이 문제집은 33강부터 36강까지의 도구를 섞어 다시 묻습니다. 계산과 증명이 반씩 섞여 있으며, 어느 쪽인지부터 스스로 판단해야 합니다.
판단의 기준을 정리해 둡니다.
| 문제가 요구하는 것 |
쓸 도구 |
| 극한값을 구하라 |
극한법칙, 부정형 처리, 샌드위치 정리 |
| 정의에 따라 증명하라 |
ε을 받고 N이나 δ를 제시합니다 |
| 극한이 없음을 보여라 |
정의의 부정, 좌우 비교, 두 수열 |
| 연속인지 판정하라 |
세 조건을 순서대로 확인합니다 |
| 근이 있음을 보여라 |
양 끝의 부호와 연속을 확인합니다 |
| 최댓값이 있음을 보여라 |
닫힌구간과 연속을 확인합니다 |
답을 보기 전에 반드시 손으로 먼저 씁니다.
문제 1. 수렴의 정의를 한정 기호로 쓰세요.
답. ∀ε>0,∃N∈N,∀n≥N,∣an−L∣<ε입니다.
문제 2. 정의에서 N이 ε에 의존해도 되는 이유를 쓰세요.
답. ∀ε이 ∃N보다 앞에 있어 N을 고를 때 이미 ε을 알고 있기 때문입니다.
문제 3. n→∞lim2n−14n+3을 구하세요.
답. 차수가 같으므로 2입니다.
문제 4. n→∞limn3+2n2−1를 구하세요.
답. 분자의 차수가 낮으므로 0입니다.
문제 5. n→∞lim(n2+3n−n)을 구하세요.
답. 유리화하면 n2+3n+n3n이고 n으로 나누면 극한은 23입니다.
문제 6. n→∞lim(43)n을 구하세요.
답. 공비의 절댓값이 1보다 작으므로 0입니다.
문제 7. n→∞limncosn을 샌드위치 정리로 구하세요.
답. −n1≤ncosn≤n1이고 양 끝이 0으로 가므로 극한은 0입니다.
문제 8. an=n+32n이 2에 수렴함을 정의로 증명할 때 ε에 대응하는 N을 제시하세요.
답. ∣∣∣∣∣n+32n−2∣∣∣∣∣=n+36<n6이므로 N을 ε6보다 큰 자연수로 잡으면 됩니다.
문제 9. an=(−1)nn이 수렴하지 않는 이유를 한 줄로 쓰세요.
답. 유계가 아니기 때문입니다. 수렴하는 수열은 유계이므로 대우가 성립합니다.
문제 10. 유계인데 수렴하지 않는 수열을 하나 들고, 이것이 무엇을 보여 주는지 쓰세요.
답. (−1)n입니다. 유계가 수렴의 필요조건일 뿐 충분조건이 아님을 보여 줍니다.
문제 11. a1=3, an+1=3+an의 극한을 구하세요. 순서를 지켜 답하세요.
답. 귀납법으로 모든 항이 3보다 작음을 보이고 증가함을 보이면 단조수렴정리에 의해 수렴합니다. 그 뒤 L=3+L에서 L2−L−3=0이므로 L=21+13입니다. 음수 근은 모든 항이 양수이므로 버립니다.
문제 12. (1+n1)n의 극한에 붙인 이름과 그 존재 근거를 쓰세요.
답. e이며 약 2.71828입니다. 이 수열이 증가하고 3보다 작으므로 단조수렴정리가 존재를 보장합니다.
문제 13. 단조수렴정리가 유리수 위에서 성립하지 않는 예를 드세요.
답. 2의 소수 전개를 끊어 만든 유리수 수열은 증가하고 유계이지만 유리수 안에 극한이 없습니다. 실수의 완비성이 정리의 근거입니다.
문제 14. 함수 극한의 정의를 한정 기호로 쓰세요.
답. ∀ε>0,∃δ>0,0<∣x−a∣<δ→∣f(x)−L∣<ε입니다.
문제 15. 정의의 0<∣x−a∣가 뜻하는 것과 그것이 왜 필요한지 쓰세요.
답. x=a를 뜻합니다. 극한을 함숫값과 분리해 주며, 이 성질이 없으면 h=0에서 정의되지 않는 미분계수를 정의할 수 없습니다.
문제 16. x→5limx−5x2−25를 구하세요.
답. 약분하면 x+5이므로 10입니다.
문제 17. x→0limx16+x−4를 구하세요.
답. 유리화하면 16+x+41이므로 81입니다.
문제 18. x→∞lim2x2+75x2−x을 구하세요.
답. 차수가 같으므로 25입니다.
문제 19. x→0lim3xsin7x를 구하세요.
답. 7xsin7x⋅37이므로 37입니다.
문제 20. x→0limx21−cosx를 구하고 유도 과정을 쓰세요.
답. 21입니다. 켤레를 곱하면 (xsinx)2⋅1+cosx1이고 극한을 취하면 1⋅21입니다.
문제 21. x→0limx3sinx1을 구하세요.
답. −∣x∣3≤x3sinx1≤∣x∣3이므로 샌드위치 정리에 의해 0입니다.
문제 22. x→0limx∣x∣가 없는 이유를 좌우 극한으로 설명하세요.
답. 우극한이 1이고 좌극한이 −1로 다르기 때문입니다.
문제 23. x→0limcosx1이 없음을 두 수열로 보이세요.
답. xn=2nπ1에서 값이 1이고 yn=(2n+1)π1에서 값이 −1로 다릅니다.
문제 24. x→2limx2=4를 정의로 증명할 때 δ를 어떻게 잡습니까?
답. ∣x2−4∣=∣x−2∣∣x+2∣이므로 먼저 ∣x−2∣<1로 가두어 ∣x+2∣<5를 얻고, δ=min(1,5ε)로 잡습니다.
문제 25. 극한이 존재하면 유일함을 증명하세요.
답. 두 극한 L1=L2를 가정하고 ε=2∣L1−L2∣로 두면 삼각부등식에서 ∣L1−L2∣<∣L1−L2∣이 되어 모순입니다.
문제 26. x→alimf가 있고 x→alimg가 없으면 x→alim(f+g)는 어떻습니까?
답. 존재하지 않습니다. 존재한다면 g=(f+g)−f에서 g의 극한도 존재해야 하므로 모순입니다.
문제 27. 두 극한이 모두 없을 때 합의 극한이 있을 수 있습니까?
답. 있습니다. sinx1과 −sinx1의 합은 항상 0입니다.
문제 28. 연속의 정의를 쓰고 세 조건으로 나누세요.
답. x→alimf(x)=f(a)이며, f(a)의 존재와 극한의 존재와 두 값의 일치를 요구합니다.
문제 29. f(x)=x−4x2−16의 x=4에서의 불연속을 분류하고 고치세요.
답. 제거가능 불연속입니다. 극한이 8이므로 f(4)=8로 정의하면 연속입니다.
문제 30. f(x)=(x−2)21의 불연속점과 종류를 쓰세요.
답. x=2이며 무한 불연속입니다.
문제 31. 도약 불연속의 예를 들고 왜 고칠 수 없는지 쓰세요.
답. x∣x∣입니다. 좌우 극한이 달라 극한 자체가 없고 함숫값은 하나뿐이라 둘을 동시에 맞출 수 없습니다.
문제 32. f(x)=x2−5x+6x+1이 연속인 점을 모두 구하세요.
답. 분모가 (x−2)(x−3)이므로 x=2와 x=3을 뺀 모든 실수입니다.
문제 33. f(x)={3x+a,x2,x<2x≥2가 연속이 되는 a를 구하세요.
답. x=2에서 좌극한이 6+a이고 우극한이 4이므로 a=−2입니다.
문제 34. 닫힌구간의 끝점에서 한쪽 연속만 요구하는 이유를 쓰세요.
답. 끝점 바깥에는 함수가 정의되어 있지 않아 그 방향의 극한을 말할 수 없기 때문입니다.
문제 35. 디리클레 함수가 모든 점에서 불연속인 이유를 쓰세요.
답. 임의의 점에 수렴하는 유리수 수열과 무리수 수열에서 함숫값이 각각 1과 0으로 갈려 극한이 존재하지 않기 때문입니다.
문제 36. f(x)=xD(x)가 x=0에서만 연속인 이유를 쓰세요.
답. ∣f(x)∣≤∣x∣이므로 0에서는 값이 눌려 연속입니다. a=0에서는 두 수열의 극한이 a와 0으로 갈려 불연속입니다.
문제 37. "연속이면 붓을 떼지 않고 그릴 수 있다"가 정의가 아닌 이유를 예로 드세요.
답. xD(x)는 x=0에서 연속이지만 그래프를 그릴 수 없습니다. 비유는 직관을 도울 뿐 정의를 대신하지 못합니다.
문제 38. f가 a에서 연속이고 f(a)>0이면 근방에서 f>0임을 보이세요.
답. ε=2f(a)로 잡으면 어떤 δ 안에서 f(x)>f(a)−2f(a)=2f(a)>0입니다.
문제 39. 중간값 정리의 가정과 결론을 쓰세요.
답. 닫힌구간에서 연속이면 양 끝 값 사이의 모든 값을 그 구간 안에서 취합니다.
문제 40. x3−3x+1=0이 (0,1)에 근을 가짐을 보이세요.
답. f(0)=1>0이고 f(1)=−1<0이며 다항함수라 연속이므로 근이 존재합니다.
문제 41. 중간값 정리에서 연속을 빼면 무너지는 예를 드세요.
답. g(x)=x−211은 [0,1]에서 −2와 2로 부호가 바뀌지만 근이 없습니다.
문제 42. [1,2]에서 오차 0.005 이내로 근을 찾으려면 이분법을 몇 번 반복합니까?
답. 2n1<0.005에서 2n>200이므로 n≥8입니다.
문제 43. 이분법으로 찾을 수 없는 근의 예를 들고 이유를 쓰세요.
답. f(x)=x2의 근 x=0입니다. 양쪽에서 함숫값이 모두 양수라 부호가 바뀌지 않으므로 시작 구간을 잡을 수 없습니다.
문제 44. 최대·최소 정리의 가정 세 가지와 각각이 막는 반례를 짝지으세요.
답. 닫힘이 빠지면 f(x)=x on (0,1), 유계가 빠지면 f(x)=x on [0,∞), 연속이 빠지면 x=1에서 값을 0으로 떨어뜨린 조각별 함수가 반례입니다.
문제 45. 상한과 최댓값의 차이를 예로 설명하세요.
답. f(x)=x를 (0,1)에서 보면 상한은 1이지만 그 값을 취하는 점이 없어 최댓값은 없습니다.
문제 46. f가 [a,b]에서 연속일 때 치역의 모양과 그 근거 두 가지를 쓰세요.
답. 닫힌구간 [m,M]입니다. 최대·최소 정리가 양 끝이 취해짐을 보장하고 중간값 정리가 사이에 구멍이 없음을 보장합니다.
문제 47. f:[0,1]→[0,1]이 연속이면 고정점이 있음을 보이세요.
답. g(x)=f(x)−x로 두면 g(0)≥0이고 g(1)≤0입니다. 등호가 걸리면 그 점이 답이고, 아니면 부호가 반대이므로 중간값 정리에 의해 근이 있습니다.
문제 48. 중간값 성질을 가지면 연속입니까?
답. 아닙니다. x=0에서 값을 0으로 채운 sinx1은 모든 구간에서 중간값을 취하지만 x=0에서 불연속입니다.
48문항 중 맞힌 개수로 다음을 판단합니다.
| 정답 수 |
판단 |
| 43개 이상 |
02단원으로 넘어갑니다 |
| 34∼42개 |
틀린 문제가 속한 강의만 다시 읽고 넘어갑니다 |
| 33개 이하 |
33강부터 36강까지 다시 읽습니다 |
1부와 2부에서 절반 이하를 맞혔다면 반드시 되돌아갑니다. ε과 δ를 다루는 손이 만들어지지 않으면 37강의 미분계수 정의부터 막힙니다.