이 문제집은 48강부터 53강까지의 도구를 섞어 다시 묻습니다. 계산 문제가 많지만 어떤 기법을 쓸지 고르는 판단이 먼저입니다.
적분할 식을 보면 다음 순서로 확인합니다.
| 확인 | 조치 |
|---|---|
| 표에 있는 기본 원시함수인가 | 바로 씁니다 |
| 꼴인가 | 치환적분(50강) |
| 두 함수의 곱인가 | 부분적분(51강) |
| 유리함수인가 | 부분분수(52강) |
| 근호가 있는가 | 삼각치환 또는 유리화(50강) |
| 삼각함수의 유리식인가 | (50강) |
| 구간이 무한하거나 함수가 발산하는가 | 이상적분(53강) |
계산 전에 반드시 확인할 것이 하나 더 있습니다. 적분 구간 안에 정의되지 않는 점이 없는지 봅니다. 이것을 건너뛰면 49강 문제 4의 오류가 생깁니다.
답을 보기 전에 반드시 손으로 먼저 씁니다.
문제 1. 분할, 노름, 표본점, 리만합을 각각 정의하세요.
답. 분할은 구간을 나누는 점들의 모임, 노름은 가장 넓은 소구간의 폭, 표본점은 각 소구간에서 고른 점, 리만합은 입니다.
문제 2. 정적분의 정의에서 노름을 통제해야 하는 이유를 쓰세요.
답. 소구간의 개수만 늘리면서 큰 구간을 하나 남겨 둘 수 있어 근사가 개선되지 않기 때문입니다.
문제 3. 를 오른쪽 끝 리만합의 극한으로 구하세요.
답. 입니다.
문제 4. 정적분의 성질 다섯 가지를 쓰고 공통 근거를 말하세요.
답. 선형성, 구간가법성, 단조성, 방향 반전, 유계 성질입니다. 모두 유한합의 성질에 극한을 취한 것입니다.
문제 5. 가 거짓임을 예로 보이세요.
답. 를 에서 보면 왼쪽은 이고 오른쪽은 입니다.
문제 6. 유계인데 적분가능하지 않은 함수를 들고 이유를 쓰세요.
답. 디리클레 함수입니다. 어떤 소구간에도 유리수와 무리수가 모두 있어 상합이 늘 , 하합이 늘 이기 때문입니다.
문제 7. 함수의 유한개 점에서 값을 바꾸면 적분값이 어떻게 됩니까?
답. 변하지 않습니다. 그 점을 품는 소구간의 폭을 줄이면 기여가 으로 가기 때문입니다.
문제 8. 적분의 평균값 정리를 쓰고 기하학적 의미를 말하세요.
답. 입니다. 곡선 아래 영역과 넓이가 같은 직사각형의 높이가 곡선 위 어딘가의 값이라는 뜻입니다.
문제 9. 와 를 각각 구하고 차이를 설명하세요.
답. 각각 과 입니다. 정적분은 축 아래를 음수로 세는 부호 있는 넓이이기 때문입니다.
문제 10. 제1기본정리를 쓰고 증명에 쓰이는 두 도구를 말하세요.
답. 입니다. 구간가법성과 적분의 평균값 정리를 씁니다.
문제 11. 제2기본정리의 증명이 어느 강의의 따름 정리에 기대는지 쓰세요.
답. 42강의 "도함수가 같으면 상수 차이" 따름 정리입니다.
문제 12. 부정적분과 정적분의 차이를 쓰세요.
답. 부정적분은 원시함수의 모임이라 함수이고 정적분은 하나의 수입니다.
문제 13. 를 계산하세요.
답. 입니다.
문제 14. 가 틀린 이유를 두 가지로 말하세요.
답. 양수함수의 적분이 음수일 수 없고, 에서 연속이 아니라 정리를 적용할 수 없습니다.
문제 15. 를 구하세요.
답. 연쇄법칙과 함께 쓰면 입니다.
문제 16. 를 구하세요.
답. 아래끝에 변수가 있으므로 입니다.
문제 17. 원시함수가 있는데 적분가능하지 않을 수 있습니까?
답. 있습니다. 의 도함수가 유계가 아니라 리만 적분가능하지 않습니다.
문제 18. 치환적분 공식을 쓰고 어느 미분 규칙을 거꾸로 읽은 것인지 말하세요.
답. 이며 38강의 연쇄법칙입니다.
문제 19. 를 한계 변환으로 계산하세요.
답. 이면 한계가 에서 이므로 입니다.
문제 20. 를 구하세요.
답. 로 치환해 입니다.
문제 21. 정방향 치환에 단사성이 필요합니까? 이유를 쓰세요.
답. 필요 없습니다. 증명에서 양변이 모두 가 되어 양 끝의 값만 남기 때문입니다.
문제 22. 역치환에 단사성이 필요한 이유를 쓰세요.
답. 되돌리려면 역함수가 있어야 하고, 근호를 벗길 때 부호 문제를 피해야 하기 때문입니다.
문제 23. 삼각치환 세 가지를 근호의 형태와 함께 쓰세요.
답. 에 , 에 , 에 입니다.
문제 24. 부분적분 공식을 쓰고 성공 조건을 말하세요.
답. 이며 바뀐 적분이 원래보다 쉬워야 합니다.
문제 25. LIATE 순서를 쓰고 근거를 말하세요.
답. 로그, 역삼각, 대수, 삼각, 지수 순입니다. 앞쪽일수록 미분해서 얻는 이득이 크기 때문입니다.
문제 26. 를 구하세요.
답. , 로 두어 입니다.
문제 27. 를 구하고 그 유형의 이름을 쓰세요.
답. 이며 순환형 적분입니다.
문제 28. 의 점화식을 쓰세요.
답. 입니다.
문제 29. 의 증명에서 대괄호 항이 사라지는 근거를 쓰세요.
답. 45강의 성장 위계로 이기 때문입니다.
문제 30. 부분분수 분해가 가능하기 위한 두 조건을 쓰세요.
답. 진분수여야 하고 분모를 실계수 일차·기약 이차 인수로 인수분해할 수 있어야 합니다.
문제 31. 중복 인수 의 분해 형태를 쓰세요.
답. 부터 까지 모두 둡니다.
문제 32. 기약 이차식 인수의 분자에 무엇을 두며 그 이유는 무엇입니까?
답. 일차식을 둡니다. 진분수가 되기 위해 분자가 일차식까지 가능하고 그 자유도가 필요하기 때문입니다.
문제 33. 가리기 방법을 쓰고 적용 범위를 말하세요.
답. 그 인수를 지우고 근을 대입합니다. 서로 다른 일차 인수에만 통합니다.
문제 34. 을 구하세요.
답. 입니다.
문제 35. 를 구하세요.
답. 가분수이므로 로 고쳐 입니다.
문제 36. 실계수 다항식이 어떤 인수들의 곱으로 분해되는지와 근거를 쓰세요.
답. 일차식과 기약 이차식의 곱입니다. 대수학의 기본정리와 복소근이 켤레쌍이라는 성질이 근거입니다.
문제 37. 유리함수의 원시함수에 나올 수 있는 함수 종류를 모두 쓰세요.
답. 유리함수, 로그, 아크탄젠트 세 가지입니다.
문제 38. 유리함수 적분이 "알고리즘"인 이유를 쓰세요.
답. 정해진 절차를 따르면 반드시 초등함수 답에 도달하며 실패하는 경우가 없기 때문입니다.
문제 39. 제1종과 제2종 이상적분의 정의를 각각 쓰세요.
답. 각각 와 입니다.
문제 40. 의 수렴 조건과 값을 쓰세요.
답. 일 때 수렴하고 값은 입니다.
문제 41. 의 수렴 조건을 쓰세요.
답. 일 때 수렴합니다.
문제 42. 두 판정의 부등호 방향이 반대인 이유를 치환으로 설명하세요.
답. 치환에서 가 되어 부등호가 뒤집히기 때문입니다. 두 판정은 하나의 사실을 두 좌표계에서 본 것입니다.
문제 43. 비교판정법에서 수렴과 발산을 보일 때 각각 어느 방향으로 비교합니까?
답. 수렴은 수렴하는 것으로 위에서 덮고, 발산은 발산하는 것으로 아래에서 누릅니다.
문제 44. 의 수렴을 판정하세요.
답. 에서 이고 그 적분이 수렴하므로 수렴합니다.
문제 45. 코시 주값이란 무엇이며 적분과 어떻게 다릅니까?
답. 특이점을 좌우에서 같은 속도로 좁힌 극한입니다. 적분이 발산해도 주값은 존재할 수 있습니다.
문제 46. "홀함수이니 대칭구간 적분이 "이라는 논법이 언제 유효한지 쓰세요.
답. 각 조각이 수렴할 때만 유효합니다. 발산하면 부정형이 됩니다.
문제 47. 절대수렴과 조건수렴의 차이를 쓰고 조건수렴의 예를 드세요.
답. 절대수렴은 도 수렴하는 것입니다. 가 조건수렴의 예입니다.
문제 48. 코시분포의 평균이 존재하지 않는다는 말의 뜻과 그 결과를 쓰세요.
답. 의 두 조각이 모두 발산해 정의되지 않는다는 뜻입니다. 표본을 아무리 늘려도 표본평균이 안정되지 않아 큰 수의 법칙이 적용되지 않습니다.
문항 중 맞힌 개수로 다음을 판단합니다.
| 정답 수 | 판단 |
|---|---|
| 개 이상 | 05단원으로 넘어갑니다 |
| 개 | 틀린 문제가 속한 강의만 다시 읽고 넘어갑니다 |
| 개 이하 | 48강부터 53강까지 다시 읽습니다 |
2부에서 절반 이하를 맞혔다면 반드시 되돌아갑니다. 미적분의 기본정리를 이해하지 못한 채로는 3부와 4부의 기법들이 근거 없는 요령 암기가 되고, 05단원에서 급수를 항별로 적분할 때도 무엇이 정당한지 판단할 수 없습니다.
5부에서 틀린 것이 많다면 특히 주의하십시오. 수렴 판정은 05단원 전체의 도구이며 54강의 급수 판정이 거의 그대로 같은 형태입니다. 여기서 익히지 않으면 다음 단원에서 두 배로 헤매게 됩니다.