42강에서 다리를 놓았습니다. 평균값 정리는 두 점 사이의 값의 차이를 도함수 하나로 바꿔 줍니다. 이제 그 다리를 실제로 건너갑니다.
이 강의가 답할 질문은 하나입니다. 도함수를 구했다면 함수의 모양에 대해 무엇을 말할 수 있는가. 답은 놀랄 만큼 많습니다. 어디서 올라가고 어디서 내려가는지, 어디가 봉우리이고 어디가 골짜기인지, 닫힌구간에서 가장 큰 값이 어디에 있는지가 모두 도함수의 부호 하나에서 나옵니다.
주의할 것도 함께 배웁니다. 도함수가 인 점이 전부 극값은 아니고, 극값인데 미분이 안 되는 점도 있으며, 한 점에서 도함수가 양수라고 그 근처에서 증가하는 것도 아닙니다. 세 가지 함정을 모두 반례로 확인합니다.
문제. 가 에서 연속이고 에서 미분가능하며 의 모든 점에서 이라고 합니다.
(1) 인 두 점을 잡을 때 과 의 대소를 정하세요.
(2) 조건을 으로 약하게 바꾸면 결론이 어떻게 달라집니까?
(3) 거꾸로 가 증가하면 모든 점에서 입니까?
생각의 실마리. (1)에서 비교해야 하는 것은 두 점의 값의 차이이고, 우리가 아는 것은 도함수입니다. 42강의 평균값 정리가 정확히 그 둘을 잇습니다. 구간 전체가 아니라 에만 정리를 적용하는 것이 요령입니다. (3)은 성급하게 답하지 말고 을 떠올려 봅니다.
풀이. (1) 는 에서 연속이고 에서 미분가능하므로 평균값 정리를 쓸 수 있습니다. 어떤 에 대해
입니다. 가정에서 이고 이므로 오른쪽이 양수입니다. 따라서 입니다.
(2) 같은 식에서 이면 오른쪽이 이상이므로 입니다. 값이 같아질 수 있으므로 증가하되 평평한 구간을 허용하는 결론이 됩니다. 실제로 상수함수는 이면서 이 조건을 만족합니다.
(3) 아닙니다. 은 실수 전체에서 순증가하지만 입니다. 한 점에서 도함수가 이어도 그 점을 지나며 계속 올라갈 수 있습니다.
이 문제에서 배우는 것: 증가와 감소의 판정법.
먼저 말을 정확히 정합니다.
| 용어 | 뜻 |
|---|---|
| 순증가 | 이면 언제나 입니다 |
| 증가(넓은 뜻) | 이면 언제나 입니다 |
| 순감소 | 이면 언제나 입니다 |
| 감소(넓은 뜻) | 이면 언제나 입니다 |
이 책에서 그냥 "증가"라고 하면 순증가를 뜻하고, 평평한 구간을 허용할 때는 "넓은 뜻의 증가"라고 적습니다.
증가·감소 판정법. 가 구간 에서 연속이고 내부에서 미분가능할 때, 내부의 모든 점에서
이면 는 에서 순증가하고, 이면 순감소하며, 이면 상수입니다.
인 경우는 42강 문제 3의 따름 정리와 같습니다. 세 결론이 모두 평균값 정리 하나에서 나온다는 점을 확인해 두십시오.
여기서 방향을 조심해야 합니다. 판정법은 한쪽으로만 갑니다.
| 방향 | 성립 여부 |
|---|---|
| 순증가 | 성립합니다 |
| 순증가 | 성립하지 않습니다. 이 반례입니다 |
| 넓은 뜻의 증가 | 양방향 모두 성립합니다 |
미분가능한 함수가 순증가할 필요충분조건은 이면서 인 점들이 어떤 구간도 통째로 채우지 않는 것입니다. 이 정밀한 서술은 심화 1에서 증명합니다.
또 하나 놓치기 쉬운 것이 있습니다. 판정법의 결론은 구간에서만 유효합니다. 42강 문제 3에서 정의역이 두 조각이면 따름 정리가 무너졌던 것과 같은 이유입니다. 는 인 모든 점에서 이지만, 이고 이므로 정의역 전체로 보면 증가하지 않습니다. 정의역이 과 의 두 구간이므로 각 구간에서만 증가한다고 말해야 옳습니다.
바로 확인 1.
확인 1-1. 가 실수 전체에서 순증가함을 판정법으로 보이세요.
답. 이 모든 실수에서 성립하므로 순증가합니다.
확인 1-2. 이 순증가하는데도 인 것이 판정법과 모순되지 않는 이유를 쓰세요.
답. 판정법은 이면 증가한다는 한쪽 방향만 주장합니다. 증가하는 함수가 반드시 이어야 한다는 주장은 하지 않으므로 모순이 아닙니다.
확인 1-3. 가 에서 입니다. "실수 전체에서 감소한다"고 말하면 안 되는 이유를 쓰세요.
답. 정의역이 하나의 구간이 아니라 두 구간으로 끊겨 있기 때문입니다. 실제로 이므로 전체로는 감소하지 않고, 각 구간에서 따로 감소한다고 말해야 합니다.
문제. 를 봅니다.
(1) 를 구하고 인 점을 모두 찾으세요.
(2) 그 점들로 실수를 나눈 각 구간에서 의 부호를 정하세요.
(3) 각 점에서 함수가 봉우리인지 골짜기인지 판정하고 그 값을 구하세요.
생각의 실마리. (2)에서 각 구간마다 대표값을 하나씩 넣어 보면 됩니다. 다항식의 도함수는 연속이므로 부호가 바뀌려면 을 지나야 하고, 따라서 근과 근 사이에서는 부호가 일정합니다. (3)에서는 부호가 어떻게 바뀌는지가 핵심입니다.
풀이. (1) 이므로 인 점은 과 입니다.
(2) 세 구간으로 나뉩니다.
| 구간 | 대표값 | 의 값 | 부호 |
|---|---|---|---|
| 양수 | |||
| 음수 | |||
| 양수 |
(3) 에서 의 부호가 양수에서 음수로 바뀝니다. 왼쪽에서 올라오다 오른쪽에서 내려가므로 봉우리이고, 입니다.
에서는 음수에서 양수로 바뀝니다. 내려오다 올라가므로 골짜기이고, 입니다.
이 문제에서 배우는 것: 임계점과 1계 도함수 판정법.
먼저 봉우리와 골짜기를 정확히 정의합니다.
극댓값과 극솟값. 를 포함하는 어떤 열린구간이 있어 그 안의 모든 에서 이면 를 극댓값이라 하고, 이면 극솟값이라 합니다. 둘을 합쳐 극값이라 합니다.
정의에서 중요한 것은 " 근처에서만" 비교한다는 점입니다. 극값은 국소적인 개념이므로, 멀리 떨어진 곳에 더 큰 값이 있어도 상관없습니다. 문제 2에서 가 극댓값이지만 이 훨씬 큽니다.
이제 극값이 있을 수 있는 자리를 좁힙니다. 42강의 페르마의 정리가 그 일을 합니다. 내부의 극값점에서 미분가능하면 도함수가 입니다. 대우를 읽으면 이렇습니다. 도함수가 이 아니고 존재하면 극값이 아닙니다. 그러므로 남는 자리는 두 종류뿐입니다.
임계점. 정의역 내부의 점 가 이거나 가 존재하지 않을 때 를 임계점이라 합니다.
극값의 필요조건. 내부의 극값점은 반드시 임계점입니다.
이 문장 덕분에 무한히 많은 점을 뒤질 필요가 없어집니다. 임계점만 검사하면 됩니다. 다만 임계점이라고 전부 극값은 아니므로 판정이 한 단계 더 필요합니다.
1계 도함수 판정법. 가 임계점이고 가 에서 연속일 때, 를 사이에 둔 좌우 구간에서 의 부호를 봅니다.
왼쪽 오른쪽 결론 양수 음수 는 극댓값입니다 음수 양수 는 극솟값입니다 같은 부호 같은 부호 극값이 아닙니다
증명은 문제 1의 판정법을 좌우에 각각 적용하는 것입니다. 왼쪽에서 이면 그 구간에서 순증가하므로 에 다가가며 값이 커지고, 오른쪽에서 이면 순감소하므로 값이 작아집니다. 따라서 근처에서 가 가장 큽니다.
계산 절차를 정리하면 다음 네 단계입니다.
| 단계 | 할 일 |
|---|---|
| 1 | 을 구합니다 |
| 2 | 인 점과 이 없는 점을 모두 찾습니다 |
| 3 | 그 점들로 정의역을 나누고 각 구간에서 의 부호를 정합니다 |
| 4 | 부호의 변화로 극대와 극소를 가립니다 |
3단계에서 대표값 하나로 구간 전체의 부호를 결정해도 되는 이유가 궁금할 수 있습니다. 이 연속이면 중간값 정리(36강)로 부호가 바뀌려면 을 지나야 하는데 구간 안에 근이 없으므로 부호가 일정합니다. 이 연속이 아니어도 도함수는 다르부 정리에 의해 중간값 성질을 가지므로 같은 결론이 성립합니다. 이 사정은 심화 2에서 다룹니다.
바로 확인 2.
확인 2-1. 의 임계점을 찾고 극값을 판정하세요.
답. 에서 입니다. 왼쪽에서 음수, 오른쪽에서 양수이므로 극솟값이고 입니다.
확인 2-2. 의 극댓값과 극솟값을 구하세요.
답. 이므로 임계점은 입니다. 에서 양수에서 음수로 바뀌어 극댓값 이고, 에서 음수에서 양수로 바뀌어 극솟값 입니다.
확인 2-3. 극값이 국소적인 개념이라는 말이 무슨 뜻인지 문제 2의 함수로 설명하세요.
답. 가 극댓값이지만 이는 근처에서만 가장 크다는 뜻입니다. 처럼 더 큰 값이 다른 곳에 있어도 극댓값이라는 판정은 그대로 유효합니다.
문제. 다음 세 함수를 에서 조사합니다.
(1)
(2)
(3)
각각 이 임계점인지, 극값인지 판정하세요.
생각의 실마리. 임계점의 정의에는 두 가지가 들어 있었습니다. 도함수가 인 경우와 도함수가 없는 경우입니다. 세 함수가 그 두 경우를 갈라서 보여 줍니다. 판정에는 1계 도함수 판정법을 그대로 씁니다. 좌우의 부호만 보면 됩니다.
풀이. (1) 이므로 이고 은 임계점입니다. 그런데 이 좌우 모두에서 성립하므로 부호가 바뀌지 않습니다. 따라서 극값이 아닙니다. 실제로 은 을 지나며 계속 증가합니다.
(2) 는 에서 이고 에서 이며 에서는 존재하지 않습니다(37강). 도함수가 없으므로 은 임계점입니다. 좌우 부호가 음수에서 양수로 바뀌므로 극솟값이고 입니다.
(3) 이므로 에서 존재하지 않고 임계점입니다. 그런데 인 모든 곳에서 이므로 좌우 모두 양수입니다. 부호가 바뀌지 않으므로 극값이 아닙니다.
이 문제에서 배우는 것: 임계점은 후보일 뿐입니다.
세 결과를 표로 모읍니다.
| 함수 | 이 임계점인 이유 | 좌우 부호 | 극값 여부 |
|---|---|---|---|
| x^ | 양수, 양수 | 아닙니다 | |
| 이 없음 | 음수, 양수 | 극솟값입니다 | |
| x^ | 이 없음 | 양수, 양수 | 아닙니다 |
여기서 논리의 방향을 다시 확인합니다.
내부의 극값점 임계점은 참입니다.
임계점 극값점은 거짓입니다.
그러므로 임계점을 찾는 것은 후보를 모으는 일이고, 판정은 그다음 별도의 단계입니다. 이 구분을 흐리면 의 을 극값이라고 잘못 답하게 됩니다.
임계점의 정의에 "이 존재하지 않는 점"이 왜 들어갔는지도 이제 분명합니다. 가 그 자리를 채웁니다. 이 점을 빼고 만 찾으면 진짜 극값을 통째로 놓칩니다.
한 가지 더 조심할 것은 정의역 내부라는 조건입니다. 끝점은 임계점으로 세지 않습니다. 를 에서 보면 에서 최솟값을 가지지만 입니다. 끝점은 페르마의 정리가 적용되지 않는 자리이므로 따로 챙겨야 하고, 그 처리가 문제 4의 주제입니다.
바로 확인 3.
확인 3-1. 의 은 임계점입니까? 극값입니까?
답. 이므로 이고 임계점입니다. 좌우 부호가 음수에서 양수로 바뀌므로 극솟값 입니다.
확인 3-2. 의 은 임계점입니까? 극값입니까?
답. 이므로 임계점입니다. 좌우 모두 양수이므로 극값이 아닙니다.
확인 3-3. "도함수가 인 점을 모두 찾으면 극값 후보를 빠짐없이 모은 것이다"라는 말이 틀린 이유를 반례로 설명하세요.
답. 는 에서 극솟값을 가지지만 그 점에서 도함수가 존재하지 않으므로 인 점만 찾으면 놓칩니다. 미분 불가능한 점도 후보에 넣어야 합니다.
문제. 를 닫힌구간 에서 봅니다.
(1) 최댓값과 최솟값이 존재하는 근거를 대세요.
(2) 후보가 되는 점을 모두 나열하세요.
(3) 최댓값과 최솟값을 구하세요.
생각의 실마리. (1)은 계산이 아니라 정리를 인용하는 문제입니다. 36강에서 닫힌구간과 연속이라는 두 조건이 무엇을 보장했는지 떠올립니다. (2)에서는 문제 3의 마지막에서 지적한 자리를 빠뜨리지 않아야 합니다. 극값 후보만 세면 답이 틀립니다.
풀이. (1) 는 다항함수이므로 에서 연속입니다. 36강의 최대·최소 정리에 의해 이 구간에서 최댓값과 최솟값을 실제로 취하는 점이 존재합니다.
(2) 최댓값을 취하는 점은 내부에 있거나 끝점에 있습니다. 내부에 있다면 그 점은 극값점이므로 임계점입니다. 따라서 후보는 임계점과 두 끝점을 합친 것입니다.
임계점은 문제 2에서 구한 과 이고, 둘 다 안에 있습니다. 끝점은 과 입니다. 후보는 네 개입니다.
(3) 값을 모두 계산합니다.
| 종류 | ||
|---|---|---|
| 끝점 | ||
| 임계점(극대) | ||
| 임계점(극소) | ||
| 끝점 |
최댓값은 이고 과 두 곳에서 달성됩니다. 최솟값은 이고 에서 달성됩니다.
이 문제에서 배우는 것: 최댓값·최솟값을 구하는 절차.
닫힌구간에서의 최적화 절차. 가 에서 연속일 때
- 안의 임계점을 모두 찾습니다.
- 그 임계점들과 두 끝점 , 를 후보로 모읍니다.
- 후보에서 의 값을 모두 계산해 가장 큰 것과 가장 작은 것을 고릅니다.
이 절차가 왜 옳은지가 중요합니다. 세 정리가 차례로 쓰입니다.
| 근거 | 하는 일 |
|---|---|
| 최대·최소 정리(36강) | 최댓값이 존재함을 보장합니다 |
| 페르마의 정리(42강) | 내부의 최댓값 자리는 임계점임을 보장합니다 |
| 후보 유한개 | 값을 비교해 찾을 수 있게 합니다 |
존재가 먼저 보장되어야 이 절차가 성립합니다. 존재를 모르면 후보 중 가장 큰 값이 최댓값이라고 결론지을 수 없습니다. 구간이 열려 있으면 실제로 무너집니다. 를 에서 보면 임계점이 없고 끝점도 정의역에 없으므로 후보가 하나도 없습니다. 최댓값이 존재하지 않기 때문입니다.
여기서 극값과 최댓값의 차이를 확실히 해 둡니다.
| 개념 | 비교 범위 | 존재 보장 |
|---|---|---|
| 극댓값 | 그 점 근처에서만 | 보장되지 않습니다 |
| 최댓값 | 정의역 전체에서 | 닫힌구간과 연속이면 보장됩니다 |
문제 4에서 는 최댓값이지만 극댓값이 아닙니다. 가 끝점이라 그 점을 포함하는 열린구간을 정의역 안에서 잡을 수 없기 때문입니다. 반대로 는 극솟값이지만 최솟값이 아닙니다. 더 작은 이 다른 곳에 있기 때문입니다. 극값과 최값은 서로를 함의하지 않습니다.
바로 확인 4.
확인 4-1. 의 에서 최댓값과 최솟값을 절차대로 구하세요.
답. 임계점은 에서 입니다. 후보는 이고 값은 입니다. 최댓값은 , 최솟값은 입니다.
확인 4-2. 의 에서 최댓값과 최솟값을 구하세요.
답. 임계점은 미분 불가능한 입니다. 후보는 이고 값은 입니다. 최댓값은 , 최솟값은 입니다.
확인 4-3. 열린구간 에서 의 최댓값을 묻는 것이 왜 잘못된 질문인지 쓰세요.
답. 최대·최소 정리는 닫힌구간에서만 존재를 보장하는데 이 구간은 열려 있습니다. 실제로 를 에 가깝게 할수록 값이 커지지만 은 정의역에 없으므로 최댓값을 취하는 점이 존재하지 않습니다.
문제. 어떤 미분가능한 함수 의 도함수가 이라고 합니다. 자체는 모릅니다.
(1) 의 부호를 모든 구간에서 정하세요.
(2) 증감표를 작성하세요.
(3) 극값을 가지는 를 모두 찾고 극대인지 극소인지 판정하세요.
(4) 에서 무슨 일이 일어나는지 설명하세요.
생각의 실마리. 를 구할 필요가 없습니다. 판정법은 도함수의 부호만 요구하기 때문입니다. 인수마다 부호가 바뀌는 지점이 다르므로 근을 작은 것부터 늘어놓고 구간을 나눕니다. 제곱으로 들어간 인수는 부호를 바꾸지 않는다는 것이 이 문제의 핵심입니다.
풀이. (1) 근은 , (중근), 입니다. 세 근으로 실수를 네 구간으로 나눕니다. 은 에서 항상 양수이므로 부호에 영향을 주지 않고, 와 만 보면 됩니다.
| 구간 | (x-1)^ | |||
|---|---|---|---|---|
| 음수 | 양수 | 음수 | 양수 | |
| 양수 | 양수 | 음수 | 음수 | |
| 양수 | 양수 | 음수 | 음수 | |
| 양수 | 양수 | 양수 | 양수 |
(2) 증감표로 옮깁니다.
| 증가 | 극대 | 감소 | 정체 | 감소 | 극소 | 증가 |
(3) 에서 양수에서 음수로 바뀌므로 극대입니다. 에서 음수에서 양수로 바뀌므로 극소입니다. 은 부호가 바뀌지 않으므로 극값이 아닙니다.
(4) 은 임계점입니다. 접선이 수평이 되지만 함수는 멈추지 않고 계속 내려갑니다. 잠깐 평평해졌다가 다시 감소하는 모양이며, 문제 3의 이 에서 보인 것과 같은 현상입니다. 인수가 짝수 제곱으로 들어가면 언제나 이렇게 됩니다.
이 문제에서 배우는 것: 증감표와 부호 판정의 요령.
증감표는 세 줄로 이루어집니다. 첫 줄에 임계점을 작은 것부터 늘어놓고, 둘째 줄에 각 구간의 부호를 적고, 셋째 줄에 의 증감을 적습니다. 이 표 하나로 그래프의 개형이 결정됩니다.
부호를 빠르게 정하는 요령이 있습니다.
| 상황 | 처리 |
|---|---|
| 인수가 홀수 제곱 | 그 근에서 부호가 바뀝니다 |
| 인수가 짝수 제곱 | 그 근에서 부호가 바뀌지 않습니다 |
| 최고차항이 양수인 다항식 | 가장 오른쪽 구간이 양수입니다 |
| 근을 하나 지날 때마다 | 홀수 제곱이면 부호를 뒤집습니다 |
가장 오른쪽에서 시작해 왼쪽으로 오며 뒤집는 방식이 대표값을 매번 대입하는 것보다 빠릅니다. 문제 5에서 최고차항은 이므로 에서 양수이고, 을 지나며 홀수 제곱이니 뒤집혀 음수, 은 짝수 제곱이니 그대로 음수, 를 지나며 뒤집혀 양수입니다. 표와 일치합니다.
를 모르는데도 모양을 다 읽었다는 점에 주목하십시오. 도함수는 원함수를 상수 차이까지만 결정하는데(42강 따름 정리), 증감과 극값의 위치는 그 상수와 무관합니다. 그래프를 위아래로 평행이동해도 어디서 올라가고 내려가는지는 변하지 않기 때문입니다.
바로 확인 5.
확인 5-1. 일 때 증감표를 만들고 극값의 위치를 판정하세요.
답. 부호는 에서 양수, 에서 음수, 에서 양수입니다. 에서 극대, 에서 극소입니다.
확인 5-2. 일 때 극값의 위치를 판정하세요.
답. 은 부호를 바꾸지 않으므로 은 극값이 아닙니다. 에서 음수에서 양수로 바뀌므로 극소입니다.
확인 5-3. 일 때 극값의 위치를 판정하세요.
답. 앞의 음부호 때문에 부호가 뒤집힙니다. 에서 음수, 에서 양수, 에서 음수입니다. 에서 극소, 에서 극대입니다.
| 판정 | 조건 | 결론 |
|---|---|---|
| 순증가 | 구간 내부에서 | |
| 순감소 | 구간 내부에서 | |
| 상수 | 구간 내부에서 | 값이 하나로 고정됩니다 |
| 극대 | 임계점 좌우가 에서 | 그 점에서 극댓값입니다 |
| 극소 | 임계점 좌우가 에서 | 그 점에서 극솟값입니다 |
| 극값 아님 | 임계점 좌우 부호가 같음 | 지나며 계속 오르거나 내립니다 |
| 개념 | 정의 |
|---|---|
| 임계점 | 내부의 점에서 이거나 이 없습니다 |
| 극값 | 그 점 근처에서만 가장 크거나 작습니다 |
| 최값 | 정의역 전체에서 가장 크거나 작습니다 |
| 상황 | 절차 |
|---|---|
| 증감 구간을 묻습니다 | 의 부호를 구간별로 정합니다 |
| 극값을 묻습니다 | 임계점을 모두 찾고 좌우 부호를 봅니다 |
| 닫힌구간의 최값을 묻습니다 | 임계점과 끝점을 모두 후보로 넣습니다 |
| 도함수만 주어집니다 | 근의 제곱 차수로 부호 변화를 정합니다 |
| 자주 하는 실수 | 바로잡기 |
|---|---|
| 인 점만 임계점으로 셉니다 | 미분 불가능한 점도 임계점입니다 |
| 임계점을 모두 극값이라 답합니다 | 부호 변화를 확인해야 합니다 |
| 최값을 구하며 끝점을 뺍니다 | 끝점은 항상 후보입니다 |
| 정의역이 끊긴 채 "증가"라고 씁니다 | 각 구간에서 따로 말해야 합니다 |
문제 6. 의 증가 구간과 감소 구간을 구하세요.
답. 이므로 에서 감소하고 에서 증가합니다.
문제 7. 의 임계점을 모두 구하세요.
답. 이므로 과 입니다.
문제 8. 문제 7의 함수의 극댓값과 극솟값을 구하세요.
답. 에서 에서 로 바뀌어 극댓값 이고, 에서 에서 로 바뀌어 극솟값 입니다.
문제 9. 의 임계점을 구하고 극값을 판정하세요.
답. 이므로 임계점은 과 입니다. 은 이 짝수 제곱이라 부호가 안 바뀌므로 극값이 아니고, 에서 에서 로 바뀌어 극솟값 입니다.
문제 10. 의 극값을 구하세요.
답. 입니다. 이므로 부호는 가 정합니다. 에서 에서 로 바뀌어 극댓값 입니다.
문제 11. 의 극값을 구하세요.
답. 몫의 미분법으로 입니다. 임계점은 이고, 에서 극솟값 , 에서 극댓값 입니다.
문제 12. 의 에서 최댓값과 최솟값을 구하세요.
답. 이므로 임계점은 과 입니다. 후보 에서 값은 입니다. 최댓값은 , 최솟값은 이며 최솟값은 과 두 곳에서 달성됩니다.
문제 13. 의 에서 최댓값과 최솟값을 구하세요.
답. 임계점은 미분 불가능한 입니다. 후보 에서 값은 입니다. 최댓값은 , 최솟값은 입니다.
문제 14. 일 때 극값의 위치를 판정하세요.
답. 은 홀수 제곱이라 부호가 바뀝니다. 부호는 에서 양수, 에서 음수, 에서 양수입니다. 에서 극대, 에서 극소입니다.
문제 15. 의 증감과 극값을 구하세요. 정의역은 입니다.
답. 입니다. 에서 분모가 양수이므로 부호는 가 정합니다. 에서 증가, 에서 감소이며 에서 극댓값 입니다.
문제 16. 의 극값을 구하세요. 정의역은 입니다.
답. 이므로 임계점은 입니다. 에서 에서 로 바뀌어 극댓값 이고, 에서 에서 로 바뀌어 극솟값 입니다. 극댓값이 극솟값보다 작은데, 정의역이 두 구간으로 끊겨 있으므로 모순이 아닙니다.
문제 17. 의 에서 최댓값과 최솟값을 구하세요.
답. 에서 이므로 와 입니다. 후보 에서 값은 입니다. 최댓값은 , 최솟값은 입니다.
문제 18. 의 극값을 구하세요.
답. 입니다. 임계점은 과 이고, 에서 극댓값 , 에서 극솟값 입니다.
심화 1. 미분가능한 가 구간 에서 순증가할 필요충분조건은 에서 이고 인 점들이 의 어떤 열린 부분구간도 통째로 채우지 않는 것임을 보이세요.
풀이. 먼저 필요성입니다. 가 순증가하면 임의의 와 에서 이므로 극한을 취해 입니다. 극한에서 부등호가 약해지는 것이 에서 이 나오는 이유입니다. 또 어떤 열린구간 에서 이면 42강의 따름 정리로 가 에서 상수가 되어 순증가에 어긋납니다.
이제 충분성입니다. 이므로 문제 1의 (2)에 의해 이면 입니다. 등호가 성립한다고 하면, 넓은 뜻의 증가성 때문에 의 모든 에서 이므로 가 그 구간에서 상수입니다. 그러면 전체에서 이 되어 가정에 어긋납니다. 따라서 등호는 불가능하고 입니다.
이 조건은 을 정확히 통과시킵니다. 이 이 되는 점은 하나뿐이라 어떤 구간도 채우지 못하기 때문입니다.
심화 2. 도함수는 연속이 아닐 수 있는데도 임계점 사이의 구간에서 의 부호가 일정하다고 말할 수 있는 이유를 설명하세요.
풀이. 다르부 정리 때문입니다.
다르부 정리. 가 에서 미분가능하면 은 와 사이의 모든 값을 어딘가에서 취합니다.
이 연속이라는 가정이 없는데도 중간값 성질이 성립한다는 것이 이 정리의 요점입니다. 증명은 42강의 도구로 됩니다. 일 때 를 두면 이므로 는 의 오른쪽에서 값이 줄고 의 왼쪽에서도 값이 줄어듭니다. 따라서 의 최솟값은 내부에서 달성되고, 페르마의 정리로 그 점에서 , 즉 입니다.
이제 결론을 얻습니다. 임계점 사이의 열린구간에는 인 점이 없습니다. 만약 그 구간 안에서 이 양수인 점과 음수인 점을 모두 가진다면 다르부 정리에 의해 그 사이 어딘가에서 이 되어 임계점이 없다는 사실에 어긋납니다. 그러므로 부호가 일정하고, 대표값 하나로 구간 전체의 부호를 정하는 방식이 정당화됩니다. 이 연속인 경우에만 통하는 요령이 아닙니다.
심화 3. 모든 실수 에서 이고 등호는 에서만 성립함을 증가·감소 판정법으로 증명하세요.
풀이. 로 둡니다. 이므로 에서 이라 이고, 에서 입니다.
따라서 는 에서 순감소하고 에서 순증가합니다. 이 유일한 임계점이고 에서 로 바뀌므로 극솟값이며, 좌우 전체에서 단조이므로 이 극솟값이 곧 전역 최솟값입니다. 값은 입니다.
그러므로 모든 에서 , 즉 입니다. 등호는 최솟값을 취하는 자리에서만 성립하는데, 좌우가 순단조이므로 그 자리는 하나뿐입니다.
극값이 전역 최값이 되는 조건에 주목하십시오. 임계점이 하나이고 그 좌우에서 단조가 뒤집히면 국소 판정이 그대로 전역 결론이 됩니다. 이 논법을 46강에서 반복해서 씁니다.
심화 4. 에서 의 최댓값을 구하고, 그 결과로 와 의 대소를 정하세요.
풀이. 지수에 변수가 있으므로 로그를 취합니다. 이고, 이 순증가하므로 의 최댓값 자리와 의 최댓값 자리가 같습니다.
의 도함수는 몫의 미분법으로
입니다. 이므로 부호는 가 정하고, , 즉 가 임계점입니다. 에서 이라 이고 에서 이므로 에서 극대이며 유일한 임계점이므로 전역 최대입니다. 최댓값은 입니다.
이제 이므로 입니다. 즉
이고 양변에 을 곱하면 입니다. 오른쪽을 로 쓰면 이고, 이 순증가이므로 입니다.
심화 5. 이고 에서 인 함수를 봅니다. 인데도 가 을 포함하는 어떤 구간에서도 증가하지 않음을 보이세요.
풀이. 먼저 을 정의로 계산합니다.
입니다. 이므로 샌드위치 정리(34강)로 둘째 항이 사라집니다.
에서는 곱의 미분법과 연쇄법칙으로
입니다. 이제 을 잡으면 이고 이므로
입니다. 이므로 을 포함하는 아무리 작은 구간에도 이 음수인 점이 무수히 많습니다. 그런 점 근처에서는 가 감소하므로 그 구간에서 가 증가한다고 말할 수 없습니다.
이 예가 못 박는 것은 이렇습니다. 한 점에서의 도함수 부호는 그 점 근처의 증가·감소에 대해 아무것도 말해 주지 않습니다. 판정법이 요구하는 것은 구간 전체에서 이라는 조건이며, 그 조건은 이 함수에서 깨져 있습니다. 42강 첫머리에서 "점의 정보를 구간의 정보로 옮기는 다리가 필요하다"고 한 이유가 여기 있습니다. 다리를 놓지 않고 점의 정보만으로 건너뛰면 이렇게 틀립니다.
심화 6. 의 증가 구간과 감소 구간을 모두 구하고, 극값을 취하는 를 일반식으로 쓰세요.
풀이. 입니다. 은 이고, 해는
입니다. 임계점이 무한히 많습니다.
한 주기 에서 부호를 봅니다. 인 곳에서 인데, 이는 과 입니다. 그 사이 에서는 이므로 입니다.
따라서 각 정수 에 대해 에서 증가하고 에서 감소합니다. 극대는 에서, 극소는 에서 취합니다.
주의할 점은 가 주기함수가 아니라는 것입니다. 항 때문에 전체적으로는 계속 올라가며, 극댓값과 극솟값도 가 커질수록 함께 커집니다. 증감이 주기적으로 반복되는 것과 함숫값이 주기적인 것은 다릅니다.
이 강의에서는 numpy만 씁니다. 증가·감소 판정과 극값 판정은 유한한 격자에서 확인할 수 있으므로 코드가 잘 맞습니다. 다만 임계점의 위치는 격자 간격만큼의 오차를 가지므로 정확한 값과 비교할 때 허용 오차를 둡니다.
import numpy as np
# --- 문제 1: f' > 0 이면 순증가 -------------------------------------
x = np.linspace(-3.0, 3.0, 100001)
f = x**3 + x
fp = 3*x**2 + 1
print(bool(np.all(fp > 0)), bool(np.all(np.diff(f) > 0))) # True True
# 확인 1-2: x^5 는 순증가인데 f'(0) = 0
x5 = np.linspace(-2.0, 2.0, 100001)
print(bool(np.all(np.diff(x5**5) > 0)), 5*0.0**4) # True 0.0
# 확인 1-3: 1/x 는 각 구간에서만 감소, 전체로는 아님
print(1.0/(-1.0) < 1.0/1.0) # True
# --- 문제 2: 임계점과 1계 판정법 -------------------------------------
def sign_changes(fp, pts):
"""임계점 pts 좌우에서 fp 의 부호를 (왼쪽, 오른쪽) 으로 돌려줍니다."""
e = 1e-6
return [(int(np.sign(fp(c - e))), int(np.sign(fp(c + e)))) for c in pts]
fp2 = lambda t: 3*t**2 - 3
print(sign_changes(fp2, [-1.0, 1.0])) # [(1, -1), (-1, 1)]
print((-1.0)**3 - 3*(-1.0), 1.0**3 - 3*1.0) # 2.0 -2.0
# --- 문제 3: 임계점이라고 극값은 아님 ---------------------------------
print(sign_changes(lambda t: 3*t**2, [0.0])) # [(1, 1)]
print(sign_changes(lambda t: np.sign(t), [0.0])) # [(-1, 1)]
# x^(1/3) 의 도함수는 실수 세제곱근으로 써야 합니다. t**(-2/3) 은 음수에서 깨집니다.
print(sign_changes(lambda t: 1.0/(3*np.cbrt(t)**2), [0.0])) # [(1, 1)]
print(repr((-1e-6)**(-2.0/3))) # (-4999.999999999995-8660.254037844383j)
# --- 문제 4: 닫힌구간 최값은 임계점 + 끝점 ----------------------------
g = lambda t: t**3 - 3*t
cand = np.array([-3.0, -1.0, 1.0, 2.0]) # 끝점 2 개 + 임계점 2 개
vals = g(cand)
print(vals) # [-18. 2. -2. 2.]
grid = np.linspace(-3.0, 2.0, 500001)
print(round(float(g(grid).max()), 9), round(float(g(grid).min()), 9)) # 2.0 -18.0
print(float(vals.max()) == round(float(g(grid).max()), 9)) # True
# --- 문제 5: 도함수의 부호만으로 증감표 -------------------------------
fp5 = lambda t: (t + 2)*(t - 1)**2*(t - 3)
probe = np.array([-3.0, 0.0, 2.0, 4.0]) # 네 구간의 대표값
print(np.sign(fp5(probe)).astype(int)) # [ 1 -1 -1 1]
print(sign_changes(fp5, [-2.0, 1.0, 3.0])) # [(1, -1), (-1, -1), (-1, 1)]
# --- 심화 3: e^x >= 1 + x, 등호는 x = 0 에서만 ------------------------
t = np.linspace(-5.0, 5.0, 200001)
gap = np.exp(t) - 1 - t
print(bool(np.all(gap >= 0)), int(np.sum(gap == 0))) # True 1
# --- 심화 4: x^(1/x) 의 최댓값은 x = e 에서 --------------------------
u = np.linspace(0.1, 10.0, 500001)
h = u**(1.0/u)
i = int(np.argmax(h))
print(round(float(u[i]), 4), round(float(np.e), 4)) # 2.7183 2.7183
print(round(float(h[i]), 6), round(float(np.e**(1/np.e)), 6)) # 1.444668 1.444668
print(np.pi**np.e < np.e**np.pi) # True
# --- 심화 5: f'(0) > 0 인데 근처에서 증가하지 않음 ---------------------
n = np.arange(1, 21)
xn = 1.0/(2*n*np.pi)
fpn = 0.5 + 2*xn*np.sin(1/xn) - np.cos(1/xn)
print(round(float(fpn.max()), 6), bool(np.all(fpn < 0))) # -0.5 True
실행하면 주석과 같은 값이 나옵니다. 네 곳을 짚어 둡니다.
첫째, 문제 3의 세 번째 줄에서 함정이 하나 드러납니다. 의 도함수를 그대로 t**(-2.0/3)으로 적으면 음수 쪽에서 복소수가 나옵니다. 마지막 줄의 출력이 그 증거입니다. 수학에서 은 실수 세제곱근을 두 번 곱한 양수인데, 부동소수점 거듭제곱은 음수 밑에 유리수 지수를 그런 뜻으로 해석하지 않습니다. 그래서 np.cbrt로 실수 세제곱근을 명시해야 올바른 부호가 나옵니다. 수식을 코드로 옮길 때 정의역이 음수로 넘어가는 자리를 항상 따로 확인해야 합니다.
둘째, 문제 4의 검산에서 후보 네 개의 최댓값과 격자 오십만 점의 최댓값이 정확히 일치합니다. 임계점과 끝점만 보면 충분하다는 절차가 숫자로 확인됩니다. 격자를 아무리 촘촘히 해도 후보 밖에서 더 큰 값이 나오지 않습니다.
셋째, 심화 3에서 가 정확히 이 되는 격자점이 한 개입니다. 격자에 이 정확히 들어 있고 그 점에서만 등호가 성립한다는 뜻입니다. 부동소수점에서 등호를 세는 것은 보통 위험하지만, 여기서는 이 정확히 계산되므로 안전합니다.
넷째, 심화 5의 이 스무 개 모두 음수이고 최댓값이 입니다. 에서 이 정확히 은 아니지만 이 워낙 작아 그 항이 소수점 아래로 밀려나 반올림하면 가 됩니다. 이 에 한없이 가까워지는데도 도함수가 계속 음수라는 것이 반례의 핵심이며, 코드가 그 사실을 그대로 보여 줍니다.
코드로 할 수 없는 일도 분명히 해 둡니다. 격자에서 차분이 모두 양수인 것은 그 격자에서 증가한다는 뜻일 뿐 구간 전체의 순증가를 증명하지 못합니다. 심화 5의 함수가 바로 그 함정입니다. 격자가 성기면 이 음수인 자리를 건너뛰어 증가하는 것처럼 보입니다. 증명은 평균값 정리로만 됩니다.
정답.
| 기호 | 읽는 법 | 뜻 |
|---|---|---|
| 순증가 | strictly increasing | 입니다 |
| 넓은 뜻의 증가 | non-decreasing | 입니다 |
| 임계점 | critical point | 이거나 이 없는 내부의 점입니다 |
| 극댓값 | local maximum | 근처에서 가장 큰 값입니다 |
| 극솟값 | local minimum | 근처에서 가장 작은 값입니다 |
| 최댓값 | global maximum | 정의역 전체에서 가장 큰 값입니다 |
| 1계 판정법 | first derivative test | 좌우 부호 변화로 극값을 가립니다 |
| 증감표 | sign chart | 임계점, 부호, 증감을 세 줄로 적은 표입니다 |
| 다르부 정리 | Darboux | 도함수는 연속이 아니어도 중간값 성질을 가집니다 |
다음 44강에서는 같은 일을 한 단계 위에서 합니다. 1계 도함수가 올라가고 내려감을 정했다면, 2계 도함수는 휘는 방향을 정합니다. 41강에서 미리 언급한 볼록성이 그때 정식 도구가 되고, 임계점을 판정하는 더 빠른 방법인 2계 도함수 판정법도 함께 얻습니다.