차원 공에서 부피는 껍질에 있습니다
73강 심화 4에서 언급한 고차원의 현상 이며, 213강의 측도의 집중에서 정면으로 다룹니다. 103강 심화 3의 차원의 저주와도 이어집니다. 격자로 나누면 대부분의 조각이 중요하지 않은 안쪽에 낭비됩니다.
n n
∫ R n e − ∥ x ∥ 2 d x = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) n = π n / 2 ∫ R n e − ∥ x ∥ 2 d x = ( ∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x ) n = π n / 2
분리를 쓰면 한 줄 이며, 방사대칭 공식으로도 같은 값이 나옵니다. 두 계산이 일치한다는 사실에서 Γ Γ
심화 4. 적분 기호 아래 미분을 정리하세요.
심화 2에서 이 기법을 썼습니다. 정확한 진술과 조건 을 적어 둡니다.
라이프니츠 규칙. f f ∂ f / ∂ t ∂ f / ∂ t
d d t ∫ a b f ( x , t ) d x = ∫ a b ∂ f ∂ t ( x , t ) d x d t d ∫ a b f ( x , t ) d x = ∫ a b ∂ t ∂ f ( x , t ) d x
입니다. 적분 범위도 t t
d d t ∫ a ( t ) b ( t ) f ( x , t ) d x = ∫ a ( t ) b ( t ) ∂ f ∂ t d x + f ( b ( t ) , t ) b ′ ( t ) − f ( a ( t ) , t ) a ′ ( t ) d t d ∫ a ( t ) b ( t ) f ( x , t ) d x = ∫ a ( t ) b ( t ) ∂ t ∂ f d x + f ( b ( t ) , t ) b ′ ( t ) − f ( a ( t ) , t ) a ′ ( t )
입니다.
첫 식이 푸비니의 한 형태 입니다. 미분도 극한이고 적분도 극한이므로, 두 극한의 순서를 바꾸는 일이며 조건이 필요합니다.
둘째 식의 추가 항 은 범위가 움직여 생기는 기여입니다. 97강의 연쇄법칙으로 설명됩니다. F ( t , a , b ) = ∫ a b f ( x , t ) d x F ( t , a , b ) = ∫ a b f ( x , t ) d x
d F d t = ∂ F ∂ t + ∂ F ∂ b b ′ + ∂ F ∂ a a ′ d t d F = ∂ t ∂ F + ∂ b ∂ F b ′ + ∂ a ∂ F a ′
이고 미적분 기본정리로 ∂ F / ∂ b = f ( b , t ) ∂ F / ∂ b = f ( b , t ) ∂ F / ∂ a = − f ( a , t ) ∂ F / ∂ a = − f ( a , t ) 97강 문제 4에서 본 "무엇이 따라 움직이는지 먼저 적으라"는 규칙 그대로 입니다.
기계학습에서 이 규칙이 중요한 자리 가 있습니다. 손실이 기댓값 형태일 때
∇ θ E x ∼ p [ ℓ ( x , θ ) ] = E x ∼ p [ ∇ θ ℓ ] ∇ θ E x ∼ p [ ℓ ( x , θ ) ] = E x ∼ p [ ∇ θ ℓ ]
분포 p p θ θ 이렇게 교환할 수 있고, 미니배치 기울기가 불편추정량이 됩니다.
그런데 분포가 θ θ
∇ θ E x ∼ p θ [ ℓ ( x ) ] = E x ∼ p θ [ ℓ ( x ) ∇ θ log p θ ( x ) ] ∇ θ E x ∼ p θ [ ℓ ( x ) ] = E x ∼ p θ [ ℓ ( x ) ∇ θ log p θ ( x ) ]
로그 미분 기법 이며 284강 정책 경사 정리의 출발점입니다. 범위가 움직이는 라이프니츠 규칙과 같은 상황이고, ∇ p = p ∇ log p ∇ p = p ∇ log p
순서 교환이 가능한지가 알고리즘의 정당성을 정합니다 순서 교환이 가능한지가 알고리즘의 정당성을 정합니다
심화 5. 극좌표와 관련된 특수한 영역들을 다루세요.
첫째, 원점을 지나는 원입니다.
r = 2 a cos θ r = 2 a cos θ
는 중심 ( a , 0 ) ( a , 0 ) ∣ a ∣ ∣ a ∣ r 2 = 2 a r cos θ r 2 = 2 a r cos θ x 2 + y 2 = 2 a x x 2 + y 2 = 2 a x ( x − a ) 2 + y 2 = a 2 ( x − a ) 2 + y 2 = a 2
이런 원 위의 적분은 r r θ θ 합니다.
∬ D f d A = ∫ − π / 2 π / 2 ∫ 0 2 a cos θ f r d r d θ ∬ D f d A = ∫ − π / 2 π / 2 ∫ 0 2 a c o s θ f r d r d θ
θ θ [ − π / 2 , π / 2 ] [ − π / 2 , π / 2 ] cos θ < 0 cos θ < 0 r < 0 r < 0 r ≥ 0 r ≥ 0
둘째, 극방정식으로 주어진 영역의 넓이 입니다.
넓이 = ∫ α β r ( θ ) 2 2 d θ 넓이 = ∫ α β 2 r ( θ ) 2 d θ
문제 5에서 정사각형에 이 공식을 썼고, 안쪽 적분 ∫ 0 r ( θ ) r d r = r ( θ ) 2 / 2 ∫ 0 r ( θ ) r d r = r ( θ ) 2 / 2
셋째, 심장형과 장미곡선 같은 고전적인 예들이 있습니다.
곡선
극방정식
심장형
r = a ( 1 + cos θ ) r = a ( 1 + cos θ )
장미(꽃잎 n n
r = a cos ( n θ ) r = a cos ( n θ ) n n
나선
r = a θ r = a θ
렘니스케이트
r 2 = a 2 cos 2 θ r 2 = a 2 cos 2 θ
넷째, 원점을 포함하지 않는 영역 은 r r 0 0
다섯째, 무한 영역 입니다. 문제 4에서 r r ∞ ∞
∬ R 2 f d A = R → ∞ ∬ r ≤ R f d A ∬ R 2 f d A = R → ∞ lim ∬ r ≤ R f d A
f ≥ 0 f ≥ 0
심화 6. 105강과 106강으로 어떻게 이어지는지 정리하세요.
이 강의에서 하나의 좌표변환 을 다뤘습니다. 105강이 모든 좌표변환 으로 넓힙니다.
∬ D f ( x , y ) d A = ∬ D ′ f ( g ( u , v ) ) ∣ det J g ∣ d u d v ∬ D f ( x , y ) d A = ∬ D ′ f ( g ( u , v ) ) ∣ det J g ∣ d u d v
극좌표는 g ( r , θ ) = ( r cos θ , r sin θ ) g ( r , θ ) = ( r cos θ , r sin θ ) 이고 ∣ det J ∣ = r ∣ det J ∣ = r
105강에서 확인할 것들을 미리 적습니다.
항목
내용
정리의 조건
g g C 1 C 1 det J ≠ 0 det J = 0
절댓값
방향이 뒤집혀도 부피는 양수
역방향
∣ det J − 1 ∣ = 1 / ∣ det J ∣ ∣ det J − 1 ∣ = 1 / ∣ det J ∣
선형변환
∣ det A ∣ ∣ det A ∣
넷째 줄이 79강과 이 강의를 잇습니다. 선형변환이면 야코비가 상수 A A ∣ det A ∣ ∣ det A ∣
106강은 차원을 하나 올립니다. 삼중적분과 두 가지 표준 좌표계를 다룹니다.
좌표계
변환
∣ det J ∣ ∣ det J ∣
원기둥
( r cos θ , r sin θ , z ) ( r cos θ , r sin θ , z ) r r
구면
( ρ sin ϕ cos θ , ρ sin ϕ sin θ , ρ cos ϕ ) ( ρ sin ϕ cos θ , ρ sin ϕ sin θ , ρ cos ϕ ) ρ 2 sin ϕ ρ 2 sin ϕ
**구면좌표의 ρ 2 sin ϕ ρ 2 sin ϕ S 2 ( ρ ) = 4 π ρ 2 S 2 ( ρ ) = 4 π ρ 2 ϕ ϕ θ θ
∫ 0 2 π ∫ 0 π ρ 2 sin ϕ d ϕ d θ = 2 π ⋅ 2 ⋅ ρ 2 = 4 π ρ 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 π ρ 2 sin ϕ d ϕ d θ = 2 π ⋅ 2 ⋅ ρ 2 = 4 π ρ 2
구면의 넓이가 나옵니다.
03단원 전체가 하나의 문장으로 요약됩니다.
좌표를 바꿔 영역을 단순하게 만들고 그 대가를 야코비로 치릅니다 좌표를 바꿔 영역을 단순하게 만들고 그 대가를 야코비로 치릅니다
import numpy as np
# --- 문제 1: 원판이 극좌표에서 직사각형이 된다 --------------------------
print(" 단위원판을 직교좌표 유형 I 로 쓰면")
print(" -1 <= x <= 1, -sqrt(1-x^2) <= y <= sqrt(1-x^2) (근호가 들어갑니다)")
print(" 극좌표로 쓰면")
print(" 0 <= r <= 1, 0 <= th <= 2pi (직사각형입니다)")
print(" 넓이 = int_0^{2pi} int_0^1 r dr dth = 2pi * 1/2 = %.10f" % np.pi)
N = 4000
r = (np.arange(N) + 0.5)/N
th = 2*np.pi*(np.arange(N) + 0.5)/N
print(" 수치(극좌표) %.10f 오차 %.3e" % (2*np.pi*(r.sum()/N), abs(2*np.pi*r.sum()/N - np.pi)))
# 단위원판을 직교좌표 유형 I 로 쓰면
# -1 <= x <= 1, -sqrt(1-x^2) <= y <= sqrt(1-x^2) (근호가 들어갑니다)
# 극좌표로 쓰면
# 0 <= r <= 1, 0 <= th <= 2pi (직사각형입니다)
# 넓이 = int_0^{2pi} int_0^1 r dr dth = 2pi * 1/2 = 3.1415926536
# 수치(극좌표) 3.1415926536 오차 0.000e+00
# --- 문제 2: r 을 빠뜨리면 어떻게 되는가 --------------------------------
print(" r 을 빠뜨린 잘못된 계산: int_0^{2pi} int_0^1 dr dth = %.10f" % (2*np.pi))
print(" 올바른 값 pi = %.10f, 비 = %.4f" % (np.pi, 2*np.pi/np.pi))
# r 을 빠뜨린 잘못된 계산: int_0^{2pi} int_0^1 dr dth = 6.2831853072
# 올바른 값 pi = 3.1415926536, 비 = 2.0000
# 정확히 두 배입니다. int_0^1 r dr = 1/2 와 int_0^1 dr = 1 의 차이입니다.
# --- 문제 3: 극좌표로 적분하기 ------------------------------------------
# int over disk of radius 2 of (x^2 + y^2)
print(" 반지름 2 원판에서 x^2+y^2 을 적분")
print(" = int_0^{2pi} int_0^2 r^2 * r dr dth = 2pi * [r^4/4]_0^2 = 2pi*4 = %.10f" % (8*np.pi))
R = 2.0
r2 = R*(np.arange(N) + 0.5)/N
print(" 수치 %.10f 오차 %.3e" % (2*np.pi*(r2**3).sum()*(R/N), abs(2*np.pi*(r2**3).sum()*(R/N) - 8*np.pi)))
# 각도에 의존하는 예: 반원에서 y
print(" 위쪽 반원(반지름 1)에서 y 를 적분")
print(" = int_0^{pi} int_0^1 (r sin th) r dr dth = [1/3] * [-cos th]_0^{pi} = 2/3 = %.10f" % (2/3))
# 반지름 2 원판에서 x^2+y^2 을 적분
# = int_0^{2pi} int_0^2 r^2 * r dr dth = 2pi * [r^4/4]_0^2 = 2pi*4 = 25.1327412287
# 수치 25.1327404433 오차 7.854e-07
# 위쪽 반원(반지름 1)에서 y 를 적분
# = int_0^{pi} int_0^1 (r sin th) r dr dth = [1/3] * [-cos th]_0^{pi} = 2/3 = 0.6666666667
# --- 문제 4: 가우스 적분 -------------------------------------------------
print(" I = int_{-inf}^{inf} e^{-x^2} dx 를 제곱해 평면 적분으로 만듭니다")
print(" I^2 = int int e^{-(x^2+y^2)} dA = int_0^{2pi} int_0^inf e^{-r^2} r dr dth")
print(" 안쪽 u = r^2 치환: int_0^inf e^{-u}/2 du = 1/2")
print(" I^2 = 2pi * 1/2 = pi, I = sqrt(pi) = %.10f" % np.sqrt(np.pi))
M = 400000; L = 20.0
xs = L*(np.arange(M) + 0.5)/M - L/2
print(" 수치 확인 %.10f 오차 %.3e" % (np.exp(-xs**2).sum()*(L/M), abs(np.exp(-xs**2).sum()*(L/M) - np.sqrt(np.pi))))
print(" 정규분포의 정규화 상수: 1/sqrt(2 pi) 는 x -> x/sqrt(2) 치환에서 나옵니다")
sig = 1.0
print(" int exp(-x^2/2) dx = sqrt(2 pi) = %.10f" % np.sqrt(2*np.pi))
print(" 수치 확인 %.10f" % (np.exp(-xs**2/2).sum()*(L/M)))
# I = int_{-inf}^{inf} e^{-x^2} dx 를 제곱해 평면 적분으로 만듭니다
# I^2 = int int e^{-(x^2+y^2)} dA = int_0^{2pi} int_0^inf e^{-r^2} r dr dth
# 안쪽 u = r^2 치환: int_0^inf e^{-u}/2 du = 1/2
# I^2 = 2pi * 1/2 = pi, I = sqrt(pi) = 1.7724538509
# 수치 확인 1.7724538509 오차 2.220e-16
# 정규분포의 정규화 상수: 1/sqrt(2 pi) 는 x -> x/sqrt(2) 치환에서 나옵니다
# int exp(-x^2/2) dx = sqrt(2 pi) = 2.5066282746
# 수치 확인 2.5066282746
# 극좌표의 r 이 정확히 치환에 필요한 인자였습니다.
# --- 문제 5: 극좌표가 불리한 경우 ---------------------------------------
print(" 정사각형 [0,1]^2 을 극좌표로 쓰면 th 에 따라 r 의 상한이 바뀝니다")
print(" 0 <= th <= pi/4 이면 r <= 1/cos th, pi/4 <= th <= pi/2 이면 r <= 1/sin th")
a1 = 0.5*np.trapezoid((1/np.cos(np.linspace(0, np.pi/4, 200001)))**2, np.linspace(0, np.pi/4, 200001))
print(" 넓이 = 2 * int_0^{pi/4} (1/2)(1/cos th)^2 dth = %.10f (참값 1)" % (2*a1))
print(" 직교좌표로는 int_0^1 int_0^1 dx dy = 1 로 즉시 끝납니다")
# 정사각형 [0,1]^2 을 극좌표로 쓰면 th 에 따라 r 의 상한이 바뀝니다
# 0 <= th <= pi/4 이면 r <= 1/cos th, pi/4 <= th <= pi/2 이면 r <= 1/sin th
# 넓이 = 2 * int_0^{pi/4} (1/2)(1/cos th)^2 dth = 1.0000000000 (참값 1)
# 직교좌표로는 int_0^1 int_0^1 dx dy = 1 로 즉시 끝납니다
# 좌표변환은 도구이지 목적이 아닙니다.
문제 4가 이 강의의 요지입니다. 한 변수로는 부정적분이 없어 손도 못 대던 적분이, 차원을 올려 극좌표로 내려오니 몇 줄에 끝납니다.
좌표변환이 필요한 인자를 만들어 줍니다 좌표변환이 필요한 인자를 만들어 줍니다
105강에서 이 기법을 임의의 변환으로 일반화합니다.
극좌표 변환식을 쓰세요.
넓이 요소를 쓰고 근거를 두 가지로 설명하세요.
r r 방사대칭 함수의 적분 공식을 쓰세요.
분리가 되는 조건을 쓰세요.
가우스 적분의 값과 유도의 열쇠를 쓰세요.
∫ e − x 2 / 2 d x ∫ e − x 2 / 2 d x 좌표를 고르는 기준을 쓰세요.
r = 2 a cos θ r = 2 a cos θ r = 0 r = 0
정답.
x = r cos θ x = r cos θ y = r sin θ y = r sin θ r d r d θ r d r d θ r d θ r d θ r r 2 π 2 π 2 π ∫ 0 R f ( r ) r d r 2 π ∫ 0 R f ( r ) r d r 영역이 직사각형이고 f ⋅ r f ⋅ r g ( r ) h ( θ ) g ( r ) h ( θ )
π π r r 2 π 2 π 영역이 단순해지는 좌표를 고릅니다.
중심 ( a , 0 ) ( a , 0 ) ∣ a ∣ ∣ a ∣
det J = 0 det J = 0 0 0
기호
읽는 법
뜻
r , θ r , θ 극좌표
거리와 각입니다
r d r d θ r d r d θ 넓이 요소
야코비 행렬식 r r
atan2 ( y , x ) a t a n 2 ( y , x ) 사분면을 살린 역탄젠트
θ θ
방사대칭
radially symmetric
r r
∫ e − x 2 d x = π ∫ e − x 2 d x = π 가우스 적분
정규분포의 뿌리입니다
\operatorname
오차함수
e − x 2 e − x 2
S n − 1 ( r ) S n − 1 ( r ) 구면의 넓이
2 π n / 2 r n − 1 / Γ ( n / 2 ) 2 π n / 2 r n − 1 / Γ ( n / 2 )
라이프니츠 규칙
Leibniz rule
적분 기호 아래 미분입니다
다음 105강에서는 변수변환과 야코비 행렬식 을 다룹니다. 이 강의의 극좌표를 임의의 변환으로 일반화하며, 98강 문제 3에서 본 "야코비 행렬식은 국소 부피 배율"이 적분의 치환 공식이 됩니다. 79강에서 행렬식이 부피 배율이라 증명한 사실이 곡선 좌표계로 확장되고, 그 결과가 139강 확률변수의 변환으로 이어집니다.