37강과 38강으로 다항함수와 유리함수는 모두 미분할 수 있게 되었습니다. 남은 것은 다항식으로 적을 수 없는 함수들, 즉 지수함수와 로그함수와 삼각함수입니다. 이런 함수를 초월함수라고 합니다.
이 강의는 그 도함수를 정의에서 유도합니다. 그리고 두 개의 빚을 갚습니다. 33강 심화 4에서 e를 극한으로 정의만 해 두었고, 34강 문제 4에서 xsinx→1을 증명해 두었습니다. 그 둘이 여기서 각각 제 일을 합니다.
결과부터 말하면 놀라운 사실이 하나 나옵니다. ex는 미분해도 자기 자신입니다. 왜 하필 e인지, 밑이 2나 10이면 무엇이 달라지는지가 이 강의의 중심 질문입니다.
- 지수함수의 도함수를 정의에서 유도하고 e가 나타나는 이유를 설명할 수 있습니다.
- 로그함수의 도함수를 구하고 자연로그를 쓰는 이유를 말할 수 있습니다.
- sin과 cos의 도함수를 덧셈정리와 기본 극한으로 유도할 수 있습니다.
- 나머지 삼각함수의 도함수를 몫의 미분법으로 얻을 수 있습니다.
- 로그미분법으로 복잡한 곱과 거듭제곱을 미분할 수 있습니다.
문제. f(x)=ax (a>0)에 대하여
(1) 정의로 차분몫을 세우고 ax을 밖으로 빼내세요.
(2) 남은 극한 h→0limhah−1을 a=2와 a=3에서 수치로 확인하세요.
(3) 이 극한이 1이 되는 a가 있다면 무엇이겠습니까?
생각의 실마리. (1)에서 13강의 지수법칙 ax+h=axah를 쓰면 ax이 공통인수로 묶입니다. 그러면 남는 극한이 x와 무관해집니다. (3)에서 그 극한이 1이면 도함수가 자기 자신이 되므로, 그런 밑이 특별한 이름을 가질 만합니다.
풀이. (1) 정의에 넣고 지수법칙을 씁니다.
hax+h−ax=haxah−ax=ax⋅hah−1
ax은 h와 무관하므로 극한 밖으로 나갑니다.
f′(x)=ax⋅h→0limhah−1
남은 극한은 x와 무관한 상수입니다. 이 상수를 M(a)라고 부릅니다.
(2) h를 작게 잡아 값을 봅니다. a=2이면 h=0.001에서
0.00120.001−1≈0.6934
이고, a=3이면
0.00130.001−1≈1.0993
입니다. a=2에서는 1보다 작고 a=3에서는 1보다 큽니다.
(3) M(a)가 a에 대해 연속으로 증가하므로, 36강의 중간값 정리에 의해 2와 3 사이에 M(a)=1인 a가 존재합니다. 그 값이 바로 e입니다.
이 문제에서 배우는 것: 지수함수의 도함수와 e의 정체.
dxdax=M(a)ax,M(a)=h→0limhah−1
그리고 M(e)=1이 되도록 e를 고르면
dxdex=ex
가 됩니다. 미분해도 변하지 않는 함수이며, 이런 성질을 가진 함수는 상수배를 빼면 ex뿐입니다.
33강 심화 4에서 e를 (1+n1)n의 극한으로 정의했습니다. 그 정의와 여기서 요구한 M(e)=1이 같은 수를 가리키는지 확인해 둡니다. M(e)=1이라는 것은 작은 h에서 eh−1≈h, 즉 eh≈1+h라는 뜻입니다. h=n1로 두고 양변을 n제곱하면
e≈(1+n1)n
이 되어 33강의 정의와 일치합니다.
e는 편의를 위해 고른 수가 아니라 미분이 가장 단순해지는 유일한 밑입니다. 13강에서 e를 소개할 때 그 이유를 미뤘는데 여기서 답이 나왔습니다.
일반적인 밑은 e로 바꿔 쓰면 됩니다. a=elna이므로 ax=exlna이고, 38강의 연쇄법칙으로
dxdax=exlna⋅lna=axlna
입니다. 즉 M(a)=lna였습니다. 실제로 ln2≈0.6931이고 ln3≈1.0986으로 (2)의 수치와 맞습니다.
바로 확인.
확인 1-1. dxde3x를 구하세요.
답. 연쇄법칙으로 e3x⋅3=3e3x입니다.
확인 1-2. dxd2x를 구하세요.
답. 2xln2입니다.
확인 1-3. dxdex2를 구하세요.
답. 연쇄법칙으로 ex2⋅2x=2xex2입니다.
문제. y=lnx (x>0)에 대하여
(1) ey=x임을 이용해 도함수를 구하세요.
(2) dxdlogax를 구하세요.
(3) dxdln∣x∣를 구하세요.
생각의 실마리. (1)에서 정의로 직접 계산하기보다 지수함수와의 관계를 씁니다. 14강에서 로그가 지수의 역함수였으므로 ey=x입니다. 양변을 x로 미분하면서 왼쪽에는 연쇄법칙을 적용합니다. y가 x의 함수라는 점이 핵심입니다.
풀이. (1) y=lnx이면 ey=x입니다. 양변을 x로 미분합니다. 왼쪽은 y가 x의 함수이므로 연쇄법칙이 필요합니다.
ey⋅dxdy=1
ey=x를 대입하면
x⋅dxdy=1,dxdy=x1
(2) 14강의 밑변환으로 logax=lnalnx입니다. lna가 상수이므로
dxdlogax=xlna1
(3) 절댓값이므로 경우를 나눕니다. x>0이면 ln∣x∣=lnx이고 도함수가 x1입니다. x<0이면 ln∣x∣=ln(−x)이고 연쇄법칙으로
−x1⋅(−1)=x1
두 경우 모두 x1입니다. 따라서 x=0인 모든 곳에서
dxdln∣x∣=x1
이 문제에서 배우는 것: 로그의 도함수와 음함수 미분의 맛보기.
dxdlnx=x1(x>0),dxdlogax=xlna1
자연로그를 쓰면 lna가 사라져 식이 가장 단순합니다. 지수함수에서 e가 특별했던 것과 같은 이유이며, 수학에서 로그의 기본 밑을 e로 두는 근거입니다.
(1)에서 쓴 방법이 중요합니다. 역함수 관계를 식으로 적고 양변을 미분한 뒤 원하는 도함수에 대해 풉니다. 이것을 음함수 미분이라 하며 40강에서 정식으로 다룹니다. 여기서 미리 쓴 이유는 로그의 도함수를 정의로 직접 구하려면 h→0limhln(x+h)−lnx를 다뤄야 하는데, 그 계산이 결국 e의 정의로 되돌아가 순환에 빠지기 쉽기 때문입니다.
(3)의 결과도 기억해 둡니다. 절댓값을 붙이면 정의역이 x=0인 전체로 넓어지면서 도함수는 그대로입니다. 52강에서 유리함수를 적분할 때 답이 ln∣⋅∣ 꼴로 나오는 이유가 이것입니다.
바로 확인.
확인 2-1. dxdln(3x+1)을 구하세요.
답. 연쇄법칙으로 3x+11⋅3=3x+13입니다.
확인 2-2. dxdlog10x를 구하세요.
답. xln101입니다.
확인 2-3. dxdln(x2+1)을 구하세요.
답. x2+12x입니다.
문제. f(x)=sinx의 도함수를 정의로 유도하세요.
생각의 실마리. 정의에 넣으면 sin(x+h)−sinx가 나옵니다. 17강의 덧셈정리로 sin(x+h)를 펼치면 sinx와 cosx가 분리됩니다. 그러면 34강에서 증명해 둔 두 기본 극한을 쓸 수 있는 모양이 나타납니다.
풀이. 정의에 넣고 17강의 덧셈정리를 씁니다.
hsin(x+h)−sinx=hsinxcosh+cosxsinh−sinx
sinx가 있는 항끼리 묶습니다.
=sinx⋅hcosh−1+cosx⋅hsinh
이제 34강의 두 결과를 씁니다. 하나는 hsinh→1이고, 다른 하나는 h21−cosh→21입니다. 두 번째에서
hcosh−1=−h21−cosh⋅h⟶−21⋅0=0
입니다. 따라서
f′(x)=sinx⋅0+cosx⋅1=cosx
이 문제에서 배우는 것: 삼각함수의 도함수.
dxdsinx=cosx,dxdcosx=−sinx
cos의 경우도 같은 방식으로 유도됩니다. 덧셈정리로 cos(x+h)=cosxcosh−sinxsinh를 펼치면
hcos(x+h)−cosx=cosx⋅hcosh−1−sinx⋅hsinh⟶−sinx
입니다. cos에는 음의 부호가 붙는다는 점을 놓치지 않습니다.
여기서 반드시 짚어 둘 것이 있습니다. 이 결과는 각을 호도법으로 잴 때만 성립합니다. 34강 심화 4에서 확인한 대로 각을 도로 재면 xsinx→180π이 되므로
dxdsin(x∘)=180πcos(x∘)
가 되어 모든 공식에 180π이 붙습니다. 15강에서 호도법을 도입한 이유가 여기서 최종적으로 갚아집니다.
네 번 미분하면 제자리로 돌아온다는 점도 확인해 둡니다.
sinx→cosx→−sinx→−cosx→sinx
주기가 4인 순환이며, 30강에서 i의 거듭제곱이 주기 4로 순환하던 것과 같은 구조입니다. 58강의 오일러 공식이 이 두 순환이 사실 같은 것임을 보여 줍니다.
바로 확인.
확인 3-1. dxdsin(3x)를 구하세요.
답. 연쇄법칙으로 3cos(3x)입니다.
확인 3-2. dxdcos(x2)를 구하세요.
답. −sin(x2)⋅2x=−2xsin(x2)입니다.
확인 3-3. sinx를 네 번 미분하면 무엇이 됩니까?
답. sinx입니다. 도함수가 주기 4로 순환합니다.
문제. (1) tanx의 도함수를 몫의 미분법으로 구하세요.
(2) secx=cosx1의 도함수를 구하세요.
(3) 결과들을 표로 정리하고 규칙성을 찾으세요.
생각의 실마리. 나머지 삼각함수는 모두 sin과 cos의 몫이므로 새 유도가 필요 없습니다. 38강의 몫의 미분법과 문제 3의 결과를 조합하면 됩니다. 정리할 때 16강의 sin2+cos2=1을 써서 모양을 간단히 만듭니다.
풀이. (1) tanx=cosxsinx이므로 몫의 미분법을 씁니다.
cos2xcosx⋅cosx−sinx⋅(−sinx)=cos2xcos2x+sin2x
16강의 항등식으로 분자가 1이므로
dxdtanx=cos2x1=sec2x
(2) 역수 공식을 씁니다.
dxdcosx1=−cos2x−sinx=cos2xsinx=cosx1⋅cosxsinx=secxtanx
(3) 여섯 함수를 모두 정리합니다.
| f |
f′ |
| sinx |
cosx |
| cosx |
−sinx |
| tanx |
sec2x |
| cotx |
−csc2x |
| secx |
secxtanx |
| cscx |
−cscxcotx |
이 문제에서 배우는 것: 여섯 삼각함수의 도함수와 그 규칙성.
표를 보면 규칙이 보입니다. 이름에 "코"가 붙은 함수의 도함수에는 음의 부호가 붙습니다. cos, cot, csc가 그렇습니다. 그리고 짝을 이루는 두 함수의 도함수가 서로 대응하는 모양입니다.
이 대응이 우연이 아닌 이유는 16강에서 본 여각 관계 때문입니다.
cosx=sin(2π−x)
이므로 연쇄법칙으로 미분하면 안쪽의 도함수 −1이 곱해져 음의 부호가 나옵니다. 나머지 짝도 같은 관계를 가지므로 부호가 함께 뒤집힙니다.
정의역도 함께 기억합니다. tan과 sec은 cosx=0인 점에서 정의되지 않으므로 x=2π+nπ이고, cot과 csc은 sinx=0인 점에서 정의되지 않으므로 x=nπ입니다. 35강에서 확인한 불연속점이 그대로 미분 불가능점이 됩니다.
바로 확인.
확인 4-1. dxdtan(2x)를 구하세요.
답. 2sec2(2x)입니다.
확인 4-2. dxd(xtanx)를 구하세요.
답. 곱의 미분법으로 tanx+xsec2x입니다.
확인 4-3. cotx의 도함수에 음의 부호가 붙는 이유를 여각 관계로 설명하세요.
답. cotx=tan(2π−x)이고 연쇄법칙으로 안쪽 도함수 −1이 곱해지기 때문입니다.
문제. (1) y=xx (x>0)를 미분하세요.
(2) y=(x+5)7(x2+1)3(x−2)4을 미분하는 방법을 제시하세요.
생각의 실마리. (1)은 38강 심화 5에서 예고한 형태입니다. 밑과 지수가 모두 변하므로 멱법칙도 지수법칙도 통하지 않습니다. 양변에 로그를 취해 지수를 아래로 내립니다. (2)는 곱의 미분법을 세 번 쓰면 항이 폭발합니다. 로그가 곱을 합으로 바꾼다는 31강의 성질을 씁니다.
풀이. (1) 양변에 자연로그를 취합니다. x>0이므로 y>0이라 가능합니다.
lny=xlnx
양변을 x로 미분합니다. 왼쪽은 연쇄법칙으로, 오른쪽은 곱의 미분법으로 처리합니다.
yy′=1⋅lnx+x⋅x1=lnx+1
양변에 y를 곱하고 y=xx를 대입합니다.
y′=xx(lnx+1)
검산합니다. x=1에서 y=1이고 y′=1⋅(0+1)=1입니다. 수치로 0.0021.0011.001−0.9990.999≈1.0000으로 맞습니다.
(2) 양변에 로그를 취해 곱과 나눗셈을 합과 차로 바꿉니다.
lny=3ln(x2+1)+4ln(x−2)−7ln(x+5)
미분합니다.
yy′=x2+16x+x−24−x+57
양변에 y를 곱합니다.
y′=(x+5)7(x2+1)3(x−2)4[x2+16x+x−24−x+57]
이 문제에서 배우는 것: 로그미분법.
절차는 세 단계입니다.
- 양변에 자연로그를 취합니다.
- 31강의 로그 법칙으로 곱을 합, 나눗셈을 차, 거듭제곱을 상수배로 바꿉니다.
- 미분하고 양변에 y를 곱해 되돌립니다.
yy′를 로그도함수라고 하며, 이것은 상대적 변화율을 뜻합니다. 값 자체의 변화가 아니라 값에 대한 비율의 변화이므로, 여러 인수의 기여가 단순히 더해집니다.
로그미분법이 유리한 경우를 정리합니다.
| 상황 |
이유 |
| 밑과 지수가 모두 변합니다 |
다른 규칙이 없습니다 |
| 인수가 여러 개인 곱입니다 |
항의 개수가 인수 수만큼으로 줄어듭니다 |
| 곱과 나눗셈이 섞인 큰 분수입니다 |
몫의 미분법의 중첩을 피합니다 |
| 지수가 복잡합니다 |
지수를 앞으로 내려 단순해집니다 |
주의할 점이 하나 있습니다. 로그를 취하려면 진수가 양수여야 합니다. y가 음수일 수 있으면 ln∣y∣를 취합니다. 문제 2의 (3)에서 확인한 대로 ln∣y∣의 도함수도 yy′이므로 결과는 같습니다.
바로 확인.
확인 5-1. y=xsinx (x>0)를 미분하세요.
답. lny=sinxlnx이므로 yy′=cosxlnx+xsinx이고 y′=xsinx(cosxlnx+xsinx)입니다.
확인 5-2. y=(lnx)x를 미분할 때 첫 단계를 쓰세요.
답. lny=xln(lnx)로 만듭니다.
확인 5-3. 로그미분법에서 yy′가 뜻하는 것을 쓰세요.
답. 상대적 변화율입니다. 값 자체가 아니라 값에 대한 비율의 변화를 나타냅니다.
| 함수 |
도함수 |
| e^ |
e^ |
| a^ |
axlna |
| lnx |
x1 |
| ln∣x∣ |
x1 |
| logax |
\dfrac{1} |
| sinx |
cosx |
| cosx |
−sinx |
| tanx |
sec2x |
| cotx |
−csc2x |
| secx |
secxtanx |
| cscx |
−cscxcotx |
| 상황 |
쓸 도구 |
| 밑이 e가 아닙니다 |
ax=exlna로 바꿉니다 |
| 로그의 밑이 e가 아닙니다 |
밑변환으로 ln으로 바꿉니다 |
| 밑과 지수가 모두 변합니다 |
로그미분법 |
| 인수가 여러 개인 곱입니다 |
로그미분법 |
| 삼각함수가 합성되어 있습니다 |
연쇄법칙 |
| 기억할 것 |
내용 |
| e가 특별한 이유 |
M(e)=1이라 도함수가 자기 자신입니다 |
| 호도법이 필요한 이유 |
도로 재면 모든 공식에 180π이 붙습니다 |
| 부호 규칙 |
이름에 "코"가 붙으면 도함수에 음의 부호가 붙습니다 |
문제 6. dxde5x를 구하세요.
답. 5e5x입니다.
문제 7. dxd3x를 구하세요.
답. 3xln3입니다.
문제 8. dxdln(5x)를 구하세요.
답. 5x5=x1입니다. 로그 법칙으로 ln5+lnx로 바꿔도 같은 답이 나옵니다.
문제 9. dxd(xex)를 구하세요.
답. 곱의 미분법으로 ex+xex=(1+x)ex입니다.
문제 10. dxdxex를 구하세요.
답. 몫의 미분법으로 x2exx−ex=x2ex(x−1)입니다.
문제 11. dxdsin2x를 구하세요.
답. 연쇄법칙으로 2sinxcosx이며 17강의 배각 공식으로 sin2x와 같습니다.
문제 12. dxdesinx를 구하세요.
답. esinxcosx입니다.
문제 13. dxdln(cosx)를 구하세요.
답. cosx−sinx=−tanx입니다.
문제 14. dxdxlnx를 구하세요.
답. lnx+1입니다.
문제 15. dxdtan(x2+1)을 구하세요.
답. sec2(x2+1)⋅2x입니다.
문제 16. y=2x2을 미분하세요.
답. 2x2ln2⋅2x=2xln2⋅2x2입니다.
문제 17. ex가 미분해도 변하지 않는다는 사실이 a=2에서는 왜 성립하지 않습니까?
답. M(2)=ln2≈0.693=1이기 때문입니다. M(a)=1이 되는 유일한 밑이 e입니다.
문제 18. dxdsin(x∘)를 구하고 호도법과 비교하세요.
답. 180πcos(x∘)입니다. 호도법에서는 cosx로 깔끔하지만 도에서는 상수가 붙습니다.
심화 1. M(a)=lna임을 ax=exlna를 쓰지 않고 직접 보이세요.
답. M이 로그의 성질을 만족함을 보이면 됩니다.
풀이. M(ab)를 계산합니다. 지수법칙으로 (ab)h=ahbh이므로
h(ab)h−1=hahbh−1=hahbh−bh+bh−1=bh⋅hah−1+hbh−1
38강 문제 2에서 쓴 빼고 더하기입니다. h→0에서 bh→1이므로
M(ab)=M(a)+M(b)
입니다. 곱을 합으로 바꾸는 성질이며, 14강에서 본 로그의 특징입니다. 여기에 M(e)=1이라는 정규화 조건을 더하면 M이 자연로그로 결정됩니다.
남는 것. 함수의 정체를 만족하는 성질로 결정하는 방식입니다. 값을 계산하지 않고 성질만으로 함수를 특정할 수 있으며, 이런 논법은 뒤에서 계속 나옵니다. 143강에서 정규분포가 몇 가지 성질만으로 결정되는 것도 같은 성격입니다.
심화 2. dxdlnx=x1을 정의로 직접 유도하고, 어디서 e의 정의가 필요한지 지목하세요.
답. 마지막 단계에서 33강의 e 정의가 그대로 쓰입니다.
풀이. 정의에 넣고 로그 법칙으로 묶습니다.
hln(x+h)−lnx=h1lnxx+h=h1ln(1+xh)
h1을 로그 안으로 넣습니다.
=ln(1+xh)1/h=x1ln(1+xh)x/h
n=hx로 두면 h→0+에서 n→∞이고 괄호 안이 (1+n1)n입니다. 33강 심화 4에서 이 극한이 e였으므로
dxdlnx=x1lne=x1
남는 것. 마지막 줄에서 lne=1을 썼고 그 앞에서 33강의 e 정의를 썼습니다. 문제 2에서 역함수로 우회한 계산을 여기서는 정면으로 했고, 두 길이 같은 곳에 도착했습니다. 로그의 연속성을 써서 극한을 로그 안으로 들여보낸 단계도 35강의 결과에 기대고 있습니다.
심화 3. f(x)=ex 외에 f′=f를 만족하는 함수를 모두 구하세요.
답. f(x)=Cex 꼴뿐입니다.
풀이. f′=f를 만족한다고 하고 g(x)=exf(x)=f(x)e−x로 둡니다. 곱의 미분법으로
g′=f′e−x+f⋅(−e−x)=(f′−f)e−x=0
입니다. 42강에서 배울 평균값 정리의 따름 정리에 의해 도함수가 항상 0인 함수는 상수이므로 g=C이고 f=Cex입니다.
남는 것. "도함수가 0이면 상수"라는 사실이 여기서 열쇠입니다. 당연해 보이지만 증명에는 42강의 평균값 정리가 필요합니다. 이 논법이 미분방정식을 푸는 표준 방식이며, 알려진 해로 나누어 도함수가 0인 함수를 만드는 수법은 뒤에서 계속 쓰입니다.
심화 4. dxdsinx=cosx의 유도에서 hcosh−1→0이 필요했습니다. 이것을 34강의 결과 없이 직접 보이세요.
답. 켤레를 곱해 sin으로 바꿉니다.
풀이. 분자와 분모에 cosh+1을 곱합니다.
hcosh−1=h(cosh+1)cos2h−1=h(cosh+1)−sin2h=−hsinh⋅cosh+1sinh
첫 인수는 1로 가고 둘째 인수는 분자가 0으로 분모가 2로 가므로 0입니다. 곱이 0입니다.
남는 것. 16강의 sin2+cos2=1을 써서 다루기 어려운 cosh−1을 이미 아는 hsinh로 되돌렸습니다. 모르는 것을 아는 것으로 환원하는 것이 계산의 기본 전략이며, 34강에서 x21−cosx를 구할 때 쓴 방법과 같습니다.
심화 5. y=xx의 최솟값을 주는 x를 구하세요.
답. x=e1입니다.
풀이. 문제 5에서 y′=xx(lnx+1)을 얻었습니다. x>0에서 xx>0이므로 부호는 lnx+1이 결정합니다.
lnx+1=0⟺lnx=−1⟺x=e−1
x<e1이면 lnx<−1이라 y′<0이고, x>e1이면 y′>0입니다. 감소하다 증가하므로 x=e1에서 최소입니다. 값은
(e1)1/e=e−1/e≈0.6922
남는 것. 도함수의 부호로 증가와 감소를 읽고 최솟값을 찾았습니다. 이 절차를 43강에서 정식으로 다루며, 그 근거는 42강의 평균값 정리입니다. 미분이 계산 도구를 넘어 함수의 모양을 읽는 도구가 되는 첫 예입니다.
심화 6. ax의 도함수가 axlna라는 사실에서 a<1일 때 함수가 감소함을 설명하세요.
답. lna<0이므로 도함수가 음수입니다.
풀이. ax>0은 항상 성립하므로 도함수의 부호는 lna가 결정합니다. 0<a<1이면 lna<0이라 도함수가 음수이고 함수가 감소합니다. a>1이면 lna>0이라 증가하며, a=1이면 ln1=0이라 도함수가 0이고 실제로 1x=1인 상수함수입니다.
남는 것. 13강에서 지수함수의 증가와 감소를 그래프로 관찰했는데, 여기서 도함수의 부호라는 하나의 기준으로 세 경우가 모두 설명됩니다. 관찰로 알던 것을 계산으로 확정하는 것이 미분의 쓸모이며, 43강에서 이 관점을 일반화합니다.
도함수 공식은 항등식이므로 여러 점에서 수치미분과 대조하면 확인됩니다. M(a)가 lna인지도 직접 재 봅니다.
import numpy as np
h = 1e-6
def nd(fn, t):
return (fn(t + h) - fn(t - h)) / (2 * h)
x = np.linspace(0.5, 2.0, 7)
# 문제 1: M(a) = ln a 임을 수치로 확인합니다.
for a in (2.0, 3.0, np.e):
M = (a**1e-6 - 1) / 1e-6
print(round(a, 4), round(M, 4), round(float(np.log(a)), 4))
# 2.0 0.6931 0.6931
# 3.0 1.0986 1.0986
# 2.7183 1.0 1.0
# 문제 1: e^x 는 미분해도 자기 자신입니다.
print(np.allclose(nd(np.exp, x), np.exp(x))) # True
print(np.allclose(nd(lambda t: 2.0**t, x), 2.0**x * np.log(2))) # True
# 문제 2: ln x 의 도함수는 1/x 입니다.
print(np.allclose(nd(np.log, x), 1 / x)) # True
print(np.allclose(nd(lambda t: np.log(t) / np.log(10), x), 1 / (x * np.log(10)))) # True
# 문제 3: sin 과 cos
print(np.allclose(nd(np.sin, x), np.cos(x))) # True
print(np.allclose(nd(np.cos, x), -np.sin(x))) # True
# 문제 3: 도함수가 주기 4 로 순환합니다.
# 수치미분을 네 겹으로 쌓으면 반올림 오차가 커지므로 한 단계씩 확인합니다.
t = np.linspace(0.3, 1.2, 5)
cyc = [np.sin, np.cos, lambda s: -np.sin(s), lambda s: -np.cos(s)]
print([bool(np.allclose(nd(cyc[i], t), cyc[(i + 1) % 4](t))) for i in range(4)])
# [True, True, True, True]
# 문제 4: tan 의 도함수는 sec^2 입니다.
xt = np.linspace(0.2, 1.2, 6)
print(np.allclose(nd(np.tan, xt), 1 / np.cos(xt)**2)) # True
# 문제 5: x^x 의 도함수
xp = np.linspace(0.4, 2.0, 6)
print(np.allclose(nd(lambda t: t**t, xp), xp**xp * (np.log(xp) + 1))) # True
# 심화 5: x^x 의 최솟값은 x = 1/e 에서 납니다.
g = np.linspace(0.05, 1.5, 300000)
i = int(np.argmin(g**g))
print(round(float(g[i]), 4), round(1 / np.e, 4)) # 0.3679 0.3679
print(round(float((g**g)[i]), 6), round(float(np.e**(-1/np.e)), 6))
# 0.692201 0.692201
# 문제 18: 각을 도로 재면 pi/180 이 붙습니다.
deg = np.linspace(10, 80, 5)
nd_deg = (np.sin(np.deg2rad(deg + 1e-6)) - np.sin(np.deg2rad(deg - 1e-6))) / 2e-6
print(np.allclose(nd_deg, np.pi / 180 * np.cos(np.deg2rad(deg)))) # True
출력이 주석과 모두 일치합니다. 첫 검산이 문제 1의 핵심을 그대로 보여 줍니다. M(2)=0.6931=ln2이고 M(3)=1.0986=ln3이며, a=e에서 정확히 M(e)=1.0입니다. e가 특별한 이유가 숫자로 확인됩니다.
마지막에서 두 번째 검산에서 xx의 최솟값이 x=0.3679에서 0.692201로 나왔고, 손으로 구한 e1=0.3679와 e−1/e=0.692201에 정확히 일치합니다.
마지막 검산은 문제 18의 경고를 확인해 줍니다. 각을 도로 재면 도함수가 cos이 아니라 180πcos이 되며, 그래서 미적분에서는 언제나 호도법을 씁니다.
- dxdex는 무엇입니까?
- dxdax는 무엇입니까?
- e가 특별한 이유를 도함수로 설명하세요.
- dxdlnx는 무엇입니까?
- sin과 cos의 도함수를 쓰세요.
- 삼각함수 도함수 공식이 호도법에서만 성립하는 이유를 쓰세요.
- 이름에 "코"가 붙은 삼각함수의 도함수에는 무엇이 붙습니까?
- 로그미분법을 쓰는 경우를 두 가지 드세요.
정답.
- ex입니다.
- axlna입니다.
- M(e)=1이라 도함수가 자기 자신이 되는 유일한 밑이기 때문입니다.
- x1입니다.
- cosx와 −sinx입니다.
- 도로 재면 xsinx→180π이 되어 모든 공식에 상수가 붙기 때문입니다.
- 음의 부호가 붙습니다.
- 밑과 지수가 모두 변할 때와 인수가 여러 개인 곱일 때입니다.
| 기호 |
읽는 법 |
뜻 |
| e |
자연상수 |
M(e)=1이 되는 유일한 밑입니다 |
| lnx |
자연로그 |
밑이 e인 로그입니다 |
| M(a) |
\displaystyle\lim_{h\to 0}\frac{a^{h}-1} |
실제로는 lna입니다 |
| secx |
시컨트 |
cosx1입니다 |
| cscx |
코시컨트 |
sinx1입니다 |
| cotx |
코탄젠트 |
sinxcosx입니다 |
| \dfrac{y'} |
로그도함수 |
상대적 변화율입니다 |
다음 40강에서는 y를 x의 식으로 풀어 쓸 수 없는 관계식을 미분합니다. 문제 2의 (1)에서 ey=x를 미리 써 본 방법이 그때 정식으로 정리되고, 역함수의 도함수 공식도 함께 얻습니다.