이 문제집은 42강부터 47강까지의 도구를 섞어 다시 묻습니다. 계산도 있지만 판정을 요구하는 문제의 비중이 앞 단원보다 훨씬 큽니다.
이 단원의 판정법들은 모두 한쪽 방향으로만 성립합니다. 문제를 풀며 방향을 거꾸로 쓰고 있지 않은지 계속 확인하십시오.
| 참인 방향 |
거짓인 방향 |
반례 |
| f′>0 ⇒ 순증가 |
순증가 ⇒ f′>0 |
x^ |
| f′′>0 ⇒ 순볼록 |
순볼록 ⇒ f′′>0 |
x^ |
| 극값점 ⇒ 임계점 |
임계점 ⇒ 극값점 |
x3의 x=0 |
| f′′ 부호 변화 ⇒ 변곡점 |
f′′=0 ⇒ 변곡점 |
x4의 x=0 |
| g′f′ 수렴 ⇒ gf 수렴 |
gf 수렴 ⇒ g′f′ 수렴 |
\frac{x+\sin x} |
답을 보기 전에 반드시 손으로 먼저 씁니다.
문제 1. 롤의 정리의 세 가정과 결론을 쓰세요.
답. [a,b]에서 연속, (a,b)에서 미분가능, f(a)=f(b)입니다. 결론은 f′(c)=0인 c∈(a,b)가 존재한다는 것입니다.
문제 2. 롤의 정리를 증명하는 데 쓰는 두 정리를 쓰세요.
답. 36강의 최대·최소 정리와 42강의 페르마의 정리입니다.
문제 3. 평균값 정리를 값의 차이 꼴로 쓰세요.
답. f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)인 c∈(a,b)가 존재합니다.
문제 4. f(x)=x2−4x를 [0,4]에서 볼 때 롤의 정리가 주는 c를 구하세요.
답. f(0)=f(4)=0이고 f′(x)=2x−4=0에서 c=2입니다.
문제 5. f(x)=∣x∣를 [−1,1]에서 볼 때 롤의 정리의 결론이 성립하지 않는 이유를 쓰세요.
답. x=0에서 미분가능하지 않아 두 번째 가정이 깨지기 때문입니다. 실제로 f′(c)=0인 점이 하나도 없습니다.
문제 6. f′=0이면 상수라는 따름 정리에 반드시 필요한 조건은 무엇입니까?
답. 정의역이 하나의 구간이어야 합니다. 두 조각으로 끊겨 있으면 각 조각마다 다른 상수가 될 수 있습니다.
문제 7. f′(x)=g′(x)가 구간에서 성립하면 두 함수의 관계는 무엇입니까?
답. f(x)=g(x)+C입니다. 즉 상수만큼만 차이 납니다.
문제 8. 모든 x에서 ∣f′(x)∣≤K이면 f가 만족하는 부등식을 쓰세요.
답. ∣f(a)−f(b)∣≤K∣a−b∣입니다. 립시츠 연속이라 부릅니다.
문제 9. f(x)=x3−3x2+1의 증가 구간과 감소 구간을 구하세요.
답. f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)입니다. (−∞,0)과 (2,∞)에서 증가하고 (0,2)에서 감소합니다.
문제 10. 임계점의 정의를 두 경우로 나눠 쓰세요.
답. 정의역 내부의 점에서 f′=0이거나 f′이 존재하지 않는 점입니다.
문제 11. f(x)=x1/3의 x=0이 임계점인데 극값이 아닌 이유를 쓰세요.
답. f′이 존재하지 않아 임계점이지만, f′=31x−2/3이 좌우 모두 양수라 부호가 바뀌지 않기 때문입니다.
문제 12. f(x)=x4−8x2의 극값을 모두 구하세요.
답. f′(x)=4x3−16x=4x(x−2)(x+2)입니다. x=0에서 극댓값 0, x=±2에서 극솟값 16−32=−16입니다.
문제 13. f(x)=x3−3x의 [−2,3]에서 최댓값과 최솟값을 구하세요.
답. 임계점은 ±1입니다. 후보 −2,−1,1,3에서 값은 −2,2,−2,18이므로 최댓값 18, 최솟값 −2입니다.
문제 14. 닫힌구간의 최값 후보에 끝점을 반드시 넣어야 하는 이유를 쓰세요.
답. 끝점은 정의역 내부가 아니라 페르마의 정리가 적용되지 않으므로 임계점이 아닌데도 최값을 취할 수 있기 때문입니다.
문제 15. f′(x)=(x−2)2(x+1)일 때 극값의 위치를 판정하세요.
답. (x−2)2은 부호를 바꾸지 않으므로 x=2는 극값이 아닙니다. x=−1에서 음수에서 양수로 바뀌므로 극소입니다.
문제 16. f(x)=1/x가 각 구간에서 감소하는데 "실수 전체에서 감소한다"고 하면 안 되는 이유를 쓰세요.
답. 정의역이 두 구간으로 끊겨 있기 때문입니다. 실제로 f(−1)=−1<f(1)=1입니다.
문제 17. 한 점에서 f′>0이면 그 점 근처에서 증가합니까? 판정하세요.
답. 아닙니다. f(x)=2x+x2sinx1(단 f(0)=0)는 f′(0)=21>0이지만 0을 포함하는 어떤 구간에서도 증가하지 않습니다.
문제 18. f(x)=lnx−x의 극값을 구하세요. 정의역은 x>0입니다.
답. f′(x)=x1−1=x1−x이므로 x=1에서 극댓값 −1입니다.
문제 19. 아래로 볼록의 정의를 부등식으로 쓰세요.
답. 임의의 a<b와 t∈(0,1)에서 f((1−t)a+tb)≤(1−t)f(a)+tf(b)입니다.
문제 20. 볼록성을 f′의 성질로 바꿔 말하세요.
답. f′이 넓은 뜻으로 증가합니다.
문제 21. f′′>0에서 볼록성을 이끌어 낼 때 평균값 정리를 몇 번 쓰며 어디에 씁니까?
답. 두 번 씁니다. 세 점 a<c<b에서 [a,c]와 [c,b]에 각각 적용해 두 차분몫을 비교합니다.
문제 22. f(x)=x3−6x2+2의 변곡점을 구하세요.
답. f′′(x)=6x−12=0에서 x=2이고 부호가 바뀝니다. f(2)=8−24+2=−14이므로 변곡점은 (2,−14)입니다.
문제 23. f′′(c)=0인데 변곡점이 아닌 예를 들고 이유를 쓰세요.
답. f(x)=x4의 c=0입니다. f′′=12x2이 좌우 모두 양수라 볼록성이 바뀌지 않기 때문입니다.
문제 24. 2계 도함수 판정법의 세 경우를 쓰세요.
답. f′(c)=0일 때 f′′(c)>0이면 극소, f′′(c)<0이면 극대, f′′(c)=0이면 판정할 수 없습니다.
문제 25. f′(c)=f′′(c)=0인데 극소, 극대, 극값 아님이 각각 되는 함수를 하나씩 드세요.
답. c=0에서 x4는 극소, −x4는 극대, x3은 극값이 아닙니다.
문제 26. f(x)=xex의 극값과 변곡점을 구하세요.
답. f′=(1+x)ex이므로 x=−1에서 극솟값 −e−1입니다. f′′=(2+x)ex이므로 변곡점은 (−2,−2e−2)입니다.
문제 27. 볼록함수의 그래프와 접선의 위치 관계를 부등식으로 쓰세요.
답. f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)입니다. 그래프가 모든 접선 위에 있습니다.
문제 28. 젠센 부등식을 쓰고, f=−ln에 적용하면 무엇이 나오는지 쓰세요.
답. f(∑λixi)≤∑λif(xi)입니다. −ln에 적용하면 산술기하평균 부등식이 나옵니다.
문제 29. 삼차함수의 변곡점이 언제나 존재하는 이유를 쓰세요.
답. f′′(x)=6ax+2b가 a=0인 일차식이라 근이 반드시 하나 있고 그 점에서 부호가 바뀌기 때문입니다.
문제 30. 로피탈 정리의 네 가지 가정을 쓰세요.
답. 부정형일 것, 미분가능할 것, g′=0일 것, g′f′의 극한이 존재할 것입니다.
문제 31. 로피탈 정리의 증명에 평균값 정리가 아니라 코시 평균값 정리가 필요한 이유를 쓰세요.
답. 평균값 정리를 분자와 분모에 따로 적용하면 두 도함수를 서로 다른 점에서 평가하게 되어 비를 극한으로 넘길 수 없기 때문입니다.
문제 32. x→0limx3x−sinx을 구하세요.
답. 세 번 적용해 3x21−cosx→6xsinx→6cosx→61입니다.
문제 33. x→0+limxlnx를 구하세요.
답. 1/xlnx로 바꾸면 −1/x21/x=−x→0입니다.
문제 34. x→∞lim(1+x5)x를 구하세요.
답. lny=1/xln(1+5/x)이고 로피탈로 1+5/x5→5이므로 답은 e5입니다.
문제 35. 0+c가 부정형이 아닌 이유를 쓰세요.
답. 분모가 작은 양수이므로 몫이 반드시 커지며 다른 답이 나올 여지가 없기 때문입니다.
문제 36. x→∞limxx+sinx에 로피탈을 쓰면 어떻게 되고 참값은 무엇입니까?
답. 도함수 비 1+cosx가 진동해 극한이 없으므로 정리를 쓸 수 없습니다. 참값은 1입니다.
문제 37. xsinx→1을 로피탈로 증명하면 안 되는 이유를 쓰세요.
답. (sinx)′=cosx의 유도에 그 극한이 이미 쓰였으므로 결론을 전제로 삼는 순환논법이 되기 때문입니다.
문제 38. 로그, 거듭제곱, 지수함수의 성장 순서를 쓰세요.
답. (lnx)a≪xb≪ex입니다. 로그가 가장 느리고 지수함수가 가장 빠릅니다.
문제 39. 최적화 문제에서 목적함수와 제약조건의 차이를 쓰세요.
답. 목적함수는 최대화하거나 최소화할 대상이고 제약조건은 반드시 만족해야 하는 조건입니다.
문제 40. 둘레가 40인 직사각형의 최대 넓이를 구하세요.
답. A(x)=x(20−x)이고 x=10에서 최대이며 넓이는 100입니다.
문제 41. 거리를 최소화할 때 거리의 제곱을 대신 다뤄도 되는 근거를 쓰세요.
답. 제곱근이 0 이상에서 순증가해 크기 순서를 바꾸지 않으므로 최솟값을 취하는 자리가 같기 때문입니다.
문제 42. 무한구간에서 최솟값의 존재를 논증하는 방법을 쓰세요.
답. 양 끝에서 함숫값이 +∞로 감을 보여 바깥을 잘라내고, 남은 닫힌구간에 36강의 최대·최소 정리를 적용합니다.
문제 43. 평균비용이 최소인 곳에서 성립하는 등식과 그 이유를 쓰세요.
답. 한계비용과 평균비용이 같습니다. AC′=q2C′q−C=0에서 C′=qC가 나오기 때문입니다.
문제 44. 제곱오차와 절대오차를 각각 최소로 하는 대푯값을 쓰세요.
답. 각각 산술평균과 중앙값입니다.
문제 45. 뉴턴 반복식을 쓰고 기하학적 의미를 말하세요.
답. xn+1=xn−f′(xn)f(xn)이며, 접선이 x축과 만나는 점으로 이동합니다.
문제 46. 뉴턴법의 실패 방식 세 가지를 쓰세요.
답. 순환, 발산, f′(xn)=0에 의한 정지입니다.
문제 47. 뉴턴 사상 g(x)=x−f′(x)f(x)에서 g′(r)=0인 이유와 그 의미를 쓰세요.
답. g′=(f′)2ff′′의 분자에 f가 있고 f(r)=0이기 때문입니다. 이 사실이 이차 수렴의 근거입니다.
문제 48. 이분법과 뉴턴법의 장단점을 한 줄씩 쓰세요.
답. 이분법은 항상 수렴하지만 한 번에 한 비트만 얻어 느립니다. 뉴턴법은 자릿수가 두 배씩 늘어날 만큼 빠르지만 근 근처에서만 수렴이 보장됩니다.
48문항 중 맞힌 개수로 다음을 판단합니다.
| 정답 수 |
판단 |
| 43개 이상 |
04단원으로 넘어갑니다 |
| 34∼42개 |
틀린 문제가 속한 강의만 다시 읽고 넘어갑니다 |
| 33개 이하 |
42강부터 47강까지 다시 읽습니다 |
1부에서 절반 이하를 맞혔다면 반드시 되돌아갑니다. 평균값 정리를 이해하지 못한 채로는 이 단원의 나머지 다섯 강의가 모두 근거 없는 규칙 암기가 되고, 04단원의 미적분의 기본정리도 증명을 따라갈 수 없습니다.
문제집 서두의 방향 표에서 틀린 것이 있었다면 그 줄에 해당하는 강의를 우선해서 다시 읽으십시오. 판정법의 방향을 거꾸로 아는 것은 계산 실수와 달리 스스로 알아채기 어렵습니다.