103강에서 이중적분을 세우고, 104강에서 극좌표를 쓰고, 105강에서 임의의 변수변환으로 일반화했습니다.
이 강의는 차원을 하나 더 올립니다.
∭ E f ( x , y , z ) d V ∭ E f ( x , y , z ) d V
새로 배울 개념은 거의 없습니다. 정의도 같고 반복적분도 같고 변수변환 공식도 같습니다. 야코비가 3 × 3 3 × 3
∭ E f d V = ∭ E ′ f ( g ) ∣ det J g ∣ d u d v d w ∭ E f d V = ∭ E ′ f ( g ) ∣ det J g ∣ d u d v d w
달라지는 것은 좌표계의 선택지가 늘어난다는 점 입니다. 평면에서는 직교와 극 두 가지였는데, 공간에서는 셋입니다.
좌표계
∣ det J ∣ ∣ det J ∣ 어울리는 영역
직교
1 1 직육면체
원기둥
r r 축 대칭
구면
ρ 2 sin ϕ ρ 2 sin ϕ 구 대칭
**셋째 줄의 ρ 2 sin ϕ ρ 2 sin ϕ 4 π ρ 2 4 π ρ 2 4 3 π R 3 3 4 π R 3
이것으로 03단원이 끝나고 04단원에서 최적화로 돌아갑니다.
삼중적분을 반복적분으로 세우고 계산할 수 있습니다.
원기둥좌표를 쓰고 야코비를 말할 수 있습니다.
구면좌표의 야코비 ρ 2 sin ϕ ρ 2 sin ϕ
질량과 무게중심을 적분으로 구할 수 있습니다.
영역에 맞는 좌표계를 고를 수 있습니다.
문제. 사면체 E = { x , y , z ≥ 0 , x + y + z ≤ 1 } E = { x , y , z ≥ 0 , x + y + z ≤ 1 } n n
생각의 실마리. 103강 문제 4에서 안쪽 범위가 바깥 변수의 함수였습니다. 이제 가장 안쪽 범위가 바깥 두 변수의 함수 가 됩니다.
풀이. (1) x x 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 x x y y 0 0 1 − x 1 − x z z 0 0 1 − x − y 1 − x − y
∫ 0 1 ∫ 0 1 − x ∫ 0 1 − x − y d z d y d x ∫ 0 1 ∫ 0 1 − x ∫ 0 1 − x − y d z d y d x
(2) 안쪽부터 계산합니다.
∫ 0 1 − x − y d z = 1 − x − y ∫ 0 1 − x − y d z = 1 − x − y
∫ 0 1 − x ( 1 − x − y ) d y = [ ( 1 − x ) y − y 2 2 ] 0 1 − x = ( 1 − x ) 2 2 ∫ 0 1 − x ( 1 − x − y ) d y = [ ( 1 − x ) y − 2 y 2 ] 0 1 − x = 2 ( 1 − x ) 2
∫ 0 1 ( 1 − x ) 2 2 d x = 1 6 ∫ 0 1 2 ( 1 − x ) 2 d x = 6 1
(3) 검산에서 70 0 3 7 0 0 3 0.16666633 0 . 1 6 6 6 6 6 3 3 3.401 × 1 0 − 7 3 . 4 0 1 × 1 0 − 7
**n n 1 / n ! 1 / n ! n = 3 n = 3 1 / 6 1 / 6
이 문제에서 배우는 것: 삼중적분.
삼중적분. 유계 입체 E E f f
∭ E f d V = lim ∑ k f ( p k ∗ ) Δ V k ∭ E f d V = lim k ∑ f ( p k ∗ ) Δ V k
이며, f = 1 f = 1 E E
반복적분의 규칙이 그대로 입니다.
가장 바깥은 상수, 안으로 갈수록 바깥 변수에 의존 가장 바깥은 상수 , 안으로 갈수록 바깥 변수에 의존
103강 문제 4에서 세운 규칙이 한 겹 더 깊어졌을 뿐입니다.
순서는 3 ! = 6 3 ! = 6 입니다. 이중적분에서 두 가지였던 것이 여섯 가지가 되며, 영역과 함수에 따라 편한 것을 고릅니다.
차원
반복적분의 순서
영역 유형
2 2 2 2 I, II
3 3 6 6 여섯 가지 사영
1 / n ! 1 / n ! x 1 , … , x n x 1 , … , x n n ! n ! 대칭성으로 곧바로 나오는 결과 이며 계산 없이도 알 수 있습니다.
바로 확인 1.
확인 1-1. 삼중적분에서 f = 1 f = 1
답. 부피입니다.
확인 1-2. 반복적분의 순서는 몇 가지입니까?
답. 3 ! = 6 3 ! = 6
확인 1-3. n n
답. 1 / n ! 1 / n !
문제. (1) 원기둥좌표의 야코비 행렬식을 구하세요.2 2 5 5 z = x 2 + y 2 z = x 2 + y 2 z ≤ 4 z ≤ 4
생각의 실마리. 극좌표에 z z 야코비도 극좌표와 같을 것 입니다.
풀이. (1) 변환이 ( x , y , z ) = ( r cos θ , r sin θ , z ) ( x , y , z ) = ( r cos θ , r sin θ , z )
J = ( cos θ − r sin θ 0 sin θ r cos θ 0 0 0 1 ) J = ⎝ ⎛ cos θ sin θ 0 − r sin θ r cos θ 0 0 0 1 ⎠ ⎞
셋째 행과 셋째 열이 단순 하므로 여인수 전개로
det J = 1 ⋅ det ( cos θ − r sin θ sin θ r cos θ ) = r det J = 1 ⋅ det ( cos θ sin θ − r sin θ r cos θ ) = r
검산에서 r = 2 r = 2 2.000000 2 . 0 0 0 0 0 0 r = 3 r = 3 3.000000 3 . 0 0 0 0 0 0
(2) 영역이 0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ z ≤ 5 0 ≤ z ≤ 5
∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 5 r d z d r d θ = 2 π ⋅ 2 ⋅ 5 = 20 π ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ 0 5 r d z d r d θ = 2 π ⋅ 2 ⋅ 5 = 2 0 π
검산에서 62.831853 6 2 . 8 3 1 8 5 3
(3) z z r 2 ≤ z ≤ 4 r 2 ≤ z ≤ 4 r r 0 0 2 2
∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( 4 − r 2 ) r d r d θ = 2 π [ 2 r 2 − r 4 4 ] 0 2 = 2 π ( 8 − 4 ) = 8 π ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( 4 − r 2 ) r d r d θ = 2 π [ 2 r 2 − 4 r 4 ] 0 2 = 2 π ( 8 − 4 ) = 8 π
검산에서 25.132741 2 5 . 1 3 2 7 4 1
이 문제에서 배우는 것: 원기둥좌표.
원기둥좌표. ( x , y , z ) = ( r cos θ , r sin θ , z ) ( x , y , z ) = ( r cos θ , r sin θ , z )
d V = r d r d θ d z d V = r d r d θ d z
입니다.
z z 1 1
det ( J 2 0 0 ⊤ 1 ) = det J 2 det ( J 2 0 ⊤ 0 1 ) = det J 2
어울리는 영역 을 정리합니다.
영역
원기둥좌표에서
원기둥
직육면체
원뿔
z z r r
포물면
z z r 2 r 2
회전체
축을 z z
52강의 회전체 부피와 이어집니다. 그때 원판법으로 π ∫ r ( z ) 2 d z π ∫ r ( z ) 2 d z
∫ 0 2 π ∫ 0 r ( z ) r d r d θ = 2 π ⋅ r ( z ) 2 2 = π r ( z ) 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 r ( z ) r d r d θ = 2 π ⋅ 2 r ( z ) 2 = π r ( z ) 2
같은 식이 나옵니다. 원판법이 원기둥좌표 적분의 안쪽 두 개를 미리 해 둔 것이었습니다.
바로 확인 2.
확인 2-1. 원기둥좌표의 부피 요소를 쓰세요.
답. r d r d θ d z r d r d θ d z
확인 2-2. 극좌표와 야코비가 같은 이유를 쓰세요.
답. z z 1 1
확인 2-3. 원판법과 원기둥좌표의 관계를 쓰세요.
답. 원판법은 원기둥좌표 적분의 안쪽 두 개를 미리 계산한 것입니다.
문제. (1) 구면좌표의 야코비 행렬식을 구하세요.R R ρ ρ
생각의 실마리. 원점에서의 거리와 두 각으로 잡습니다. ρ 2 ρ 2 ρ 2 ρ 2 sin ϕ sin ϕ
풀이. (1) 변환이
( x , y , z ) = ( ρ sin ϕ cos θ , ρ sin ϕ sin θ , ρ cos ϕ ) ( x , y , z ) = ( ρ sin ϕ cos θ , ρ sin ϕ sin θ , ρ cos ϕ )
이며 ϕ ϕ z z 0 ≤ ϕ ≤ π 0 ≤ ϕ ≤ π θ θ 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ θ ≤ 2 π
det J = ρ 2 sin ϕ det J = ρ 2 sin ϕ
검산에서 확인합니다.
ρ ρ ϕ ϕ det J det J ρ 2 sin ϕ ρ 2 sin ϕ
2.0 2 . 0 0.6 0 . 6 + 2.258570 + 2 . 2 5 8 5 7 0 + 2.258570 + 2 . 2 5 8 5 7 0
1.5 1 . 5 2.3 2 . 3 + 1.677837 + 1 . 6 7 7 8 3 7 + 1.677837 + 1 . 6 7 7 8 3 7
(2) 공은 0 ≤ ρ ≤ R 0 ≤ ρ ≤ R 0 ≤ ϕ ≤ π 0 ≤ ϕ ≤ π 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ θ ≤ 2 π
∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 R ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ = 2 π ⋅ 2 ⋅ R 3 3 = 4 π R 3 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 π ∫ 0 R ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ = 2 π ⋅ 2 ⋅ 3 R 3 = 3 4 π R 3
∫ 0 π sin ϕ d ϕ = 2 ∫ 0 π sin ϕ d ϕ = 2 R = 2 R = 2 33.510322 3 3 . 5 1 0 3 2 2
(3) 부피 요소에서 d ρ d ρ
d S = ρ 2 sin ϕ d ϕ d θ ⟹ ∫ 0 2 π ∫ 0 π ρ 2 sin ϕ d ϕ d θ = 4 π ρ 2 d S = ρ 2 sin ϕ d ϕ d θ ⟹ ∫ 0 2 π ∫ 0 π ρ 2 sin ϕ d ϕ d θ = 4 π ρ 2
검산에서 ρ = 2 ρ = 2 50.265482 5 0 . 2 6 5 4 8 2
이 문제에서 배우는 것: 구면좌표.
구면좌표. ( x , y , z ) = ( ρ sin ϕ cos θ , ρ sin ϕ sin θ , ρ cos ϕ ) ( x , y , z ) = ( ρ sin ϕ cos θ , ρ sin ϕ sin θ , ρ cos ϕ )
d V = ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ d V = ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ
입니다.
두 인자가 각각 뜻을 갖습니다.
인자
뜻
\rho^
반지름이 커지면 구면이 넓어집니다
sin ϕ sin ϕ 극지방에서 경도선이 모입니다
sin ϕ sin ϕ ϕ = π / 2 ϕ = π / 2 sin ϕ = 1 sin ϕ = 1 1 1 ϕ = 0 ϕ = 0 π π sin ϕ = 0 sin ϕ = 0
같은 d θ 가 위도에 따라 다른 넓이를 만듭니다 같은 d θ 가 위도에 따라 다른 넓이를 만듭니다
104강 심화 3과 맞습니다. 그때 S 2 ( ρ ) = 4 π ρ 2 S 2 ( ρ ) = 4 π ρ 2
표기에 주의 해야 합니다. 물리학과 수학에서 ϕ ϕ θ θ
관습
z z 경도
수학(이 강의)
ϕ ϕ θ θ
물리
θ θ ϕ ϕ
**어느 쪽이든 야코비는 "z z
바로 확인 3.
확인 3-1. 구면좌표의 부피 요소를 쓰세요.
답. ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ
확인 3-2. sin ϕ sin ϕ
답. 극지방에서 경도선이 모여 같은 d θ d θ
확인 3-3. 구면의 넓이를 적분으로 구하면 무엇이 나옵니까?
답. 4 π ρ 2 4 π ρ 2
문제. 반구 ρ ≤ 1 ρ ≤ 1 z ≥ 0 z ≥ 0 δ ( x , y , z ) = z δ ( x , y , z ) = z z z z z
생각의 실마리. 103강 문제 5에서 이중적분이 넓이와 평균값과 질량을 잰다고 했습니다. 삼중적분도 같습니다.
풀이. (1) z = ρ cos ϕ z = ρ cos ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π / 2 0 ≤ ϕ ≤ π / 2
M = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ( ρ cos ϕ ) ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ M = ∫ 0 2 π ∫ 0 π / 2 ∫ 0 1 ( ρ cos ϕ ) ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ
세 적분이 분리됩니다.
= 2 π ⋅ [ ρ 4 4 ] 0 1 ⋅ ∫ 0 π / 2 cos ϕ sin ϕ d ϕ = 2 π ⋅ 1 4 ⋅ 1 2 = π 4 = 2 π ⋅ [ 4 ρ 4 ] 0 1 ⋅ ∫ 0 π / 2 cos ϕ sin ϕ d ϕ = 2 π ⋅ 4 1 ⋅ 2 1 = 4 π
검산에서 0.7853981634 0 . 7 8 5 3 9 8 1 6 3 4
(2) 피적분함수에 z z
M z = 2 π ⋅ [ ρ 5 5 ] 0 1 ⋅ ∫ 0 π / 2 2 ϕ sin ϕ d ϕ = 2 π ⋅ 1 5 ⋅ 1 3 = 2 π 15 M z = 2 π ⋅ [ 5 ρ 5 ] 0 1 ⋅ ∫ 0 π / 2 cos 2 ϕ sin ϕ d ϕ = 2 π ⋅ 5 1 ⋅ 3 1 = 1 5 2 π
검산에서 0.4188790205 0 . 4 1 8 8 7 9 0 2 0 5
(3) 무게중심은 모멘트를 질량으로 나눈 것입니다.
z ˉ = 2 π / 15 π / 4 = 8 15 z ˉ = π / 4 2 π / 1 5 = 1 5 8
검산에서 0.5333333333 0 . 5 3 3 3 3 3 3 3 3 3
이 문제에서 배우는 것: 적분이 재는 물리량들.
피적분함수
재는 것
1 1 부피
δ δ 질량
z δ z δ z z
( x 2 + y 2 ) δ ( x 2 + y 2 ) δ z z
p p 확률
무게중심. z ˉ = 1 M ∭ E z δ d V z ˉ = M 1 ∭ E z δ d V x , y x , y
밀도가 균일하면 기하적 중심 이 됩니다. 이 문제에서 밀도가 z z z ˉ z ˉ
비교해 봅니다. 균일한 반구의 무게중심은 z ˉ = 3 / 8 = 0.375 z ˉ = 3 / 8 = 0 . 3 7 5 8 / 15 ≈ 0.533 8 / 1 5 ≈ 0 . 5 3 3 더 높습니다. 밀도가 위로 갈수록 커지니 당연합니다.
분리가 잘 되는 이유 를 짚어 둡니다. 피적분함수가 구면좌표에서 ρ ρ ϕ ϕ 104강 문제 3에서 본 분리의 조건 이 그대로 적용됩니다.
바로 확인 4.
확인 4-1. 무게중심의 정의를 쓰세요.
답. 모멘트를 질량으로 나눈 것입니다.
확인 4-2. 밀도가 1 1
답. 기하적 중심입니다.
확인 4-3. z z
답. ( x 2 + y 2 ) δ ( x 2 + y 2 ) δ
문제. 반지름 1 1
생각의 실마리. 같은 답이 나와야 합니다. 어느 쪽이 쉬운지 를 봅니다.
풀이. (1) z z z z 1 − z 2 1 − z 2
∫ − 1 1 π ( 1 − z 2 ) d z = π [ z − z 3 3 ] − 1 1 = π ⋅ 4 3 ∫ − 1 1 π ( 1 − z 2 ) d z = π [ z − 3 z 3 ] − 1 1 = π ⋅ 3 4
검산에서 4.188790 4 . 1 8 8 7 9 0 단면이 원판임을 이미 알고 써야 이만큼 간단하며, 정직하게 세 번 적분하면 근호가 두 번 나옵니다.
(2) 원기둥좌표에서 − 1 − r 2 ≤ z ≤ 1 − r 2 − 1 − r 2 ≤ z ≤ 1 − r 2
∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 1 − r 2 r d r d θ = 2 π ⋅ 2 3 = 4 π 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 2 1 − r 2 r d r d θ = 2 π ⋅ 3 2 = 3 4 π
근호가 한 번 나오지만 r r 검산에서 4.188790 4 . 1 8 8 7 9 0
(3) 구면좌표에서 영역이 직육면체이므로
2 π ⋅ 2 ⋅ 1 3 = 4 π 3 2 π ⋅ 2 ⋅ 3 1 = 3 4 π
근호가 없고 세 적분이 모두 분리됩니다. 검산에서 4.188790 4 . 1 8 8 7 9 0
이 문제에서 배우는 것: 대칭이 좌표를 고릅니다.
영역의 대칭과 좌표계의 대칭을 맞춥니다 영역의 대칭과 좌표계의 대칭을 맞춥니다
세 계산의 난이도 를 비교합니다.
좌표
영역
근호
분리
직교
복잡합니다
두 번
안 됩니다
원기둥
중간입니다
한 번
부분적
구면
직육면체입니다
없습니다
완전
구 대칭 영역에는 구면좌표가 압도적 입니다.
판단 기준 을 정리합니다.
영역의 대칭
좌표계
축 대칭(회전체)
원기둥
구 대칭
구면
직육면체
직교
그 밖
105강의 일반 변환
함수도 함께 봅니다. 영역이 직육면체여도 함수가 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 대개 영역을 따릅니다.
바로 확인 5.
확인 5-1. 구 대칭 영역에 어울리는 좌표를 쓰세요.
답. 구면좌표입니다.
확인 5-2. 축 대칭 영역은 어떻습니까?
답. 원기둥좌표입니다.
확인 5-3. 좌표 선택의 원칙을 한 문장으로 쓰세요.
답. 영역의 대칭과 좌표계의 대칭을 맞춥니다.
좌표계
변환
d V d V
직교
( x , y , z ) ( x , y , z ) d x d y d z d x d y d z
원기둥
( r cos θ , r sin θ , z ) ( r cos θ , r sin θ , z ) r d r d θ d z r d r d θ d z
구면
( ρ sin ϕ cos θ , ρ sin ϕ sin θ , ρ cos ϕ ) ( ρ sin ϕ cos θ , ρ sin ϕ sin θ , ρ cos ϕ ) ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ
자주 쓰는 값
공의 부피
\tfrac43\pi R^
구면의 넓이
4\pi\rho^
원기둥의 부피
π r 2 h π r 2 h
n n 1 / n ! 1 / n !
∫ 0 π sin ϕ d ϕ ∫ 0 π sin ϕ d ϕ 2 2
재는 양
피적분함수
부피
1 1
질량
δ δ
모멘트
z δ z δ
관성모멘트
( x 2 + y 2 ) δ ( x 2 + y 2 ) δ
무게중심
모멘트를 질량으로 나눔
자주 하는 실수
바로잡기
ρ 2 sin ϕ ρ 2 sin ϕ 야코비를 반드시 확인합니다
ϕ ϕ θ θ z z
ϕ ϕ 2 π 2 π 0 ≤ ϕ ≤ π 0 ≤ ϕ ≤ π
영역과 다른 좌표를 씁니다
대칭을 맞춥니다
문제 6. [ 0 , 1 ] 3 [ 0 , 1 ] 3 x y z x y z
답. 세 적분이 분리되어 ( 1 / 2 ) 3 = 1 / 8 ( 1 / 2 ) 3 = 1 / 8
문제 7. 반지름 3 3
답. 4 3 π ⋅ 27 = 36 π 3 4 π ⋅ 2 7 = 3 6 π
문제 8. 반지름 3 3
답. 4 π ⋅ 9 = 36 π 4 π ⋅ 9 = 3 6 π
문제 9. 반지름 r r h h
답. 2 π ⋅ r 2 2 ⋅ h = π r 2 h 2 π ⋅ 2 r 2 ⋅ h = π r 2 h
문제 10. 원기둥좌표의 야코비 행렬식을 쓰세요.
답. r r
문제 11. 구면좌표의 야코비 행렬식을 쓰세요.
답. ρ 2 sin ϕ ρ 2 sin ϕ
문제 12. ϕ ϕ
답. 0 ≤ ϕ ≤ π 0 ≤ ϕ ≤ π
문제 13. 단위 공에서 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2
답. 2 π ⋅ 2 ∫ 0 1 ρ 4 d ρ = 4 π 5 2 π ⋅ 2 ∫ 0 1 ρ 4 d ρ = 5 4 π
문제 14. 반지름 R R z z
답. ∭ ( x 2 + y 2 ) d V = 8 π R 5 15 ∭ ( x 2 + y 2 ) d V = 1 5 8 π R 5 2 5 R 2 5 2 R 2
문제 15. 균일한 반구의 무게중심 z ˉ z ˉ
답. 3 R / 8 3 R / 8
문제 16. 4 4
답. 1 / 24 1 / 2 4
문제 17. 원뿔 z ≤ r ≤ 1 z ≤ r ≤ 1
답. 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ z ≤ 1 0 ≤ z ≤ 1 z ≤ r ≤ 1 z ≤ r ≤ 1
문제 18. 구면좌표에서 상반구를 쓰세요.
답. 0 ≤ ϕ ≤ π / 2 0 ≤ ϕ ≤ π / 2
심화 1. 구면좌표의 야코비를 손으로 유도하세요.
변환이 다음과 같습니다.
x = ρ sin ϕ cos θ , y = ρ sin ϕ sin θ , z = ρ cos ϕ x = ρ sin ϕ cos θ , y = ρ sin ϕ sin θ , z = ρ cos ϕ
야코비 행렬을 세웁니다. 열이 ρ , ϕ , θ ρ , ϕ , θ
J = ( sin ϕ cos θ ρ cos ϕ cos θ − ρ sin ϕ sin θ sin ϕ sin θ ρ cos ϕ sin θ ρ sin ϕ cos θ cos ϕ − ρ sin ϕ 0 ) J = ⎝ ⎛ sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ cos ϕ ρ cos ϕ cos θ ρ cos ϕ sin θ − ρ sin ϕ − ρ sin ϕ sin θ ρ sin ϕ cos θ 0 ⎠ ⎞
셋째 행에 0 0 하면 편합니다.
det J = cos ϕ ⋅ M 31 − ( − ρ sin ϕ ) ⋅ M 32 det J = cos ϕ ⋅ M 3 1 − ( − ρ sin ϕ ) ⋅ M 3 2
여기서 부호까지 포함해 계산하면
M 31 = det ( ρ cos ϕ cos θ − ρ sin ϕ sin θ ρ cos ϕ sin θ ρ sin ϕ cos θ ) = ρ 2 sin ϕ cos ϕ M 3 1 = det ( ρ cos ϕ cos θ ρ cos ϕ sin θ − ρ sin ϕ sin θ ρ sin ϕ cos θ ) = ρ 2 sin ϕ cos ϕ
M 32 = det ( sin ϕ cos θ − ρ sin ϕ sin θ sin ϕ sin θ ρ sin ϕ cos θ ) = ρ 2 ϕ M 3 2 = det ( sin ϕ cos θ sin ϕ sin θ − ρ sin ϕ sin θ ρ sin ϕ cos θ ) = ρ sin 2 ϕ
여인수의 부호를 붙여 정리하면
det J = cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕ cos ϕ + ρ sin ϕ ⋅ ρ 2 ϕ = ρ 2 sin ϕ ( 2 ϕ + 2 ϕ ) = ρ 2 sin ϕ det J = cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕ cos ϕ + ρ sin ϕ ⋅ ρ sin 2 ϕ = ρ 2 sin ϕ ( cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = ρ 2 sin ϕ
2 + 2 = 1 cos 2 + sin 2 = 1
더 빠른 방법 이 있습니다. 야코비의 세 열이 서로 직교합니다.
열
방향
길이
∂ / ∂ ρ ∂ / ∂ ρ 지름 방향
1 1
∂ / ∂ ϕ ∂ / ∂ ϕ 위도 방향
ρ ρ
∂ / ∂ θ ∂ / ∂ θ 경도 방향
ρ sin ϕ ρ sin ϕ
직교하는 세 벡터가 만드는 직육면체의 부피는 길이의 곱 이므로
∣ det J ∣ = 1 ⋅ ρ ⋅ ρ sin ϕ = ρ 2 sin ϕ ∣ det J ∣ = 1 ⋅ ρ ⋅ ρ sin ϕ = ρ 2 sin ϕ
104강 심화 1에서 극좌표에 쓴 방법과 같습니다. 직교좌표계에서는 이 방법이 훨씬 빠르며, 각 방향의 척도인자만 곱하면 됩니다.
직교곡선좌표에서 ∣ det J ∣ = h 1 h 2 h 3 직교곡선좌표에서 ∣ det J ∣ = h 1 h 2 h 3
좌표계
h_{1}h_{2}h_
직교
1 ⋅ 1 ⋅ 1 1 ⋅ 1 ⋅ 1
원기둥
1 ⋅ r ⋅ 1 1 ⋅ r ⋅ 1
구면
1 ⋅ ρ ⋅ ρ sin ϕ 1 ⋅ ρ ⋅ ρ sin ϕ
심화 2. 고차원 공의 부피를 구하고 그 거동을 논하세요.
104강 심화 3의 방사대칭 공식을 씁니다.
V n ( R ) = ∫ 0 R S n − 1 ( r ) d r = ∫ 0 R 2 π n / 2 Γ ( n / 2 ) r n − 1 d r = π n / 2 Γ ( n / 2 + 1 ) R n V n ( R ) = ∫ 0 R S n − 1 ( r ) d r = ∫ 0 R Γ ( n / 2 ) 2 π n / 2 r n − 1 d r = Γ ( n / 2 + 1 ) π n / 2 R n
차원별로 확인합니다.
n n V n ( 1 ) V n ( 1 ) 값
1 1 2 2 2.0000 2 . 0 0 0 0
2 2 π π 3.1416 3 . 1 4 1 6
3 3 4 3 π 3 4 π 4.1888 4 . 1 8 8 8
4 4 \tfrac{\pi^{2}}
4.9348 4 . 9 3 4 8
5 5 \tfrac{8\pi^{2}}
5.2638 5 . 2 6 3 8
6 6 \tfrac{\pi^{3}}
5.1677 5 . 1 6 7 7
10 1 0 2.5502 2 . 5 5 0 2
20 2 0 0.0258 0 . 0 2 5 8
n = 5 n = 5 n → ∞ n → ∞ 0 0
V n ( 1 ) → 0 V n ( 1 ) → 0
직관에 어긋납니다. 차원이 오르면 공간이 넓어질 텐데 단위 공의 부피가 줄어듭니다.
이유는 비교 대상에 있습니다. 단위 공은 한 변이 2 2 2 n 2 n
V n ( 1 ) 2 n → 0 매우 빠르게 2 n V n ( 1 ) → 0 매우 빠르게
고차원 정육면체의 부피는 거의 전부 모서리에 있습니다. 중심의 공은 무시할 만합니다.
n = 20 n = 2 0 V 20 ( 1 ) = 0.0258 V 2 0 ( 1 ) = 0 . 0 2 5 8 2 20 ≈ 1 0 6 2 2 0 ≈ 1 0 6 2.5 × 1 0 − 8 2 . 5 × 1 0 − 8
이 현상이 실무에 뜻하는 바 가 있습니다.
관찰
결과
정육면체의 부피가 모서리에 몰립니다
균등 표본이 중심 근처를 거의 안 뽑습니다
공의 부피가 껍질에 몰립니다
표본이 모두 비슷한 거리에 있습니다
두 무작위 점의 거리가 집중됩니다
최근접 이웃이 무의미해집니다
셋째 줄이 213강의 주제 입니다. 고차원에서 거리 기반 방법이 무너지는 이유이며, 103강 심화 3의 차원의 저주와 같은 뿌리입니다.
심화 3. 삼중적분의 순서 선택이 왜 중요한지 예로 보이세요.
문제 5에서 좌표 선택을 봤습니다. 같은 좌표 안에서도 순서가 중요합니다.
원뿔 E = { x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 } E = { x 2 + y 2 ≤ z ≤ 1 }
r r z z 0 ≤ r ≤ z 0 ≤ r ≤ z
∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 z r d r d z d θ = 2 π ∫ 0 1 z 2 2 d z = π 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ 0 z r d r d z d θ = 2 π ∫ 0 1 2 z 2 d z = 3 π
z z r r r ≤ z ≤ 1 r ≤ z ≤ 1
∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 1 r d z d r d θ = 2 π ∫ 0 1 r ( 1 − r ) d r = 2 π ( 1 2 − 1 3 ) = π 3 ∫ 0 2 π ∫ 0 1 ∫ r 1 r d z d r d θ = 2 π ∫ 0 1 r ( 1 − r ) d r = 2 π ( 2 1 − 3 1 ) = 3 π
둘 다 쉽고 값이 같습니다. 이 예에서는 차이가 없습니다.
차이가 큰 경우 를 봅니다. 밀도가 δ = e z 3 δ = e z 3 z z ∫ e z 3 d z ∫ e z 3 d z r r
2 π ∫ 0 1 e z 3 z 2 2 d z = π ∫ 0 1 z 2 e z 3 d z = π ( e − 1 ) 3 2 π ∫ 0 1 e z 3 2 z 2 d z = π ∫ 0 1 z 2 e z 3 d z = 3 π ( e − 1 )
z 2 z 2
안쪽 적분이 바깥에 필요한 인자를 만들어 줍니다 안쪽 적분이 바깥에 필요한 인자를 만들어 줍니다
순서 선택의 요령 을 정리합니다.
상황
대응
어떤 변수의 부정적분이 없습니다
그 변수를 바깥으로
영역이 한 변수로 단순합니다
그 변수를 바깥으로
안쪽 적분이 인자를 만들어 줍니다
그 순서를 씁니다
세 변수면 6 6 , 대개 영역의 모양이 한두 가지로 좁혀 줍니다.
심화 4. 삼중적분이 확률에서 어떻게 쓰이는지 예고하세요.
103강 심화 5에서 이중적분과 확률의 대응을 봤습니다. 삼중적분도 같습니다.
P ( ( X , Y , Z ) ∈ A ) = ∭ A p ( x , y , z ) d V P ( ( X , Y , Z ) ∈ A ) = ∭ A p ( x , y , z ) d V
변수가 셋인 결합분포 이며, 실제로는 훨씬 많은 변수를 다룹니다.
이 강의
S6에서
부피
사건의 확률
밀도 δ δ
확률밀도 p p
질량 M M
전체 확률 1 1
무게중심
기댓값 E [ X ] E [ X ]
관성모멘트
분산과 공분산
넷째 줄과 다섯째 줄의 대응이 정확합니다.
z ˉ = 1 M ∭ z δ d V ⟷ E [ Z ] = ∭ z p d V z ˉ = M 1 ∭ z δ d V ⟷ E [ Z ] = ∭ z p d V
I z = ∭ ( x 2 + y 2 ) δ d V ⟷ Var ( X ) + Var ( Y ) I z = ∭ ( x 2 + y 2 ) δ d V ⟷ V a r ( X ) + V a r ( Y )
질량 분포와 확률 분포가 같은 수학 입니다. 그래서 물리의 관성텐서와 통계의 공분산행렬이 같은 형태를 갖습니다.
I = ∭ ( ∥ r ∥ 2 I − r r ⊤ ) δ d V vs Σ = ∫ ( x − μ ) ( x − μ ) ⊤ p d x I = ∭ ( ∥ r ∥ 2 I − r r ⊤ ) δ d V vs Σ = ∫ ( x − μ ) ( x − μ ) ⊤ p d x
둘 다 대칭행렬이고 고유벡터가 주축 입니다. 86강의 스펙트럼 정리가 양쪽에 적용되며, 물리에서는 주관성축이고 통계에서는 주성분입니다. 89강의 주성분분석과 강체의 관성주축이 같은 계산 입니다.
같은 대수적 대상이 분야마다 다른 이름을 가집니다 같은 대수적 대상이 분야마다 다른 이름을 가집니다
140강의 다변량 정규분포 에서 이 대응이 완성됩니다. 밀도의 등고선이 타원체이고 그 축이 Σ Σ ( 2 π ) n / 2 det Σ ( 2 π ) n / 2 det Σ
심화 5. 곡면 위의 적분을 예고하세요.
이 강의에서 부피 를 쟀습니다. 문제 3에서 구면의 넓이도 구했는데, 그것은 부피 요소에서 d ρ d ρ
곡면 위의 적분을 제대로 세우려면 곡면의 넓이 요소가 필요합니다.
곡면을 r ( u , v ) r ( u , v )
r u = ∂ r ∂ u , r v = ∂ r ∂ v r u = ∂ u ∂ r , r v = ∂ v ∂ r
두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이 가 넓이 요소이고, 65강의 외적이 그것을 줍니다.
d S = ∥ r u × r v ∥ d u d v d S = ∥ r u × r v ∥ d u d v
구면에서 확인합니다. r ( ϕ , θ ) = ρ ( sin ϕ cos θ , sin ϕ sin θ , cos ϕ ) r ( ϕ , θ ) = ρ ( sin ϕ cos θ , sin ϕ sin θ , cos ϕ )
∥ r ϕ ∥ = ρ , ∥ r θ ∥ = ρ sin ϕ ∥ r ϕ ∥ = ρ , ∥ r θ ∥ = ρ sin ϕ
이고 두 벡터가 직교하므로
d S = ρ 2 sin ϕ d ϕ d θ d S = ρ 2 sin ϕ d ϕ d θ
문제 3에서 쓴 것과 같습니다. 편법이 아니라 정당한 결과였습니다.
이 방향의 확장 을 적어 둡니다.
대상
넓이 요소
쓰는 도구
곡선
∥ γ ′ ∥ d t ∥ γ ′ ∥ d t 노름
곡면
∥ r u × r v ∥ d u d v ∥ r u × r v ∥ d u d v 외적
입체
∣ det J ∣ d u d v d w ∣ det J ∣ d u d v d w 행렬식
셋이 같은 것의 차원별 판 입니다. 일반적으로는 det ( J ⊤ J ) det ( J ⊤ J ) J J ∣ det J ∣ ∣ det J ∣
det ( J ⊤ J ) det ( J ⊤ J )
**82강의 정규방정식에 나온 A ⊤ A A ⊤ A
이 방향을 끝까지 밀면 벡터장의 선적분과 면적분, 그린 정리와 스토크스 정리, 발산 정리가 나옵니다. 이 과목에서는 다루지 않지만 398강의 부피 렌더링 방정식과 402강의 미분 가능 래스터화에서 곡면 적분을 씁니다.
심화 6. 03단원을 정리하고 04단원을 예고하세요.
03단원은 미분에서 잠시 벗어나 적분을 세운 단원 이었습니다.
강의
한 일
103
이중적분을 정의하고 반복적분으로 환원했습니다
104
극좌표를 쓰고 가우스 적분을 얻었습니다
105
임의의 변수변환으로 일반화했습니다
106
3차원으로 올리고 두 표준 좌표계를 다뤘습니다
단원 전체를 관통한 문장 이 있습니다.
좌표를 바꿔 영역을 단순하게 만들고 그 대가를 야코비로 치릅니다 좌표를 바꿔 영역을 단순하게 만들고 그 대가를 야코비로 치릅니다
S4가 여기서도 도구였습니다.
S4에서 만든 것
쓰인 곳
79강 행렬식과 부피
105강 변수변환의 근거
65강 외적
심화 5의 곡면 넓이
87강 콜레스키
105강 가우스 정규화
78강 여인수 전개
심화 1의 야코비 계산
그리고 98강이 이 단원의 열쇠 였습니다. 야코비 행렬식이 국소 부피 배율이라는 사실 하나가 104강, 105강, 106강 전부를 지탱합니다.
04단원에서 최적화로 돌아갑니다. 02단원에서 "무엇이 최소인가"에 답했으니 이제 "어떻게 찾는가"에 답할 차례입니다.
강의
하는 일
107
볼록집합과 볼록함수를 정의합니다
108
볼록성을 판정하고 부등식을 세웁니다
109
경사하강법을 세웁니다
110
학습률과 수렴 속도를 유도합니다
111
모멘텀과 적응적 학습률을 다룹니다
112
뉴턴법과 이차 방법으로 마무리합니다
107강이 국소와 전역을 잇습니다. 101강 심화 2에서 국소 판정이 전역 최소를 주지 않는다고 했는데, 볼록함수에서는 줍니다.
f 가 볼록 ⟹ 모든 국소 최소가 전역 최소 f 가 볼록 ⟹ 모든 국소 최소가 전역 최소
그 판정이 헤세로 이뤄집니다. 02단원의 도구가 04단원에서 다시 쓰이며, 이번에는 한 점이 아니라 모든 점에서의 조건입니다.
이 단원의 적분도 04단원에서 다시 만납니다. 235강의 확률적 경사하강법이 기댓값의 기울기를 표본으로 추정하는데, 그 기댓값이 곧 적분이고 103강 심화 3의 차원의 저주가 표본을 쓰는 이유입니다.
03단원은 우회가 아니라 S6로 가는 다리입니다 03 단원은 우회가 아니라 S6 로 가는 다리입니다
import numpy as np
# --- 문제 1: 삼중적분과 부피 --------------------------------------------
print(" 사면체 x,y,z>=0, x+y+z<=1 의 부피")
print(" = int_0^1 int_0^{1-x} int_0^{1-x-y} dz dy dx = int_0^1 (1-x)^2/2 dx = 1/6")
print(" = %.10f" % (1/6))
N = 700
g = (np.arange(N) + 0.5)/N
X, Y, Z = np.meshgrid(g, g, g, indexing='ij')
print(" 수치(격자 %d^3) %.8f 오차 %.3e" % (N, ((X+Y+Z) <= 1).mean(), abs(((X+Y+Z) <= 1).mean() - 1/6)))
print(" n 차원 단체의 부피는 1/n! 입니다: 1/3! = %.10f" % (1/6))
# 사면체 x,y,z>=0, x+y+z<=1 의 부피
# = int_0^1 int_0^{1-x} int_0^{1-x-y} dz dy dx = int_0^1 (1-x)^2/2 dx = 1/6
# = 0.1666666667
# 수치(격자 700^3) 0.16666633 오차 3.401e-07
# n 차원 단체의 부피는 1/n! 입니다: 1/3! = 0.1666666667
# --- 문제 2: 원기둥좌표 --------------------------------------------------
print(" 원기둥좌표 (r cos th, r sin th, z), |det J| = r")
Jc = lambda r, th: np.array([[np.cos(th), -r*np.sin(th), 0.0],
[np.sin(th), r*np.cos(th), 0.0],
[0.0, 0.0, 1.0]])
for r, th in [(2.0, 0.7), (3.0, 2.1)]:
print(" r=%.1f th=%.1f det = %.6f (= r)" % (r, th, np.linalg.det(Jc(r, th))))
print(" 반지름 2, 높이 5 인 원기둥의 부피 = 2pi * [r^2/2]_0^2 * 5 = %.6f" % (np.pi*4*5))
print(" 포물면 z = x^2+y^2 아래, z <= 4 인 부피")
print(" = int_0^{2pi} int_0^2 (4 - r^2) r dr dth = 2pi*[2r^2 - r^4/4]_0^2 = %.6f" % (2*np.pi*(8-4)))
# 원기둥좌표 (r cos th, r sin th, z), |det J| = r
# r=2.0 th=0.7 det = 2.000000 (= r)
# r=3.0 th=2.1 det = 3.000000 (= r)
# 반지름 2, 높이 5 인 원기둥의 부피 = 2pi * [r^2/2]_0^2 * 5 = 62.831853
# 포물면 z = x^2+y^2 아래, z <= 4 인 부피
# = int_0^{2pi} int_0^2 (4 - r^2) r dr dth = 2pi*[2r^2 - r^4/4]_0^2 = 25.132741
# --- 문제 3: 구면좌표 ----------------------------------------------------
def Js(rho, ph, th):
return np.array([
[np.sin(ph)*np.cos(th), rho*np.cos(ph)*np.cos(th), -rho*np.sin(ph)*np.sin(th)],
[np.sin(ph)*np.sin(th), rho*np.cos(ph)*np.sin(th), rho*np.sin(ph)*np.cos(th)],
[np.cos(ph), -rho*np.sin(ph), 0.0]])
print(" 구면좌표 |det J| = rho^2 sin(phi)")
for rho, ph, th in [(2.0, 0.6, 1.0), (1.5, 2.3, 0.4)]:
print(" rho=%.1f phi=%.1f det = %+.6f rho^2 sin phi = %+.6f"
% (rho, ph, np.linalg.det(Js(rho, ph, th)), rho**2*np.sin(ph)))
print(" 반지름 R 인 공의 부피 = int_0^{2pi} int_0^{pi} int_0^R rho^2 sin ph drho dph dth")
print(" = 2pi * 2 * R^3/3 = 4 pi R^3 / 3. R=2 이면 %.6f" % (4*np.pi*8/3))
print(" 구면의 넓이: int_0^{2pi} int_0^{pi} rho^2 sin ph dph dth = 4 pi rho^2")
print(" rho=2 이면 %.6f" % (4*np.pi*4))
# 구면좌표 |det J| = rho^2 sin(phi)
# rho=2.0 phi=0.6 det = +2.258570 rho^2 sin phi = +2.258570
# rho=1.5 phi=2.3 det = +1.677837 rho^2 sin phi = +1.677837
# 반지름 R 인 공의 부피 = int_0^{2pi} int_0^{pi} int_0^R rho^2 sin ph drho dph dth
# = 2pi * 2 * R^3/3 = 4 pi R^3 / 3. R=2 이면 33.510322
# 구면의 넓이: int_0^{2pi} int_0^{pi} rho^2 sin ph dph dth = 4 pi rho^2
# rho=2 이면 50.265482
# --- 문제 4: 질량과 무게중심 --------------------------------------------
print(" 반구 rho <= 1, z >= 0 에 밀도 rho(x,y,z) = z 를 줍니다")
print(" 질량 = int int int (rho cos ph) rho^2 sin ph drho dph dth")
print(" = 2pi * [rho^4/4]_0^1 * int_0^{pi/2} cos ph sin ph dph = 2pi*(1/4)*(1/2) = %.10f" % (np.pi/4))
print(" z 모멘트 = 2pi * [rho^5/5]_0^1 * int_0^{pi/2} cos^2 ph sin ph dph = 2pi*(1/5)*(1/3) = %.10f" % (2*np.pi/15))
print(" 무게중심 z = (2pi/15)/(pi/4) = %.10f" % ((2*np.pi/15)/(np.pi/4)))
# 반구 rho <= 1, z >= 0 에 밀도 rho(x,y,z) = z 를 줍니다
# 질량 = int int int (rho cos ph) rho^2 sin ph drho dph dth
# = 2pi * [rho^4/4]_0^1 * int_0^{pi/2} cos ph sin ph dph = 2pi*(1/4)*(1/2) = 0.7853981634
# z 모멘트 = 2pi * [rho^5/5]_0^1 * int_0^{pi/2} cos^2 ph sin ph dph = 2pi*(1/5)*(1/3) = 0.4188790205
# 무게중심 z = (2pi/15)/(pi/4) = 0.5333333333
# 균일한 반구는 3/8 = 0.375 인데 밀도가 z 이라 위로 쏠려 8/15 가 됩니다.
# --- 문제 5: 좌표 선택 ---------------------------------------------------
print(" 같은 부피를 세 좌표로 계산: 반지름 1 인 공")
print(" 직교: int_{-1}^{1} pi(1-z^2) dz = pi[z - z^3/3] = %.6f" % (np.pi*(2 - 2/3)))
print(" 원기둥: int_0^{2pi} int_0^1 2 sqrt(1-r^2) r dr dth = 2pi*(2/3) = %.6f" % (2*np.pi*2/3))
print(" 구면: 2pi * 2 * 1/3 = %.6f" % (4*np.pi/3))
# 같은 부피를 세 좌표로 계산: 반지름 1 인 공
# 직교: int_{-1}^{1} pi(1-z^2) dz = pi[z - z^3/3] = 4.188790
# 원기둥: int_0^{2pi} int_0^1 2 sqrt(1-r^2) r dr dth = 2pi*(2/3) = 4.188790
# 구면: 2pi * 2 * 1/3 = 4.188790
# 세 좌표가 같은 값을 냅니다. 구면좌표만 근호 없이 완전히 분리됩니다.
문제 5가 03단원의 결론입니다. 같은 부피를 세 좌표로 계산했고 답은 같지만, 구면좌표에서만 근호 없이 세 적분이 완전히 분리됩니다.
영역의 대칭과 좌표계의 대칭을 맞춥니다 영역의 대칭과 좌표계의 대칭을 맞춥니다
이것으로 03단원이 끝나고 107강에서 최적화로 돌아갑니다.
삼중적분에서 f = 1 f = 1
n n 원기둥좌표의 부피 요소를 쓰세요.
극좌표와 야코비가 같은 이유를 쓰세요.
구면좌표의 부피 요소를 쓰세요.
ρ 2 ρ 2 sin ϕ sin ϕ ϕ ϕ 공의 부피와 구면의 넓이를 쓰세요.
무게중심의 정의를 쓰세요.
좌표 선택의 원칙을 쓰세요.
정답.
부피입니다.
1 / n ! 1 / n ! r d r d θ d z r d r d θ d z z z 1 1 ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ ρ 2 ρ 2 sin ϕ sin ϕ 0 ≤ ϕ ≤ π 0 ≤ ϕ ≤ π 4 3 π R 3 3 4 π R 3 4 π ρ 2 4 π ρ 2 모멘트를 질량으로 나눈 것입니다.
영역의 대칭과 좌표계의 대칭을 맞춥니다.
기호
읽는 법
뜻
∭ E f d V ∭ E f d V 삼중적분
f = 1 f = 1
r , θ , z r , θ , z 원기둥좌표
d V = r d r d θ d z d V = r d r d θ d z
ρ , ϕ , θ ρ , ϕ , θ 구면좌표
d V = ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ d V = ρ 2 sin ϕ d ρ d ϕ d θ
ϕ ϕ 극각
z z [ 0 , π ] [ 0 , π ]
θ θ 방위각
경도이며 [ 0 , 2 π ) [ 0 , 2 π )
δ δ 밀도
적분하면 질량입니다
z ˉ z ˉ 무게중심
모멘트를 질량으로 나눕니다
h_{1}h_{2}h_
척도인자의 곱
직교곡선좌표의 야코비입니다
det ( J ⊤ J ) det ( J ⊤ J ) 그람 행렬식
저차원 대상의 부피입니다
이것으로 03단원 다변수 적분 이 끝납니다. 다음 107강부터 시작하는 04단원 볼록성과 경사법 에서는 최적화로 돌아갑니다. 02단원에서 무엇이 최소인지 답했으니 이제 어떻게 찾는지에 답할 차례이며, 107강의 볼록성이 국소 최소를 전역 최소로 승격 시킵니다. 그 판정이 헤세로 이뤄지므로 02단원의 도구가 다시 쓰이고, 이번에는 한 점이 아니라 모든 점에서의 조건입니다.