정의. 집합 A의 모든 원소가 집합 B에도 속하면 A를 B의 부분집합이라 하고 A⊆B라 씁니다. 기호로 쓰면
A⊆B⟺∀x(x∈A→x∈B)
입니다. 두 집합 A와 B가 같다는 것은 서로 부분집합인 것으로 정의합니다.
A=B⟺(A⊆B)∧(B⊆A)
이 정의는 매우 중요합니다. 두 집합이 같음을 증명할 때는 보통 "A⊆B"와 "B⊆A"를 각각 보입니다.
원소의 개수가 n인 집합의 부분집합은 모두 2n개입니다. 각 원소마다 "넣는다/뺀다" 두 가지 선택이 독립적으로 있기 때문입니다.
문제 1. (기초) {1,2}⊆{1,2,3}의 참·거짓을 말하십시오. 답. 참 풀이. 왼쪽 집합의 원소 1과 2가 모두 오른쪽 집합에 들어 있으므로 부분집합입니다.
문제 2. (표준) A={1,2,3}의 부분집합의 개수를 구하십시오. 답.8 풀이. 원소가 3개이므로 부분집합은 23=8개입니다. 공집합과 자기 자신도 포함됩니다.
문제 3. (심화) 왜 공집합 ∅이 모든 집합 A의 부분집합인지 설명하십시오. 답.∀x(x∈∅→x∈A)에서 가정 x∈∅이 항상 거짓이라 조건명제가 공허하게 참이기 때문입니다. 풀이.∅⊆A는 "모든 x에 대해 x∈∅이면 x∈A"라는 뜻입니다. 그런데 x∈∅은 어떤 x에 대해서도 거짓입니다. 1강에서 본 대로 가정이 거짓인 조건명제는 공허하게 참이므로, 이 문장은 모든 x에서 참입니다. 따라서 ∅⊆A입니다.
각 연산이 1강의 논리 연산과 짝을 이룸에 주목합니다. 합집합은 ∨, 교집합은 ∧, 여집합은 ¬에 대응합니다. 그래서 논리의 드모르간 법칙이 그대로 집합의 드모르간 법칙이 됩니다.
(A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∩아님
정확히 쓰면
(A∪B)c=Ac∩Bc,(A∩B)c=Ac∪Bc
입니다.
문제 1. (기초) A={1,2,3}, B={2,3,4}일 때 A∩B와 A∪B를 구하십시오. 답.A∩B={2,3}, A∪B={1,2,3,4} 풀이. 교집합은 두 집합에 모두 있는 2,3입니다. 합집합은 둘 중 하나에라도 있는 1,2,3,4입니다.
문제 2. (표준) A={1,2,3}, B={2,3,4}일 때 A∖B를 구하십시오. 답.{1} 풀이. 차집합 A∖B는 A에는 있고 B에는 없는 원소입니다. 1은 B에 없고, 2,3은 B에 있으므로 결과는 {1}입니다.
문제 3. (심화) 전체집합 U={1,2,3,4,5}, A={1,2}, B={2,3}일 때 (A∪B)c와 Ac∩Bc를 각각 구해 드모르간 법칙을 확인하십시오. 답. 둘 다 {4,5}입니다. 풀이.A∪B={1,2,3}이므로 (A∪B)c={4,5}입니다. 한편 Ac={3,4,5}, Bc={1,4,5}이므로 Ac∩Bc={4,5}입니다. 두 결과가 같으므로 드모르간 법칙 (A∪B)c=Ac∩Bc가 확인됩니다.
여기서 (a,b)는 순서쌍이라 순서가 중요합니다. (1,2)와 (2,1)은 다릅니다. 곱집합의 크기는 ∣A×B∣=∣A∣⋅∣B∣입니다. A의 원소 하나마다 B의 원소 전부와 짝지을 수 있기 때문입니다.
평면 좌표 R×R=R2가 곱집합의 대표 예입니다. 다음 강의의 관계와 이번 강의의 함수는 모두 곱집합의 부분집합으로 정의됩니다.
문제 1. (기초) A={1,2}, B={a,b}일 때 A×B를 모두 쓰십시오. 답.{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)} 풀이.A의 각 원소를 B의 각 원소와 순서쌍으로 짝지으면 2×2=4개의 순서쌍이 나옵니다.
문제 2. (표준) ∣A∣=3, ∣B∣=4일 때 ∣A×B∣를 구하십시오. 답.12 풀이. 곱집합의 크기는 두 집합 크기의 곱이므로 3×4=12입니다.
문제 3. (표준) (2,3)∈A×B이고 (3,2)∈/A×B일 수 있는지 예를 들어 설명하십시오. 답. 가능합니다. 예를 들어 A={2}, B={3}이면 (2,3)∈A×B이지만 (3,2)∈/A×B입니다. 풀이. 곱집합의 순서쌍은 첫 성분이 A, 둘째 성분이 B에서 와야 합니다. A={2},B={3}이면 (2,3)은 조건을 만족하지만, (3,2)는 첫 성분 3이 A에 없어 속하지 않습니다. 순서가 뜻을 바꿈을 보여 줍니다.
정의. 집합 A에서 집합 B로 가는 함수f:A→B는, A의 각 원소 x에 대해 B의 원소 f(x)를 정확히 하나 대응시키는 규칙입니다.
A를 정의역, B를 공역이라 합니다.
실제로 나오는 값들의 집합 {f(x)∣x∈A}를 치역이라 합니다.
두 조건이 핵심입니다. 정의역의 모든 원소가 대응되어야 하고, 각 원소에 대응하는 값이 하나뿐이어야 합니다. 하나의 입력에 두 값이 나오면 함수가 아닙니다.
치역은 공역의 부분집합입니다. 공역은 "값이 담길 수 있는 그릇"이고, 치역은 "실제로 담긴 값"입니다. 예를 들어 f:R→R, f(x)=x2은 공역이 R이지만 치역은 [0,∞)입니다.
문제 1. (기초) A={1,2,3}에서 규칙 f(x)=2x로 정의된 대응의 치역을 구하십시오(공역은 R). 답.{2,4,6} 풀이.f(1)=2,f(2)=4,f(3)=6이므로 실제로 나오는 값의 집합, 즉 치역은 {2,4,6}입니다.
문제 2. (표준) x에 대해 y2=x로 y를 대응시키는 규칙이 R≥0→R의 함수가 아닌 이유를 말하십시오. 답.x>0일 때 y=x와 y=−x 두 값이 대응되어 값이 하나로 정해지지 않기 때문입니다. 풀이. 함수는 각 입력에 값이 정확히 하나여야 합니다. x=4이면 y2=4를 만족하는 y가 2와 −2로 둘이므로 대응이 하나로 정해지지 않습니다. 따라서 함수가 아닙니다.
문제 3. (표준) f:R→R, f(x)=x2+1의 치역을 구하십시오. 답.[1,∞) 풀이.x2≥0이므로 x2+1≥1입니다. 그리고 x=0에서 1을 얻고 x가 커지면 값이 무한히 커지므로 치역은 1 이상의 모든 실수, 즉 [1,∞)입니다.
단사(일대일): 서로 다른 입력이 서로 다른 값으로 간다. 즉 f(x1)=f(x2)⇒x1=x2.
전사(위로의): 공역의 모든 원소가 적어도 하나의 입력에서 나온다. 즉 치역이 공역과 같다.
전단사: 단사이면서 전사.
직관은 이렇습니다. 단사는 "두 입력이 한 값으로 겹치지 않는다", 전사는 "공역에 빈자리가 없다"입니다. 전단사는 입력과 출력이 완벽하게 짝을 이루는 경우로, 이때만 역함수가 존재합니다.
단사 판정에는 대우를 자주 씁니다. f(x1)=f(x2)⇒x1=x2가 원래 조건인데, 이를 직접 보이거나 "x1=x2이면 f(x1)=f(x2)"라는 대우로 보입니다.
문제 1. (기초) f:R→R, f(x)=2x+1이 단사인지 판정하십시오. 답. 단사입니다. 풀이.f(x1)=f(x2)이면 2x1+1=2x2+1이므로 2x1=2x2, 따라서 x1=x2입니다. 서로 다른 입력이 같은 값을 가질 수 없으므로 단사입니다.
문제 2. (표준) f:R→R, f(x)=x2이 단사도 전사도 아님을 보이십시오. 답.f(2)=f(−2)=4라서 단사가 아니고, 음수 값이 나오지 않아 전사가 아닙니다. 풀이. 단사 반례: 2=−2인데 f(2)=4=f(−2)이므로 서로 다른 입력이 같은 값을 가져 단사가 아닙니다. 전사 반례: 공역 R의 원소 −1은 x2=−1을 만족하는 실수 x가 없어 어떤 입력에서도 나오지 않으므로 전사가 아닙니다.
문제 3. (심화) f:R→R, f(x)=x3이 전단사임을 설명하십시오. 답. 단조증가라 단사이고, 모든 실수 값을 취하므로 전사이며, 따라서 전단사입니다. 풀이. 단사: x3은 실수에서 순증가하므로 x1=x2이면 x13=x23입니다(대우로 단사). 전사: 임의의 실수 y에 대해 x=3y가 x3=y를 만족하므로 공역의 모든 값이 나옵니다. 단사이면서 전사이므로 전단사입니다.
로 정의합니다. 먼저 f를 적용하고, 그 결과에 g를 적용합니다. 순서에 주의합니다. g∘f는 "f 먼저"입니다.
정의.f:A→B가 전단사이면 각 y∈B에 대해 f(x)=y인 x가 정확히 하나 있습니다. 이 대응을 역함수f−1:B→A라 하며
f−1(y)=x⟺f(x)=y
를 만족합니다. 역함수는 전단사일 때만 존재합니다. 단사가 아니면 한 y에 두 x가 대응해 역이 함수가 못 되고, 전사가 아니면 어떤 y에는 대응하는 x가 없기 때문입니다.
역함수는 원함수를 되돌립니다. 즉 f−1(f(x))=x이고 f(f−1(y))=y입니다.
문제 1. (기초) f(x)=x+3, g(x)=2x일 때 (g∘f)(1)을 구하십시오. 답.8 풀이. 먼저 f(1)=1+3=4, 그다음 g(4)=2×4=8입니다. 따라서 (g∘f)(1)=8입니다.
문제 2. (표준) f(x)=2x+1의 역함수를 구하십시오(f:R→R). 답.f−1(y)=2y−1 풀이.y=2x+1을 x에 대해 풀면 2x=y−1, x=2y−1입니다. 이 대응이 역함수입니다. f가 전단사(2.6 문제 1에서 단사, 일차식이라 전사)이므로 역함수가 존재합니다.
문제 3. (심화) f(x)=x2 (f:R→R)에 역함수가 없는 이유를 정의역 제한으로 어떻게 해결하는지 설명하십시오. 답. 전단사가 아니라 역함수가 없지만, 정의역을 [0,∞)로 제한하면 전단사가 되어 f−1(y)=y가 됩니다. 풀이.f(x)=x2은 R 전체에서 단사가 아니고(예: ±2) 전사도 아니라 역함수가 없습니다. 그러나 정의역을 [0,∞)로, 공역을 [0,∞)로 제한하면 서로 다른 음이 아닌 수의 제곱은 서로 다르고(단사) 모든 음 아닌 값이 나오므로(전사) 전단사가 됩니다. 이때 역함수는 f−1(y)=y입니다.
문제 1. (기초) {x∣x는10의양의약수}를 원소나열법으로 쓰십시오. 답.{1,2,5,10} 풀이.10을 나누어떨어지게 하는 양의 정수는 1,2,5,10입니다.
문제 2. (기초) A={1,2,3,4}, B={3,4,5}일 때 A∩B를 구하십시오. 답.{3,4} 풀이. 두 집합에 모두 속하는 원소는 3과 4입니다.
문제 3. (기초) ∣A∣=4인 집합의 부분집합 개수를 구하십시오. 답.16 풀이.24=16입니다.
문제 4. (표준) A={1,2,3,4}, B={3,4,5}일 때 A∖B와 B∖A를 각각 구하십시오. 답.A∖B={1,2}, B∖A={5} 풀이.A∖B는 A에만 있는 1,2입니다. B∖A는 B에만 있는 5입니다. 차집합은 방향에 따라 다름에 주의합니다.
문제 5. (표준) U={1,…,6}, A={1,2,3}, B={3,4}일 때 (A∩B)c를 구하십시오. 답.{1,2,4,5,6} 풀이.A∩B={3}이므로 여집합은 전체에서 3을 뺀 {1,2,4,5,6}입니다.
문제 6. (표준) f:R→R, f(x)=3x−2가 전단사임을 보이십시오. 답. 단사이고 전사이므로 전단사입니다. 풀이. 단사: 3x1−2=3x2−2⇒x1=x2. 전사: 임의의 y에 대해 x=3y+2가 f(x)=y를 만족하므로 모든 값이 나옵니다. 따라서 전단사입니다.
문제 7. (표준) f(x)=x+1, g(x)=x2일 때 (f∘g)(x)와 (g∘f)(x)를 구하고 다름을 보이십시오. 답.(f∘g)(x)=x2+1, (g∘f)(x)=(x+1)2로 서로 다릅니다. 풀이.(f∘g)(x)=f(g(x))=f(x2)=x2+1입니다. (g∘f)(x)=g(f(x))=g(x+1)=(x+1)2입니다. 예로 x=1이면 앞은 2, 뒤는 4로 다르므로 합성은 순서에 따라 결과가 달라집니다.
문제 8. (표준) f:R→R, f(x)=∣x∣가 단사가 아님을 반례로 보이십시오. 답.f(1)=f(−1)=1이므로 단사가 아닙니다. 풀이.1=−1이지만 ∣1∣=1=∣−1∣이므로 서로 다른 입력이 같은 값을 가집니다. 따라서 단사가 아닙니다.
문제 9. (표준) A={1,2}, B={1,2,3}일 때 A×B의 크기를 구하고 (2,1)이 속하는지 판정하십시오. 답. 크기 6, (2,1)∈A×B. 풀이.∣A×B∣=2×3=6입니다. (2,1)은 첫 성분 2∈A, 둘째 성분 1∈B이므로 곱집합에 속합니다.
문제 10. (심화) 유한집합 A, B에 대해 f:A→B가 전단사이면 ∣A∣=∣B∣임을 설명하십시오. 답. 전단사는 A와 B의 원소를 하나씩 짝지으므로 두 집합의 원소 개수가 같습니다. 풀이. 단사이므로 A의 서로 다른 원소는 B의 서로 다른 값으로 가고(값이 겹치지 않음), 전사이므로 B의 모든 원소가 대응됩니다(빈자리 없음). 따라서 A의 원소와 B의 원소가 완전한 짝을 이루어 개수가 같아야 합니다. 즉 ∣A∣=∣B∣입니다.
문제 11. (심화) g∘f가 단사이면 f가 단사임을 보이십시오. 답.f(x1)=f(x2)이면 g(f(x1))=g(f(x2))이고 g∘f가 단사라 x1=x2이므로 f는 단사입니다. 풀이.f(x1)=f(x2)라고 하면 양변에 g를 적용해 g(f(x1))=g(f(x2)), 즉 (g∘f)(x1)=(g∘f)(x2)입니다. g∘f가 단사이므로 x1=x2입니다. 따라서 f는 단사입니다.
문제 12. (심화) f:R→R, f(x)=1+∣x∣x의 치역이 (−1,1)임을 직관적으로 설명하십시오. 답. 분모가 분자보다 항상 커서 값이 −1과 1 사이에 있고, 그 사이의 모든 값을 취하므로 치역은 열린구간 (−1,1)입니다. 풀이.x≥0이면 f(x)=1+xx로 0부터 1에 가까워지지만 1에 도달하지 않고, x<0이면 대칭으로 −1에 가까워지지만 도달하지 않습니다. 값이 항상 −1<f(x)<1 범위 안에서 연속으로 움직이며 그 사이 모든 값을 취하므로 치역은 (−1,1)입니다.
정답 요지: (1) 예: {1,2,3}={x∣x는1∼3정수}. (2) A⊆B와 B⊆A가 모두 성립해야 원소가 정확히 일치. (3) (A∪B)c=Ac∩Bc, (A∩B)c=Ac∪Bc. (4) (1,2)=(2,1). (5) 모든 입력에 대응, 대응값이 하나. (6) 단사 f(x1)=f(x2)⇒x1=x2, 전사 치역=공역. (7) 단사 아니면 역이 다가함수, 전사 아니면 정의 안 되는 입력 발생.