37강에서 도함수를 정의하고 멱법칙을 얻었습니다. 그러나 정의로 매번 계산하는 것은 비효율적입니다. ( x 3 + 2 x ) 10 ( x 3 + 2 x ) 1 0
이 강의는 함수를 조합했을 때의 도함수 를 구하는 규칙을 만듭니다. 합과 상수배는 쉽게 나옵니다. 그러나 곱은 그렇지 않습니다. ( f g ) ′ = f ′ g ′ ( f g ) ′ = f ′ g ′ ∑ a i b i ≠ ( ∑ a i ) ( ∑ b i ) ∑ a i b i = ( ∑ a i ) ( ∑ b i )
여기서 얻는 세 규칙, 특히 연쇄법칙 은 이후 모든 계산의 기반이 됩니다. 216강 이후 신경망의 역전파가 연쇄법칙을 층마다 반복 적용하는 것이므로, 이 강의의 내용이 그대로 딥러닝의 학습 알고리즘이 됩니다.
합과 상수배의 미분법을 정의에서 유도할 수 있습니다.
( f g ) ′ = f ′ g ′ ( f g ) ′ = f ′ g ′ 몫의 미분법을 쓰고 언제 쓸지 판단할 수 있습니다.
연쇄법칙으로 합성함수를 미분할 수 있습니다.
여러 규칙이 섞인 식에서 어느 규칙을 어느 순서로 쓸지 정할 수 있습니다.
문제. f f g g ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ ( f + g ) ′ = f ′ + g ′ ( c f ) ′ = c f ′ ( c f ) ′ = c f ′ d d x ( 3 x 4 − 5 x 2 + 7 ) d x d ( 3 x 4 − 5 x 2 + 7 )
생각의 실마리. 두 증명 모두 정의에 넣고 차분몫을 정리하면 됩니다. 34강의 극한법칙 중 합의 법칙과 상수배의 법칙을 쓸 수 있는 모양으로 만드는 것이 목표입니다. 그 법칙을 쓰려면 각 극한이 존재해야 하는데, 그 조건은 가정에서 이미 주어졌습니다.
풀이. (1) 정의에 넣습니다.
( f + g ) ( x + h ) − ( f + g ) ( x ) h = f ( x + h ) + g ( x + h ) − f ( x ) − g ( x ) h h ( f + g ) ( x + h ) − ( f + g ) ( x ) = h f ( x + h ) + g ( x + h ) − f ( x ) − g ( x )
f f g g
= f ( x + h ) − f ( x ) h + g ( x + h ) − g ( x ) h = h f ( x + h ) − f ( x ) + h g ( x + h ) − g ( x )
두 차분몫의 극한이 각각 f ′ ( x ) f ′ ( x ) g ′ ( x ) g ′ ( x )
( f + g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x ) ( f + g ) ′ ( x ) = f ′ ( x ) + g ′ ( x )
(2) 같은 방식입니다.
c f ( x + h ) − c f ( x ) h = c ⋅ f ( x + h ) − f ( x ) h h c f ( x + h ) − c f ( x ) = c ⋅ h f ( x + h ) − f ( x )
c c h h ( c f ) ′ = c f ′ ( c f ) ′ = c f ′
(3) 두 규칙과 멱법칙을 합쳐 씁니다.
d d x ( 3 x 4 − 5 x 2 + 7 ) = 3 ⋅ 4 x 3 − 5 ⋅ 2 x + 0 = 12 x 3 − 10 x d x d ( 3 x 4 − 5 x 2 + 7 ) = 3 ⋅ 4 x 3 − 5 ⋅ 2 x + 0 = 1 2 x 3 − 1 0 x
이 문제에서 배우는 것: 미분의 선형성.
두 결과를 합쳐 미분의 선형성 이라고 합니다.
( α f + β g ) ′ = α f ′ + β g ′ ( α f + β g ) ′ = α f ′ + β g ′
31강에서 시그마의 선형성을 다뤘는데 미분도 같은 성질을 가집니다. 두 연산 모두 더하기를 그대로 통과시키고 상수를 밖으로 내보냅니다. 이런 연산을 선형연산이라고 부르며, 62강 이후의 선형대수학에서 이 구조를 정면으로 다룹니다.
증명에서 결정적이었던 것은 극한법칙을 쓸 수 있는 모양으로 차분몫을 쪼갠 것 입니다. 그리고 극한법칙을 쓰려면 각 극한이 존재해야 하므로, f f g g
다항함수의 미분은 이제 기계적으로 됩니다.
d d x ( a n x n + ⋯ + a 1 x + a 0 ) = n a n x n − 1 + ⋯ + a 1 d x d ( a n x n + ⋯ + a 1 x + a 0 ) = n a n x n − 1 + ⋯ + a 1
바로 확인.
확인 1-1. d d x ( 2 x 5 − x 3 + 4 x ) d x d ( 2 x 5 − x 3 + 4 x )
답. 10 x 4 − 3 x 2 + 4 1 0 x 4 − 3 x 2 + 4
확인 1-2. d d x ( 1 x + x ) d x d ( x 1 + x )
답. x − 1 x − 1 x 1 / 2 x 1 / 2 − x − 2 + 1 2 x − 1 / 2 = − 1 x 2 + 1 2 x − x − 2 + 2 1 x − 1 / 2 = − x 2 1 + 2 x 1
확인 1-3. 미분의 선형성과 31강의 시그마 선형성이 어떤 점에서 같습니까?
답. 둘 다 덧셈을 그대로 통과시키고 상수를 밖으로 내보냅니다. 이런 성질을 가진 연산을 선형연산이라고 합니다.
문제. (1) f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 g ( x ) = x 3 g ( x ) = x 3 ( f g ) ′ ( f g ) ′ f ′ g ′ f ′ g ′
생각의 실마리. (1)은 f g = x 5 f g = x 5 f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) 차분몫이 나타나도록 억지로 만듭니다. 여기서는 같은 항을 빼고 더하는 방법을 씁니다.
풀이. (1) f g = x 2 ⋅ x 3 = x 5 f g = x 2 ⋅ x 3 = x 5 ( f g ) ′ = 5 x 4 ( f g ) ′ = 5 x 4
한편 f ′ = 2 x f ′ = 2 x g ′ = 3 x 2 g ′ = 3 x 2 f ′ g ′ = 6 x 3 f ′ g ′ = 6 x 3
두 값이 다릅니다. 예를 들어 x = 1 x = 1 5 5 6 6 ( f g ) ′ ≠ f ′ g ′ ( f g ) ′ = f ′ g ′
(2) 정의에 넣습니다.
f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x ) h h f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x ) g ( x )
분자에 f ( x + h ) g ( x ) f ( x + h ) g ( x )
= f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x + h ) g ( x ) + f ( x + h ) g ( x ) − f ( x ) g ( x ) h = h f ( x + h ) g ( x + h ) − f ( x + h ) g ( x ) + f ( x + h ) g ( x ) − f ( x ) g ( x )
앞 두 항에서 f ( x + h ) f ( x + h ) g ( x ) g ( x )
= f ( x + h ) ⋅ g ( x + h ) − g ( x ) h + g ( x ) ⋅ f ( x + h ) − f ( x ) h = f ( x + h ) ⋅ h g ( x + h ) − g ( x ) + g ( x ) ⋅ h f ( x + h ) − f ( x )
이제 각 항이 극한을 가집니다. f f f ( x + h ) → f ( x ) f ( x + h ) → f ( x ) g ′ ( x ) g ′ ( x ) f ′ ( x ) f ′ ( x )
( f g ) ′ ( x ) = f ( x ) g ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x ) ( f g ) ′ ( x ) = f ( x ) g ′ ( x ) + g ( x ) f ′ ( x )
검산합니다. f = x 2 f = x 2 g = x 3 g = x 3 x 2 ⋅ 3 x 2 + x 3 ⋅ 2 x = 3 x 4 + 2 x 4 = 5 x 4 x 2 ⋅ 3 x 2 + x 3 ⋅ 2 x = 3 x 4 + 2 x 4 = 5 x 4
이 문제에서 배우는 것: 곱의 미분법.
( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′
외우는 방법이 있습니다. 앞의 것만 미분하고 뒤의 것만 미분해서 더합니다. 두 항이 필요한 이유를 직관으로 말하면, 곱이 변하는 원인이 두 가지이기 때문입니다. f f g g
증명에서 쓴 빼고 더하기 는 해석학에서 가장 자주 쓰는 수법입니다. 목표 형태가 보이지 않을 때 중간 다리가 될 항을 넣었다 빼서 두 조각으로 쪼갭니다. 33강 심화 5에서 합을 앞뒤로 쪼갠 것도 같은 성격입니다.
증명 안에서 f f f ( x + h ) → f ( x ) f ( x + h ) → f ( x )
세 개 이상의 곱으로 확장됩니다.
( f g h ) ′ = f ′ g h + f g ′ h + f g h ′ ( f g h ) ′ = f ′ g h + f g ′ h + f g h ′
한 번에 하나씩만 미분한 항들을 모두 더합니다. 25강의 귀납법으로 임의의 개수까지 확장됩니다.
바로 확인.
확인 2-1. d d x [ ( x 2 + 1 ) ( x 3 − 2 ) ] d x d [ ( x 2 + 1 ) ( x 3 − 2 ) ]
답. 2 x ( x 3 − 2 ) + ( x 2 + 1 ) ⋅ 3 x 2 = 2 x 4 − 4 x + 3 x 4 + 3 x 2 = 5 x 4 + 3 x 2 − 4 x 2 x ( x 3 − 2 ) + ( x 2 + 1 ) ⋅ 3 x 2 = 2 x 4 − 4 x + 3 x 4 + 3 x 2 = 5 x 4 + 3 x 2 − 4 x
확인 2-2. 확인 2-1을 전개한 뒤 미분해서 같은 답이 나오는지 확인하세요.
답. 전개하면 x 5 + x 3 − 2 x 2 − 2 x 5 + x 3 − 2 x 2 − 2 5 x 4 + 3 x 2 − 4 x 5 x 4 + 3 x 2 − 4 x
확인 2-3. d d x [ x ⋅ x ⋅ x ] d x d [ x ⋅ x ⋅ x ]
답. 1 ⋅ x ⋅ x + x ⋅ 1 ⋅ x + x ⋅ x ⋅ 1 = 3 x 2 1 ⋅ x ⋅ x + x ⋅ 1 ⋅ x + x ⋅ x ⋅ 1 = 3 x 2 3 x 2 3 x 2
문제. (1) ( 1 g ) ′ ( g 1 ) ′ ( f g ) ′ ( g f ) ′ d d x x 2 + 1 x − 3 d x d x − 3 x 2 + 1
생각의 실마리. (1)에서 정의에 넣으면 분수의 차가 나오므로 4강의 통분으로 정리합니다. (2)에서는 f g = f ⋅ 1 g g f = f ⋅ g 1
풀이. (1) 정의에 넣고 통분합니다.
1 h ( 1 g ( x + h ) − 1 g ( x ) ) = 1 h ⋅ g ( x ) − g ( x + h ) g ( x + h ) g ( x ) h 1 ( g ( x + h ) 1 − g ( x ) 1 ) = h 1 ⋅ g ( x + h ) g ( x ) g ( x ) − g ( x + h )
분자의 부호를 뒤집어 차분몫을 만듭니다.
= − g ( x + h ) − g ( x ) h ⋅ 1 g ( x + h ) g ( x ) = − h g ( x + h ) − g ( x ) ⋅ g ( x + h ) g ( x ) 1
g g g ( x + h ) → g ( x ) g ( x + h ) → g ( x ) g ( x ) ≠ 0 g ( x ) = 0
( 1 g ) ′ = − g ′ g 2 ( g 1 ) ′ = − g 2 g ′
(2) f g = f ⋅ 1 g g f = f ⋅ g 1
( f g ) ′ = f ′ ⋅ 1 g + f ⋅ ( − g ′ g 2 ) = f ′ g − f g ′ g 2 ( g f ) ′ = f ′ ⋅ g 1 + f ⋅ ( − g 2 g ′ ) = g f ′ − g 2 f g ′
통분합니다.
= f ′ g − f g ′ g 2 = g 2 f ′ g − f g ′
(3) f = x 2 + 1 f = x 2 + 1 g = x − 3 g = x − 3 f ′ = 2 x f ′ = 2 x g ′ = 1 g ′ = 1
2 x ( x − 3 ) − ( x 2 + 1 ) ⋅ 1 ( x − 3 ) 2 = 2 x 2 − 6 x − x 2 − 1 ( x − 3 ) 2 = x 2 − 6 x − 1 ( x − 3 ) 2 ( x − 3 ) 2 2 x ( x − 3 ) − ( x 2 + 1 ) ⋅ 1 = ( x − 3 ) 2 2 x 2 − 6 x − x 2 − 1 = ( x − 3 ) 2 x 2 − 6 x − 1
이 문제에서 배우는 것: 몫의 미분법.
( f g ) ′ = f ′ g − f g ′ g 2 ( g ≠ 0 ) ( g f ) ′ = g 2 f ′ g − f g ′ ( g = 0 )
곱의 미분법과 달리 순서가 중요합니다. 분자에서 f ′ g f ′ g f g ′ f g ′
부호를 확인하는 방법이 있습니다. f = 1 f = 1 f ′ = 0 f ′ = 0 − g ′ g 2 − g 2 g ′ 0 ⋅ g − 1 ⋅ g ′ g 2 = − g ′ g 2 g 2 0 ⋅ g − 1 ⋅ g ′ = − g 2 g ′
g ≠ 0 g = 0
몫의 미분법을 쓰지 않는 편이 나은 경우 도 있습니다. 분모가 단항식이면 나눠서 멱법칙으로 처리하는 것이 빠릅니다.
x 3 + x x 2 = x + x − 1 ⟹ d d x = 1 − x − 2 x 2 x 3 + x = x + x − 1 ⟹ d x d = 1 − x − 2
몫의 미분법으로 해도 같은 답이 나오지만 계산이 길어집니다. 공식을 아는 것과 언제 쓸지 아는 것은 다릅니다.
바로 확인.
확인 3-1. d d x x x 2 + 1 d x d x 2 + 1 x
답. 1 ⋅ ( x 2 + 1 ) − x ⋅ 2 x ( x 2 + 1 ) 2 = 1 − x 2 ( x 2 + 1 ) 2 ( x 2 + 1 ) 2 1 ⋅ ( x 2 + 1 ) − x ⋅ 2 x = ( x 2 + 1 ) 2 1 − x 2
확인 3-2. d d x 2 x 3 − x x d x d x 2 x 3 − x
답. 나눠서 2 x 2 − 1 2 x 2 − 1 4 x 4 x ( 6 x 2 − 1 ) x − ( 2 x 3 − x ) x 2 = 4 x 3 x 2 = 4 x x 2 ( 6 x 2 − 1 ) x − ( 2 x 3 − x ) = x 2 4 x 3 = 4 x
확인 3-3. 몫의 미분법에서 분자의 순서를 바꾸면 어떻게 확인할 수 있습니까?
답. f = 1 f = 1 − g ′ g 2 − g 2 g ′
문제. (1) y = ( x 2 + 1 ) 3 y = ( x 2 + 1 ) 3 3 ( x 2 + 1 ) 2 3 ( x 2 + 1 ) 2 y = ( 3 x + 5 ) 10 y = ( 3 x + 5 ) 1 0
생각의 실마리. (2)에서 안쪽 함수를 그대로 두고 바깥쪽만 멱법칙으로 미분한 것이 3 ( x 2 + 1 ) 2 3 ( x 2 + 1 ) 2
풀이. (1) 전개합니다. 20강의 이항정리를 씁니다.
( x 2 + 1 ) 3 = x 6 + 3 x 4 + 3 x 2 + 1 ( x 2 + 1 ) 3 = x 6 + 3 x 4 + 3 x 2 + 1
미분하면
y ′ = 6 x 5 + 12 x 3 + 6 x y ′ = 6 x 5 + 1 2 x 3 + 6 x
(2) 3 ( x 2 + 1 ) 2 = 3 ( x 4 + 2 x 2 + 1 ) = 3 x 4 + 6 x 2 + 3 3 ( x 2 + 1 ) 2 = 3 ( x 4 + 2 x 2 + 1 ) = 3 x 4 + 6 x 2 + 3
실제 답을 이것으로 나눠 봅니다.
6 x 5 + 12 x 3 + 6 x 3 x 4 + 6 x 2 + 3 = 6 x ( x 4 + 2 x 2 + 1 ) 3 ( x 4 + 2 x 2 + 1 ) = 2 x 3 x 4 + 6 x 2 + 3 6 x 5 + 1 2 x 3 + 6 x = 3 ( x 4 + 2 x 2 + 1 ) 6 x ( x 4 + 2 x 2 + 1 ) = 2 x
2 x 2 x 2 x 2 x x 2 + 1 x 2 + 1
(3) 규칙을 세웁니다. y = f ( g ( x ) ) y = f ( g ( x ) )
y ′ = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) y ′ = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x )
바깥 함수를 미분하되 안쪽을 그대로 넣고, 거기에 안쪽 함수의 도함수를 곱합니다.
y = ( 3 x + 5 ) 10 y = ( 3 x + 5 ) 1 0 t 10 t 1 0 3 x + 5 3 x + 5
y ′ = 10 ( 3 x + 5 ) 9 ⋅ 3 = 30 ( 3 x + 5 ) 9 y ′ = 1 0 ( 3 x + 5 ) 9 ⋅ 3 = 3 0 ( 3 x + 5 ) 9
이 문제에서 배우는 것: 연쇄법칙.
( f ∘ g ) ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) ( f ∘ g ) ′ ( x ) = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x )
라이프니츠 표기로 적으면 구조가 더 잘 보입니다. y = f ( u ) y = f ( u ) u = g ( x ) u = g ( x )
d y d x = d y d u ⋅ d u d x d x d y = d u d y ⋅ d x d u
d u d u 약분은 기억을 돕는 비유일 뿐 증명이 아닙니다.
증명의 뼈대는 이렇습니다. u = g ( x ) u = g ( x ) k = g ( x + h ) − g ( x ) k = g ( x + h ) − g ( x )
f ( g ( x + h ) ) − f ( g ( x ) ) h = f ( u + k ) − f ( u ) k ⋅ k h h f ( g ( x + h ) ) − f ( g ( x ) ) = k f ( u + k ) − f ( u ) ⋅ h k
이고 k h h k g g h → 0 h → 0 g g k → 0 k → 0 f ′ ( u ) f ′ ( u ) g ′ ( x ) g ′ ( x ) k = 0 k = 0
연쇄법칙을 쓰는 절차를 정리합니다.
바깥과 안쪽을 나눕니다. 무엇을 먼저 계산하게 되는지 보면 안쪽입니다.바깥을 미분하되 안쪽을 그대로 넣습니다.
안쪽의 도함수를 곱합니다. 안쪽이 또 합성이면 다시 반복합니다.
세 겹 이상이면 계속 이어집니다.
( f ( g ( h ( x ) ) ) ) ′ = f ′ ( g ( h ( x ) ) ) ⋅ g ′ ( h ( x ) ) ⋅ h ′ ( x ) ( f ( g ( h ( x ) ) ) ) ′ = f ′ ( g ( h ( x ) ) ) ⋅ g ′ ( h ( x ) ) ⋅ h ′ ( x )
바깥에서 안쪽으로 차례로 미분해 모두 곱합니다. 216강의 역전파가 정확히 이 곱을 층 수만큼 이어 붙이는 계산이며, 층이 깊어질수록 곱해지는 인수가 늘어나 값이 사라지거나 폭발하는 문제가 여기서 비롯됩니다.
바로 확인.
확인 4-1. d d x ( x 3 − 2 x ) 5 d x d ( x 3 − 2 x ) 5
답. 5 ( x 3 − 2 x ) 4 ⋅ ( 3 x 2 − 2 ) 5 ( x 3 − 2 x ) 4 ⋅ ( 3 x 2 − 2 )
확인 4-2. d d x x 2 + 9 d x d x 2 + 9
답. 바깥이 t 1 / 2 t 1 / 2 1 2 ( x 2 + 9 ) − 1 / 2 ⋅ 2 x = x x 2 + 9 2 1 ( x 2 + 9 ) − 1 / 2 ⋅ 2 x = x 2 + 9 x
확인 4-3. d d x ( ( x 2 + 1 ) 3 + 2 ) 4 d x d ( ( x 2 + 1 ) 3 + 2 ) 4
답. 세 겹입니다. 4 ( ( x 2 + 1 ) 3 + 2 ) 3 ⋅ 3 ( x 2 + 1 ) 2 ⋅ 2 x 4 ( ( x 2 + 1 ) 3 + 2 ) 3 ⋅ 3 ( x 2 + 1 ) 2 ⋅ 2 x
문제. 다음을 미분하세요.y = x 2 x 2 + 1 y = x 2 x 2 + 1 y = ( 2 x + 1 ) 3 x 2 y = x 2 ( 2 x + 1 ) 3
생각의 실마리. 식의 가장 바깥 구조 가 무엇인지 먼저 봅니다. 곱이면 곱의 미분법, 몫이면 몫의 미분법, 합성이면 연쇄법칙으로 시작하고, 그 안의 조각을 각각 처리합니다. 순서를 잘못 잡으면 계산이 길어집니다.
풀이. (1) 가장 바깥이 곱 입니다. f = x 2 f = x 2 g = x 2 + 1 g = x 2 + 1
g g g ′ = x x 2 + 1 g ′ = x 2 + 1 x
y ′ = 2 x x 2 + 1 + x 2 ⋅ x x 2 + 1 = 2 x x 2 + 1 + x 3 x 2 + 1 y ′ = 2 x x 2 + 1 + x 2 ⋅ x 2 + 1 x = 2 x x 2 + 1 + x 2 + 1 x 3
통분해 정리하면
= 2 x ( x 2 + 1 ) + x 3 x 2 + 1 = 3 x 3 + 2 x x 2 + 1 = x 2 + 1 2 x ( x 2 + 1 ) + x 3 = x 2 + 1 3 x 3 + 2 x
(2) 가장 바깥이 몫 입니다. 그런데 분모가 단항식이므로 문제 3에서 말한 대로 나누는 편이 낫습니다.
y = ( 2 x + 1 ) 3 ⋅ x − 2 y = ( 2 x + 1 ) 3 ⋅ x − 2
곱으로 보고 곱의 미분법과 연쇄법칙을 씁니다.
y ′ = 3 ( 2 x + 1 ) 2 ⋅ 2 ⋅ x − 2 + ( 2 x + 1 ) 3 ⋅ ( − 2 x − 3 ) y ′ = 3 ( 2 x + 1 ) 2 ⋅ 2 ⋅ x − 2 + ( 2 x + 1 ) 3 ⋅ ( − 2 x − 3 )
= 6 ( 2 x + 1 ) 2 x 2 − 2 ( 2 x + 1 ) 3 x 3 = x 2 6 ( 2 x + 1 ) 2 − x 3 2 ( 2 x + 1 ) 3
2 ( 2 x + 1 ) 2 x 3 x 3 2 ( 2 x + 1 ) 2
= 2 ( 2 x + 1 ) 2 x 3 [ 3 x − ( 2 x + 1 ) ] = 2 ( 2 x + 1 ) 2 ( x − 1 ) x 3 = x 3 2 ( 2 x + 1 ) 2 [ 3 x − ( 2 x + 1 ) ] = x 3 2 ( 2 x + 1 ) 2 ( x − 1 )
(3) 가장 바깥이 합성 입니다. 바깥이 t 4 t 4 x − 1 x + 1 x + 1 x − 1
안쪽을 몫의 미분법으로 미분합니다.
( x − 1 x + 1 ) ′ = 1 ⋅ ( x + 1 ) − ( x − 1 ) ⋅ 1 ( x + 1 ) 2 = 2 ( x + 1 ) 2 ( x + 1 x − 1 ) ′ = ( x + 1 ) 2 1 ⋅ ( x + 1 ) − ( x − 1 ) ⋅ 1 = ( x + 1 ) 2 2
연쇄법칙으로 합칩니다.
y ′ = 4 ( x − 1 x + 1 ) 3 ⋅ 2 ( x + 1 ) 2 = 8 ( x − 1 ) 3 ( x + 1 ) 5 y ′ = 4 ( x + 1 x − 1 ) 3 ⋅ ( x + 1 ) 2 2 = ( x + 1 ) 5 8 ( x − 1 ) 3
이 문제에서 배우는 것: 규칙을 고르는 순서.
미분할 식을 보면 가장 바깥 연산을 먼저 찾습니다. 그것이 어느 규칙으로 시작할지를 정합니다.
가장 바깥이
시작할 규칙
덧셈이나 뺄셈
선형성으로 항별로 나눕니다
상수배
상수를 밖으로 빼냅니다
곱
곱의 미분법
몫
몫의 미분법 (분모가 단항식이면 나누는 편이 낫습니다)
거듭제곱이나 함수 적용
연쇄법칙
시작한 뒤 각 조각을 미분할 때 다시 이 표를 봅니다. 재귀적으로 적용하면 어떤 초등함수든 미분됩니다.
계산을 짧게 하는 요령도 정리합니다.
미분 전에 식을 간단히 할 수 있으면 먼저 합니다. (2)에서 분모를 x − 2 x − 2 미분 후에는 공통인수로 묶습니다. (2)와 (3)에서 묶어 정리하니 훨씬 짧아졌습니다.답의 모양을 예측해 둡니다. 연쇄법칙을 쓰면 안쪽 함수의 거듭제곱이 하나 줄어든 형태가 남습니다.
바로 확인.
확인 5-1. y = x 3 ( 2 x − 1 ) 4 y = x 3 ( 2 x − 1 ) 4
답. 곱의 미분법으로 3 x 2 ( 2 x − 1 ) 4 + x 3 ⋅ 4 ( 2 x − 1 ) 3 ⋅ 2 3 x 2 ( 2 x − 1 ) 4 + x 3 ⋅ 4 ( 2 x − 1 ) 3 ⋅ 2 x 2 ( 2 x − 1 ) 3 [ 3 ( 2 x − 1 ) + 8 x ] = x 2 ( 2 x − 1 ) 3 ( 14 x − 3 ) x 2 ( 2 x − 1 ) 3 [ 3 ( 2 x − 1 ) + 8 x ] = x 2 ( 2 x − 1 ) 3 ( 1 4 x − 3 )
확인 5-2. y = 1 ( x 2 + 1 ) 3 y = ( x 2 + 1 ) 3 1
답. ( x 2 + 1 ) − 3 ( x 2 + 1 ) − 3 − 3 ( x 2 + 1 ) − 4 ⋅ 2 x = − 6 x ( x 2 + 1 ) 4 − 3 ( x 2 + 1 ) − 4 ⋅ 2 x = − ( x 2 + 1 ) 4 6 x
확인 5-3. 미분할 식을 보고 가장 먼저 무엇을 판단합니까?
답. 가장 바깥 연산이 무엇인지 판단합니다. 그것이 어느 규칙으로 시작할지를 정합니다.
규칙
공식
선형성
( α f + β g ) ′ = α f ′ + β g ′ ( α f + β g ) ′ = α f ′ + β g ′
곱
( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′
세 개 곱
( f g h ) ′ = f ′ g h + f g ′ h + f g h ′ ( f g h ) ′ = f ′ g h + f g ′ h + f g h ′
역수
( 1 g ) ′ = − g ′ g 2 ( g 1 ) ′ = − g 2 g ′
몫
( f g ) ′ = f ′ g − f g ′ g 2 ( g f ) ′ = g 2 f ′ g − f g ′
연쇄
( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x ) ( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) ⋅ g ′ ( x )
흔한 착각
바른 것
( f g ) ′ = f ′ g ′ ( f g ) ′ = f ′ g ′ ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′
\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'}
f ′ g − f g ′ g 2 g 2 f ′ g − f g ′
( f ( g ) ) ′ = f ′ ( g ) ( f ( g ) ) ′ = f ′ ( g ) f ′ ( g ) ⋅ g ′ f ′ ( g ) ⋅ g ′
가장 바깥이
시작할 규칙
합
항별로 나눕니다
곱
곱의 미분법
몫
몫의 미분법 또는 나누기
합성
연쇄법칙
문제 6. d d x ( 4 x 3 − 7 x + 2 ) d x d ( 4 x 3 − 7 x + 2 )
답. 12 x 2 − 7 1 2 x 2 − 7
문제 7. d d x [ ( x + 1 ) ( x 2 + 2 ) ] d x d [ ( x + 1 ) ( x 2 + 2 ) ]
답. 1 ⋅ ( x 2 + 2 ) + ( x + 1 ) ⋅ 2 x = 3 x 2 + 2 x + 2 1 ⋅ ( x 2 + 2 ) + ( x + 1 ) ⋅ 2 x = 3 x 2 + 2 x + 2
문제 8. d d x x + 1 x − 1 d x d x − 1 x + 1
답. ( x − 1 ) − ( x + 1 ) ( x − 1 ) 2 = − 2 ( x − 1 ) 2 ( x − 1 ) 2 ( x − 1 ) − ( x + 1 ) = ( x − 1 ) 2 − 2
문제 9. d d x ( 5 x − 2 ) 6 d x d ( 5 x − 2 ) 6
답. 6 ( 5 x − 2 ) 5 ⋅ 5 = 30 ( 5 x − 2 ) 5 6 ( 5 x − 2 ) 5 ⋅ 5 = 3 0 ( 5 x − 2 ) 5
문제 10. d d x 3 x + 1 d x d 3 x + 1
답. 1 2 ( 3 x + 1 ) − 1 / 2 ⋅ 3 = 3 2 3 x + 1 2 1 ( 3 x + 1 ) − 1 / 2 ⋅ 3 = 2 3 x + 1 3
문제 11. ( f g ) ′ = f ′ g ′ ( f g ) ′ = f ′ g ′ f = g = x f = g = x
답. f g = x 2 f g = x 2 ( f g ) ′ = 2 x ( f g ) ′ = 2 x f ′ g ′ = 1 ⋅ 1 = 1 f ′ g ′ = 1 ⋅ 1 = 1 x = 1 x = 1 2 2 1 1
문제 12. d d x 1 x 3 + 1 d x d x 3 + 1 1
답. 역수 공식으로 − 3 x 2 ( x 3 + 1 ) 2 − ( x 3 + 1 ) 2 3 x 2 ( x 3 + 1 ) − 1 ( x 3 + 1 ) − 1 − ( x 3 + 1 ) − 2 ⋅ 3 x 2 − ( x 3 + 1 ) − 2 ⋅ 3 x 2
문제 13. y = ( x 2 + 3 ) 4 y = ( x 2 + 3 ) 4 x = 1 x = 1
답. y ′ = 4 ( x 2 + 3 ) 3 ⋅ 2 x y ′ = 4 ( x 2 + 3 ) 3 ⋅ 2 x x = 1 x = 1 4 ⋅ 64 ⋅ 2 = 512 4 ⋅ 6 4 ⋅ 2 = 5 1 2
문제 14. d d x [ x 2 ( x + 1 ) 3 ] d x d [ x 2 ( x + 1 ) 3 ]
답. 2 x ( x + 1 ) 3 + x 2 ⋅ 3 ( x + 1 ) 2 = x ( x + 1 ) 2 [ 2 ( x + 1 ) + 3 x ] = x ( x + 1 ) 2 ( 5 x + 2 ) 2 x ( x + 1 ) 3 + x 2 ⋅ 3 ( x + 1 ) 2 = x ( x + 1 ) 2 [ 2 ( x + 1 ) + 3 x ] = x ( x + 1 ) 2 ( 5 x + 2 )
문제 15. d d x x 4 + x 2 x 2 d x d x 2 x 4 + x 2
답. 나누면 x 2 + 1 x 2 + 1 2 x 2 x
문제 16. y = ( ( 2 x + 1 ) 2 + 3 ) 5 y = ( ( 2 x + 1 ) 2 + 3 ) 5
답. 5 ( ( 2 x + 1 ) 2 + 3 ) 4 ⋅ 2 ( 2 x + 1 ) ⋅ 2 = 20 ( 2 x + 1 ) ( ( 2 x + 1 ) 2 + 3 ) 4 5 ( ( 2 x + 1 ) 2 + 3 ) 4 ⋅ 2 ( 2 x + 1 ) ⋅ 2 = 2 0 ( 2 x + 1 ) ( ( 2 x + 1 ) 2 + 3 ) 4
문제 17. 곱의 미분법 증명에서 왜 f f
답. f ( x + h ) → f ( x ) f ( x + h ) → f ( x )
문제 18. d y d x = d y d u ⋅ d u d x d x d y = d u d y ⋅ d x d u d u d u
답. 없습니다. d y d x d x d y
심화 1. 곱의 미분법을 25강의 귀납법으로 n n
답. 한 번에 하나씩만 미분한 항을 모두 더한 것이 됩니다.
풀이. P ( n ) P ( n ) ( f 1 f 2 ⋯ f n ) ′ = ∑ i = 1 n f 1 ⋯ f i ′ ⋯ f n ( f 1 f 2 ⋯ f n ) ′ = ∑ i = 1 n f 1 ⋯ f i ′ ⋯ f n
n = 1 n = 1 P ( k ) P ( k ) F = f 1 ⋯ f k F = f 1 ⋯ f k f 1 ⋯ f k + 1 = F f k + 1 f 1 ⋯ f k + 1 = F f k + 1
( F f k + 1 ) ′ = F ′ f k + 1 + F f k + 1 ′ ( F f k + 1 ) ′ = F ′ f k + 1 + F f k + 1 ′
입니다. 귀납 가정으로 F ′ F ′ i = 1 i = 1 k k F f k + 1 ′ F f k + 1 ′ i = k + 1 i = k + 1
남는 것. 같은 함수를 n n ( f n ) ′ = n f n − 1 f ′ ( f n ) ′ = n f n − 1 f ′ 두 규칙이 서로 어긋나지 않는다 는 확인이며, 규칙들이 하나의 일관된 체계를 이룬다는 증거입니다.
심화 2. 연쇄법칙의 증명에서 k = g ( x + h ) − g ( x ) k = g ( x + h ) − g ( x ) 0 0
답. k k
풀이. 앞의 스케치는 f ( u + k ) − f ( u ) k k f ( u + k ) − f ( u ) k = 0 k = 0 g g h h
해결책은 다음 함수를 도입하는 것입니다.
Φ ( k ) = { f ( u + k ) − f ( u ) k , k ≠ 0 f ′ ( u ) , k = 0 Φ ( k ) = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ k f ( u + k ) − f ( u ) , f ′ ( u ) , k = 0 k = 0
f f u u k → 0 Φ ( k ) = f ′ ( u ) = Φ ( 0 ) k → 0 lim Φ ( k ) = f ′ ( u ) = Φ ( 0 ) Φ Φ k = 0 k = 0 k k
f ( g ( x + h ) ) − f ( g ( x ) ) = Φ ( k ) ⋅ k f ( g ( x + h ) ) − f ( g ( x ) ) = Φ ( k ) ⋅ k
가 성립하고, 양변을 h h f ′ ( u ) g ′ ( x ) f ′ ( u ) g ′ ( x )
남는 것. 35강에서 제거가능 불연속을 극한값으로 메우면 연속이 된다고 했는데, 그 조작이 여기서 증명을 완성하는 도구 로 쓰였습니다. 분모가 0 0
심화 3. f f f ( x ) ≠ 0 f ( x ) = 0 d d x ∣ f ( x ) ∣ d x d ∣ f ( x ) ∣
답. f ( x ) ∣ f ( x ) ∣ f ′ ( x ) ∣ f ( x ) ∣ f ( x ) f ′ ( x )
풀이. ∣ f ∣ = f 2 ∣ f ∣ = f 2
d d x f 2 = 1 2 f 2 ⋅ 2 f f ′ = f f ′ ∣ f ∣ d x d f 2 = 2 f 2 1 ⋅ 2 f f ′ = ∣ f ∣ f f ′
f > 0 f > 0 f ′ f ′ f < 0 f < 0 − f ′ − f ′ f f f ′ f ′
f ( x ) = 0 f ( x ) = 0
남는 것. 절댓값을 ( ⋅ ) 2 ( ⋅ ) 2 max max 다루기 어려운 연산을 이미 아는 연산의 조합으로 바꾸는 것 이 공통 전략입니다.
심화 4. 곱의 미분법을 37강 심화 1의 근사 관점으로 설명하세요.
답. 두 변화량의 곱이 무시할 만큼 작기 때문에 두 항만 남습니다.
풀이. f f g g Δ f Δ f Δ g Δ g
( f + Δ f ) ( g + Δ g ) − f g = f Δ g + g Δ f + Δ f Δ g ( f + Δ f ) ( g + Δ g ) − f g = f Δ g + g Δ f + Δ f Δ g
입니다. 이것을 h h f Δ g h f h Δ g g Δ f h g h Δ f
Δ f Δ g h = Δ f ⋅ Δ g h h Δ f Δ g = Δ f ⋅ h Δ g
이고 Δ f → 0 Δ f → 0 Δ g h → g ′ h Δ g → g ′ 0 0
남는 것. 넓이로 그리면 분명합니다. 가로 f f g g 모서리 사각형은 두 변화량의 곱이라 훨씬 작아 무시됩니다. 이 관점이 다변수로 확장되면 93강 이후의 전미분이 됩니다.
심화 5. y = f ( x ) g ( x ) y = f ( x ) g ( x )
답. 밑과 지수가 모두 변해 멱법칙도 지수법칙도 쓸 수 없습니다. 로그를 취해 처리합니다.
풀이. x n x n a x a x
처리 방법은 양변에 로그를 취하는 것입니다. f > 0 f > 0
ln y = g ( x ) ln f ( x ) ln y = g ( x ) ln f ( x )
양변을 미분하면 왼쪽은 연쇄법칙으로 y ′ y y y ′
남는 것. 31강에서 로그가 곱을 합으로 바꾼다고 했는데, 여기서는 거듭제곱을 곱으로 낮춰 다룰 수 있는 형태로 만듭니다. 로그미분법이라 부르며, 인수가 여러 개인 곱이나 복잡한 분수를 미분할 때도 계산을 크게 줄여 줍니다.
심화 6. 연쇄법칙을 n n n n
답. 인수의 크기에 따라 곱이 지수적으로 사라지거나 폭발합니다.
풀이. n n
( f n ∘ ⋯ ∘ f 1 ) ′ = ∏ i = 1 n f i ′ ( ⋅ ) ( f n ∘ ⋯ ∘ f 1 ) ′ = i = 1 ∏ n f i ′ ( ⋅ )
각 인수의 크기가 평균적으로 r r r n r n r < 1 r < 1 r n → 0 r n → 0 r > 1 r > 1
층이 50 5 0 0.9 0 . 9 0. 9 50 ≈ 0.005 0 . 9 5 0 ≈ 0 . 0 0 5 1.1 1 . 1 1. 1 50 ≈ 117 1 . 1 5 0 ≈ 1 1 7
남는 것. 이것이 기울기 소실과 기울기 폭발입니다. 216강 이후의 역전파에서 실제 문제로 나타나며, 잔차 연결이나 정규화 같은 기법이 인수의 크기를 1 1 연쇄법칙이라는 순수한 계산 규칙이 딥러닝 구조 설계의 이유가 됩니다.
미분 규칙은 항등식이므로 여러 점에서 양변을 비교하면 확인됩니다. 도함수는 차분몫으로 근사해 대조합니다.
import numpy as np
x = np.linspace(0.5, 3.0, 6)
h = 1e-6
def num_diff(fn, t):
return (fn(t + h) - fn(t - h)) / (2 * h) # 대칭 차분몫
# 문제 2: (fg)' = f'g + fg' 이고 f'g' 가 아닙니다.
f, g = lambda t: t**2, lambda t: t**3
fp, gp = lambda t: 2*t, lambda t: 3*t**2
print(np.allclose(num_diff(lambda t: f(t)*g(t), x), fp(x)*g(x) + f(x)*gp(x))) # True
print(np.allclose(num_diff(lambda t: f(t)*g(t), x), fp(x)*gp(x))) # False
print([round(float(v), 4) for v in 5*x**4]) # 올바른 (fg)'
# [0.3125, 5.0, 25.3125, 80.0, 195.3125, 405.0]
print([round(float(v), 4) for v in 6*x**3]) # 잘못된 f'g'
# [0.75, 6.0, 20.25, 48.0, 93.75, 162.0]
# 문제 3: 몫의 미분법
q = lambda t: (t**2 + 1) / (t - 3)
qp = lambda t: (t**2 - 6*t - 1) / (t - 3)**2
xs = np.linspace(0.5, 2.5, 5) # x = 3 을 피합니다
print(np.allclose(num_diff(q, xs), qp(xs))) # True
# 문제 4: 연쇄법칙
c = lambda t: (t**2 + 1)**3
cp = lambda t: 3*(t**2 + 1)**2 * (2*t)
print(np.allclose(num_diff(c, x), cp(x))) # True
print(np.allclose(num_diff(c, x), 3*(x**2 + 1)**2)) # False
# 문제 5: 세 문항의 답을 각각 대조합니다.
p1 = lambda t: t**2 * np.sqrt(t**2 + 1)
p1p = lambda t: (3*t**3 + 2*t) / np.sqrt(t**2 + 1)
print(np.allclose(num_diff(p1, x), p1p(x))) # True
p2 = lambda t: (2*t + 1)**3 / t**2
p2p = lambda t: 2*(2*t + 1)**2 * (t - 1) / t**3
print(np.allclose(num_diff(p2, x), p2p(x))) # True
p3 = lambda t: ((t - 1) / (t + 1))**4
p3p = lambda t: 8*(t - 1)**3 / (t + 1)**5
print(np.allclose(num_diff(p3, x), p3p(x))) # True
# 심화 6: n 겹 합성이면 인수가 n 개 곱해집니다.
for r in (0.9, 1.0, 1.1):
print(r, round(r**50, 6))
# 0.9 0.005154
# 1.0 1.0
# 1.1 117.390853
출력이 주석과 모두 일치합니다. 두 번째와 세 번째 줄이 문제 2의 반례를 숫자로 보여 줍니다. 올바른 공식 5 x 4 5 x 4 f ′ g ′ = 6 x 3 f ′ g ′ = 6 x 3 x x
여덟 번째 줄도 같은 성격입니다. 연쇄법칙에서 안쪽 도함수를 곱하지 않으면 값이 틀립니다.
한 가지 주의할 점이 있습니다. 여기서 쓴 대칭 차분몫은 37강 심화 6에서 확인한 대로 미분 불가능한 점에서도 값을 내놓습니다. 이 검산이 확인해 주는 것은 "규칙으로 구한 도함수가 수치미분과 일치한다"는 것이지 "그 점에서 미분가능하다"는 것이 아닙니다. 미분가능성은 앞선 강의에서 손으로 확인해 두었습니다.
미분의 선형성을 쓰세요.
곱의 미분법을 쓰세요.
( f g ) ′ = f ′ g ′ ( f g ) ′ = f ′ g ′ 몫의 미분법을 쓰고 부호를 확인하는 방법을 쓰세요.
연쇄법칙을 쓰세요.
라이프니츠 표기의 약분이 증명이 아닌 이유는 무엇입니까?
미분할 식을 보고 가장 먼저 판단할 것은 무엇입니까?
곱의 미분법 증명에 쓰인 수법은 무엇입니까?
정답.
( α f + β g ) ′ = α f ′ + β g ′ ( α f + β g ) ′ = α f ′ + β g ′ ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ ( f g ) ′ = f ′ g + f g ′ f = g = x f = g = x 2 x 2 x 1 1 f ′ g − f g ′ g 2 g 2 f ′ g − f g ′ f = 1 f = 1 − g ′ g 2 − g 2 g ′ ( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) ( f ( g ( x ) ) ) ′ = f ′ ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d y d x d x d y 가장 바깥 연산이 무엇인지 판단합니다.
같은 항을 빼고 더해 차분몫 두 개로 쪼개는 수법입니다.
기호
읽는 법
뜻
( f g ) ′ ( f g ) ′ 곱의 도함수
f ′ g + f g ′ f ′ g + f g ′
( f g ) ′ ( g f ) ′ 몫의 도함수
f ′ g − f g ′ g 2 g 2 f ′ g − f g ′
f ′ ( g ( x ) ) f ′ ( g ( x ) ) 바깥 도함수에 안쪽 대입
연쇄법칙의 첫 인수입니다
\dfrac{dy}{du}\dfrac{du}
연쇄법칙의 표기
약분은 비유일 뿐입니다
로그미분법
logarithmic differentiation
양변에 로그를 취해 미분합니다
다음 39강에서는 지수함수, 로그함수, 삼각함수의 도함수를 구합니다. 34강에서 증명한 sin x x → 1 x sin x → 1 e e