02단원에서 미분하는 법을 익혔습니다. 그런데 도함수를 구해 놓고도 아직 쓸 수 없는 것이 있습니다.
41강 심화 3에서 "이 음수이면 감소한다"를 근거 없이 썼고, 39강 심화 3에서 "도함수가 항상 이면 상수"를 인용만 했습니다. 둘 다 당연해 보이지만 증명이 없습니다. 도함수는 한 점에서의 정보인데 증가와 감소는 구간 전체에 대한 주장이므로, 점의 정보를 구간의 정보로 옮기는 다리가 필요합니다.
그 다리가 평균값 정리입니다. 이 강의 하나가 03단원 전체를 떠받치며, 43강의 증가와 감소, 44강의 볼록성, 45강의 로피탈 정리, 57강의 테일러 정리가 모두 여기서 갈라져 나옵니다.
문제. 을 구간 에서 봅니다.
(1) 과 을 계산하세요.
(2) 인 가 안에 있습니까?
(3) 같은 일이 언제나 일어나는지, 일어난다면 왜인지 생각해 보세요.
생각의 실마리. (3)에서 그래프를 상상합니다. 양 끝의 높이가 같은데 도중에 어디론가 갔다가 돌아왔다면, 가장 높거나 가장 낮은 지점이 있을 것입니다. 36강에서 그런 지점의 존재를 보장해 주는 정리를 배웠습니다. 그 지점에서 접선이 어떤 모양일지 봅니다.
풀이. (1) 이고 입니다. 두 값이 같습니다.
(2) 이므로 은 입니다. 는 안에 있습니다.
(3) 일반적으로 일어납니다. 가 에서 연속이므로 36강의 최대·최소 정리에 의해 최댓값과 최솟값을 취하는 점이 있습니다.
양 끝의 값이 같으므로 두 경우로 나뉩니다. 함수가 상수이면 모든 점에서 입니다. 상수가 아니면 최댓값이나 최솟값 중 적어도 하나는 양 끝의 값과 달라야 하고, 그 점은 구간 내부에 있습니다. 내부의 극값점에서는 접선이 수평입니다.
이 문제에서 배우는 것: 페르마의 정리와 롤의 정리.
먼저 내부의 극값점에서 접선이 수평인 이유를 확인합니다.
페르마의 정리. 가 내부의 점 에서 극값을 가지고 그 점에서 미분가능하면 입니다.
증명은 좌우 차분몫을 비교하는 것입니다. 에서 최대라고 하면 근처의 모든 에서 입니다. 인 쪽에서
이고 인 쪽에서는 분모의 부호가 바뀌므로
입니다. 미분가능하므로 좌우 극한이 같아야 하는데, 하나는 이하이고 다른 하나는 이상이므로 뿐입니다.
이제 문제 1에서 관찰한 것을 정리로 적습니다.
롤의 정리. 가 에서 연속이고 에서 미분가능하며 이면, 인 가 존재합니다.
증명은 (3)에서 한 그대로입니다. 최대·최소 정리로 극값점의 존재를 얻고, 그 점이 내부에 있으면 페르마의 정리를 적용합니다. 상수인 경우는 따로 처리합니다.
가정을 하나씩 확인합니다.
| 가정 | 빠지면 나오는 반례 |
|---|---|
| 에서 연속 | 끝점에서 값이 뛰는 조각별 함수 |
| 에서 미분가능 | 를 에서 |
| 를 에서 |
두 번째 반례를 확인합니다. 는 에서 연속이고 이지만, 도함수가 뿐이라 이 되는 점이 없습니다. 에서 미분 불가능하다는 것이 그 원인입니다.
**미분가능성을 요구하는 곳이 열린구간 **라는 점도 중요합니다. 끝점에서는 한쪽 미분만 가능하거나 아예 불가능해도 되며, 이 느슨함 덕분에 처럼 끝점에서 수직접선을 갖는 함수에도 정리를 쓸 수 있습니다.
바로 확인.
확인 1-1. 를 에서 볼 때 롤의 정리가 주는 를 구하세요.
답. 이고 에서 입니다.
확인 1-2. 에 에서 롤의 정리를 쓸 수 없는 이유를 쓰세요.
답. 에서 미분 불가능하므로 열린구간 전체에서 미분가능하다는 가정이 깨집니다.
확인 1-3. 페르마의 정리가 내부의 점을 요구하는 이유를 쓰세요.
답. 끝점에서는 한쪽 방향의 차분몫만 있어 좌우를 비교할 수 없기 때문입니다. 실제로 는 의 끝점에서 최댓값과 최솟값을 갖지만 도함수가 이 아닙니다.
문제. 을 에서 봅니다.
(1) 두 끝점을 잇는 직선의 기울기를 구하세요.
(2) 가 그 기울기와 같아지는 를 구하세요.
(3) 문제 1의 롤의 정리에서 이 결과를 유도하세요.
생각의 실마리. (3)이 핵심입니다. 롤의 정리는 양 끝의 값이 같을 때만 쓸 수 있으므로, 지금 함수를 양 끝의 값이 같아지도록 고쳐야 합니다. 두 끝점을 잇는 직선을 빼면 그렇게 됩니다.
풀이. (1) 이고 이므로 기울기는
(2) 에서 입니다. 는 안에 있습니다.
(3) 두 끝점을 잇는 직선을 이라 합니다.
보조함수 을 만듭니다. 그러면
이므로 양 끝의 값이 같습니다. 는 연속이고 미분가능하므로 롤의 정리를 적용할 수 있고, 인 가 존재합니다.
의 도함수는 직선의 기울기이므로
정리하면
이 문제에서 배우는 것: 평균값 정리.
평균값 정리. 가 에서 연속이고 에서 미분가능하면
인 가 존재합니다.
말로 옮기면 어느 순간의 순간변화율이 구간 전체의 평균변화율과 같아지는 지점이 반드시 있습니다. 시속 킬로미터로 두 시간에 킬로미터를 갔다면, 도중에 계기판이 정확히 을 가리킨 순간이 반드시 있습니다.
식을 다른 모양으로도 자주 씁니다.
왼쪽은 값의 차이이고 오른쪽은 도함수입니다. 이 등식이 정리의 힘이 나오는 곳입니다. 함숫값에 대해 알고 싶은 것을 도함수에 대한 정보로 바꿔 주기 때문입니다.
증명에서 쓴 보조함수 은 36강 문제 5에서 고정점을 다룰 때 쓴 것과 같은 수법입니다. 가진 정리를 쓸 수 있는 모양으로 문제를 고치는 것이 공통 전략입니다.
롤의 정리는 평균값 정리에서 인 특수한 경우입니다. 그때 오른쪽 분자가 이 되어 이 나옵니다. 두 정리는 사실 같은 정리이며 롤이 특수한 경우입니다.
바로 확인.
확인 2-1. 을 에서 볼 때 평균값 정리가 주는 를 구하세요.
답. 평균변화율은 입니다. 에서 이고 안에 있습니다.
확인 2-2. 평균값 정리를 꼴로 쓸 때의 이점을 말하세요.
답. 함숫값의 차이를 도함수의 정보로 바꿔 줍니다. 도함수의 범위를 알면 값의 차이를 제한할 수 있습니다.
확인 2-3. 롤의 정리와 평균값 정리의 관계를 쓰세요.
답. 롤의 정리는 인 특수한 경우이며, 두 정리는 같은 정리입니다.
문제. (1) 이 구간 전체에서 성립하면 가 상수임을 증명하세요.
(2) 이면 두 함수의 차이가 무엇인지 말하세요.
(3) 이 결과가 구간이 아니라 두 조각으로 나뉜 정의역에서도 성립합니까?
생각의 실마리. (1)에서 상수임을 보이려면 임의의 두 점에서 값이 같음을 보이면 됩니다. 두 점의 함숫값 차이를 도함수로 바꿔 주는 도구가 방금 나왔습니다. (3)에서는 두 조각 사이를 잇는 구간이 없으면 평균값 정리를 쓸 수 없다는 점을 생각합니다.
풀이. (1) 구간 안의 임의의 두 점 를 잡습니다. 에서 평균값 정리를 적용하면
인 가 존재합니다. 가정에 의해 이므로 오른쪽이 입니다. 따라서 입니다.
두 점이 임의였으므로 모든 점에서 값이 같고 는 상수입니다.
(2) 로 두면 입니다. (1)에 의해 가 상수이므로
입니다. 도함수가 같은 두 함수는 상수만큼만 차이 납니다.
(3) 성립하지 않습니다. 를 에서 , 에서 로 정의하면 정의역 전체에서 이지만 상수가 아닙니다. 두 조각 사이에 구간이 없어 평균값 정리를 적용할 두 점을 잡을 수 없기 때문입니다.
이 문제에서 배우는 것: 평균값 정리의 따름 정리.
| 가정 | 결론 |
|---|---|
| 구간에서 | 는 상수입니다 |
| 구간에서 | 입니다 |
| 구간에서 | 는 증가합니다 |
| 구간에서 | 는 감소합니다 |
세 번째와 네 번째는 43강에서 정식으로 다루지만 증명은 같습니다. 에서
이고 오른쪽 두 인수가 모두 양수이면 입니다.
"구간에서"라는 조건이 필수입니다. (3)이 그 이유를 보여 줍니다. 정의역이 이어져 있지 않으면 두 조각의 상수가 달라도 됩니다. 이 사실이 실전에서 중요한 곳이 있습니다. 52강에서 를 적분하면 인데, 과 이 서로 다른 구간이므로 엄밀히는 각 구간에서 상수가 따로입니다.
두 번째 결과가 특히 중요합니다. 부정적분이 상수 차이로만 정해지는 근거가 이것이며, 49강에서 미적분의 기본정리를 세울 때 결정적으로 쓰입니다. 39강 심화 3에서 의 해가 뿐임을 보일 때 인용한 것도 이 결과였습니다.
바로 확인.
확인 3-1. 인 함수를 모두 구하세요.
답. 이 하나의 해이므로 모든 해는 입니다.
확인 3-2. 이고 이면 두 함수가 같습니까?
답. 같습니다. 이고 을 넣으면 입니다.
확인 3-3. 정의역이 인 실수일 때 이면 상수입니까?
답. 반드시 상수는 아닙니다. 정의역이 두 구간으로 나뉘어 있어 각 구간에서 다른 상수를 가질 수 있습니다.
문제. (1) 모든 에서 임을 보이세요.
(2) 모든 실수 에서 임을 보이세요.
생각의 실마리. 두 문제 모두 두 값의 차이에 대한 부등식입니다. 평균값 정리가 값의 차이를 도함수로 바꿔 주므로, 도함수의 크기를 제한할 수 있으면 값의 차이도 제한됩니다. (1)은 의 형태로 보고, (2)는 의 도함수가 유계라는 점을 씁니다.
풀이. (1) 로 두고 에서 평균값 정리를 적용합니다. 이므로
인 가 존재합니다. 이므로 이고 따라서 입니다. 이므로
(2) 로 두고 와 사이에서 평균값 정리를 적용합니다. 라 하면
인 가 존재합니다. 절댓값을 취하면
을 썼습니다. 이면 양변이 이라 성립합니다.
이 문제에서 배우는 것: 부등식 증명 도구로서의 평균값 정리.
절차는 세 단계입니다.
3번에서 의 정확한 값은 모르지만 범위는 알기 때문에 부등식이 나옵니다. 정리가 의 존재만 주고 값을 주지 않는 것이 오히려 이 용법에 맞습니다.
(2)에서 얻은 성질에 이름이 있습니다. 어떤 상수 에 대해
가 모든 에서 성립하면 가 립시츠 연속이라고 합니다. 평균값 정리에 의해 도함수가 유계이면 립시츠 연속입니다.
립시츠 연속은 연속보다 강하고 미분가능성과는 다른 방향의 조건입니다. 는 미분 불가능하지만 로 립시츠 연속입니다. 이 성질은 218강 이후 최적화의 수렴 속도를 논할 때 표준 가정으로 등장하며, 그 근거가 여기 있습니다.
자주 쓰는 부등식을 정리해 둡니다.
| 부등식 | 성립 범위 |
|---|---|
| 모든 실수 | |
| 모든 실수 |
바로 확인.
확인 4-1. 에서 임을 평균값 정리로 보이세요.
답. 에 를 적용하면 인 가 있습니다. 이므로 이고 입니다.
확인 4-2. 를 (2)에서 유도하세요.
답. (2)에서 으로 두면 입니다.
확인 4-3. 도함수가 유계이면 무엇을 말할 수 있습니까?
답. 립시츠 연속입니다. 두 점의 함숫값 차이가 두 점의 거리에 상수배로 제한됩니다.
문제. 와 가 에서 연속이고 에서 미분가능하며 이라고 합니다.
(1) 인 가 존재함을 보이세요.
(2) 각각에 평균값 정리를 따로 적용해 얻은 것과 무엇이 다릅니까?
생각의 실마리. (1)에서 보조함수를 만듭니다. 문제 2에서 직선을 뺐던 것처럼, 여기서도 양 끝의 값이 같아지는 조합을 찾아 롤의 정리를 쓸 수 있게 만듭니다. (2)에서는 두 정리가 주는 가 같은 점인지 따집니다.
풀이. (1) 다음 보조함수를 만듭니다.
양 끝의 값을 계산합니다.
두 값이 같습니다. 롤의 정리를 적용하면 인 가 존재하고
이고 이므로 나눠서 정리하면 결과가 나옵니다. 인 이유는 만약 같다면 롤의 정리에 의해 이 어딘가에서 이 되어 가정에 어긋나기 때문입니다.
(2) 각각에 따로 적용하면
이고 나누면 가 됩니다. 문제는 과 가 다른 점이라는 것입니다. (1)의 결과는 **같은 하나의 **에서 두 도함수의 비가 된다고 말하므로 훨씬 강합니다.
이 문제에서 배우는 것: 코시 평균값 정리.
코시 평균값 정리. 와 가 에서 연속이고 에서 미분가능하며 이면
인 가 존재합니다.
로 두면 이고 이므로 평균값 정리가 그대로 나옵니다. 일반화된 형태입니다.
(2)에서 확인한 대로 **하나의 **라는 점이 핵심입니다. 이것이 45강의 로피탈 정리를 가능하게 합니다. 의 극한을 의 극한으로 바꾸려면 분자와 분모를 같은 점에서 평가해야 하기 때문입니다.
증명에서 만든 보조함수의 모양도 기억해 둡니다. 양 끝의 값이 같아지도록 두 함수를 조합한 것이며, 계수 와 를 서로 엇갈려 붙였습니다. 이런 조합을 찾는 것이 이 종류 증명의 기술입니다.
바로 확인.
확인 5-1. 코시 평균값 정리에서 로 두면 무엇이 나옵니까?
답. 평균값 정리가 그대로 나옵니다.
확인 5-2. 두 함수에 평균값 정리를 따로 적용하면 왜 부족합니까?
답. 두 정리가 주는 점 과 가 서로 다를 수 있어 같은 점에서의 도함수 비를 얻지 못하기 때문입니다.
확인 5-3. 조건이 왜 필요합니까?
답. 결론의 분모가 이므로 이면 식이 정의되지 않고, 또 가 되어 왼쪽 분모도 이 되는 것을 막습니다.
| 정리 | 가정 | 결론 |
|---|---|---|
| 페르마 | 내부의 극값점에서 미분가능 | |
| 롤 | 연속, 미분가능, | 인 가 존재 |
| 평균값 | 연속, 미분가능 | f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)} |
| 코시 평균값 | 위에 더해 | \dfrac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\dfrac{f'(c)} |
| 따름 정리 | 조건 |
|---|---|
| 상수 | 구간에서만 성립합니다 |
| 구간에서만 성립합니다 | |
| 증가 | 43강에서 정식으로 다룹니다 |
| 립시츠 연속 | 값의 차이가 거리에 비례해 제한됩니다 |
| 상황 | 쓸 도구 |
|---|---|
| 값의 차이를 도함수로 바꿉니다 | |
| 부등식을 증명합니다 | 의 범위로 를 제한합니다 |
| 두 함수의 도함수 비가 필요합니다 | 코시 평균값 정리 |
| 양 끝의 값을 같게 만듭니다 | 보조함수 |
문제 6. 를 에서 볼 때 롤의 정리가 주는 를 구하세요.
답. 이고 에서 입니다.
문제 7. 을 에서 볼 때 평균값 정리가 주는 를 구하세요.
답. 평균변화율이 이고 에서 입니다.
문제 8. 를 에서 볼 때 를 구하세요.
답. 평균변화율이 입니다. 에서 입니다.
문제 9. 에 에서 평균값 정리를 쓸 수 있습니까?
답. 없습니다. 에서 미분 불가능하므로 가정이 깨집니다. 실제로 평균변화율이 인데 도함수가 인 점이 없습니다.
문제 10. 인 함수를 모두 구하세요.
답. 입니다.
문제 11. 두 함수의 도함수가 같으면 두 함수는 어떤 관계입니까?
답. 구간에서 상수만큼만 차이 납니다.
문제 12. 정의역이 일 때 이면 상수라고 할 수 있습니까?
답. 없습니다. 두 구간에서 서로 다른 상수를 가질 수 있습니다.
문제 13. 에서 임을 평균값 정리로 보이세요.
답. 에서 이고 이므로 입니다.
문제 14. 임을 보이세요.
답. 평균값 정리로 이고 입니다.
문제 15. 도함수가 유계인 함수는 어떤 성질을 가집니까?
답. 립시츠 연속입니다.
문제 16. 코시 평균값 정리를 쓰고 일 때 무엇이 되는지 말하세요.
답. 이며 이면 평균값 정리가 됩니다.
문제 17. 가 에서 미분가능하고 이며 모든 곳에서 이면 의 최댓값은 얼마입니까?
답. 이므로 입니다.
문제 18. 평균값 정리가 의 값을 알려 주지 않는데도 유용한 이유를 쓰세요.
답. 의 범위는 알기 때문입니다. 그 범위에서 의 크기를 제한하면 값의 차이에 대한 부등식을 얻습니다.
심화 1. 롤의 정리 증명에서 상수인 경우를 따로 다루는 이유를 설명하세요.
답. 최댓값과 최솟값이 모두 끝점에서만 취해질 수 있기 때문입니다.
풀이. 증명의 뼈대는 극값점이 내부에 있어야 페르마의 정리를 쓸 수 있다는 것입니다. 가 상수가 아니면 어떤 점에서 값이 와 다르고, 그 값이 더 크면 최댓값이, 더 작으면 최솟값이 끝점의 값과 달라 내부에 있어야 합니다.
그러나 가 상수이면 모든 점이 최댓값이자 최솟값이라 내부에 있다는 보장을 이 논증으로 얻을 수 없습니다. 대신 상수이면 모든 점에서 이므로 결론이 자명하게 성립합니다.
남는 것. 증명이 두 경우로 갈리고 한쪽은 자명하게 처리됩니다. 23강 문제 4의 경우 나누기가 여기서도 쓰였으며, 전체를 덮는지와 각 경우에서 결론이 같은지를 확인하는 절차가 그대로입니다.
심화 2. 평균값 정리에서 가 유일합니까?
답. 유일하지 않습니다.
풀이. 를 에서 봅니다. 이므로 평균변화율이 이고, 인 는 와 둘입니다.
정리는 라고만 말하므로 유일성을 주장하지 않습니다. 22강에서 정리한 대로 는 하나 이상이면 참입니다.
남는 것. 정리가 주장하는 것과 주장하지 않는 것을 구분하는 습관이 필요합니다. 36강 문제 1의 중간값 정리에서도 같은 이야기를 했습니다. 개수와 위치는 정리의 결론에 없습니다.
심화 3. 이 구간에서 이 아니면 가 단사임을 보이세요.
답. 단사입니다.
풀이. 이고 인 두 점이 있다고 가정합니다. 그 사이에서 롤의 정리를 적용하면 인 가 존재해 가정에 어긋납니다.
따라서 서로 다른 두 점의 값이 같을 수 없고 는 단사입니다.
남는 것. 27강에서 단사를 정의하고 28강에서 역함수 존재 조건으로 썼는데, 도함수 하나로 단사를 판정하는 방법이 여기서 나왔습니다. 40강의 역함수 미분법을 실제로 적용하려면 먼저 역함수가 존재해야 하고, 이 판정이 그 확인 절차가 됩니다. 다만 역은 성립하지 않습니다. 은 단사이지만 에서 도함수가 입니다.
심화 4. 도함수는 연속이 아닐 수 있지만 중간값 성질은 항상 가집니다. 이것을 다르부 정리라고 합니다. 37강 심화 4의 예로 확인하세요.
답. 의 도함수가 그 예입니다.
풀이. 37강 심화 4에서 (단 )의 도함수가
이고 에서 불연속임을 확인했습니다.
그런데 이 은 근처의 어떤 구간에서도 부터 까지의 모든 값을 취합니다. 항이 그 범위를 계속 훑기 때문입니다. 따라서 불연속인데도 중간값을 건너뛰지 않습니다.
남는 것. 36강 심화 6에서 중간값 성질이 연속의 필요조건이지 충분조건이 아니라고 했는데, 도함수가 정확히 그 사이에 있는 예입니다. 도함수는 아무 함수나 될 수 없고 중간값 성질을 반드시 가진다는 제약을 받습니다. 그래서 계단함수처럼 값을 건너뛰는 함수는 어떤 함수의 도함수도 될 수 없습니다.
심화 5. 가 에서 미분가능하고 이며 이 증가하면 도 증가함을 보이세요.
답. 평균값 정리로 를 도함수 값으로 바꾸면 됩니다.
풀이. 를 잡습니다. 평균값 정리에 의해
인 과 가 존재합니다. 여기까지로는 가 보장되지 않으므로 한 걸음 더 갑니다.
에서 평균값 정리를 적용하면 인 가 있고, 이므로 이 증가한다는 가정에서 입니다. 따라서
양변을 로 나누면 입니다.
남는 것. 평균값 정리를 두 번 다른 구간에 적용해 두 점을 비교했습니다. 정리가 주는 의 위치를 정확히는 모르지만 어느 구간에 있는지는 알기 때문에 대소를 비교할 수 있습니다. 이 결과는 이 증가한다는 것, 즉 44강의 볼록성이 주는 성질이며 106강 이후 볼록 최적화에서 다시 만납니다.
심화 6. 이고 이면 임을 문제 3의 결과로 증명하세요.
답. 의 도함수가 임을 보입니다.
풀이. 로 둡니다. 곱의 미분법으로
입니다. 문제 3의 (1)에 의해 가 상수이고, 이므로 입니다. 따라서 입니다.
남는 것. 39강 심화 3에서 이 논증을 미리 썼는데 그때는 "도함수가 이면 상수"를 인용만 했습니다. 여기서 그 근거가 평균값 정리임이 확정되어 빚이 갚아집니다. 그리고 이 방식이 미분방정식을 푸는 표준 수법입니다. 알려진 해로 나누어 도함수가 인 함수를 만들고, 그것이 상수임을 평균값 정리로 확정합니다.
평균값 정리는 존재를 주장하므로 코드로 증명할 수 없습니다. 대신 주어진 구간에서 조건을 만족하는 를 실제로 찾아 정리가 맞는지 확인합니다.
import numpy as np
def find_c(f, fp, a, b, n=2000001):
"""f'(x) = 평균변화율 인 x 를 격자에서 찾습니다."""
slope = (f(b) - f(a)) / (b - a)
x = np.linspace(a, b, n)[1:-1] # 열린구간 (a, b)
i = int(np.argmin(np.abs(fp(x) - slope)))
return float(x[i]), float(slope)
# 문제 2: x^2 on [1, 3] -> c = 2
c, s = find_c(lambda t: t**2, lambda t: 2*t, 1.0, 3.0)
print(round(c, 6), round(s, 6)) # 2.0 4.0
# 확인 2-1: x^3 on [0, 2] -> c = 2/sqrt(3)
c, s = find_c(lambda t: t**3, lambda t: 3*t**2, 0.0, 2.0)
print(round(c, 5), round(2/np.sqrt(3), 5), round(s, 6)) # 1.1547 1.1547 4.0
# 문제 8: sqrt(x) on [0, 4] -> c = 1
c, s = find_c(np.sqrt, lambda t: 1/(2*np.sqrt(t)), 0.0, 4.0)
print(round(c, 5), round(s, 6)) # 1.0 0.5
# 심화 2: c 는 유일하지 않습니다. sin on [0, 2pi] 에서 cos c = 0
x = np.linspace(0, 2*np.pi, 2000001)[1:-1]
hits = x[np.abs(np.cos(x)) < 1e-6]
print(np.round(np.unique(np.round(hits, 4)), 4)) # [1.5708 4.7124]
print(round(float(np.pi/2), 4), round(float(3*np.pi/2), 4)) # 1.5708 4.7124
# 문제 9: |x| 는 가정이 깨져 c 가 없습니다.
x = np.linspace(-1, 1, 2000001)[1:-1]
d = np.where(x > 0, 1.0, -1.0) # |x| 의 도함수 (x != 0)
print(round(float((abs(1.0) - abs(-1.0)) / 2), 6), int(np.sum(np.abs(d - 0) < 1e-9)))
# 0.0 0
# 문제 4: 부등식이 실제로 성립합니다.
t = np.linspace(1e-6, 5, 200001)
print(bool(np.all(np.log(1 + t) < t))) # True
print(bool(np.all(np.exp(t) > 1 + t))) # True
# 문제 4 (2): sin 은 립시츠 상수 1 입니다.
a = np.linspace(-5, 5, 1500)
A, B = a[:, None], a[None, :]
gap = np.abs(np.sin(A) - np.sin(B))
dist = np.abs(A - B)
print(bool(np.all(gap <= dist + 1e-12))) # True
print(round(float(np.max(gap[dist > 0] / dist[dist > 0])), 6)) # 0.999998
# 심화 6: f' = f, f(0) = 1 의 해는 e^x 뿐입니다.
xs = np.linspace(-2, 2, 9)
print(np.allclose(np.exp(xs) * np.exp(-xs), 1.0)) # True
출력이 주석과 모두 일치합니다. 첫 세 검산이 평균값 정리가 주는 를 실제로 찾아 손으로 구한 값과 대조해 줍니다. 에서 이 과 소수 넷째 자리까지 같습니다.
네 번째 검산이 심화 2를 확인합니다. 을 에서 보면 조건을 만족하는 가 과 로 두 개 나오며, 각각 와 입니다. 정리는 존재만 주장하고 유일성을 말하지 않습니다.
다섯 번째 검산이 문제 9를 보여 줍니다. 의 평균변화율은 인데 도함수가 에 가까운 점이 하나도 없습니다. 미분가능 가정이 깨지면 정리가 실제로 무너집니다.
립시츠 검산에서 최대 비율이 로 나옵니다. 정확히 이 아닌 것이 맞습니다. 비율이 에 도달하려면 두 점이 한없이 가까워져야 하는데 격자에서는 최소 간격이 있기 때문입니다. 이 값이 을 넘지 않으면서 에 다가간다는 사실이 상수 이 최선이라는 뜻입니다.
정답.
| 기호 | 읽는 법 | 뜻 |
|---|---|---|
| 페르마의 정리 | Fermat | 내부 극값점에서 입니다 |
| 롤의 정리 | Rolle | 양 끝 값이 같으면 인 점이 있습니다 |
| 평균값 정리 | MVT | 평균변화율과 같은 순간변화율이 있습니다 |
| 코시 평균값 정리 | Cauchy MVT | 두 도함수의 비를 한 점에서 줍니다 |
| 립시츠 연속 | Lipschitz | 입니다 |
| 다르부 정리 | Darboux | 도함수는 항상 중간값 성질을 가집니다 |
다음 43강에서는 이 정리의 따름 정리를 본격적으로 씁니다. 도함수의 부호로 증가와 감소를 판정하고 극값을 찾는 절차를 세우며, 문제 3에서 미리 적어 둔 표가 그때 정식 도구가 됩니다.