34강에서 극한을 정의할 때 라는 조건을 넣었습니다. 그 자리를 왜 비워 두었는지 이 강의에서 답합니다.
속도를 생각해 봅니다. 평균속도는 이동거리를 걸린 시간으로 나눈 값입니다. 그런데 "지금 이 순간의 속도"를 구하려면 시간 간격을 으로 보내야 하고, 그러면 분모가 이 되어 계산이 불가능해집니다. 나눗셈이 정의되지 않는 자리를 지나가야 하는 것입니다.
극한이 그 자리를 비워 두고 주변만 보도록 정의되어 있었기에 이 계산이 가능합니다. 34강의 가 미분 전체를 떠받치고 있습니다.
문제. 물체의 위치가 일 때
(1) 부터 까지의 평균속도를 의 식으로 구하세요.
(2) 일 때 값을 구하세요.
(3) 에서의 순간속도를 정의하고 값을 구하세요.
생각의 실마리. (1)의 식에서 을 넣으면 이 됩니다. 그러나 34강에서 부정형을 다룰 때 인수분해로 약분했던 것을 떠올립니다. 극한이 인 범위만 보므로 약분해도 됩니다.
풀이. (1) 평균속도는 위치의 변화를 시간의 변화로 나눈 값입니다.
이므로 약분하면 입니다.
(2) 이면 , 이면 , 이면 입니다. 값이 에 다가갑니다.
(3) 순간속도는 일 때 평균속도의 극한으로 정의합니다.
을 직접 넣을 수는 없지만 극한은 그 점을 빼고 보므로 값이 로 정해집니다.
이 문제에서 배우는 것: 미분계수.
함수 의 점 에서의 미분계수를 다음과 같이 정의합니다.
이 극한이 존재하면 가 에서 미분가능하다고 합니다.
로 바꾸면 같은 정의를 다른 모양으로 적을 수 있습니다.
두 표현을 상황에 따라 골라 씁니다. 첫 번째는 계산에, 두 번째는 증명에 편한 경우가 많습니다.
분수 안의 를 평균변화율 또는 차분몫이라고 합니다. 이것은 두 점 와 를 잇는 직선의 기울기입니다. 를 으로 보내면 그 직선이 한 점에서 접하는 직선으로 다가가므로, 미분계수는 접선의 기울기입니다.
따라서 에서의 접선의 방정식은 다음과 같습니다.
여기서 반드시 짚어 둘 것이 있습니다. 이 정의는 에서 분모가 이 되므로, 34강의 극한 정의가 를 빼고 보지 않았다면 성립할 수 없습니다. 34강 문제 1에서 예고한 자리가 여기입니다.
바로 확인.
확인 1-1. 의 에서의 미분계수를 정의로 구하세요.
답. 이므로 극한은 입니다.
확인 1-2. 의 에서의 미분계수를 구하세요.
답. 이므로 와 무관하게 입니다. 일차함수의 기울기와 같습니다.
확인 1-3. 의 에서의 접선의 방정식을 구하세요.
답. 이고 이므로 , 즉 입니다.
문제. 에 대하여
(1) 임의의 점 에서의 미분계수를 정의로 구하세요.
(2) 결과를 의 함수로 보고 에 대해 같은 계산을 해 보세요.
생각의 실마리. (1)에서 를 구체적인 수로 두지 말고 문자로 둔 채 계산합니다. 23강에서 배운 임의의 원소 잡기와 같은 발상입니다. (2)에서는 을 전개해야 하는데, 20강의 이항정리를 쓰면 의 차수별로 정리됩니다.
풀이. (1) 정의에 넣습니다. 2강의 곱셈 공식으로 전개합니다.
이므로 약분합니다.
으로 보내면 입니다. 따라서 입니다.
(2) 20강의 이항정리로 전개합니다.
을 빼고 로 나눕니다.
으로 보내면 가 붙은 항이 모두 사라지고 첫 항만 남습니다. 이므로
입니다.
이 문제에서 배우는 것: 도함수와 멱법칙.
각 점 에 를 대응시키는 새 함수를 의 도함수라고 하고 로 씁니다.
도함수의 정의역은 원래 함수의 정의역 중 미분가능한 점들만 모은 것입니다. 원래 함수보다 좁아질 수 있습니다.
표기법이 여러 가지입니다. 상황에 따라 골라 씁니다.
| 표기 | 읽는 법 | 쓰기 좋은 곳 |
|---|---|---|
| 에프 프라임 | 함수를 강조할 때 | |
| \dfrac{dy} | 디와이 디엑스 | 어느 변수로 미분하는지 밝힐 때 |
| 디 디엑스 에프 | 미분을 연산으로 볼 때 | |
| \dot | 와이 닷 | 시간으로 미분할 때 |
는 분수처럼 보이지만 분수가 아닙니다. 와 를 따로 떼어 쓰는 것은 50강의 치환적분에서 정당화되며, 그 전까지는 하나의 기호로 봅니다.
방금 (2)에서 유도한 것이 멱법칙입니다.
여기서는 이 자연수인 경우만 증명했습니다. 이 음의 정수나 유리수, 나아가 임의의 실수일 때도 같은 식이 성립하며, 40강의 음함수 미분과 39강의 지수·로그 미분으로 확장합니다.
기본 도함수 두 개를 더 확인해 둡니다.
상수함수는 변하지 않으므로 변화율이 이고, 자신은 인 멱법칙입니다.
바로 확인.
확인 2-1. 을 구하세요.
답. 입니다.
확인 2-2. 의 에서의 접선의 기울기를 구하세요.
답. 이므로 입니다.
확인 2-3. 도함수의 정의역이 원래 함수의 정의역보다 좁아질 수 있는 이유를 쓰세요.
답. 함수가 정의된 점에서도 미분계수의 극한이 존재하지 않을 수 있고, 그런 점은 도함수의 정의역에서 빠지기 때문입니다.
문제. (1) 가 에서 미분가능하면 에서 연속임을 증명하세요.
(2) 역이 성립합니까? 즉 연속이면 미분가능합니까?
생각의 실마리. (1)에서 보여야 할 것은 , 즉 입니다. 미분가능하다는 가정에서 쓸 수 있는 것은 차분몫의 극한이 존재한다는 사실뿐이므로, 그 차분몫이 나타나도록 식을 억지로 만들어 봅니다. (2)는 반례를 찾는 문제입니다. 연속인데 접선의 기울기가 정해지지 않는 그래프를 떠올립니다.
풀이. (1) 일 때 다음과 같이 씁니다.
이므로 나누고 곱하는 것이 허용되며, 극한은 인 범위만 보므로 이 변형이 정당합니다.
이제 극한을 취합니다. 첫 인수는 미분가능 가정에 의해 로 수렴하고 둘째 인수는 으로 수렴합니다. 34강의 곱의 법칙을 쓸 수 있습니다.
따라서 이고 는 에서 연속입니다.
(2) 성립하지 않습니다. 가 반례입니다.
35강 문제 13에서 확인한 대로 이 함수는 에서 연속입니다. 그러나 미분계수를 계산하면
이고, 34강 문제 2에서 본 대로 우극한이 이고 좌극한이 입니다. 두 값이 다르므로 극한이 없고 미분 불가능합니다.
이 문제에서 배우는 것: 미분가능성과 연속성의 관계.
역은 성립하지 않으므로 미분가능성이 연속성보다 강한 조건입니다.
이 관계의 대우가 실전에서 더 자주 쓰입니다.
불연속점을 발견하면 그 점에서 미분을 시도할 필요가 없습니다. 21강에서 정리한 대우의 활용이 여기서 나타납니다.
증명에서 쓴 수법도 기억해 둡니다. 원하는 식에 차분몫이 나타나도록 곱하고 나누는 것입니다. 가정이 차분몫의 극한밖에 주지 않으므로, 그것을 쓸 수 있는 모양을 억지로 만들어야 합니다. 이 방식은 38강에서 곱의 미분법을 증명할 때 다시 씁니다.
가 미분 불가능한 이유를 그림으로 말하면 그래프가 뾰족하기 때문입니다. 뾰족한 점에서는 왼쪽에서 잰 기울기와 오른쪽에서 잰 기울기가 달라 접선이 하나로 정해지지 않습니다.
바로 확인.
확인 3-1. 는 에서 미분가능합니까?
답. 아닙니다. 좌우 차분몫의 극한이 과 로 달라 미분계수가 정해지지 않습니다. 다만 연속입니다.
확인 3-2. 는 에서 미분가능합니까?
답. 우측 차분몫은 이고 좌측은 입니다. 다르므로 미분 불가능합니다. 연속이기는 합니다.
확인 3-3. 어떤 함수가 에서 불연속이면 그 점에서 미분가능합니까?
답. 불가능합니다. 미분가능하면 연속이라는 명제의 대우입니다.
문제. 다음 세 함수가 에서 미분 불가능함을 각각 보이고, 세 경우가 어떻게 다른지 정리하세요.
(가)
(나)
(다) h(x)=\begin{cases}x\sin\dfrac1x,&x\ne 0\\ 0,&x=0\end
생각의 실마리. 세 함수 모두 에서 연속입니다. 그러니 문제 3의 대우로는 걸러지지 않고, 차분몫의 극한을 직접 계산해야 합니다. 각각에서 극한이 없어지는 이유가 다를 것이므로 계산 결과를 보고 분류합니다.
풀이. (가) 문제 3에서 확인했습니다. 차분몫 의 좌우 극한이 과 로 다릅니다. 양쪽 기울기가 유한한데 서로 다릅니다.
(나) 차분몫을 계산합니다.
에서 분모가 으로 가고 이므로 값이 양의 무한대로 발산합니다. 기울기가 무한대로 갑니다. 그래프로는 에서 접선이 수직이 되는 모양입니다.
(다) 차분몫을 계산합니다.
34강 문제 5에서 이 극한이 존재하지 않음을 증명했습니다. 기울기가 진동해 정착하지 않습니다.
세 경우를 정리하면 좌우가 다른 경우, 무한대로 가는 경우, 진동하는 경우로 갈립니다.
이 문제에서 배우는 것: 미분 불가능의 세 가지 방식.
| 종류 | 차분몫의 거동 | 예 | 그래프 |
|---|---|---|---|
| 뾰족점 | 좌우 극한이 유한하지만 다릅니다 | 각이 집니다 | |
| 수직접선 | 극한이 무한대로 발산합니다 | x^ | 접선이 수직입니다 |
| 진동 | 극한이 존재하지 않습니다 | 기울기가 정착하지 않습니다 |
여기에 불연속을 더하면 미분이 불가능해지는 방식이 넷입니다. 앞의 셋은 연속인데도 미분이 안 되는 경우이고, 넷째는 문제 3의 대우로 즉시 걸러집니다.
미분가능성을 확인하는 절차를 정리합니다.
2번에서 좌우를 나눠 보는 이유는 미분 불가능한 경우 대부분이 좌우 차이에서 오기 때문입니다. 특히 절댓값이 들어 있거나 조각별로 정의된 함수에서는 반드시 나눠 봅니다.
(다)의 함수를 조금 바꾸면 결과가 달라집니다. 의 차분몫은 이 되고, 34강 확인 4-3에 의해 이 극한은 입니다. 미분가능합니다. 앞에 곱한 것이 냐 이냐에 따라 진동이 눌리는 정도가 달라지며, 34강 심화 5에서 본 관찰이 여기서 판정을 가릅니다.
바로 확인.
확인 4-1. 는 에서 미분가능합니까?
답. 아닙니다. 차분몫이 이고 절댓값이 로 발산하므로 수직접선 유형입니다.
확인 4-2. (단 )은 에서 미분가능합니까?
답. 가능합니다. 차분몫이 이고 이 극한이 이므로 입니다.
확인 4-3. 미분가능성을 확인할 때 가장 먼저 무엇을 봅니까?
답. 연속인지 봅니다. 불연속이면 그 자리에서 미분 불가능이 확정됩니다.
문제. 가 에서 미분가능하도록 와 를 정하세요.
생각의 실마리. 미분가능하려면 먼저 연속이어야 합니다. 문제 3에서 얻은 함의를 조건으로 쓰면 방정식 하나가 나옵니다. 그다음 좌우 차분몫의 극한이 같아야 한다는 조건에서 방정식 하나가 더 나옵니다. 미지수가 둘이므로 조건 둘이면 충분합니다.
풀이. 연속 조건. 좌극한과 우극한과 함숫값이 같아야 합니다.
미분가능 조건. 좌우 차분몫의 극한을 각각 계산합니다.
왼쪽에서는 이므로 미분계수가 이고 에서 입니다. 정의로 확인하면
오른쪽에서는 이고 연속 조건에 의해 이므로
중간에서 을 썼습니다. 두 값이 같아야 하므로 입니다.
연속 조건에 넣으면 입니다.
검산합니다. 이 에서 쓰이고 로 이어지며, 양쪽 기울기가 모두 입니다.
이 문제에서 배우는 것: 조각별 함수의 미분가능 조건.
경계점 에서 미분가능하려면 두 조건이 모두 필요합니다.
여기서 자주 하는 실수가 있습니다. 연속 조건을 건너뛰고 기울기만 맞추는 것입니다. 두 조각의 도함수가 경계에서 같더라도 함숫값이 어긋나 있으면 불연속이므로 미분 불가능합니다. 예를 들어
는 양쪽 기울기가 모두 이지만 에서 값이 과 으로 뛰므로 미분 불가능합니다.
계산 요령도 정리합니다. 위 풀이에서 오른쪽 차분몫을 계산할 때 연속 조건을 먼저 써서 상수항을 지웠습니다. 그러지 않으면 가 남아 발산해 버립니다. 이것은 우연이 아닙니다. 연속이 아니면 차분몫이 반드시 발산하며, 그 사실이 문제 3의 증명을 다른 각도에서 보여 줍니다.
실전에서는 좌우 도함수를 정의로 계산하는 대신 각 조각의 도함수 공식에 경계값을 대입해도 됩니다. 각 조각이 경계점을 포함하는 열린 구간에서 미분가능한 초등함수일 때 그렇습니다. 위에서 에 을 넣어 를 얻은 것이 그 방식입니다.
바로 확인.
확인 5-1. 가 미분가능한 와 를 구하세요.
답. 기울기는 에 를 넣어 이므로 입니다. 연속 조건에서 이므로 입니다.
확인 5-2. 두 조각의 기울기가 같은데도 미분 불가능한 예를 드세요.
답. 에서 , 에서 인 함수입니다. 기울기는 둘 다 이지만 값이 뛰어 불연속입니다.
확인 5-3. 조각별 함수의 미분가능을 확인할 때 순서를 쓰세요.
답. 먼저 연속을 확인하고 그다음 좌우 미분계수가 같은지 확인합니다.
| 개념 | 정의 |
|---|---|
| 미분계수 | f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)} |
| 다른 형태 | f'(a)=\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)} |
| 도함수 | 각 점에 미분계수를 대응시킨 함수 |
| 접선 |
| 공식 | 결과 |
|---|---|
| \dfrac{d}{dx}x^ | nx^ |
| 관계 | 성립 여부 |
|---|---|
| 미분가능 연속 | 성립합니다 |
| 연속 미분가능 | 성립하지 않습니다 () |
| 불연속 미분 불가능 | 성립합니다 (대우) |
| 미분 불가능 유형 | 예 |
|---|---|
| 불연속 | 도약이 있는 함수 |
| 뾰족점 | |
| 수직접선 | x^ |
| 진동 |
문제 6. 의 에서의 미분계수를 정의로 구하세요.
답. 이므로 입니다.
문제 7. 를 구하세요.
답. 입니다.
문제 8. 의 에서의 접선의 방정식을 구하세요.
답. 이고 이므로 , 즉 입니다.
문제 9. 의 도함수를 정의로 구하세요.
답. 이므로 극한은 입니다. 멱법칙에 을 넣은 것과 같습니다.
문제 10. 의 도함수를 정의로 구하세요.
답. 유리화하면 이므로 극한은 입니다. 멱법칙에 을 넣은 것과 같습니다.
문제 11. 이 미분 불가능한 점을 모두 구하세요.
답. 이 부호를 바꾸는 과 입니다. 두 점에서 뾰족점이 생깁니다.
문제 12. 미분가능하면 연속임을 증명할 때 어떤 변형을 씁니까?
답. 로 곱하고 나눠 차분몫이 나타나게 만듭니다.
문제 13. 이 에서 미분 불가능한 이유를 쓰세요.
답. 차분몫이 이고 이 값이 무한대로 발산하므로 수직접선 유형입니다.
문제 14. 가 미분가능한 와 를 구하세요.
답. 기울기가 같아야 하므로 이고, 연속 조건에서 이므로 입니다. 결국 같은 직선입니다.
문제 15. 는 에서 미분가능합니까?
답. 가능합니다. 차분몫이 이고 극한이 이므로 입니다.
문제 16. 가 존재하면 는 얼마입니까?
답. 입니다. 미분가능하면 연속이므로 함숫값의 차가 으로 갑니다.
문제 17. 에서 을 간단히 하고 의 극한을 구하세요.
답. 이므로 극한은 이고 이것이 입니다.
문제 18. 가 분수가 아닌 이유를 쓰세요.
답. 하나의 극한을 나타내는 기호이기 때문입니다. 와 를 따로 떼어 쓰는 것은 50강의 치환적분에서 정당화됩니다.
심화 1. 가 에서 미분가능하면 근처에서 로 근사할 수 있음을 정의에서 설명하세요.
답. 오차가 보다 빠르게 으로 갑니다.
풀이. 정의에서
이므로 오차를 다음과 같이 둡니다.
정의에 의해 에서 입니다. 정리하면
이고 마지막 항은 에 으로 가는 것을 곱했으므로 보다 빠르게 사라집니다.
남는 것. 미분가능하다는 것은 함수가 그 점 근처에서 일차함수로 잘 근사된다는 뜻입니다. 접선이 곧 그 일차함수입니다. 이 관점이 57강의 테일러 근사로 확장되며, 다항식의 차수를 올려 가며 더 정확히 근사하는 것이 그 내용입니다. 93강 이후 다변수에서는 이 관점이 미분의 정의 자체가 됩니다.
심화 2. 멱법칙을 이 음의 정수일 때 정의로 증명하세요.
답. 으로 두고 통분하면 됩니다.
풀이. 이고 이라 합니다. 차분몫을 계산합니다.
첫 인수는 자연수 지수의 차분몫이므로 극한이 이고, 둘째 인수의 극한은 입니다. 따라서
남는 것. 자연수 경우를 이미 증명해 두었기에 그 결과를 재료로 써서 음수 경우를 얻었습니다. 새 증명을 처음부터 만들지 않고 이미 가진 것을 조합하는 이 방식이 효율적입니다. 유리수 지수는 40강의 음함수 미분으로, 실수 지수는 39강의 로그 미분으로 각각 확장합니다.
심화 3. 은 에서 미분 불가능하고 은 미분가능한 이유를 차분몫으로 설명하세요.
답. 차분몫에 남는 의 거듭제곱이 진동을 누르는지가 갈립니다.
풀이. 두 경우의 차분몫을 나란히 적습니다.
앞쪽은 가 완전히 약분되어 순수한 진동만 남습니다. 진폭이 줄지 않으므로 극한이 없습니다. 뒤쪽은 가 하나 남아 진폭을 눌러 주므로 34강 확인 4-3에 의해 극한이 입니다.
남는 것. 차분몫이 로 나누는 연산이므로 미분은 함수를 한 차수 거칠게 만듭니다. 원래 함수에서 으로 가던 것도 로 나누고 나면 살아날 수 있습니다. 그래서 연속보다 미분가능이 강한 조건이 되고, 41강에서 고계도함수를 다룰 때 미분할 때마다 조건이 더 강해지는 현상이 나타납니다.
심화 4. 의 도함수가 에서 연속이 아님을 보이세요.
답. 도함수가 존재하지만 그 도함수는 에서 불연속입니다.
풀이. 에서 38강의 곱과 연쇄법칙으로 계산하면
입니다. 확인 4-2에서 임을 이미 얻었습니다.
이제 에서 의 극한을 봅니다. 첫 항은 으로 가지만 둘째 항 은 34강 확인 5-1에 의해 극한이 없습니다. 따라서 가 존재하지 않고 은 에서 불연속입니다.
남는 것. 미분가능하다고 도함수가 연속인 것은 아닙니다. 도함수까지 연속인 함수를 따로 연속미분가능이라 부르고 으로 표기하며, 뒤의 여러 정리가 이 더 강한 조건을 요구합니다. 41강에서 계층을 정리하고, 57강의 테일러 정리가 고계도함수의 연속성을 요구하는 이유가 여기서 시작됩니다.
심화 5. 모든 점에서 연속이지만 어느 점에서도 미분 불가능한 함수가 존재합니까?
답. 존재합니다.
풀이. 바이어슈트라스 함수가 그런 예입니다.
에서 이고 가 충분히 크면 이 함수는 모든 실수에서 연속이면서 어느 점에서도 미분 불가능합니다. 급수가 고르게 수렴해 연속성이 보장되는 반면, 진동의 주파수 이 진폭 이 줄어드는 속도보다 빠르게 커져 차분몫이 어디서도 정착하지 않습니다. 정확한 증명은 54강 이후 급수의 수렴을 다룬 뒤에 가능합니다.
남는 것. 문제 4에서 미분 불가능한 점을 하나씩 찾았는데, 여기서는 그런 점이 실수 전체입니다. 뾰족점이 빽빽하게 들어찬 셈입니다. 35강 문제 5의 디리클레 함수가 연속의 직관을 깼다면, 이 함수는 미분의 직관을 깹니다. 그림으로 이해하던 개념이 정의만큼 넓지 않다는 점이 여기서도 확인됩니다.
심화 6. 가 에서 미분가능하면 임을 보이고, 역이 성립하는지 판정하세요.
답. 앞은 성립하고 역은 성립하지 않습니다.
풀이. 좌변을 두 조각으로 쪼갭니다.
첫 항의 극한은 입니다. 둘째 항에서 로 두면 가 되어 역시 입니다. 합이 입니다.
역의 반례로 를 에서 봅니다. 대칭 차분몫은
으로 극한이 이지만, 문제 3에서 본 대로 는 에서 미분 불가능합니다.
남는 것. 이 대칭 차분몫은 수치미분에서 표준으로 쓰입니다. 심화 1의 오차 항을 따져 보면 한쪽 차분몫보다 정확도가 한 차수 높기 때문입니다. 그러나 미분 불가능한 점에서도 값을 내놓는다는 위험이 있습니다. 코드가 숫자를 돌려주었다고 미분가능한 것은 아니며, 이 점이 다음 코드 검산에서 그대로 나타납니다.
미분계수는 극한이므로 코드로 정확히 계산할 수 없습니다. 대신 를 작게 잡아 차분몫이 손으로 구한 값에 다가가는지, 그리고 미분 불가능한 점에서 실제로 다가가지 않는지 확인합니다.
import numpy as np
h = np.array([1e-1, 1e-2, 1e-3, 1e-4, 1e-5])
# 문제 1: s(t) = t^2 의 t=2 에서 순간속도는 4
print(np.round(((2 + h)**2 - 4) / h, 6)) # [4.1 4.01 4.001 4.0001 4.00001]
# 문제 2: 멱법칙을 차분몫으로 확인합니다.
x0 = 2.0
for n in (3, 5, 7):
approx = ((x0 + 1e-6)**n - x0**n) / 1e-6
print(n, round(approx, 4), round(n * x0**(n - 1), 4))
# 3 12.0 12.0
# 5 80.0001 80.0
# 7 448.0007 448.0
# 문제 3: |x| 는 0 에서 좌우 차분몫이 갈립니다.
print(np.abs(h) / h, np.abs(-h) / (-h))
# [1. 1. 1. 1. 1.] [-1. -1. -1. -1. -1.]
# 문제 4: 세 가지 미분 불가능 유형
print(np.round(np.abs(h) / h, 6)) # [1. 1. 1. 1. 1.]
print(np.round(h**(1/3) / h, 3))
# [ 4.642 21.544 100. 464.159 2154.435]
print(np.round(np.sin(1 / h), 6))
# [-0.544021 -0.506366 0.82688 -0.305614 0.035749]
# 확인 4-2: x^2 sin(1/x) 는 미분가능하고 f'(0) = 0 입니다.
print(np.round(h * np.sin(1 / h), 8))
# [-5.440211e-02 -5.063660e-03 8.268800e-04 -3.056000e-05 3.600000e-07]
# 심화 4: 그 도함수는 0 에서 연속이 아닙니다.
d = 2*h*np.sin(1/h) - np.cos(1/h)
print(np.round(d, 4)) # [ 0.7303 -0.8724 -0.5607 0.9521 0.9994]
# 심화 6: 대칭 차분몫은 미분 불가능한 점에서도 값을 냅니다.
sym = (np.abs(0 + h) - np.abs(0 - h)) / (2 * h)
print(sym) # [0. 0. 0. 0. 0.]
print(round(float((np.abs(1e-6) - np.abs(-1e-6)) / 2e-6), 10)) # 0.0
출력이 주석과 모두 일치합니다. 두 번째 검산에서 차분몫이 멱법칙 값에 가깝지만 정확히 같지는 않습니다. 에서 과 의 차이가 그것이며, 이 이 아니기 때문에 남는 오차입니다. 심화 1의 표현으로 말하면 항이 남은 것입니다.
세 번째와 네 번째 검산이 미분 불가능의 세 유형을 나란히 보여 줍니다. 는 좌우가 과 로 갈리고, 은 값이 까지 치솟으며, 은 아무 값에도 정착하지 않고 튑니다.
마지막 검산이 심화 6의 경고를 그대로 보여 줍니다. 는 에서 미분 불가능한데도 대칭 차분몫은 깨끗하게 을 돌려줍니다. 코드가 숫자를 내놓았다고 미분가능한 것이 아닙니다. 미분가능성은 손으로 좌우를 나눠 확인해야 합니다.
정답.
| 기호 | 읽는 법 | 뜻 |
|---|---|---|
| 에프 프라임 에이 | 에서의 미분계수입니다 | |
| 도함수 | 각 점에 미분계수를 대응시킨 함수입니다 | |
| \dfrac{dy} | 디와이 디엑스 | 분수가 아니라 하나의 기호입니다 |
| \dfrac{f(a+h)-f(a)} | 차분몫 | 두 점을 잇는 직선의 기울기입니다 |
| C^ | 연속미분가능 | 도함수까지 연속인 함수입니다 |
다음 38강에서는 함수를 조합했을 때의 도함수를 구합니다. 합과 상수배는 쉽게 나오지만 곱은 그렇지 않으며, 이 아니라는 사실을 반례로 먼저 확인하고 올바른 공식을 유도합니다.