지금까지 미분한 것은 모두 y = f ( x ) y = f ( x ) y y x x
그런데 원의 방정식 x 2 + y 2 = 25 x 2 + y 2 = 2 5 y y y = ± 25 − x 2 y = ± 2 5 − x 2
구할 수 있습니다. 39강 문제 2에서 e y = x e y = x d y d x d x d y
음함수 미분으로 y y d y d x d x d y
곡선 위의 점에서 접선의 방정식을 구할 수 있습니다.
역함수의 도함수 공식을 유도하고 그 뜻을 그림으로 읽을 수 있습니다.
역삼각함수의 도함수를 구할 수 있습니다.
유리수 지수에 대한 멱법칙을 증명할 수 있습니다.
문제. x 2 + y 2 = 25 x 2 + y 2 = 2 5 y y d y d x d x d y ( 3 , 4 ) ( 3 , 4 )
생각의 실마리. (2)에서 양변을 x x y 2 y 2 y y x x y y
풀이. (1) y 2 = 25 − x 2 y 2 = 2 5 − x 2 y = ± 25 − x 2 y = ± 2 5 − x 2 x = ± 5 x = ± 5
(2) 양변을 x x y y x x
d d x ( x 2 ) + d d x ( y 2 ) = d d x ( 25 ) d x d ( x 2 ) + d x d ( y 2 ) = d x d ( 2 5 )
y 2 y 2 y y
2 x + 2 y ⋅ d y d x = 0 2 x + 2 y ⋅ d x d y = 0
d y d x d x d y
d y d x = − x y ( y ≠ 0 ) d x d y = − y x ( y = 0 )
(3) 점 ( 3 , 4 ) ( 3 , 4 ) 9 + 16 = 25 9 + 1 6 = 2 5
d y d x ∣ ( 3 , 4 ) = − 3 4 d x d y ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ( 3 , 4 ) = − 4 3
접선의 방정식은
y − 4 = − 3 4 ( x − 3 ) , y = − 3 4 x + 25 4 y − 4 = − 4 3 ( x − 3 ) , y = − 4 3 x + 4 2 5
이 문제에서 배우는 것: 음함수 미분.
x x y y F ( x , y ) = 0 F ( x , y ) = 0 음함수 라고 합니다. 이때 y y 음함수 미분 입니다.
절차는 세 단계입니다.
양변을 x x
y y 연쇄법칙으로 d y d x d x d y d y d x d x d y
2번이 전부입니다. 자주 쓰는 형태를 정리해 둡니다.
식
x x
y y \dfrac{dy}
y^
2y\dfrac{dy}
y^
ny^{n-1}\dfrac{dy}
sin y sin y \cos y\dfrac{dy}
e^
e^{y}\dfrac{dy}
x y x y y + x d y d x y + x d x d y
마지막 줄에 주의합니다. x x y y y y
결과가 x x y y 모두 포함한다 는 점도 특징입니다. d y d x = − x y d x d y = − y x y y x x y y
기하학적으로 읽으면 − x y − y x y x x y 접선이 반지름과 수직 이라는 원의 성질이 계산에서 그대로 나옵니다.
바로 확인.
확인 1-1. x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 ( 1 2 , 3 2 ) ( 2 1 , 2 3 ) d y d x d x d y
답. d y d x = − x y = − 1 / 2 3 / 2 = − 1 3 d x d y = − y x = − 3 / 2 1 / 2 = − 3 1
확인 1-2. x y = 6 x y = 6 d y d x d x d y
답. 곱의 미분법으로 y + x d y d x = 0 y + x d x d y = 0 d y d x = − y x d x d y = − x y y = 6 x y = x 6 − 6 x 2 − x 2 6
확인 1-3. d d x ( y 3 ) d x d ( y 3 )
답. 3 y 2 d y d x 3 y 2 d x d y
문제. (1) x 3 + y 3 = 6 x y x 3 + y 3 = 6 x y d y d x d x d y r = p q r = q p d d x x r = r x r − 1 d x d x r = r x r − 1
생각의 실마리. (1)은 양변에 y y d y d x d x d y y = x p / q y = x p / q q q y q = x p y q = x p
풀이. (1) 양변을 미분합니다. 오른쪽은 곱의 미분법이 필요합니다.
3 x 2 + 3 y 2 d y d x = 6 ( y + x d y d x ) 3 x 2 + 3 y 2 d x d y = 6 ( y + x d x d y )
d y d x d x d y
3 y 2 d y d x − 6 x d y d x = 6 y − 3 x 2 3 y 2 d x d y − 6 x d x d y = 6 y − 3 x 2
묶어서 풉니다.
d y d x = 6 y − 3 x 2 3 y 2 − 6 x = 2 y − x 2 y 2 − 2 x d x d y = 3 y 2 − 6 x 6 y − 3 x 2 = y 2 − 2 x 2 y − x 2
(2) y = x p / q y = x p / q q q
y q = x p y q = x p
이제 양변을 x x
q y q − 1 d y d x = p x p − 1 q y q − 1 d x d y = p x p − 1
d y d x d x d y
d y d x = p q ⋅ x p − 1 y q − 1 d x d y = q p ⋅ y q − 1 x p − 1
y = x p / q y = x p / q
y q − 1 = x p q ( q − 1 ) = x p − p q y q − 1 = x q p ( q − 1 ) = x p − q p
따라서
d y d x = p q ⋅ x p − 1 − p + p q = p q x p q − 1 = r x r − 1 d x d y = q p ⋅ x p − 1 − p + q p = q p x q p − 1 = r x r − 1
이 문제에서 배우는 것: 멱법칙의 확장과 정리 요령.
37강에서 자연수 지수, 심화 2에서 음의 정수 지수를 다뤘고 여기서 유리수 지수 까지 왔습니다. 실수 지수는 39강의 로그미분법으로 끝냅니다. y = x r y = x r ln y = r ln x ln y = r ln x
y ′ y = r x , y ′ = r x r x = r x r − 1 y y ′ = x r , y ′ = r x x r = r x r − 1
입니다. 모든 실수 지수에서 같은 공식이 성립합니다.
d d x x r = r x r − 1 ( r ∈ R , x > 0 ) d x d x r = r x r − 1 ( r ∈ R , x > 0 )
(1)에서 쓴 정리 요령도 기억합니다.
항마다 미분 규칙을 적용합니다.
d y d x d x d y 한쪽으로 모읍니다. d y d x d x d y
이것이 가능한 이유는 d y d x d x d y 일차로만 나타나기 때문 입니다. 음함수 미분은 언제나 d y d x d x d y
한 가지 주의합니다. 3번에서 나눌 때 분모가 0 0 해야 합니다. (1)에서 y 2 − 2 x = 0 y 2 − 2 x = 0
바로 확인.
확인 2-1. x 2 + x y + y 2 = 7 x 2 + x y + y 2 = 7 d y d x d x d y
답. 2 x + y + x d y d x + 2 y d y d x = 0 2 x + y + x d x d y + 2 y d x d y = 0 d y d x = − 2 x + y x + 2 y d x d y = − x + 2 y 2 x + y
확인 2-2. d d x x 5 / 3 d x d x 5 / 3
답. 5 3 x 2 / 3 3 5 x 2 / 3
확인 2-3. d d x x 2 3 d x d 3 x 2
답. x 2 / 3 x 2 / 3 2 3 x − 1 / 3 = 2 3 x 3 3 2 x − 1 / 3 = 3 3 x 2
문제. f f f − 1 ( f ( x ) ) = x f − 1 ( f ( x ) ) = x ( f − 1 ) ′ ( f − 1 ) ′ f ( x ) = x 3 + x f ( x ) = x 3 + x ( f − 1 ) ′ ( 2 ) ( f − 1 ) ′ ( 2 )
생각의 실마리. (1)에서 28강의 역함수 정의 f − 1 ∘ f = i d f − 1 ∘ f = i d f − 1 ( 2 ) f − 1 ( 2 ) f f
풀이. (1) f − 1 ( f ( x ) ) = x f − 1 ( f ( x ) ) = x x x
( f − 1 ) ′ ( f ( x ) ) ⋅ f ′ ( x ) = 1 ( f − 1 ) ′ ( f ( x ) ) ⋅ f ′ ( x ) = 1
f ′ ( x ) ≠ 0 f ′ ( x ) = 0
( f − 1 ) ′ ( f ( x ) ) = 1 f ′ ( x ) ( f − 1 ) ′ ( f ( x ) ) = f ′ ( x ) 1
b = f ( a ) b = f ( a )
( f − 1 ) ′ ( b ) = 1 f ′ ( a ) 단 f ( a ) = b ( f − 1 ) ′ ( b ) = f ′ ( a ) 1 단 f ( a ) = b
(2) f ′ ( x ) = 3 x 2 + 1 f ′ ( x ) = 3 x 2 + 1 f − 1 ( 2 ) f − 1 ( 2 ) f ( a ) = 2 f ( a ) = 2 a a
a 3 + a = 2 a 3 + a = 2
a = 1 a = 1 1 + 1 = 2 1 + 1 = 2 f − 1 ( 2 ) = 1 f − 1 ( 2 ) = 1
( f − 1 ) ′ ( 2 ) = 1 f ′ ( 1 ) = 1 3 + 1 = 1 4 ( f − 1 ) ′ ( 2 ) = f ′ ( 1 ) 1 = 3 + 1 1 = 4 1
(3) 11강에서 본 대로 f − 1 f − 1 f f y = x y = x x x y y 기울기가 역수가 됩니다. 위 공식이 그 관찰의 식입니다.
이 문제에서 배우는 것: 역함수의 미분법.
( f − 1 ) ′ ( b ) = 1 f ′ ( f − 1 ( b ) ) ( f − 1 ) ′ ( b ) = f ′ ( f − 1 ( b ) ) 1
라이프니츠 표기로 적으면 대칭이 뚜렷합니다.
d x d y = 1 d y d x d y d x = d x d y 1
이 공식을 쓸 때 확인할 것이 두 가지입니다.
첫째, f ′ ( a ) ≠ 0 f ′ ( a ) = 0 f ′ ( a ) = 0 f ′ ( a ) = 0 f ( x ) = x 3 f ( x ) = x 3 x 1 / 3 x 1 / 3 x = 0 x = 0
둘째, f − 1 ( b ) f − 1 ( b ) f f a = 1 a = 1 식 을 구할 필요는 없다는 점이 이 공식의 이점입니다.
39강 문제 2에서 로그의 도함수를 구한 것이 이 공식의 적용이었습니다. f ( x ) = e x f ( x ) = e x f ′ = e x f ′ = e x
( ln ) ′ ( b ) = 1 e ln b = 1 b ( ln ) ′ ( b ) = e l n b 1 = b 1
입니다.
바로 확인.
확인 3-1. f ( x ) = x 5 + 2 x + 1 f ( x ) = x 5 + 2 x + 1 ( f − 1 ) ′ ( 1 ) ( f − 1 ) ′ ( 1 )
답. f ( 0 ) = 1 f ( 0 ) = 1 f − 1 ( 1 ) = 0 f − 1 ( 1 ) = 0 f ′ ( x ) = 5 x 4 + 2 f ′ ( x ) = 5 x 4 + 2 f ′ ( 0 ) = 2 f ′ ( 0 ) = 2 1 2 2 1
확인 3-2. f ′ ( a ) = 0 f ′ ( a ) = 0
답. 존재하지 않습니다. 수평 접선이 대칭이동으로 수직이 되기 때문입니다.
확인 3-3. 역함수 도함수 공식을 d x d y d y d x
답. d x d y = 1 d y / d x d y d x = d y / d x 1
문제. (1) y = arcsin x y = arcsin x y = arctan x y = arctan x
생각의 실마리. y = arcsin x y = arcsin x sin y = x sin y = x cos y cos y y y x x 2 + 2 = 1 sin 2 + cos 2 = 1
풀이. (1) y = arcsin x y = arcsin x sin y = x sin y = x − π 2 ≤ y ≤ π 2 − 2 π ≤ y ≤ 2 π
cos y ⋅ d y d x = 1 , d y d x = 1 cos y cos y ⋅ d x d y = 1 , d x d y = cos y 1
cos y cos y x x 2 y = 1 − 2 y = 1 − x 2 cos 2 y = 1 − sin 2 y = 1 − x 2
cos y = ± 1 − x 2 cos y = ± 1 − x 2
부호를 정합니다. y y [ − π 2 , π 2 ] [ − 2 π , 2 π ] cos y ≥ 0 cos y ≥ 0
d d x arcsin x = 1 1 − x 2 ( − 1 < x < 1 ) d x d arcsin x = 1 − x 2 1 ( − 1 < x < 1 )
(2) y = arctan x y = arctan x tan y = x tan y = x
2 y ⋅ d y d x = 1 , d y d x = 1 2 y sec 2 y ⋅ d x d y = 1 , d x d y = sec 2 y 1
16강의 항등식 2 y = 1 + 2 y = 1 + x 2 sec 2 y = 1 + tan 2 y = 1 + x 2
d d x arctan x = 1 1 + x 2 d x d arctan x = 1 + x 2 1
(3) 도함수를 구하면 cos y cos y 2 y sec 2 y y y 삼각함수 사이의 항등식으로 그것을 tan y tan y sin y sin y x x 입니다. 삼각함수가 하나의 항등식으로 서로 묶여 있어서 가능한 일입니다.
이 문제에서 배우는 것: 역삼각함수의 도함수.
f f f ′ f ′ 정의역
arcsin x arcsin x 1 1 − x 2 1 − x 2 1 − 1 < x < 1 − 1 < x < 1
arccos x arccos x − 1 1 − x 2 − 1 − x 2 1 − 1 < x < 1 − 1 < x < 1
arctan x arctan x 1 1 + x 2 1 + x 2 1 모든 실수
a r c c o t x a r c c o t x − 1 1 + x 2 − 1 + x 2 1 모든 실수
여기서도 39강 문제 4의 규칙이 살아 있습니다. "코"가 붙은 것에는 음의 부호가 붙습니다. arcsin x + arccos x = π 2 arcsin x + arccos x = 2 π 0 0
이 결과들이 놀라운 이유가 있습니다. 삼각함수의 역함수인데 도함수에는 삼각함수가 전혀 없습니다. 대수적인 식만 남았습니다. 이 사실은 방향을 뒤집어 읽으면 더 유용합니다.
∫ d x 1 + x 2 = arctan x + C , ∫ d x 1 − x 2 = arcsin x + C ∫ 1 + x 2 d x = arctan x + C , ∫ 1 − x 2 d x = arcsin x + C
대수적으로 생긴 식을 적분하면 삼각함수가 나온다는 뜻이며, 50강의 삼각치환이 이 관계를 정면으로 씁니다. 그리고 arctan arctan
정의역 제한도 반드시 확인합니다. arcsin arcsin sin sin [ − π 2 , π 2 ] [ − 2 π , 2 π ] 28강에서 역함수 존재 조건으로 정의역을 좁힌 일이 여기서 계산의 근거로 쓰입니다.
바로 확인.
확인 4-1. d d x arctan ( 3 x ) d x d arctan ( 3 x )
답. 연쇄법칙으로 3 1 + 9 x 2 1 + 9 x 2 3
확인 4-2. d d x arcsin ( x 2 ) d x d arcsin ( x 2 )
답. 2 x 1 − x 4 1 − x 4 2 x
확인 4-3. arcsin x + arccos x = π 2 arcsin x + arccos x = 2 π
답. 양변을 미분하면 ( arcsin ) ′ + ( arccos ) ′ = 0 ( arcsin ) ′ + ( arccos ) ′ = 0
문제. 반지름이 매초 2 2 10 1 0
생각의 실마리. 넓이와 반지름의 관계는 A = π r 2 A = π r 2 시간 t t 미분해야 합니다. r r t t
풀이. 넓이와 반지름의 관계를 적습니다.
A = π r 2 A = π r 2
양변을 시간 t t r r t t
d A d t = 2 π r ⋅ d r d t d t d A = 2 π r ⋅ d t d r
주어진 값을 넣습니다. d r d t = 2 d t d r = 2 r = 10 r = 1 0
d A d t = 2 π ⋅ 10 ⋅ 2 = 40 π d t d A = 2 π ⋅ 1 0 ⋅ 2 = 4 0 π
넓이는 초당 약 125.66 1 2 5 . 6 6
이 문제에서 배우는 것: 관련 변화율.
여러 양이 하나의 관계식으로 묶여 있고 모두 시간에 따라 변할 때, 한 변화율에서 다른 변화율을 얻는 문제를 관련 변화율 문제라고 합니다.
절차는 네 단계입니다.
양들 사이의 관계식을 세웁니다. 기하 공식이나 물리 법칙에서 옵니다.양변을 시간으로 미분합니다. 변하는 양마다 연쇄법칙으로 d ⋅ d t d t d ⋅ 주어진 값을 대입합니다. 구하려는 변화율에 대해 풉니다.
3번의 순서가 중요합니다. 미분을 먼저 하고 값을 나중에 넣습니다. 값을 먼저 넣으면 그 양이 상수가 되어 버려 변화율이 0 0 r = 10 r = 1 0 A = 100 π A = 1 0 0 π d A d t = 0 d t d A = 0
관계식에서 자주 쓰는 것들을 정리합니다.
상황
관계식
원의 넓이와 반지름
A=\pi r^
구의 부피와 반지름
V=\dfrac{4}{3}\pi r^
직각삼각형의 두 변과 빗변
a^{2}+b^{2}=c^
원뿔의 부피
V = 1 3 π r 2 h V = 3 1 π r 2 h
닮음비
\dfrac{h}{r}=\text
관련 변화율이 음함수 미분과 같은 계산인 이유는 분명합니다. 둘 다 여러 변수가 얽힌 관계식을 한 변수로 미분하면서 나머지에 연쇄법칙을 붙이는 것 입니다. 다른 점은 미분하는 변수가 x x t t
바로 확인.
확인 5-1. 정육면체의 한 변이 초당 3 3 5 5
답. V = s 3 V = s 3 d V d t = 3 s 2 d s d t = 3 ⋅ 25 ⋅ 3 = 225 d t d V = 3 s 2 d t d s = 3 ⋅ 2 5 ⋅ 3 = 2 2 5
확인 5-2. 관련 변화율 문제에서 값을 먼저 대입하면 왜 안 됩니까?
답. 변하는 양이 상수가 되어 그 변화율이 0 0
확인 5-3. 관련 변화율과 음함수 미분이 같은 계산인 이유를 쓰세요.
답. 둘 다 여러 변수가 얽힌 관계식을 한 변수로 미분하며 나머지 변수에 연쇄법칙을 붙이는 것이기 때문입니다.
절차
내용
음함수 미분
양변을 x x y y d y d x d x d y
역함수 미분
( f − 1 ) ′ ( b ) = 1 f ′ ( a ) ( f − 1 ) ′ ( b ) = f ′ ( a ) 1 f ( a ) = b f ( a ) = b
관련 변화율
관계식을 세우고 t t
함수
도함수
x r x r r r rx^
arcsin x arcsin x 1 1 − x 2 1 − x 2 1
arccos x arccos x − 1 1 − x 2 − 1 − x 2 1
arctan x arctan x 1 1 + x 2 1 + x 2 1
자주 하는 실수
바로잡기
y y d y d x d x d y y y x x
x y x y 곱의 미분법을 먼저 씁니다
나눌 때 분모 확인 안 함
분모가 0 0
관련 변화율에서 값 먼저 대입
미분을 먼저 하고 값을 넣습니다
역삼각함수 부호 미확인
정의역 제한에서 부호를 정합니다
문제 6. x 2 + y 2 = 9 x 2 + y 2 = 9 d y d x d x d y
답. 2 x + 2 y d y d x = 0 2 x + 2 y d x d y = 0 − x y − y x
문제 7. x 2 − y 2 = 16 x 2 − y 2 = 1 6 d y d x d x d y
답. 2 x − 2 y d y d x = 0 2 x − 2 y d x d y = 0 x y y x
문제 8. x y + y 2 = 4 x y + y 2 = 4 d y d x d x d y
답. y + x d y d x + 2 y d y d x = 0 y + x d x d y + 2 y d x d y = 0 − y x + 2 y − x + 2 y y
문제 9. sin y = x sin y = x d y d x d x d y x x − π 2 ≤ y ≤ π 2 − 2 π ≤ y ≤ 2 π
답. cos y d y d x = 1 cos y d x d y = 1 cos y = 1 − x 2 cos y = 1 − x 2 1 1 − x 2 1 − x 2 1
문제 10. e y + x = y e y + x = y d y d x d x d y
답. e y d y d x + 1 = d y d x e y d x d y + 1 = d x d y d y d x = 1 1 − e y d x d y = 1 − e y 1
문제 11. d d x x 7 / 2 d x d x 7 / 2
답. 7 2 x 5 / 2 2 7 x 5 / 2
문제 12. d d x x 3 5 d x d 5 x 3
답. x 3 / 5 x 3 / 5 3 5 x − 2 / 5 5 3 x − 2 / 5
문제 13. f ( x ) = x 3 + 2 x + 1 f ( x ) = x 3 + 2 x + 1 ( f − 1 ) ′ ( 4 ) ( f − 1 ) ′ ( 4 )
답. f ( 1 ) = 4 f ( 1 ) = 4 f − 1 ( 4 ) = 1 f − 1 ( 4 ) = 1 f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 f ′ ( x ) = 3 x 2 + 2 f ′ ( 1 ) = 5 f ′ ( 1 ) = 5 1 5 5 1
문제 14. f ( x ) = e x f ( x ) = e x ln ln
답. ( f − 1 ) ′ ( b ) = 1 e ln b = 1 b ( f − 1 ) ′ ( b ) = e l n b 1 = b 1 ln ln 1 x x 1
문제 15. d d x arctan ( x 2 ) d x d arctan ( x 2 )
답. 2 x 1 + x 4 1 + x 4 2 x
문제 16. d d x [ x arcsin x ] d x d [ x arcsin x ]
답. 곱의 미분법으로 arcsin x + x 1 − x 2 arcsin x + 1 − x 2 x
문제 17. 구의 반지름이 초당 1 1 3 3
답. V = 4 3 π r 3 V = 3 4 π r 3 d V d t = 4 π r 2 d r d t = 4 π ⋅ 9 ⋅ 1 = 36 π d t d V = 4 π r 2 d t d r = 4 π ⋅ 9 ⋅ 1 = 3 6 π
문제 18. 사다리가 벽에 기대어 있고 길이가 5 5 1 1 3 3
답. x 2 + y 2 = 25 x 2 + y 2 = 2 5 2 x d x d t + 2 y d y d t = 0 2 x d t d x + 2 y d t d y = 0 x = 3 x = 3 y = 4 y = 4 d x d t = 1 d t d x = 1 d y d t = − 3 4 d t d y = − 4 3 0.75 0 . 7 5
심화 1. 음함수 미분이 언제나 d y d x d x d y
답. d y d x d x d y
풀이. 연쇄법칙을 적용할 때 d y d x d x d y 한 번만 곱해집니다. y n y n n y n − 1 d y d x n y n − 1 d x d y sin y sin y cos y d y d x cos y d x d y ( d y d x ) 2 ( d x d y ) 2
따라서 미분한 결과는 A ( x , y ) d y d x + B ( x , y ) = 0 A ( x , y ) d x d y + B ( x , y ) = 0 A ≠ 0 A = 0 d y d x = − B A d x d y = − A B
남는 것. A ( x , y ) = 0 A ( x , y ) = 0 y = 0 y = 0 ( ± 5 , 0 ) ( ± 5 , 0 ) 계산이 막히는 자리가 곡선이 특별한 자리와 정확히 일치합니다.
심화 2. 음함수 미분이 항상 정당한지, 즉 F ( x , y ) = 0 F ( x , y ) = 0 y y x x
답. 항상 그렇지는 않으며 국소적으로만 성립합니다.
풀이. x 2 + y 2 = 25 x 2 + y 2 = 2 5 ( 3 , 4 ) ( 3 , 4 ) y = 25 − x 2 y = 2 5 − x 2 x x y y
또 x 2 + y 2 = 0 x 2 + y 2 = 0 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 = − 1 x 2 + y 2 = − 1
정확한 조건은 음함수 정리라는 이름으로 알려져 있으며, 심화 1의 A ( x , y ) ≠ 0 A ( x , y ) = 0
남는 것. 우리가 한 계산은 **"함수가 정해진다면 그 도함수는 이것이다"**를 구한 것입니다. 존재 자체는 따로 보장해야 하며, 33강 문제 5에서 극한이 존재함을 먼저 확인하고 방정식을 세운 것과 같은 순서 문제입니다. 실전에서는 곡선 위의 점이 주어지고 그 근처에서 매끄러운 경우가 대부분이라 문제가 되지 않습니다.
심화 3. x y = y x x y = y x d y d x d x d y x , y > 0 x , y > 0
답. 로그미분법과 음함수 미분을 함께 씁니다.
풀이. 양변에 자연로그를 취합니다.
y ln x = x ln y y ln x = x ln y
양변을 x x y y
d y d x ln x + y x = ln y + x y ⋅ d y d x d x d y ln x + x y = ln y + y x ⋅ d x d y
d y d x d x d y
d y d x ( ln x − x y ) = ln y − y x d x d y ( ln x − y x ) = ln y − x y
d y d x = ln y − y x ln x − x y = y ( x ln y − y ) x ( y ln x − x ) d x d y = ln x − y x ln y − x y = x ( y ln x − x ) y ( x ln y − y )
남는 것. 39강의 로그미분법과 이 강의의 음함수 미분을 함께 썼습니다. 지수에 변수가 있으면 먼저 로그를 취해 내리고, 그러고 나면 남은 것은 음함수 미분입니다. 도구를 순서대로 쌓아 올리면 처음에는 손도 못 댈 것 같던 식이 풀립니다.
심화 4. ( f − 1 ) ′ ( b ) = 1 f ′ ( a ) ( f − 1 ) ′ ( b ) = f ′ ( a ) 1
답. 차분몫의 역수 관계에서 나옵니다.
풀이. g = f − 1 g = f − 1 b = f ( a ) b = f ( a )
g ′ ( b ) = y → b g ( y ) − g ( b ) y − b g ′ ( b ) = y → b lim y − b g ( y ) − g ( b )
x = g ( y ) x = g ( y ) y = f ( x ) y = f ( x ) g ( b ) = a g ( b ) = a f f y → b y → b x → a x → a
g ′ ( b ) = x → a x − a f ( x ) − f ( a ) = x → a 1 f ( x ) − f ( a ) x − a = 1 f ′ ( a ) g ′ ( b ) = x → a lim f ( x ) − f ( a ) x − a = x → a lim x − a f ( x ) − f ( a ) 1 = f ′ ( a ) 1
마지막에서 f ′ ( a ) ≠ 0 f ′ ( a ) = 0
남는 것. 문제 3에서는 f − 1 f − 1 가정하고 공식을 구했지만, 이 증명은 그 가정 없이 미분가능성까지 함께 보입니다. 두 논증의 차이를 구분해 두는 것이 중요합니다. 공식을 구하는 것과 존재를 보이는 것은 다른 일입니다.
심화 5. y = arcsin x y = arcsin x x → ± 1 x → ± 1
답. 원래 함수의 접선이 그 점에서 수평이었기 때문입니다.
풀이. arcsin arcsin sin sin [ − π 2 , π 2 ] [ − 2 π , 2 π ] sin sin y = ± π 2 y = ± 2 π cos y = 0 cos y = 0
역함수는 y = x y = x x = ± 1 x = ± 1 arcsin arcsin 1 1 − x 2 1 − x 2 1 0 0
남는 것. 문제 3에서 말한 f ′ ( a ) ≠ 0 f ′ ( a ) = 0 수직접선 유형의 미분 불가능 이며, 세 강의의 내용이 한 점에서 만납니다. 정의역 끝점에서 도함수가 폭발하는 이 현상은 53강의 이상적분에서 다시 다룹니다.
심화 6. 관련 변화율 문제에서 값을 미분 전에 대입하면 왜 틀리는지 문제 5로 구체적으로 보이세요.
답. 변수가 상수가 되어 변화율이 사라집니다.
풀이. 올바른 순서는 A = π r 2 A = π r 2 d A d t = 2 π r d r d t d t d A = 2 π r d t d r r = 10 r = 1 0 40 π 4 0 π
잘못된 순서로 r = 10 r = 1 0 A = 100 π A = 1 0 0 π d A d t = 0 d t d A = 0
무엇이 잘못되었는지 정확히 말하면, r = 10 r = 1 0 모든 시각에 성립하는 관계가 아니라 특정 순간의 값 입니다. 미분은 그 순간 주변에서 값이 어떻게 변하는지 보는 연산이므로, 주변 정보를 지워 버리면 계산할 것이 남지 않습니다.
남는 것. 34강 문제 1에서 극한이 x = a x = a 그 주변 을 본다고 했던 것과 같은 이야기입니다. 미분은 한 점의 값이 아니라 그 점 근처에서의 변화를 재므로, 근처 정보를 유지한 채 계산을 마치고 마지막에 그 점의 값을 넣어야 합니다.
음함수 미분의 결과는 곡선 위의 점에서 접선의 기울기이므로, 곡선을 매개변수로 표현해 수치미분과 대조하면 확인됩니다.
import numpy as np
h = 1e-6
def nd(fn, t):
return (fn(t + h) - fn(t - h)) / (2 * h)
# 문제 1: x^2 + y^2 = 25 에서 dy/dx = -x/y
th = np.linspace(0.3, 1.2, 6) # 위쪽 반원의 매개변수
X, Y = 5*np.cos(th), 5*np.sin(th)
upper = lambda t: np.sqrt(25 - t**2) # y > 0 인 갈래
print(np.allclose(nd(upper, X), -X / Y)) # True
print(round(float(-3/4), 4), round(float(nd(upper, 3.0)), 4)) # -0.75 -0.75
# 문제 2: 유리수 지수 멱법칙
xs = np.linspace(0.5, 2.0, 6)
for r in (0.5, 2/3, 5/3, -1.5):
ok = np.allclose(nd(lambda t: t**r, xs), r * xs**(r - 1))
print(round(r, 4), bool(ok))
# 0.5 True
# 0.6667 True
# 1.6667 True
# -1.5 True
# 문제 3: 역함수의 도함수는 원래 도함수의 역수입니다.
f = lambda t: t**3 + t
fp = lambda t: 3*t**2 + 1
a = 1.0
b = f(a)
finv = lambda s: np.array([np.roots([1, 0, 1, -v])[-1].real for v in np.atleast_1d(s)])
print(round(float(b), 4), round(float(finv(b)[0]), 6)) # 2.0 1.0
print(round(float(nd(lambda s: finv(s)[0], b)), 6), round(1 / fp(a), 6))
# 0.25 0.25
# 문제 4: 역삼각함수의 도함수
u = np.linspace(-0.8, 0.8, 9)
print(np.allclose(nd(np.arcsin, u), 1 / np.sqrt(1 - u**2))) # True
print(np.allclose(nd(np.arccos, u), -1 / np.sqrt(1 - u**2))) # True
v = np.linspace(-3.0, 3.0, 9)
print(np.allclose(nd(np.arctan, v), 1 / (1 + v**2))) # True
# 심화 5: arcsin 의 도함수는 x -> 1 에서 폭발합니다.
edge = np.array([0.9, 0.99, 0.999, 0.9999])
print(np.round(1 / np.sqrt(1 - edge**2), 3)) # [ 2.294 7.089 22.366 70.712]
# 문제 5: 관련 변화율은 미분을 먼저 하고 값을 넣습니다.
r0, drdt = 10.0, 2.0
print(round(2 * np.pi * r0 * drdt, 6), round(float(40 * np.pi), 6)) # 125.663706 125.663706
# 심화 6: 값을 먼저 넣으면 상수가 되어 0 이 됩니다.
A_const = np.pi * r0**2
print(round(float(nd(lambda t: A_const + 0*t, 1.0)), 6)) # 0.0
출력이 주석과 모두 일치합니다. 첫 검산이 문제 1을 확인해 줍니다. 위쪽 반원을 명시적 함수로 적어 수치미분한 값이 음함수 미분으로 얻은 − x y − y x x = 3 x = 3 − 0.75 − 0 . 7 5 y y
세 번째 검산에서 역함수를 삼차방정식의 근으로 수치적으로 구했습니다. f − 1 ( 2 ) = 1 f − 1 ( 2 ) = 1 0.25 0 . 2 5 1 f ′ ( 1 ) = 1 4 f ′ ( 1 ) 1 = 4 1
마지막 두 검산이 심화 6을 대비시켜 보여 줍니다. 올바른 순서로는 125.663706 = 40 π 1 2 5 . 6 6 3 7 0 6 = 4 0 π 0 0
음함수 미분의 세 단계를 쓰세요.
d d x y 2 d x d y 2 d d x ( x y ) d x d ( x y ) 역함수의 도함수 공식을 쓰세요.
그 공식에서 확인해야 할 조건은 무엇입니까?
arctan x arctan x 실수 지수의 멱법칙을 쓰세요.
관련 변화율에서 값을 언제 대입합니까?
정답.
양변을 x x y y d y d x d x d y d y d x d x d y
2 y d y d x 2 y d x d y y + x d y d x y + x d x d y ( f − 1 ) ′ ( b ) = 1 f ′ ( a ) ( f − 1 ) ′ ( b ) = f ′ ( a ) 1 f ( a ) = b f ( a ) = b f ′ ( a ) ≠ 0 f ′ ( a ) = 0 1 1 + x 2 1 + x 2 1 d d x x r = r x r − 1 d x d x r = r x r − 1 미분을 모두 마친 뒤에 대입합니다.
기호
읽는 법
뜻
F ( x , y ) = 0 F ( x , y ) = 0 음함수
y y
\dfrac{dy}
음함수 미분의 결과
x x y y
( f − 1 ) ′ ( f − 1 ) ′ 역함수의 도함수
원래 도함수의 역수입니다
arcsin arcsin arctan arctan 역삼각함수
정의역을 제한한 삼각함수의 역함수입니다
\dfrac{dr}
시간에 대한 변화율
관련 변화율에서 쓰는 표기입니다
다음 41강에서는 도함수를 다시 미분합니다. 두 번 미분한 것이 그래프의 휘어짐을 나타내고, 그 관점이 44강의 볼록성과 57강의 테일러 근사로 이어집니다.