이 문제집은 37강부터 41강까지의 도구를 섞어 다시 묻습니다. 계산 문제가 많지만 규칙을 고르는 판단이 먼저입니다.
미분할 식을 보면 가장 바깥 연산부터 확인합니다.
| 가장 바깥이 |
시작할 규칙 |
| 합이나 상수배 |
선형성으로 나눕니다 |
| 곱 |
(fg)′=f′g+fg′ |
| 몫 |
g2f′g−fg′ 또는 나누기 |
| 합성 |
f′(g)⋅g′ |
| 밑과 지수가 모두 변수 |
로그미분법 |
| y가 풀려 있지 않음 |
음함수 미분 |
답을 보기 전에 반드시 손으로 먼저 씁니다.
문제 1. 미분계수의 정의를 쓰세요.
답. f′(a)=h→0limhf(a+h)−f(a)입니다.
문제 2. 이 정의가 34강의 어떤 성질에 기대고 있습니까?
답. 극한이 0<∣x−a∣인 범위만 본다는 성질입니다. h=0에서 분모가 0이 되므로 그 점을 빼고 보지 않으면 정의할 수 없습니다.
문제 3. f(x)=x2−3x의 x=2에서의 미분계수를 정의로 구하세요.
답. h(2+h)2−3(2+h)−(−2)=hh2+h=h+1이므로 극한은 1입니다.
문제 4. f(x)=x3의 x=1에서의 접선의 방정식을 구하세요.
답. f(1)=1이고 f′(1)=3이므로 y=3x−2입니다.
문제 5. 미분가능과 연속의 관계를 두 방향으로 쓰세요.
답. 미분가능하면 연속입니다. 역은 성립하지 않으며 ∣x∣가 반례입니다.
문제 6. 미분이 불가능해지는 네 가지 방식과 각각의 예를 쓰세요.
답. 불연속, 뾰족점(∣x∣), 수직접선(x1/3), 진동(xsinx1)입니다.
문제 7. f(x)=∣x2−4∣가 미분 불가능한 점을 구하세요.
답. x2−4가 부호를 바꾸는 x=2와 x=−2입니다.
문제 8. f(x)={x2,ax+b,x≤1x>1이 미분가능한 a와 b를 구하세요.
답. 기울기가 2x에 x=1을 넣어 2이므로 a=2이고, 연속 조건 1=a+b에서 b=−1입니다.
문제 9. 두 조각의 기울기가 같은데도 미분 불가능한 예를 드세요.
답. x≤1에서 x, x>1에서 x+5인 함수입니다. 기울기는 둘 다 1이지만 불연속입니다.
문제 10. f(x)=x∣x∣는 x=0에서 미분가능합니까?
답. 가능합니다. 차분몫이 ∣h∣이고 극한이 0이므로 f′(0)=0입니다.
문제 11. dxd(5x4−2x2+3)을 구하세요.
답. 20x3−4x입니다.
문제 12. (fg)′=f′g′이 거짓임을 가장 간단한 예로 보이세요.
답. f=g=x이면 왼쪽이 2x이고 오른쪽이 1입니다.
문제 13. dxd[(2x+1)(x2−3)]을 구하세요.
답. 2(x2−3)+(2x+1)⋅2x=6x2+2x−6입니다.
문제 14. dxdx+32x−1을 구하세요.
답. (x+3)22(x+3)−(2x−1)=(x+3)27입니다.
문제 15. 몫의 미분법의 부호를 확인하는 방법을 쓰세요.
답. f=1을 넣어 −g2g′이 나오는지 봅니다.
문제 16. dxd(4x−7)9을 구하세요.
답. 9(4x−7)8⋅4=36(4x−7)8입니다.
문제 17. dxdx2+16을 구하세요.
답. x2+16x입니다.
문제 18. y=((3x+1)2+5)4를 미분하세요.
답. 4((3x+1)2+5)3⋅2(3x+1)⋅3=24(3x+1)((3x+1)2+5)3입니다.
문제 19. dxd[x3(x−2)5]을 구하고 공통인수로 묶으세요.
답. 3x2(x−2)5+5x3(x−2)4=x2(x−2)4(8x−6)입니다.
문제 20. dxdy=dudydxdu에서 약분이 증명이 아닌 이유를 쓰세요.
답. dxdy가 분수가 아니라 하나의 극한 기호이기 때문입니다.
문제 21. dxde4x를 구하세요.
답. 4e4x입니다.
문제 22. dxd5x를 구하세요.
답. 5xln5입니다.
문제 23. e가 특별한 이유를 도함수로 설명하세요.
답. h→0limhah−1=1이 되는 유일한 밑이라 ex의 도함수가 자기 자신이 됩니다.
문제 24. dxdln(2x2+1)을 구하세요.
답. 2x2+14x입니다.
문제 25. dxdln∣x∣를 구하고 정의역을 쓰세요.
답. x1이며 x=0입니다.
문제 26. sin의 도함수 유도에 34강의 어떤 결과가 쓰입니까?
답. hsinh→1과 h21−cosh→21입니다.
문제 27. 삼각함수 도함수 공식이 호도법에서만 성립하는 이유를 쓰세요.
답. 각을 도로 재면 xsinx→180π이 되어 모든 공식에 그 상수가 붙기 때문입니다.
문제 28. dxdtan(3x)를 구하세요.
답. 3sec2(3x)입니다.
문제 29. dxdecosx를 구하세요.
답. −sinxecosx입니다.
문제 30. y=xlnx (x>0)를 미분하세요.
답. lny=(lnx)2이므로 yy′=x2lnx이고 y′=xlnx⋅x2lnx입니다.
문제 31. 로그미분법을 쓰는 상황을 두 가지 드세요.
답. 밑과 지수가 모두 변할 때와 인수가 여러 개인 곱일 때입니다.
문제 32. x2+4y2=16에서 dxdy를 구하세요.
답. 2x+8ydxdy=0이므로 −4yx입니다.
문제 33. x3+y3=9에서 dxdy를 구하세요.
답. 3x2+3y2dxdy=0이므로 −y2x2입니다.
문제 34. xy2=8에서 dxdy를 구하세요.
답. y2+2xydxdy=0이므로 −2xy입니다.
문제 35. 음함수 미분이 언제나 dxdy에 대해 풀리는 이유를 쓰세요.
답. 연쇄법칙으로 dxdy가 항상 일차로만 나타나기 때문입니다.
문제 36. dxdx4/3을 구하세요.
답. 34x1/3입니다.
문제 37. f(x)=x3+4x일 때 (f−1)′(5)를 구하세요.
답. f(1)=5이므로 f−1(5)=1입니다. f′(x)=3x2+4이므로 f′(1)=7이고 답은 71입니다.
문제 38. 역함수 도함수 공식을 쓰고 확인해야 할 조건을 쓰세요.
답. (f−1)′(b)=f′(a)1이며 f(a)=b이고 f′(a)=0이어야 합니다.
문제 39. dxdarctan(2x)를 구하세요.
답. 1+4x22입니다.
문제 40. arcsin의 도함수를 구할 때 부호를 어떻게 정합니까?
답. 정의역 제한 −2π≤y≤2π에서 cosy≥0이므로 양의 부호를 택합니다.
문제 41. 반지름이 초당 0.5센티미터씩 늘어나는 구에서 반지름이 4센티미터인 순간 부피의 변화율을 구하세요.
답. dtdV=4πr2dtdr=4π⋅16⋅0.5=32π입니다.
문제 42. 관련 변화율에서 값을 미분 전에 대입하면 왜 안 됩니까?
답. 변하는 양이 상수가 되어 변화율이 0으로 사라지기 때문입니다.
문제 43. f(x)=x6−x2의 f′′을 구하세요.
답. f′=6x5−2x이고 f′′=30x4−2입니다.
문제 44. f′′>0인 구간에서 그래프는 어느 쪽으로 볼록합니까?
답. 아래로 볼록합니다. 기울기가 증가하기 때문입니다.
문제 45. f(x)=x7의 f(5)를 구하세요.
답. 2!7!x2=2520x2입니다.
문제 46. f(x)=sinx의 f(n)을 하나의 식으로 쓰세요.
답. sin(x+2nπ)입니다.
문제 47. 라이프니츠 규칙을 쓰고 이항정리와 같은 이유를 설명하세요.
답. (fg)(n)=k=0∑n(kn)f(n−k)g(k)입니다. n번의 미분에서 매번 f와 g 중 하나를 고르는 셈이라 이항정리와 같은 계수가 나옵니다.
문제 48. 미분가능한데 C1이 아닌 함수를 들고 그 이유를 쓰세요.
답. x2sinx1 (단 f(0)=0)입니다. 미분가능하지만 도함수가 x=0에서 진동해 불연속입니다.
48문항 중 맞힌 개수로 다음을 판단합니다.
| 정답 수 |
판단 |
| 43개 이상 |
03단원으로 넘어갑니다 |
| 34∼42개 |
틀린 문제가 속한 강의만 다시 읽고 넘어갑니다 |
| 33개 이하 |
37강부터 41강까지 다시 읽습니다 |
2부에서 절반 이하를 맞혔다면 반드시 되돌아갑니다. 미분 규칙이 손에 붙지 않으면 03단원의 모든 문제에서 계산에 발목이 잡힙니다.