도함수 f′도 하나의 함수입니다. 그렇다면 그것을 다시 미분할 수 있습니다.
이 관찰이 사소해 보이지만 얻는 것이 큽니다. 위치를 미분하면 속도이고 속도를 다시 미분하면 가속도입니다. 뉴턴의 운동법칙 F=ma가 위치의 두 번 미분에 대한 식이므로, 물리 법칙을 쓰려면 반드시 두 번 미분해야 합니다.
기하학적으로도 새 정보가 나옵니다. 일차 도함수가 그래프의 기울기라면 이차 도함수는 그 기울기가 어떻게 변하는지, 즉 그래프가 어느 쪽으로 휘는지를 말해 줍니다. 44강의 볼록성과 57강의 테일러 근사가 모두 여기서 출발합니다.
- 고계도함수를 정의하고 여러 표기법으로 쓸 수 있습니다.
- 이차 도함수를 가속도와 그래프의 휘어짐으로 읽을 수 있습니다.
- 자주 쓰는 함수의 n계도함수를 일반식으로 구할 수 있습니다.
- 라이프니츠 규칙으로 곱의 고계도함수를 구할 수 있습니다.
- Cn 계층을 정의하고 각 계층이 실제로 다름을 예로 보일 수 있습니다.
문제. 물체의 위치가 s(t)=t3−6t2+9t입니다.
(1) 속도와 가속도를 구하세요.
(2) 물체가 멈추는 시각을 구하세요.
(3) 속도가 가장 느린 시각을 구하세요.
생각의 실마리. 37강에서 위치를 미분하면 속도라고 했습니다. 속도도 시간의 함수이므로 다시 미분할 수 있고, 그것이 속도의 변화율입니다. (3)에서 속도가 가장 느린 시각은 속도 함수의 최솟값을 주는 시각이며, 그것을 찾으려면 속도를 미분해야 합니다.
풀이. (1) 위치를 미분해 속도를 얻습니다.
v(t)=s′(t)=3t2−12t+9
속도를 다시 미분해 가속도를 얻습니다.
a(t)=v′(t)=s′′(t)=6t−12
(2) 멈춘다는 것은 속도가 0이라는 뜻입니다.
3t2−12t+9=3(t2−4t+3)=3(t−1)(t−3)=0
t=1과 t=3입니다.
(3) 속도 v(t)=3t2−12t+9는 6강에서 본 대로 아래로 볼록한 이차함수이므로 꼭짓점에서 최소입니다. 완전제곱으로 고치면
v(t)=3(t−2)2−3
이므로 t=2에서 최솟값 −3입니다. 가속도로도 확인됩니다. a(t)=6t−12=0에서 t=2이고, 그 앞뒤로 가속도의 부호가 음에서 양으로 바뀌므로 속도가 감소하다 증가합니다.
이 문제에서 배우는 것: 고계도함수.
f′을 다시 미분한 것을 이계도함수라 하고 f′′으로 씁니다. 계속 미분한 것을 고계도함수라 합니다.
표기법을 정리합니다.
| 계수 |
프라임 표기 |
라이프니츠 표기 |
괄호 표기 |
| 1 |
f′ |
\dfrac{dy} |
f^ |
| 2 |
f′′ |
dx2d2y |
f^ |
| 3 |
f′′′ |
dx3d3y |
f^ |
| n |
|
dxndny |
f^ |
프라임은 보통 세 번까지만 쓰고 그 이상은 f(4)처럼 괄호 안에 숫자를 씁니다. f(n)과 fn은 전혀 다릅니다. 앞은 n번 미분한 것이고 뒤는 n제곱입니다.
라이프니츠 표기에서 위와 아래의 위치가 다른 점도 확인합니다. 분자에는 d2y로 d에 지수가 붙고 분모에는 dx2로 x에 지수가 붙습니다. 이것은 dxd(dxdy)를 줄여 쓴 결과입니다.
물리적 의미를 정리합니다.
| 대상 |
뜻 |
| s(t) |
위치 |
| s′(t)=v(t) |
속도 |
| s′′(t)=a(t) |
가속도 |
| s′′′(t) |
가속도의 변화율 |
F=ma가 이계도함수에 대한 식이므로 물리 법칙은 대개 이계 미분방정식입니다. 이것이 미적분학이 물리학과 함께 발전한 이유입니다.
바로 확인.
확인 1-1. f(x)=x4−3x2의 f′′을 구하세요.
답. f′=4x3−6x이고 f′′=12x2−6입니다.
확인 1-2. s(t)=t2+5t일 때 가속도를 구하세요.
답. v=2t+5이고 a=2입니다. 가속도가 상수입니다.
확인 1-3. f(3)과 f3의 차이를 쓰세요.
답. 앞은 세 번 미분한 것이고 뒤는 세제곱입니다.
문제. f(x)=x2과 g(x)=−x2에 대하여
(1) 각각의 f′′과 g′′을 구하세요.
(2) 두 그래프의 모양과 부호가 어떻게 대응하는지 말하세요.
(3) h(x)=x3에서 h′′의 부호가 바뀌는 점을 찾고 그 점에서 무슨 일이 일어나는지 보세요.
생각의 실마리. (2)에서 두 포물선의 차이는 열린 방향입니다. 이차 도함수의 부호와 그 방향을 짝지어 봅니다. (3)에서 부호가 바뀌면 휘는 방향이 바뀔 것이므로, 그 점 근처의 그래프 모양을 살핍니다.
풀이. (1) f′=2x이고 f′′=2>0입니다. g′=−2x이고 g′′=−2<0입니다.
(2) f=x2은 위로 열린 포물선이고 f′′>0입니다. g=−x2은 아래로 열린 포물선이고 g′′<0입니다.
이차 도함수가 양수면 위로 열리고 음수면 아래로 열립니다. 이유는 이차 도함수가 기울기의 변화율이기 때문입니다. f′′>0이면 기울기가 계속 커지므로 그래프가 왼쪽에서 오른쪽으로 가며 점점 가팔라지고, 그 결과 위로 굽습니다.
(3) h=x3이면 h′=3x2이고 h′′=6x입니다. h′′은 x=0에서 부호가 음에서 양으로 바뀝니다.
x<0에서는 h′′<0이라 아래로 굽고, x>0에서는 h′′>0이라 위로 굽습니다. x=0에서 휘는 방향이 바뀝니다.
이 문제에서 배우는 것: 이차 도함수와 그래프의 휘어짐.
| f′′의 부호 |
기울기 |
그래프 모양 |
| f′′>0 |
증가합니다 |
아래로 볼록 (위로 열림) |
| f′′<0 |
감소합니다 |
위로 볼록 (아래로 열림) |
| f′′의 부호가 바뀜 |
증가에서 감소로 또는 반대 |
휘는 방향이 바뀝니다 |
세 번째 경우의 점을 변곡점이라 하며 44강에서 정식으로 다룹니다. 여기서는 이름만 확인해 둡니다.
"볼록"이라는 말의 방향에 주의합니다. 한국어 관례에서 아래로 볼록은 그릇 모양, 즉 위로 열린 모양입니다. f′′>0이 아래로 볼록입니다. 헷갈리면 f=x2이 기준이라고 기억합니다.
일차 도함수와 이차 도함수가 주는 정보를 구분해 둡니다.
- f′은 어느 쪽으로 가는지를 말합니다. 증가인지 감소인지입니다.
- f′′은 어떻게 굽는지를 말합니다. 그 증가가 점점 빨라지는지 느려지는지입니다.
두 정보가 독립적이라는 점이 중요합니다. 증가하면서 아래로 볼록할 수도 있고 증가하면서 위로 볼록할 수도 있습니다. 앞은 가속하며 커지는 것이고 뒤는 감속하며 커지는 것입니다. 13강의 지수함수 ex가 앞쪽이고 14강의 로그함수 lnx가 뒤쪽입니다.
바로 확인.
확인 2-1. f(x)=ex의 f′′을 구하고 볼록 방향을 말하세요.
답. f′′=ex>0이므로 어디서나 아래로 볼록합니다.
확인 2-2. f(x)=lnx의 f′′을 구하고 볼록 방향을 말하세요.
답. f′=x1이고 f′′=−x21<0이므로 x>0에서 위로 볼록합니다.
확인 2-3. f(x)=sinx가 (0,π)에서 어느 쪽으로 볼록합니까?
답. f′′=−sinx이고 그 구간에서 sinx>0이므로 f′′<0입니다. 위로 볼록합니다.
문제. 다음 함수들의 n계도함수를 일반식으로 구하세요.
(1) f(x)=ex
(2) f(x)=xm (m은 자연수)
(3) f(x)=x1
(4) f(x)=sinx
생각의 실마리. 각각을 몇 번 미분해 보고 규칙을 추측한 뒤 25강의 귀납법으로 확인합니다. (2)에서는 n이 m을 넘으면 어떻게 되는지 따로 봅니다. (4)에서는 39강에서 본 주기 4 순환을 하나의 식으로 묶을 방법을 찾습니다.
풀이. (1) ex은 미분해도 자기 자신이므로
f(n)(x)=ex
(2) 차례로 미분합니다.
f′=mxm−1,f′′=m(m−1)xm−2,f′′′=m(m−1)(m−2)xm−3
규칙이 보입니다. n≤m일 때
f(n)(x)=m(m−1)⋯(m−n+1)xm−n=(m−n)!m!xm−n
19강의 순열 기호로 mPnxm−n입니다. 특히 n=m이면 f(m)=m!으로 상수이고, n>m이면 f(n)=0입니다.
(3) f=x−1로 보고 멱법칙을 반복합니다.
f′=−x−2,f′′=2x−3,f′′′=−6x−4
부호가 번갈아 바뀌고 계수가 계승으로 자랍니다.
f(n)(x)=(−1)nn!x−(n+1)=xn+1(−1)nn!
(4) 39강에서 확인한 순환을 씁니다.
sinx→cosx→−sinx→−cosx→sinx
주기가 4이므로 n을 4로 나눈 나머지로 갈립니다. 하나의 식으로 묶으면
f(n)(x)=sin(x+2nπ)
확인해 봅니다. n=1이면 sin(x+2π)=cosx이고, n=2이면 sin(x+π)=−sinx로 맞습니다. 16강의 위상이동이 여기서 미분을 나타냅니다.
이 문제에서 배우는 것: 자주 쓰는 n계도함수.
| f |
f^ |
| e^ |
e^ |
| e^ |
a^{n}e^ |
| xm (n≤m) |
\dfrac{m!}{(m-n)!}x^ |
| xm (n>m) |
0 |
| \dfrac{1} |
xn+1(−1)nn! |
| lnx |
xn(−1)n−1(n−1)! |
| sinx |
sin(x+2nπ) |
| cosx |
cos(x+2nπ) |
lnx의 항목은 (lnx)′=x1이므로 (3)의 결과를 한 칸 밀면 나옵니다.
두 번째 줄에서 m차 다항식은 m+1번 미분하면 0이 된다는 사실이 중요합니다. 다항식이 유한한 정보만 담고 있다는 뜻이며, 이 성질이 56강의 테일러 급수에서 다항식과 초월함수를 가르는 기준이 됩니다. ex는 아무리 미분해도 사라지지 않으므로 무한급수가 필요합니다.
sin의 결과를 위상으로 적을 수 있다는 점도 인상적입니다. 미분이 그래프를 2π만큼 왼쪽으로 미는 연산이 되며, 이 관점은 59강의 푸리에 급수에서 미분이 각 주파수 성분에 곱셈으로 작용하는 성질로 확장됩니다.
바로 확인.
확인 3-1. f(x)=x5의 f(3)을 구하세요.
답. 2!5!x2=60x2입니다.
확인 3-2. f(x)=x4의 f(5)를 구하세요.
답. 0입니다. 4차 다항식은 5번 미분하면 사라집니다.
확인 3-3. f(x)=e3x의 f(n)을 구하세요.
답. 연쇄법칙으로 매번 3이 곱해지므로 3ne3x입니다.
문제. (1) (fg)′′을 곱의 미분법으로 두 번 미분해 구하세요.
(2) (fg)′′′을 구하고 계수의 규칙을 찾으세요.
(3) dx10d10(x2ex)를 구하세요.
생각의 실마리. (1)과 (2)에서 나오는 계수를 나열해 보면 20강에서 본 수와 같아 보일 것입니다. 어느 삼각형인지 확인하고, 그렇다면 일반식을 곧바로 쓸 수 있습니다. (3)에서 x2이 세 번 미분하면 사라진다는 문제 3의 결과를 씁니다.
풀이. (1) (fg)′=f′g+fg′을 다시 미분합니다.
(fg)′′=(f′′g+f′g′)+(f′g′+fg′′)=f′′g+2f′g′+fg′′
(2) 한 번 더 미분합니다.
(fg)′′′=f′′′g+3f′′g′+3f′g′′+fg′′′
계수가 1,2,1과 1,3,3,1입니다. 20강의 파스칼 삼각형과 같습니다. 따라서 일반식은
(fg)(n)=k=0∑n(kn)f(n−k)g(k)
(3) f=ex, g=x2로 둡니다. g의 도함수는 g′=2x, g′′=2이고 k≥3이면 g(k)=0입니다. 따라서 합에서 k=0,1,2만 남습니다.
(010)ex⋅x2+(110)ex⋅2x+(210)ex⋅2
=ex(x2+20x+90)
(110)=10이고 (210)=45이므로 계수가 10⋅2=20과 45⋅2=90입니다.
이 문제에서 배우는 것: 라이프니츠 규칙.
(fg)(n)=k=0∑n(kn)f(n−k)g(k)
이것을 라이프니츠 규칙이라고 합니다. 20강의 이항정리
(a+b)n=k=0∑n(kn)an−kbk
와 모양이 완전히 같습니다. 거듭제곱 자리에 미분 횟수가 들어간 것뿐입니다.
두 식이 닮은 이유가 있습니다. 이항정리는 (a+b)를 n번 곱할 때 각 괄호에서 a나 b를 고르는 셈이었습니다. 라이프니츠 규칙은 곱 fg를 n번 미분할 때 매번 f를 미분할지 g를 미분할지 고르는 셈입니다. 두 선택 문제가 같은 구조이므로 같은 계수가 나옵니다.
증명은 25강의 귀납법으로 합니다. 귀납 단계에서 (kn)+(k−1n)=(kn+1)라는 20강의 파스칼 항등식이 그대로 쓰입니다.
(3)에서 쓴 요령도 중요합니다. 한쪽이 다항식이면 유한 개의 항만 남습니다. m차 다항식은 m+1번 미분하면 0이 되므로 k≤m인 항만 살아남고, 계산이 n에 관계없이 짧아집니다.
바로 확인.
확인 4-1. (fg)′′을 쓰세요.
답. f′′g+2f′g′+fg′′입니다.
확인 4-2. dx5d5(xex)를 구하세요.
답. g=x이므로 k=0,1만 남습니다. ex⋅x+5ex⋅1=ex(x+5)입니다.
확인 4-3. 라이프니츠 규칙과 이항정리가 같은 모양인 이유를 쓰세요.
답. 둘 다 n번의 선택에서 각 단계에 두 대상 중 하나를 고르는 셈이기 때문입니다.
문제. (1) f(x)=x∣x∣의 f′과 f′′을 구하세요.
(2) f가 몇 번까지 미분가능합니까?
(3) 임의의 n에 대해 n번은 미분되지만 n+1번은 안 되는 함수를 만드세요.
생각의 실마리. (1)에서 절댓값이 있으므로 부호로 경우를 나눕니다. 37강 문제 15에서 이 함수가 x=0에서 미분가능함을 이미 확인했습니다. 그 도함수를 구한 뒤 다시 미분할 수 있는지 봅니다.
풀이. (1) 경우를 나눕니다. x≥0이면 f(x)=x2이고 x<0이면 f(x)=−x2입니다.
f′(x)={2x,−2x,x>0x<0
x=0에서는 37강 문제 15에서 f′(0)=0임을 확인했습니다. 두 조각이 0에서 이어지므로
f′(x)=2∣x∣
입니다. 이제 f′′을 봅니다. 2∣x∣는 37강 문제 3에서 본 대로 x=0에서 미분 불가능합니다.
f′′(x)={2,−2,x>0x<0
이고 x=0에서는 존재하지 않습니다.
(2) 모든 실수에서 한 번 미분가능하고 x=0을 뺀 곳에서 두 번 미분가능합니다. 즉 정확히 한 번까지 전 구간에서 미분됩니다.
(3) fn(x)=xn∣x∣로 두면 됩니다. 미분할 때마다 지수가 하나씩 줄어들어 n번 미분하면 (n+1)!∣x∣의 상수배가 남고, 그것을 한 번 더 미분하면 x=0에서 막힙니다.
이 문제에서 배우는 것: Cn 계층.
f가 n번 미분가능하고 f(n)까지 연속일 때 f가 Cn 급이라고 하고 f∈Cn으로 씁니다.
| 기호 |
뜻 |
| C^ |
연속입니다 |
| C^ |
미분가능하고 도함수가 연속입니다 |
| C^ |
n번 미분가능하고 f(n)이 연속입니다 |
| C^ |
몇 번이든 미분할 수 있습니다 |
포함 관계는 다음과 같습니다.
C∞⊂⋯⊂C2⊂C1⊂C0
모든 포함이 진부분집합입니다. (3)에서 만든 xn∣x∣가 각 단계에서 실제로 갈라짐을 보여 주는 예입니다. 37강 문제 3에서 ∣x∣가 연속인데 미분 불가능함을 보인 것이 C0=C1의 증거였고, 이제 모든 n에서 같은 일을 확인했습니다.
37강 심화 4에서 만난 x2sinx1도 여기에 자리를 잡습니다. 그 함수는 미분가능하지만 도함수가 x=0에서 불연속이므로 C1이 아닙니다. 미분가능한 것과 C1인 것은 다릅니다.
계층이 필요한 이유는 뒤의 정리들이 서로 다른 계층을 요구하기 때문입니다.
| 정리 |
요구 조건 |
| 36강 중간값 정리 |
C^ |
| 42강 평균값 정리 |
연속이고 내부에서 미분가능 |
| 44강 볼록성 판정 |
C^ |
| 57강 테일러 정리 |
C^ |
정리를 적용하기 전에 함수가 요구되는 계층에 속하는지 확인하는 것이 이 계층을 만든 목적입니다.
대부분의 초등함수는 정의된 곳에서 C∞입니다. 다항함수, 지수함수, 삼각함수가 모두 그렇습니다. 그래서 실전에서 계층을 따지는 일은 절댓값이나 조각별 정의가 섞였을 때 주로 생깁니다.
바로 확인.
확인 5-1. ∣x∣는 어느 계층에 속합니까?
답. C0입니다. 연속이지만 x=0에서 미분 불가능하므로 C1이 아닙니다.
확인 5-2. x2∣x∣는 몇 번까지 미분됩니까?
답. 두 번입니다. f′=3x∣x∣, f′′=6∣x∣이고 세 번째에서 막힙니다.
확인 5-3. 미분가능한데 C1이 아닌 예를 드세요.
답. x2sinx1 (단 f(0)=0)입니다. 미분가능하지만 도함수가 0에서 불연속입니다.
| 표기 |
뜻 |
| f′′, dx2d2y, f^ |
이계도함수 |
| f^ |
n계도함수 (fn과 다릅니다) |
| C^ |
n번 미분가능하고 f(n)이 연속 |
| f |
f^ |
| e^ |
a^{n}e^ |
| x^ |
(m−n)!m!xm−n (n≤m), 0 (n>m) |
| \dfrac{1} |
xn+1(−1)nn! |
| lnx |
xn(−1)n−1(n−1)! |
| sinx |
sin(x+2nπ) |
| 해석 |
f′ |
f′′ |
| 물리 |
속도 |
가속도 |
| 그래프 |
기울기 |
휘는 방향 |
| 부호가 양수 |
증가 |
아래로 볼록 |
| 부호가 음수 |
감소 |
위로 볼록 |
| 규칙 |
식 |
| 라이프니츠 |
(fg)^{(n)}=\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}f^{(n-k)}g^ |
문제 6. f(x)=x5−2x3+x의 f′′을 구하세요.
답. f′=5x4−6x2+1이고 f′′=20x3−12x입니다.
문제 7. f(x)=e2x의 f(4)를 구하세요.
답. 24e2x=16e2x입니다.
문제 8. f(x)=sinx의 f(6)을 구하세요.
답. 6=4+2이므로 f(2)과 같아 −sinx입니다.
문제 9. f(x)=x6의 f(4)를 구하세요.
답. 2!6!x2=360x2입니다.
문제 10. f(x)=x1의 f(3)을 구하세요.
답. x4(−1)33!=−x46입니다.
문제 11. f(x)=lnx의 f(2)를 구하고 볼록 방향을 말하세요.
답. −x21이며 음수이므로 위로 볼록합니다.
문제 12. s(t)=t3−3t일 때 가속도가 0이 되는 시각을 구하세요.
답. a=s′′=6t이므로 t=0입니다.
문제 13. (fg)′′을 전개해서 쓰세요.
답. f′′g+2f′g′+fg′′입니다.
문제 14. dx7d7(xex)를 구하세요.
답. 라이프니츠 규칙에서 k=0,1만 남아 ex(x+7)입니다.
문제 15. dx4d4(x2sinx)를 구하세요.
답. g=x2이므로 k≤2만 남습니다. sin(4)=sin, sin(3)=−cos, sin(2)=−sin이므로 x2sinx+4⋅(−cosx)⋅2x+6⋅(−sinx)⋅2=(x2−12)sinx−8xcosx입니다.
문제 16. m차 다항식을 m+1번 미분하면 무엇이 됩니까?
답. 0입니다. 미분할 때마다 차수가 하나씩 줄어들기 때문입니다.
문제 17. C1과 미분가능의 차이를 예로 설명하세요.
답. x2sinx1은 미분가능하지만 도함수가 0에서 불연속이라 C1이 아닙니다. C1은 도함수의 연속까지 요구합니다.
문제 18. f′′>0인 구간에서 그래프는 어느 쪽으로 볼록합니까?
답. 아래로 볼록합니다. 기울기가 증가하므로 위로 열린 모양이 됩니다.
심화 1. 라이프니츠 규칙을 25강의 귀납법으로 증명하세요.
답. 파스칼 항등식이 귀납 단계의 핵심입니다.
풀이. n=1이면 곱의 미분법 그대로입니다. P(n)을 가정하고 양변을 한 번 더 미분합니다.
(fg)(n+1)=k=0∑n(kn)(f(n−k+1)g(k)+f(n−k)g(k+1))
두 합으로 나누고 뒤쪽에서 j=k+1로 31강의 지표 이동을 합니다.
=k=0∑n(kn)f(n+1−k)g(k)+j=1∑n+1(j−1n)f(n+1−j)g(j)
같은 지표의 항끼리 계수를 더하면 20강의 파스칼 항등식에 의해
(kn)+(k−1n)=(kn+1)
이므로 P(n+1)이 나옵니다.
남는 것. 31강에서 익힌 지표 이동이 결정적이었습니다. 두 합의 지표를 맞춰야 계수를 더할 수 있고, 그 뒤에는 파스칼 항등식이 자동으로 처리합니다. 20강의 이항정리를 귀납법으로 증명할 때와 완전히 같은 구조이며, 두 정리가 같은 이유를 가진다는 것이 증명에서도 확인됩니다.
심화 2. f′′(a)를 차분몫으로 직접 표현하세요.
답. f′′(a)=h→0limh2f(a+h)−2f(a)+f(a−h)입니다.
풀이. f′′은 f′의 차분몫의 극한입니다. f′을 다시 대칭 차분몫으로 쓰면
f′′(a)≈hf′(a+2h)−f′(a−2h)
이고 각 f′을 다시 차분몫으로 바꾸면
≈h1(hf(a+h)−f(a)−hf(a)−f(a−h))=h2f(a+h)−2f(a)+f(a−h)
가 됩니다. 이 식을 이차 차분이라고 하며, 실제로 f가 C2이면 극한이 정확히 f′′(a)입니다.
남는 것. 계수가 1,−2,1입니다. 부호를 포함한 이항계수와 같으며, 라이프니츠 규칙에서 본 대응이 여기서도 나타납니다. 이 이차 차분은 수치해석에서 라플라시안을 이산화할 때 그대로 쓰이고, 449강 이후의 수치 계산에서 다시 만납니다.
심화 3. f가 C2이고 f′′>0이면 그래프가 어느 접선보다도 위에 있음을 설명하세요.
답. 접선과의 차이의 이계도함수가 양수이기 때문입니다.
풀이. 점 a에서의 접선을 L(x)=f(a)+f′(a)(x−a)라 하고 g=f−L로 둡니다. 그러면
g(a)=0,g′(a)=f′(a)−f′(a)=0,g′′=f′′>0
입니다. g′의 도함수가 양수이므로 g′은 증가하고, g′(a)=0이므로 x<a에서 g′<0이고 x>a에서 g′>0입니다. 따라서 g는 a에서 최소이고 g(a)=0이므로 모든 곳에서 g≥0, 즉 f≥L입니다.
남는 것. "g′이 음수이면 감소한다"는 단계에는 42강의 평균값 정리가 필요합니다. 여기서는 결과를 미리 쓰고 근거는 다음 단원에 맡깁니다. 이 성질이 44강에서 볼록함수의 정의가 되며, 106강 이후 최적화에서 볼록성이 전역 최솟값을 보장하는 이유가 정확히 이 접선 부등식입니다.
심화 4. C∞인데 테일러 급수가 자기 자신과 다른 함수가 있습니까?
답. 있습니다.
풀이. 다음 함수가 그런 예입니다.
f(x)={e−1/x2,0,x=0x=0
이 함수는 C∞이고 x=0에서 모든 계도함수가 0입니다. 지수적으로 작아지는 e−1/x2이 어떤 다항식보다도 빠르게 0으로 가기 때문이며, 정확한 확인은 45강의 로피탈 정리로 합니다.
따라서 x=0에서의 테일러 급수는 모든 계수가 0이라 항등적으로 0인 급수입니다. 그러나 f 자신은 x=0에서 양수이므로 둘이 다릅니다.
남는 것. C∞인 것과 테일러 급수로 표현되는 것은 다릅니다. 뒤쪽 성질을 해석적이라고 하며 더 강한 조건입니다. 56강에서 테일러 급수를 다룰 때 "수렴한다"와 "원래 함수로 수렴한다"를 구분해야 하는 이유가 이 예에 있습니다. 참고로 이 함수는 매끄러운 절단 함수를 만드는 재료로 쓰입니다.
심화 5. f(x)=xn∣x∣가 정확히 n번 미분가능함을 확인하세요.
답. 미분할 때마다 지수가 하나씩 줄어 n번째에 ∣x∣가 남습니다.
풀이. x>0에서 f=xn+1이고 x<0에서 f=−xn+1이므로 두 경우를 합쳐
f(x)=xn∣x∣
입니다. 한 번 미분하면 x>0에서 (n+1)xn이고 x<0에서 −(n+1)xn이므로
f′(x)=(n+1)xn−1∣x∣
입니다. 같은 꼴이 지수만 하나 줄어 반복되므로 k≤n에서
f(k)(x)=(n+1−k)!(n+1)!xn−k∣x∣
이고 k=n이면 (n+1)!∣x∣입니다. 이것은 37강 문제 3에 의해 x=0에서 미분 불가능하므로 n+1번째에서 막힙니다.
남는 것. 각 n에 대해 Cn이지만 Cn+1이 아닌 함수를 실제로 만들었습니다. 이로써 계층의 포함이 모두 진부분집합임이 확인되며, Cn 계층이 형식적인 구분이 아니라 실제로 다른 대상을 가른다는 것을 보여 줍니다.
심화 6. f′′의 부호가 바뀌는 점에서 반드시 f′′=0입니까?
답. f′′이 그 점에서 연속이면 그렇지만 일반적으로는 아닙니다.
풀이. f′′이 연속이면 36강의 중간값 정리에 의해 부호가 바뀌는 사이에 0을 지나야 합니다.
그러나 f′′이 불연속이면 0을 건너뛸 수 있습니다. 문제 5의 f(x)=x∣x∣가 그 예입니다. f′′은 x>0에서 2이고 x<0에서 −2로 부호가 바뀌지만, x=0에서 f′′이 아예 존재하지 않으므로 f′′=0인 점이 없습니다.
남는 것. 44강에서 변곡점을 찾을 때 "f′′=0인 점을 찾는다"고 배우는데, 그 절차가 통하려면 f∈C2이라는 조건이 필요합니다. 정리의 가정을 확인하지 않고 절차만 따르면 이런 예를 놓칩니다. 36강에서 정리의 가정마다 막고 있는 반례가 있다고 한 것이 여기서도 그대로입니다.
고계도함수는 수치미분을 반복하면 오차가 급격히 커집니다. 그래서 손으로 구한 일반식끼리 대조하거나, 이차 차분처럼 한 번에 계산하는 식을 씁니다.
import numpy as np
from math import factorial
x = np.linspace(1.0, 3.0, 6)
# 심화 2: 이차 차분으로 f'' 을 한 번에 계산합니다.
def d2(fn, t, h=1e-4):
return (fn(t + h) - 2*fn(t) + fn(t - h)) / h**2
print(np.allclose(d2(lambda t: t**4, x), 12*x**2, rtol=1e-5)) # True
print(np.allclose(d2(np.exp, x), np.exp(x), rtol=1e-5)) # True
print(np.allclose(d2(np.sin, x), -np.sin(x), atol=1e-5)) # True
print(np.allclose(d2(np.log, x), -1/x**2, rtol=1e-5)) # True
# 문제 3: x^m 의 n계도함수
m = 6
for n in (1, 3, 6, 7):
coef = factorial(m) // factorial(m - n) if n <= m else 0
print(n, coef)
# 1 6
# 3 120
# 6 720
# 7 0
# 문제 3: 1/x 의 n계도함수 부호가 번갈아 바뀝니다.
print([(-1)**n * factorial(n) for n in range(5)]) # [1, -1, 2, -6, 24]
# 문제 3: sin 의 n계도함수는 위상이동입니다.
t = np.linspace(0.2, 1.4, 5)
cyc = [np.sin, np.cos, lambda s: -np.sin(s), lambda s: -np.cos(s)]
print([bool(np.allclose(np.sin(t + n*np.pi/2), cyc[n % 4](t))) for n in range(6)])
# [True, True, True, True, True, True]
# 문제 4: 라이프니츠 규칙으로 구한 10계도함수
xs = np.linspace(0.5, 2.0, 5)
lhs = np.exp(xs) * (xs**2 + 20*xs + 90)
# 다항식 계수를 직접 밀어 확인합니다: (x^2 e^x)^(n) = e^x (x^2 + 2n x + n(n-1))
n = 10
rhs = np.exp(xs) * (xs**2 + 2*n*xs + n*(n - 1))
print(np.allclose(lhs, rhs)) # True
# 문제 5: x|x| 의 f'' 은 0 에서 부호가 뛰고 값이 없습니다.
g = lambda t: t * np.abs(t)
pts = np.array([-0.5, -0.1, 0.1, 0.5])
print(np.round(d2(g, pts, 1e-3), 4)) # [-2. -2. 2. 2.]
print(round(float(d2(g, np.array([0.0]), 1e-3)[0]), 6)) # 0.0
# 심화 4: e^(-1/x^2) 은 0 근처에서 어떤 다항식보다 빠르게 0 으로 갑니다.
e = np.array([0.5, 0.2, 0.1, 0.05])
print([float(f"{np.exp(-1/v**2):.3g}") for v in e])
# [0.0183, 1.39e-11, 3.72e-44, 1.92e-174]
출력이 주석과 모두 일치합니다. 마지막에서 두 번째 검산이 심화 6을 보여 줍니다. x∣x∣의 이차 차분이 음수 쪽에서 −2이고 양수 쪽에서 2로 부호가 뛰는데, x=0에서는 좌우가 상쇄되어 0.0이 나옵니다. 이 0은 이계도함수의 값이 아니라 좌우 값이 대칭이라 상쇄된 결과이며, 실제로 f′′(0)은 존재하지 않습니다. 코드가 숫자를 돌려주었다고 도함수가 있는 것이 아니라는 37강의 경고가 여기서도 유효합니다.
마지막 검산에서 e−1/x2이 얼마나 빠르게 작아지는지 보입니다. x를 0.5에서 0.05로 열 배만 줄였는데 값이 0.0183에서 1.92×10−174까지 떨어집니다. 어떤 다항식도 이 속도로 작아지지 않으므로 xnf(x)이 모든 n에서 0으로 가고, 그것이 심화 4에서 모든 계도함수가 0이 되는 이유입니다. 다만 이 관찰은 짐작일 뿐이고 증명은 45강의 로피탈 정리로 해야 합니다.
- f′′의 세 가지 표기법을 쓰세요.
- f(n)과 fn의 차이는 무엇입니까?
- 위치를 두 번 미분하면 무엇입니까?
- f′′>0이면 그래프는 어느 쪽으로 볼록합니까?
- xm을 m+1번 미분하면 무엇이 됩니까?
- sinx의 n계도함수를 하나의 식으로 쓰세요.
- 라이프니츠 규칙을 쓰세요.
- C1과 미분가능의 차이는 무엇입니까?
정답.
- f′′, dx2d2y, f(2)입니다.
- 앞은 n번 미분한 것이고 뒤는 n제곱입니다.
- 가속도입니다.
- 아래로 볼록합니다.
- 0입니다.
- sin(x+2nπ)입니다.
- (fg)(n)=k=0∑n(kn)f(n−k)g(k)입니다.
- C1은 도함수의 연속까지 요구하므로 더 강한 조건입니다.
| 기호 |
읽는 법 |
뜻 |
| f′′ |
에프 투 프라임 |
이계도함수입니다 |
| f^ |
에프 엔계도함수 |
n번 미분한 것입니다 |
| dxndny |
디 엔 와이 디 엑스 엔 |
같은 것의 라이프니츠 표기입니다 |
| C^ |
씨 엔 급 |
n번 미분가능하고 f(n)이 연속입니다 |
| C^ |
씨 무한 급 |
몇 번이든 미분할 수 있습니다 |
| 변곡점 |
inflection point |
휘는 방향이 바뀌는 점입니다 |
이 강의로 02단원 미분이 끝납니다. 37강에서 도함수를 정의하고, 38강에서 조합 규칙을 세우고, 39강에서 초월함수를 채우고, 40강에서 음함수와 역함수까지 넓히고, 41강에서 반복 미분을 다뤘습니다. 이제 어떤 초등함수든 몇 번이든 미분할 수 있습니다.
다음 42강부터 시작하는 03단원에서는 이 계산 능력을 함수의 모양을 읽는 데 씁니다. 그 출발점이 평균값 정리이며, 심화 3에서 근거 없이 쓴 "도함수가 양수이면 증가한다"가 그때 증명됩니다.