35강에서 연속을 정의했습니다. 그런데 정의를 세운 것만으로는 그 조건이 무엇에 쓸모 있는지 알 수 없습니다. 이 강의는 연속이라는 조건이 실제로 무엇을 보장하는지 두 정리로 답합니다.
두 정리 모두 "반드시 있다"를 주장합니다. 중간값 정리는 특정 값을 취하는 점이 있다고 하고, 최대·최소 정리는 최댓값과 최솟값을 주는 점이 있다고 합니다. 값을 찾아 주지는 않고 존재만 보장합니다. 24강 심화 4에서 본 비구성적 증명의 성격이 여기서도 나타납니다.
그리고 두 정리에는 가정이 여러 개 붙습니다. 닫힌구간이어야 하고 연속이어야 합니다. 35강 심화 6에서 그 가정이 왜 필요한지 반례로 미리 보았고, 이 강의에서 각 가정이 어떤 반례를 막고 있는지 하나씩 확인합니다.
문제. 에 대하여
(1) 과 을 계산하세요.
(2) 구간 안에 인 점 가 반드시 있다고 말할 수 있습니까?
(3) 같은 주장을 에 대해 에서 해 보면 무엇이 잘못됩니까?
생각의 실마리. (2)에서 그래프를 상상해 봅니다. 값이 음수에서 양수로 갔다면 도중에 을 지나야 할 것 같습니다. 그런데 그것이 항상 참인지, 참이라면 무엇 때문에 참인지 따집니다. (3)은 그 "무엇"이 빠졌을 때를 보여 줍니다.
풀이. (1) 이고 입니다.
(2) 있다고 말할 수 있습니다. 가 다항함수라 에서 연속이고, 입니다. 값이 음수에서 양수로 바뀌었으므로 도중에 을 반드시 지납니다. 근거는 아래의 중간값 정리입니다.
(3) 이고 입니다. 값이 음수에서 양수로 바뀌었지만 인 점은 없습니다. 은 결코 이 되지 않기 때문입니다.
무엇이 잘못되었습니까. 가 에서 연속이 아닙니다. 그 점에서 무한 불연속이 일어나 값이 로 갔다가 에서 다시 나타납니다. 연속이라는 가정이 빠지면 값이 건너뛸 수 있습니다.
이 문제에서 배우는 것: 중간값 정리.
중간값 정리. 가 닫힌구간 에서 연속이고 가 와 사이의 값이면, 인 가 존재합니다.
말로 옮기면 연속함수는 값을 건너뛰지 않습니다. 두 끝점의 값 사이에 있는 모든 값을 도중에 반드시 한 번은 취합니다.
가장 많이 쓰는 형태는 인 경우입니다.
가 에서 연속이고 와 의 부호가 다르면 그 사이에 근이 존재합니다.
이 형태를 근의 존재 정리라고도 합니다. 방정식을 풀지 않고도 해가 있음을 보이는 도구이며, 5강의 근의 공식처럼 풀이 공식이 없는 방정식에서 특히 유용합니다. 은 근의 공식이 복잡하지만 근이 있다는 사실은 방금 두 줄로 확인했습니다.
정리가 보장하는 것과 보장하지 않는 것을 구분합니다.
| 보장합니다 | 보장하지 않습니다 |
|---|---|
| 그런 가 적어도 하나 존재합니다 | 가 몇 개인지 |
| 가 와 사이에 있습니다 | 의 값이 얼마인지 |
| 부호가 같으면 근이 없다는 것 |
마지막 줄을 조심합니다. 정리는 조건문이므로 역이 성립하지 않습니다. 을 에서 보면 으로 부호가 같지만 근이 두 개 있습니다. 21강에서 정리한 대로 역은 원래 명제와 동치가 아닙니다.
바로 확인.
확인 1-1. 에 대해 에 근이 있음을 보이세요.
답. 이고 입니다. 다항함수라 연속이므로 중간값 정리에 의해 에 근이 있습니다.
확인 1-2. 의 해가 에 있음을 보이세요.
답. 로 둡니다. 이고 이며 가 연속이므로 근이 존재합니다.
확인 1-3. 중간값 정리에서 연속 조건을 빼면 안 되는 이유를 예로 드세요.
답. 은 에서 부호가 바뀌지만 근이 없습니다. 에서 불연속이라 값이 건너뛰기 때문입니다.
문제. 의 근이 에 있음을 문제 1에서 확인했습니다. 이 근을 소수 첫째 자리까지 구하세요.
생각의 실마리. 중간값 정리는 존재만 알려 주고 값은 알려 주지 않습니다. 그러나 정리를 반복해서 적용하면 근이 든 구간을 계속 좁힐 수 있습니다. 구간의 중점에서 부호를 확인해 근이 어느 절반에 있는지 정하는 방식을 생각합니다.
풀이. 구간 에서 시작합니다. 이고 입니다.
중점 에서 입니다. 부호가 과 다르므로 근은 에 있습니다.
중점 에서 입니다. 근은 에 있습니다.
중점 에서 입니다. 근은 에 있습니다.
중점 에서 입니다. 근은 에 있습니다.
이 구간의 길이가 이고 양 끝이 모두 과 사이에 있으므로 소수 첫째 자리는 입니다. 실제 근은 약 입니다.
이 문제에서 배우는 것: 이분법.
근이 든 구간을 절반씩 줄여 가는 방법을 이분법이라고 합니다. 절차는 다음과 같습니다.
번 반복하면 구간의 길이가 이 됩니다. 33강에서 확인한 대로 이므로 원하는 만큼 좁힐 수 있습니다. 필요한 반복 횟수도 계산할 수 있습니다. 오차 이내를 원하면
이며 14강의 로그가 여기서 쓰입니다.
이분법의 성격을 정리합니다.
| 장점 | 단점 |
|---|---|
| 연속이고 부호만 바뀌면 반드시 수렴합니다 | 수렴이 느립니다 (한 번에 한 자리의 만큼) |
| 미분이 필요 없습니다 | 부호가 바뀌지 않는 근은 찾지 못합니다 |
| 오차 한계를 미리 알 수 있습니다 | 근이 여럿이면 하나만 찾습니다 |
두 번째 단점의 예로 의 근 이 있습니다. 부호가 바뀌지 않으므로 이분법으로 접근할 수 없습니다.
47강에서 뉴턴법을 배우면 훨씬 빠른 방법이 생깁니다. 다만 뉴턴법은 미분이 필요하고 수렴이 보장되지 않는 반면, 이분법은 느려도 확실합니다. 속도와 확실성을 맞바꾸는 선택이며 수치해법에서 계속 마주치는 구도입니다.
바로 확인.
확인 2-1. 에서 이분법을 번 반복하면 구간의 길이는 얼마입니까?
답. 이며 약 입니다.
확인 2-2. 에서 오차 이내로 근을 찾으려면 몇 번 반복해야 합니까?
답. 에서 이므로 입니다.
확인 2-3. 에 이분법을 쓸 수 없는 이유를 쓰세요.
답. 근 의 양쪽에서 함숫값이 모두 양수라 부호가 바뀌지 않으므로 시작 구간을 잡을 수 없습니다.
문제. 다음 세 경우에 최댓값이 존재하는지 각각 판정하세요.
(1) 을 에서 봅니다.
(2) 를 열린구간 에서 봅니다.
(3) 을 에서 봅니다.
생각의 실마리. (1)은 그래프를 그려 확인할 수 있습니다. (2)와 (3)에서는 값이 어떤 수에 한없이 다가가지만 그 값에 도달하는 점이 실제로 있는지 따져야 합니다. 상한이 있는 것과 최댓값이 있는 것은 다릅니다.
풀이. (1) 존재합니다. 에서 이고 이것이 구간에서 가장 큰 값입니다. 최솟값도 에서 으로 존재합니다.
(2) 존재하지 않습니다. 값이 에 한없이 다가가지만 이 구간에 없으므로 인 가 없습니다. 어떤 을 잡아도 가 구간 안에 있고 값이 더 큽니다. 상한은 이지만 최댓값은 없습니다.
(3) 존재하지 않습니다. 가 에 다가가면 값이 에 다가가지만 입니다. 구간 안 어느 점에서도 값이 이 되지 않으며, 어떤 점을 잡아도 더 큰 값을 주는 점이 있습니다.
(2)에서는 구간이 열려 있어서, (3)에서는 함수가 불연속이라서 최댓값이 사라졌습니다.
이 문제에서 배우는 것: 최대·최소 정리.
최대·최소 정리. 가 닫힌구간 에서 연속이면 는 그 구간에서 최댓값과 최솟값을 가집니다. 즉 가 모든 에서 성립하는 가 존재하고, 최솟값에 대해서도 마찬가지입니다.
22강의 한정 기호로 적으면 순서가 분명해집니다.
가 앞에 있으므로 하나의 가 모든 를 눌러야 합니다. 22강 문제 4에서 정리한 대로 이것이 강한 주장입니다.
정리의 가정 두 개가 각각 무엇을 막는지 정리합니다.
| 가정 | 빠지면 나오는 반례 |
|---|---|
| 닫힌구간 | (2)의 on |
| 연속 | (3)의 조각별 함수 |
| 유계인 구간 | on |
35강 심화 6에서 이 세 반례를 미리 만났습니다. 정리의 가정은 장식이 아니라 각각이 막고 있는 반례가 있습니다. 정리를 외울 때 가정만 외우지 말고 그 가정이 없으면 무너지는 예를 함께 기억하면 잘못 적용하지 않습니다.
여기서 상한과 최댓값의 구분도 분명히 해 둡니다.
상한은 유계이기만 하면 언제나 존재하며 이것이 33강에서 말한 실수의 완비성입니다. 최댓값은 그 상한을 실제로 취하는 점이 있어야 존재하고, 그것을 보장해 주는 것이 최대·최소 정리입니다.
바로 확인.
확인 3-1. 을 에서 볼 때 최댓값이 있습니까?
답. 없습니다. 에서 값이 한없이 커지므로 유계도 아닙니다. 구간이 닫혀 있지 않아 정리를 쓸 수 없습니다.
확인 3-2. 를 에서 볼 때 최댓값과 그 점을 구하세요.
답. 최댓값은 이고 에서 취합니다. 닫힌구간에서 연속이므로 정리가 존재를 보장합니다.
확인 3-3. 상한과 최댓값의 차이를 예로 설명하세요.
답. 를 에서 보면 상한은 이지만 그 값을 취하는 점이 구간에 없어 최댓값은 없습니다.
문제. 가 에서 연속일 때 치역이 어떤 모양인지 말하고 근거를 대세요.
생각의 실마리. 최대·최소 정리가 치역의 위아래 끝을 정해 줍니다. 중간값 정리가 그 사이에 빈 곳이 없음을 보장합니다. 두 정리를 이어 붙이면 치역의 모양이 완전히 결정됩니다.
풀이. 최대·최소 정리에 의해 최솟값 과 최댓값 가 존재합니다. 모든 에서 이므로 치역은 에 포함됩니다.
이제 반대 포함을 봅니다. 임의의 을 잡습니다. 과 를 양 끝으로 하는 닫힌구간은 에 포함되고 그 구간에서도 가 연속입니다. 이므로 중간값 정리에 의해 그 구간 안에 인 가 있습니다. 따라서 가 치역에 속합니다.
양쪽 포함이 성립하므로 치역은 정확히 입니다. 26강에서 익힌 양쪽 포함 증명이 여기서 쓰였습니다.
이 문제에서 배우는 것: 연속함수가 닫힌구간을 닫힌구간으로 보낸다.
가 에서 연속이면 치역 는 닫힌구간 입니다.
두 정리가 각각 절반씩 맡습니다.
| 정리 | 보장하는 것 |
|---|---|
| 최대·최소 정리 | 치역에 최대와 최소가 있습니다 (양 끝이 닫혀 있습니다) |
| 중간값 정리 | 그 사이에 구멍이 없습니다 (구간입니다) |
이 결과는 뒤에서 자주 인용됩니다. 46강에서 최적화 문제를 풀 때 "닫힌구간에서 연속이므로 최댓값이 존재한다"고 먼저 말하고 후보를 찾는 절차가 표준인데, 그 첫 문장의 근거가 최대·최소 정리입니다. 존재를 확보한 뒤에 후보를 비교하는 순서가 33강 문제 5에서 익힌 것과 같습니다.
한 가지 주의합니다. 가 단사가 아니면 과 을 주는 점이 여럿일 수 있고, 치역이 정의역보다 짧아질 수도 있습니다. 예를 들어 을 에서 보면 치역은 입니다. 정리는 치역이 어떤 닫힌구간이라고 말할 뿐 그 길이를 말하지 않습니다.
바로 확인.
확인 4-1. 을 에서 볼 때 치역을 구하세요.
답. 최솟값은 에서 이고 최댓값은 에서 이므로 치역은 입니다.
확인 4-2. 를 에서 볼 때 치역을 구하세요.
답. 입니다. 최솟값은 양 끝에서 , 최댓값은 에서 입니다.
확인 4-3. 연속함수가 열린구간을 열린구간으로 보냅니까?
답. 아닙니다. 을 에서 보면 치역이 로 한쪽만 닫혀 있습니다.
문제. 가 에서 연속이고 모든 에 대해 이라고 합니다. 인 점 가 반드시 존재함을 증명하세요.
생각의 실마리. 결론이 이므로 근의 존재 문제입니다. 그러니 를 새로 만들고 중간값 정리를 적용할 준비를 합니다. 양 끝에서 의 부호를 확인하려면 과 이 어느 범위에 있는지 조건에서 읽어야 합니다.
풀이. 로 둡니다. 가 연속이고 도 연속이므로 차인 도 에서 연속입니다.
양 끝에서 부호를 봅니다.
두 부등식에 등호가 걸릴 수 있으므로 경우를 나눕니다.
이면 이므로 이 답입니다. 이면 이므로 이 답입니다.
두 경우가 아니면 이고 입니다. 가 연속이고 부호가 다르므로 중간값 정리에 의해 인 이 존재하며, 이는 를 뜻합니다.
모든 경우에서 그런 가 존재합니다.
이 문제에서 배우는 것: 고정점 정리와 보조함수 만들기.
방금 증명한 것을 일차원 고정점 정리라고 합니다.
이 연속이면 인 가 존재합니다.
32강에서 고정점을 의 해로 정의했는데, 그때는 있으면 쓰고 없으면 못 쓰는 것이었습니다. 여기서 연속이면 반드시 있다는 보장을 얻습니다.
증명에서 결정적이었던 것은 라는 보조함수를 만든 일입니다. 이 수법의 구조를 정리합니다.
| 증명할 것 | 만들 보조함수 |
|---|---|
| 인 가 있다 | |
| 인 가 있다 | |
| 인 가 있다 |
등식을 근의 문제로 바꾸는 것이 공통 원리입니다. 중간값 정리는 이라는 값에 대해서만 쓰면 되므로, 원하는 등식을 좌변으로 몰아 과 비교하는 형태로 고칩니다.
보조함수를 쓸 때 두 가지를 반드시 확인합니다.
두 번째를 빠뜨리기 쉽습니다. 위 증명에서 이지 이 아니었으므로 경우를 나눠야 했습니다. 중간값 정리의 근의 존재 형태는 부호가 엄격히 다를 것을 요구합니다.
이 정리는 고차원으로 확장됩니다. 브라우어 고정점 정리라고 하며, 274강 이후 강화학습에서 벨만 방정식의 해가 존재함을 보일 때 그 확장판이 쓰입니다.
바로 확인.
확인 5-1. 가 에서 고정점을 가짐을 보이세요.
답. 는 에서 값이 에 들어가고 연속이므로 고정점 정리에 의해 인 가 존재합니다.
확인 5-2. 꼴 문제에서 보조함수를 어떻게 만듭니까?
답. 로 두고 의 근을 찾는 문제로 바꿉니다.
확인 5-3. 보조함수의 양 끝 부호에 등호가 걸리면 어떻게 처리합니까?
답. 그 점이 이미 답이 되는 경우로 따로 처리하고, 나머지 경우에만 중간값 정리를 적용합니다.
| 정리 | 가정 | 결론 |
|---|---|---|
| 중간값 정리 | 에서 연속 | 와 사이 모든 값을 취합니다 |
| 근의 존재 | 에서 연속, 부호가 다름 | 에 근이 있습니다 |
| 최대·최소 정리 | 닫히고 유계인 구간에서 연속 | 최댓값과 최솟값을 취합니다 |
| 치역 정리 | 에서 연속 | 치역이 닫힌구간 입니다 |
| 고정점 정리 | 연속 | 인 가 있습니다 |
| 가정이 빠지면 | 반례 |
|---|---|
| 연속이 빠지면 | 이 에서 부호가 바뀌어도 근이 없습니다 |
| 닫힘이 빠지면 | 가 에서 최댓값이 없습니다 |
| 유계가 빠지면 | 가 에서 최댓값이 없습니다 |
| 상황 | 쓸 도구 |
|---|---|
| 근이 있음을 보입니다 | 양 끝의 부호를 비교합니다 |
| 근의 값을 구합니다 | 이분법으로 구간을 좁힙니다 |
| 를 보입니다 | 로 보조함수를 만듭니다 |
| 를 보입니다 | 로 보조함수를 만듭니다 |
| 최댓값의 존재를 말합니다 | 닫힌구간과 연속을 확인합니다 |
문제 6. 가 에 근을 가짐을 보이세요.
답. 이고 입니다. 다항함수라 연속이므로 근이 존재합니다.
문제 7. 의 해가 에 있음을 보이세요.
답. 로 두면 , 이므로 근이 있습니다.
문제 8. 에서 이분법을 번 하면 오차 한계가 얼마입니까?
답. 입니다.
문제 9. 에서 오차 이내로 근을 찾으려면 이분법을 몇 번 반복합니까?
답. 에서 이므로 입니다.
문제 10. 을 에서 볼 때 최댓값과 최솟값을 구하세요.
답. 최댓값은 에서 이고 최솟값은 에서 입니다.
문제 11. 을 에서 볼 때 최댓값과 최솟값이 있습니까?
답. 최댓값은 에서 로 존재합니다. 최솟값은 값이 에 다가가지만 도달하지 않으므로 없습니다. 구간이 유계가 아니라 정리를 쓸 수 없습니다.
문제 12. 를 에서 볼 때 최댓값이 없는 이유를 쓰세요.
답. 구간이 오른쪽에서 닫혀 있지 않고 그쪽에서 값이 한없이 커지기 때문입니다.
문제 13. 가 에서 연속이고 이면 근이 없다고 할 수 있습니까?
답. 없습니다. 을 에서 보면 이지만 근이 두 개 있습니다. 중간값 정리의 역은 성립하지 않습니다.
문제 14. 가 에서 연속이고 , 일 때 인 가 있습니까?
답. 있습니다. 가 과 사이의 값이므로 중간값 정리가 존재를 보장합니다.
문제 15. 가 에서 연속이고 치역이 일 때 인 가 있습니까?
답. 있습니다. 치역이 실제로 취하는 값의 집합이므로 를 취하는 점이 존재합니다.
문제 16. 를 에서 볼 때 치역을 구하세요.
답. 최솟값이 , 최댓값이 이고 연속이므로 치역은 입니다.
문제 17. 이 연속이고 , 일 때 고정점의 위치를 좁히세요.
답. 로 두면 이고 이므로 고정점이 의 내부에 있습니다.
문제 18. 최대·최소 정리에서 "닫힌"과 "유계인"이 서로 다른 조건임을 각각의 반례로 보이세요.
답. 닫히지 않은 예로 on 이 유계인 구간인데 최댓값이 없습니다. 유계가 아닌 예로 on 가 닫힌 구간인데 최댓값이 없습니다. 두 조건이 각각 따로 필요합니다.
심화 1. 중간값 정리를 이분법으로 증명하세요.
답. 구간을 반복해서 반으로 줄이고 33강의 단조수렴정리를 씁니다.
풀이. 인 경우만 보면 충분합니다. , 로 두고 다음을 반복합니다. 중점 에서 을 보고, 이면 , 으로, 이면 , 으로 둡니다.
그러면 은 증가하고 위로 유계이며 은 감소하고 아래로 유계이므로 둘 다 수렴합니다. 구간의 길이가 이므로 두 극한이 같고 그 값을 라 합니다.
모든 에서 입니다. 가 연속이므로 극한을 취하면 이고 동시에 이므로 입니다.
남는 것. 문제 2에서 계산 방법으로 쓴 이분법이 여기서는 증명의 도구가 되었습니다. 그리고 33강의 단조수렴정리, 즉 실수의 완비성이 결정적으로 쓰였습니다. 유리수 위에서는 중간값 정리가 성립하지 않습니다. 는 유리수 위에서 연속이고 이지만 유리수 근이 없기 때문입니다.
심화 2. 최대·최소 정리를 33강 심화 3의 볼차노 바이어슈트라스 정리로 증명하세요.
답. 유계임을 먼저 보이고 상한을 취하는 점을 찾습니다.
풀이. 먼저 가 에서 유계임을 보입니다. 유계가 아니라면 인 점 을 잡을 수 있습니다. 이 유계이므로 수렴하는 부분수열 가 있고 입니다. 연속이므로 인데 왼쪽은 절댓값이 한없이 커지므로 모순입니다.
이제 상한 를 잡습니다. 상한의 정의에 따라 인 점 을 잡을 수 있습니다. 수렴하는 부분수열 를 취하면 연속성에 의해 입니다. 따라서 최댓값이 에서 실제로 취해집니다.
남는 것. 증명이 두 단계입니다. 유계임을 보이는 것과 상한이 실제로 취해짐을 보이는 것입니다. 문제 3의 (2)에서 상한은 있는데 최댓값이 없었던 이유가 두 번째 단계가 실패해서였고, 그 실패의 원인은 극한점 이 구간 밖이라는 것이었습니다. 닫힌구간이라는 가정이 정확히 이 자리를 메웁니다. 와 가 구간 안에 남는다는 보장이 거기서 나옵니다.
심화 3. 홀수 차수 다항식은 반드시 실근을 가짐을 증명하세요.
답. 양 끝의 부호가 반대이므로 중간값 정리가 적용됩니다.
풀이. 에서 이 홀수이고 이라 합시다. 이면 를 보면 됩니다.
가 아주 크면 최고차항이 다른 항들을 압도하므로 입니다. 실제로 에서
이고 괄호 안이 에 수렴하므로 충분히 큰 에서 양수입니다. 마찬가지로 가 아주 작은 음수이면 이 홀수라 이므로 입니다.
두 점을 각각 와 로 잡으면 이고 다항함수는 연속이므로 중간값 정리에 의해 근이 존재합니다.
남는 것. 30강에서 대수학의 기본정리로 차 다항식이 복소근을 정확히 개 가진다고 했습니다. 여기서는 실근이 적어도 하나 있음을 훨씬 초등적인 도구로 얻었습니다. 짝수 차수에서는 이 논법이 통하지 않으며 실제로 이 반례입니다. 차수의 홀짝이 양 끝의 부호를 갈라 놓는다는 관찰이 전부입니다.
심화 4. 원 위에서 마주 보는 두 점의 온도가 같은 지점이 항상 존재함을 보이세요. 온도는 각도에 대한 연속함수라고 가정합니다.
답. 존재합니다.
풀이. 온도를 라 하고 에서 연속이며 라고 합시다. 보조함수를 만듭니다.
는 연속함수의 차이므로 연속입니다. 양 끝을 계산합니다.
이면 이 답입니다. 아니면 과 의 부호가 반대이므로 중간값 정리에 의해 인 가 있고, 이는 를 뜻합니다.
남는 것. 보조함수를 꼴로 만드는 문제 5의 수법이 그대로 쓰였고, 여기에 이라는 대칭이 더해져 부호가 자동으로 갈렸습니다. 두 값의 부호가 반대임을 직접 계산하지 않고 구조에서 얻은 것이 요령입니다. 이 논법은 보르수크 울람 정리라는 이름으로 고차원까지 확장됩니다.
심화 5. 가 전체에서 연속이고 이며 어떤 점에서 이면 가 최댓값을 가짐을 보이세요.
답. 유계인 닫힌구간으로 문제를 옮기면 됩니다.
풀이. 인 점을 하나 잡고 로 둡니다. 양쪽 극한이 이므로 충분히 큰 을 잡아 인 모든 에서 이 되게 할 수 있습니다. 을 보다 크게 잡습니다.
닫힌구간 에서 가 연속이므로 최대·최소 정리에 의해 최댓값 가 존재합니다. 이므로 입니다.
구간 밖에서는 이므로 이 전체에서의 최댓값입니다.
남는 것. 최대·최소 정리는 닫히고 유계인 구간에서만 쓸 수 있는데, 바깥쪽을 무시해도 된다는 근거를 따로 마련해 정리를 적용할 무대를 만들었습니다. 이 수법은 최적화에서 자주 쓰입니다. 무한한 영역에서 최댓값을 찾을 때 먼 곳의 값이 작다는 것만 보이면 유한한 영역의 문제로 환원됩니다.
심화 6. 중간값 정리가 성립하는데도 연속이 아닌 함수가 존재합니까?
답. 존재합니다.
풀이. 을 봅니다. 35강 문제 5 근처에서 본 대로 이 함수는 에서 불연속입니다.
그런데 중간값 성질은 가집니다. 을 포함하는 어떤 구간을 잡아도 그 안에서 는 부터 까지 모든 값을 무한히 여러 번 취하고, 을 포함하지 않는 구간에서는 연속이라 중간값 정리가 그대로 적용됩니다. 따라서 어떤 구간에서도 양 끝 값 사이의 모든 값을 취합니다.
남는 것. 중간값 성질은 연속의 필요조건이지 충분조건이 아닙니다. 21강에서 정리한 필요조건과 충분조건의 구분이 여기서 다시 쓰입니다. 정리를 배울 때 역이 성립하는지를 별도로 확인하는 습관이 필요하며, 대개는 성립하지 않습니다. 참고로 42강에서 배울 도함수는 연속이 아니어도 항상 중간값 성질을 가진다는 사실이 알려져 있습니다.
두 정리는 존재를 주장하므로 코드로 증명할 수 없습니다. 대신 이분법을 실제로 돌려 근이 좁혀지는지, 그리고 가정이 빠진 반례에서 정리가 실제로 무너지는지 확인합니다.
import numpy as np
# 문제 1과 2: x^3 + x - 1 의 근을 이분법으로 좁힙니다.
f = lambda x: x**3 + x - 1
a, b = 0.0, 1.0
print(f(a), f(b)) # -1.0 1.0
for i in range(4):
m = (a + b) / 2
if f(a) * f(m) <= 0:
b = m
else:
a = m
print(i + 1, round(a, 6), round(b, 6), round(f(m), 6))
# 1 0.5 1.0 -0.375
# 2 0.5 0.75 0.171875
# 3 0.625 0.75 -0.130859
# 4 0.625 0.6875 0.012451
# 반복을 늘리면 근에 수렴합니다.
a, b = 0.0, 1.0
for _ in range(50):
m = (a + b) / 2
if f(a) * f(m) <= 0:
b = m
else:
a = m
print(round((a + b) / 2, 10), round(f((a + b) / 2), 12))
# 0.6823278038 0.0
# 문제 2: n 번 반복하면 구간이 2^-n 로 줄어듭니다.
n = np.arange(1, 11)
print(np.round(1 / 2.0**n, 8))
# [0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625
# 0.0078125 0.00390625 0.00195312 0.00097656]
# 문제 1 (3): 불연속이면 부호가 바뀌어도 근이 없습니다.
g = lambda x: 1 / (x - 0.5)
xs = np.linspace(0, 1, 10001)
xs = xs[np.abs(xs - 0.5) > 1e-9]
print(round(float(g(0.0)), 6), round(float(g(1.0)), 6)) # -2.0 2.0
print(int(np.sum(np.abs(g(xs)) < 1e-6))) # 0
# 문제 3: 열린구간에서는 최댓값이 없습니다.
op = np.linspace(0, 1, 1001)[1:-1] # (0, 1)
print(round(float(op.max()), 6), 1.0 in op) # 0.999 False
# 문제 4: 닫힌구간의 상은 닫힌구간입니다.
x = np.linspace(-1, 2, 300001)
y = x**2
print(round(float(y.min()), 8), round(float(y.max()), 8)) # 0.0 4.0
# 문제 5: 고정점은 f(x) - x 의 근입니다.
h = lambda x: np.cos(x)
lo, hi = 0.0, 1.0
for _ in range(60):
m = (lo + hi) / 2
if (h(lo) - lo) * (h(m) - m) <= 0:
hi = m
else:
lo = m
c = (lo + hi) / 2
print(round(c, 9), round(float(np.cos(c)), 9)) # 0.739085133 0.739085133
출력이 주석과 모두 일치합니다. 첫 검산의 네 줄이 문제 2에서 손으로 한 계산과 정확히 같습니다. 구간이 에서 까지 좁혀졌고, 번 반복하면 까지 나옵니다.
네 번째 검산이 문제 1의 (3)을 확인해 줍니다. 이고 로 부호가 바뀌는데도 가 보다 작아지는 점이 하나도 없습니다. 연속 가정이 빠지면 중간값 정리가 실제로 무너진다는 사실이 숫자로 확인됩니다.
마지막 검산에서 인 점이 으로 나왔습니다. 이 값은 초등함수로 적을 수 없으며, 고정점 정리는 이렇게 식으로 쓸 수 없는 값의 존재까지 보장합니다.
정답.
| 기호 | 읽는 법 | 뜻 |
|---|---|---|
| 중간값 정리 | IVT | 연속함수는 값을 건너뛰지 않습니다 |
| 최대·최소 정리 | EVT | 닫힌구간에서 최댓값과 최솟값이 취해집니다 |
| 상한 | 최소 상계이며 취해지지 않을 수 있습니다 | |
| 최댓값 | 실제로 취해지는 가장 큰 값입니다 | |
| 이분법 | bisection | 근이 든 구간을 절반씩 줄입니다 |
| 고정점 | fixed point | 인 점입니다 |
이 강의로 01단원 극한과 연속이 끝납니다. 33강에서 수열의 극한을 세우고, 34강에서 함수로 옮기고, 35강에서 연속을 정의하고, 36강에서 그 조건이 보장하는 바를 확인했습니다. 다음 37강부터 시작하는 02단원에서는 극한을 한 번 더 써서 변화율을 정의합니다. 34강에서 가 필요했던 이유가 그때 완전히 드러납니다.