03단원까지 우리가 한 일은 쪼개는 것이었습니다. 함수를 한 점 근처에서 잘게 들여다보고 그 순간의 변화율을 읽었습니다.
이제 방향을 뒤집습니다. 잘게 쪼갠 것들을 다시 더합니다.
동기는 오래된 질문에서 옵니다. 직사각형의 넓이는 가로 곱하기 세로이고 삼각형은 그 절반입니다. 그런데 곡선으로 둘러싸인 영역의 넓이는 어떻게 정합니까. 고대부터 답은 하나였습니다. 아는 도형으로 채워 넣고 한없이 잘게 쪼갭니다.
이 강의는 그 오래된 발상을 정확한 정의로 만듭니다. 그러고 나면 49강에서 놀라운 사실이 밝혀집니다. 이 더하기 작업이 03단원까지 해 온 쪼개기 작업의 정확한 역이라는 것입니다. 그 사실이 미적분의 기본정리이며, 미적분학이 하나의 학문인 이유입니다.
적분은 이 커리큘럼에서 넓이보다 훨씬 넓게 쓰입니다. 129강의 확률밀도함수, 178강의 엔트로피, 248강의 합성곱, 384강의 확산 모형이 모두 적분 위에 서 있습니다. 연속적으로 퍼져 있는 양의 총합을 다루는 언어가 적분입니다.
문제. 과 축, 그리고 로 둘러싸인 영역의 넓이를 구합니다.
(1) 을 등분하고 각 소구간의 오른쪽 끝 높이로 직사각형을 세울 때 그 넓이의 합을 의 식으로 나타내세요.
(2) 의 극한을 구하세요.
(3) 왼쪽 끝 높이로 세우면 어떻게 되는지 확인하세요.
생각의 실마리. 직사각형 개의 넓이를 더하려면 합 기호가 필요하고, 그 합을 닫힌 형태로 바꾸려면 의 공식이 필요합니다. 20강과 31강에서 그 공식을 세워 두었습니다. (3)에서 두 답이 같다면 우연이 아닐 텐데, 그 이유도 생각해 봅니다.
풀이. (1) 을 등분하면 각 소구간의 폭은 이고 번째 소구간은 입니다. 오른쪽 끝은 이고 그 높이는 입니다. 따라서
입니다. 31강의 공식 을 넣으면
입니다.
(2) 분자를 전개하면 이므로
입니다. 넓이는 입니다.
(3) 왼쪽 끝은 이므로
이고 극한은 역시 입니다.
이 문제에서 배우는 것: 근사에서 정의로.
두 답이 같은 것은 우연이 아닙니다. 두 합의 차이를 계산해 보면
입니다. 실제로 가 증가함수이면 왼쪽 끝 높이가 항상 더 낮고 오른쪽 끝이 항상 더 높으므로
이고, 둘의 차이가 으로 가므로 참값이 하나로 조여집니다. 34강의 샌드위치 정리와 같은 구조입니다.
여기서 중요한 방향 전환이 일어납니다. 우리는 "곡선 아래의 넓이"가 무엇인지 미리 알지 못했습니다. 오히려 이 극한값을 넓이의 정의로 삼습니다.
| 순서 | 내용 |
|---|---|
| 잘못된 순서 | 넓이가 있다고 가정하고 그 값을 구합니다 |
| 올바른 순서 | 근사합의 극한이 존재함을 보이고 그것을 넓이라 부릅니다 |
이 방식이 정당한 이유는 근사합이 우리가 이미 아는 것(직사각형의 넓이)만으로 만들어졌고, 그 극한이 존재하며, 어떻게 근사하든 같은 값이 나오기 때문입니다. 마지막 조건이 문제 2의 주제입니다.
의 전개도 눈여겨보십시오. 에서 **오차의 주된 항이 **입니다. 을 두 배로 늘리면 오차가 절반이 됩니다. 이는 그리 좋은 수렴 속도가 아니며, 심화 3에서 훨씬 빠른 근사법을 봅니다.
바로 확인 1.
확인 1-1. 를 오른쪽 끝 리만합의 극한으로 계산하세요.
답. 입니다.
확인 1-2. 를 같은 방법으로 계산하세요.
답. 폭이 이고 높이가 이므로 입니다.
확인 1-3. 증가함수에서 왼쪽 끝 합이 참값 이하인 이유를 쓰세요.
답. 각 소구간에서 왼쪽 끝의 높이가 그 구간의 최솟값이므로 직사각형이 곡선 아래에 완전히 들어가기 때문입니다.
문제. 구간 를 반드시 등분해야 할 이유는 없고 높이도 반드시 끝점에서 잴 이유가 없습니다.
(1) 일반적인 분할과 그에 대한 합을 정의하세요.
(2) 그 합이 하나의 값으로 수렴한다는 것을 어떻게 서술해야 합니까?
(3) 을 등분하고 각 소구간의 중점에서 높이를 잴 때 의 합을 계산해 (1)의 정의와 맞는지 확인하세요.
생각의 실마리. (2)에서 ""라고만 쓰면 부족합니다. 소구간을 아주 많이 만들면서도 그중 하나는 크게 남겨 둘 수 있기 때문입니다. 가장 넓은 소구간의 폭을 통제해야 합니다. (3)의 계산에는 와 이 모두 필요합니다.
풀이. (1) 안에 점을 찍습니다.
이 점들의 모임 를 분할이라 하고, 번째 소구간의 폭을 이라 합니다. 각 소구간에서 아무 점 를 골라 표본점이라 하고
를 리만합이라 합니다.
(2) 분할의 노름을 가장 넓은 소구간의 폭
으로 정의합니다. 그러면 다음과 같이 서술합니다.
어떤 수 가 있어, 임의의 에 대해 적당한 이 존재하고, 인 모든 분할과 그 위의 모든 표본점 선택에 대해 입니다.
(3) 중점은 입니다.
입니다. 합을 나누어 계산하면
이므로
입니다. 앞의 두 방식과 같은 값이며, 정의가 요구하는 대로 표본점 선택에 무관합니다.
이 문제에서 배우는 것: 정적분의 정의.
정적분. 위 (2)의 조건을 만족하는 가 존재하면 가 에서 리만 적분가능하다고 하고
로 씁니다.
정의에서 세 가지를 짚어 둡니다.
첫째, 노름으로 조여야 합니다. 소구간의 개수 이 커지는 것만으로는 부족합니다. 을 와 나머지를 잘게 쪼갠 것으로 분할하면 이 아무리 커도 첫 소구간은 그대로 남아 근사가 개선되지 않습니다.
둘째, 모든 표본점 선택에 대해 같은 값이 나와야 합니다. 왼쪽 끝, 오른쪽 끝, 중점, 그 밖의 어떤 선택이든 상관없어야 합니다. 문제 4에서 이 조건이 깨지는 함수를 봅니다.
셋째, 기호 의 모양이 정의를 그대로 옮긴 것입니다.
| 기호 | 대응하는 것 |
|---|---|
| 합 기호 이 늘어난 모양입니다 | |
| 표본점에서의 높이 입니다 | |
| 소구간의 폭 입니다 | |
| 에서 까지 | 분할이 덮는 구간입니다 |
는 더미 변수입니다. 와 는 완전히 같은 수입니다. 31강에서 의 가 더미였던 것과 같습니다. 이 점은 49강에서 적분의 위끝을 변수로 삼을 때 결정적으로 중요해집니다.
세 근사 방식의 오차도 비교해 둘 값이 있습니다.
| 방식 | 오차 |
|---|---|
| 왼쪽 끝 | |
| 오른쪽 끝 | |
| 중점 |
중점 방식만 오차가 에 반비례합니다. 좌우의 오차가 서로 반대 부호로 상쇄되기 때문이며, 이것이 수치적분에서 중점법칙을 쓰는 이유입니다.
바로 확인 2.
확인 2-1. 분할의 노름이 무엇인지 쓰고 왜 필요한지 설명하세요.
답. 가장 넓은 소구간의 폭입니다. 소구간의 개수만 늘리고 큰 구간을 남겨 두면 근사가 개선되지 않으므로 가장 넓은 것을 통제해야 합니다.
확인 2-2. 와 의 관계를 쓰세요.
답. 완전히 같은 수입니다. 적분변수는 더미 변수이므로 이름이 달라도 값이 변하지 않습니다.
확인 2-3. 리만합에서 표본점을 자유롭게 고를 수 있다는 조건이 왜 정의에 들어갑니까?
답. 어떤 방식으로 근사하든 같은 값이 나와야 그 값을 함수만의 성질로 볼 수 있기 때문입니다.
문제. 정의만 써서 다음을 확인하세요.
(1)
(2) 일 때
(3) 에서 이면
(4) 일 때 를 어떻게 정하는 것이 자연스럽습니까?
생각의 실마리. 정적분은 리만합의 극한이고, 리만합은 유한합입니다. 유한합에서 성립하는 성질에 극한을 취하면 됩니다. 31강에서 익힌 합 기호의 조작이 그대로 쓰입니다. (4)는 증명이 아니라 규약을 정하는 문제이며, (2)가 언제나 성립하도록 정하는 것이 좋습니다.
풀이. (1) 같은 분할과 같은 표본점에서
입니다. 유한합의 선형성이며 31강의 내용입니다. 양변에 의 극한을 취하고 34강의 극한법칙을 쓰면 결론이 나옵니다.
(2) 를 반드시 분할점에 포함시키는 분할만 생각해도 정적분의 값은 같습니다. 그런 분할에서는 합이 의 왼쪽 부분과 오른쪽 부분으로 자연스럽게 갈라지므로
이고 극한을 취하면 됩니다.
(3) 각 표본점에서 이고 이므로 항마다 부등호가 유지됩니다. 유한합에서도 유지되고, 34강에 의해 극한에서도 부등호가 (등호를 허용하며) 유지됩니다.
(4) 로 정합니다. 이렇게 두면 , , 의 대소 관계에 상관없이 (2)가 항상 성립합니다. 또 도 따라옵니다.
이 문제에서 배우는 것: 성질의 목록과 그 근거.
| 성질 | 식 | 근거 |
|---|---|---|
| 선형성 | 유한합의 선형성 | |
| 구간가법성 | \int_{a}^{b}=\int_{a}^{c}+\int_{c}^ | 분할을 갈라 씁니다 |
| 단조성 | 항마다 부등호 유지 | |
| 방향 반전 | \int_{b}^{a}=-\int_{a}^ | 규약입니다 |
| 절댓값 | 심화 5에서 다룹니다 | |
| 유계 | 단조성의 따름 |
모든 성질이 유한합의 성질에 극한을 취한 것이라는 점이 요점입니다. 새로운 원리가 들어오지 않았습니다. 그러므로 어떤 등식이 성립하는지 헷갈리면 유한합에서 성립하는지 먼저 확인하면 됩니다.
이 기준은 성립하지 않는 것을 가려낼 때도 유용합니다. 유한합에서 이므로
입니다. 적분은 곱을 보존하지 않습니다. 38강에서 미분이 곱을 보존하지 않았던 것과 같은 사정이고, 그 대응물이 51강의 부분적분입니다.
마지막 줄의 유계 성질은 실무에서 자주 쓰입니다. 적분을 계산하지 못해도 최댓값과 최솟값만 알면 범위는 즉시 말할 수 있습니다.
바로 확인 3.
확인 3-1. 를 문제 1과 확인 1-1의 결과로 계산하세요.
답. 선형성으로 입니다.
확인 3-2. 가 과 사이에 있음을 보이세요.
답. 에서 이므로 유계 성질에 의해 입니다.
확인 3-3. 로 정하는 것이 편리한 이유를 쓰세요.
답. 이렇게 정해야 구간가법성이 세 점의 대소 관계에 상관없이 언제나 성립하기 때문입니다.
문제. 다음을 조사하세요.
(1) 각 소구간에서 최솟값과 최댓값으로 만든 합을 정의하고 리만합과의 관계를 쓰세요.
(2) 에서 (가 유리수), (가 무리수)인 디리클레 함수를 조사하세요.
(3) (), , ()인 함수를 에서 조사하세요.
생각의 실마리. (1)에서 표본점을 아무리 잘 골라도 최솟값 합보다 작아질 수 없고 최댓값 합보다 커질 수 없습니다. 그 두 합이 서로 다가가면 리만합은 끼여서 수렴합니다. (2)에서는 어떤 소구간에도 유리수와 무리수가 모두 있다는 사실이 열쇠입니다.
풀이. (1) 분할 의 번째 소구간에서 의 하한과 상한을 , 라 하고
를 각각 하합과 상합이라 합니다. 표본점을 어떻게 고르든 이므로
입니다.
(2) 어떤 소구간을 잡아도 그 안에 유리수와 무리수가 모두 있습니다(29강). 그러므로 모든 에서 이고 이며
입니다. 분할을 아무리 잘게 해도 두 합이 과 로 고정되어 다가가지 않습니다.
표본점을 모두 유리수로 고르면 리만합이 이고 모두 무리수로 고르면 입니다. 정의가 요구하는 "모든 표본점 선택에 대해 같은 값"이 깨지므로 이 함수는 적분가능하지 않습니다.
(3) 불연속점은 하나뿐입니다. 그 점을 품는 소구간 하나를 아주 좁게 잡으면, 그 구간에서 상합과 하합의 차이가 이하이므로 폭을 줄여 얼마든지 작게 만들 수 있습니다. 나머지 구간에서는 가 상수라 차이가 입니다. 따라서 상합과 하합이 다가가고 적분가능하며, 값은 입니다. 라는 값은 아무 영향이 없습니다.
이 문제에서 배우는 것: 적분가능성의 판정.
리만 판정법. 가 에서 유계일 때, 가 적분가능할 필요충분조건은 임의의 에 대해 인 분할 가 존재하는 것입니다.
이 판정법으로 다음이 따라옵니다.
| 함수 | 적분가능 여부 |
|---|---|
| 연속함수 | 적분가능합니다 |
| 유계이고 불연속점이 유한개 | 적분가능합니다 |
| 유계이고 단조 | 적분가능합니다 |
| 디리클레 함수 | 적분가능하지 않습니다 |
| 유계가 아닌 함수 | 리만 적분의 뜻으로는 불가능합니다 |
첫 줄이 실무적으로 가장 중요합니다. 연속이면 적분가능하다는 사실 덕분에 우리가 다루는 함수 대부분에서 적분의 존재를 걱정하지 않아도 됩니다. 증명의 열쇠는 닫힌구간에서 연속이면 균등연속이라는 성질이며, 심화 2에서 뼈대를 봅니다.
(3)의 결과도 기억해 둘 값이 있습니다. 유한개의 점에서 값을 바꿔도 적분값은 변하지 않습니다. 미분과 대조적입니다. 한 점의 값만 바꿔도 미분가능성은 즉시 무너지지만 적분은 꿈쩍하지 않습니다. 적분이 평균적인 성질을 재기 때문이며, 이 둔감함이 적분을 다루기 쉽게 만듭니다.
디리클레 함수가 적분 불가능하다는 사실은 리만 적분의 한계를 보여 줍니다. 20세기에 르베그가 적분을 다시 정의하면서 이 함수도 적분가능해지고 값은 이 되는데, 129강 이후 확률론에서 그 관점이 필요해집니다. 이 책에서는 리만 적분만 다룹니다.
바로 확인 4.
확인 4-1. 상합과 하합의 정의를 쓰고 리만합과의 대소 관계를 쓰세요.
답. 각 소구간의 하한과 상한으로 만든 합이며 입니다.
확인 4-2. 디리클레 함수가 적분가능하지 않은 이유를 한 문장으로 쓰세요.
답. 어떤 소구간에도 유리수와 무리수가 모두 있어 상합이 늘 , 하합이 늘 이므로 두 값이 다가가지 않기 때문입니다.
확인 4-3. 함수의 한 점에서 값을 바꾸면 적분값이 어떻게 됩니까?
답. 변하지 않습니다. 그 점을 품는 소구간의 폭을 줄이면 기여가 으로 가기 때문입니다.
문제. 다음을 조사하세요.
(1) 의 값을 대칭성으로 예측하고 그 뜻을 해석하세요.
(2) 를 로 나눈 값의 의미를 쓰세요.
(3) 가 연속이면 그 값을 실제로 취하는 점 가 있음을 보이세요.
생각의 실마리. (1)에서 은 에서 양수이고 에서 음수입니다. 리만합에서 높이 가 음수이면 그 항이 음수가 됩니다. (2)는 유한개 수의 평균을 연속적인 경우로 확장하면 어떤 식이 되는지 생각합니다. (3)에서는 36강의 정리를 씁니다.
풀이. (1) 이므로 에서의 값은 에서의 값과 부호만 반대입니다. 따라서 두 부분이 정확히 상쇄되어
입니다. 넓이는 이 아닙니다. 축 아래 부분의 기여가 음수로 세어지기 때문이며, 정적분은 넓이가 아니라 부호 있는 넓이입니다.
실제 넓이를 원하면 를 계산해야 합니다.
(2) 유한개 수의 평균은 입니다. 구간을 등분한 표본점에서의 평균은
이고 오른쪽은 리만합을 로 나눈 것입니다. 극한을 취하면
이며 이를 의 에서의 평균값이라 합니다.
(3) 가 에서 연속이면 36강의 최대·최소 정리로 최솟값 과 최댓값 을 취합니다. 유계 성질에서
입니다. 평균값이 과 사이에 있으므로 36강의 중간값 정리에 의해 그 값을 취하는 점 가 존재합니다.
이 문제에서 배우는 것: 정적분의 세 가지 읽기.
적분의 평균값 정리. 가 에서 연속이면 어떤 가 있어
입니다.
이 정리를 그림으로 읽으면 이렇습니다. 곡선 아래의 영역과 넓이가 같은 직사각형이 있고, 그 높이는 곡선 위 어딘가의 값입니다. 42강의 평균값 정리가 "평균변화율과 같은 순간변화율이 있다"였던 것과 짝을 이루며, 49강에서 두 정리가 실제로 연결됩니다.
정적분을 읽는 방법을 정리합니다.
| 읽기 | 뜻 | 조건 |
|---|---|---|
| 부호 있는 넓이 | 축 위는 양수, 아래는 음수로 셉니다 | 언제나 |
| 평균값 길이 | 가 평균입니다 | 언제나 |
| 총량 | 밀도를 적분하면 총량입니다 | 물리적 해석 |
세 번째 읽기가 이 커리큘럼에서 가장 널리 쓰입니다. 속도를 적분하면 이동 거리이고, 힘을 적분하면 일이며, 확률밀도를 적분하면 확률입니다. "단위 길이당 얼마"를 적분하면 "전체 얼마"가 됩니다.
129강에서 확률밀도함수 가 을 만족한다고 할 때 그 등식이 뜻하는 바가 정확히 이것입니다. 178강의 엔트로피 도 같은 구조이며, 밀도에 어떤 함수를 씌워 적분한 것이 곧 기댓값입니다.
바로 확인 5.
확인 5-1. 의 값을 대칭성으로 구하세요.
답. 이 홀함수이므로 원점 좌우가 상쇄되어 입니다.
확인 5-2. 의 에서의 평균값과 그 값을 취하는 를 구하세요.
답. 평균값은 입니다. 에서 입니다.
확인 5-3. 속도를 시간에 대해 적분하면 무엇이 나오는지 쓰고 이유를 설명하세요.
답. 이동 거리(부호를 포함하면 변위)가 나옵니다. 짧은 시간마다 속도 곱하기 시간이 그 동안의 이동이고 그것을 모두 더한 것이기 때문입니다.
| 개념 | 정의 |
|---|---|
| 분할 | 입니다 |
| 노름 | 가장 넓은 소구간의 폭 입니다 |
| 리만합 | 입니다 |
| 정적분 | 일 때 리만합의 극한입니다 |
| 하합·상합 | 각 소구간의 하한·상한으로 만든 합입니다 |
| 평균값 | 입니다 |
| 성질 | 식 |
|---|---|
| 선형성 | |
| 구간가법성 | \int_{a}^{b}=\int_{a}^{c}+\int_{c}^ |
| 단조성 | |
| 방향 반전 | \int_{b}^{a}=-\int_{a}^ |
| 유계 | |
| 절댓값 |
| 기억할 적분 | 값 |
|---|---|
| 자주 하는 실수 | 바로잡기 |
|---|---|
| 정적분을 넓이라고만 생각합니다 | 축 아래는 음수로 세어집니다 |
| 로 씁니다 | 적분은 곱을 보존하지 않습니다 |
| 만 쓰고 노름을 빠뜨립니다 | 가장 넓은 소구간을 통제해야 합니다 |
| 모든 유계함수가 적분가능하다고 생각합니다 | 디리클레 함수가 반례입니다 |
문제 6. 를 오른쪽 끝 리만합의 극한으로 구하세요. 단 입니다.
답. 입니다.
문제 7. 를 정의에서 구하세요.
답. 모든 표본점에서 높이가 이므로 리만합이 으로 일정합니다. 값은 입니다.
문제 8. 를 선형성으로 계산하세요.
답. 입니다.
문제 9. 이고 일 때 를 구하세요.
답. 구간가법성으로 입니다.
문제 10. 를 구하세요.
답. 방향 반전 규약으로 입니다.
문제 11. 에서 가 어떤 범위에 있는지 유계 성질로 말하세요.
답. 에서 이므로 값은 과 사이입니다.
문제 12. 를 구하세요.
답. 이 홀함수이고 구간이 원점 대칭이므로 입니다.
문제 13. 를 넓이로 구하세요.
답. 밑변 , 높이 인 삼각형 두 개이므로 입니다.
문제 14. 분할의 노름이 으로 가지 않으면서 소구간의 개수만 늘어나는 예를 드세요.
답. 에서 는 그대로 두고 만 등분하면 개수는 늘지만 노름은 계속 입니다.
문제 15. 유계인데 적분가능하지 않은 함수를 하나 들고 이유를 쓰세요.
답. 디리클레 함수입니다. 상합이 늘 , 하합이 늘 이라 두 값이 다가가지 않기 때문입니다.
문제 16. 의 에서의 평균값을 구하세요.
답. 이므로 평균값은 입니다.
문제 17. 문제 16에서 적분의 평균값 정리가 주는 를 구하세요.
답. 에서 이고 안에 있습니다.
문제 18. 가 거짓임을 예로 보이세요.
답. 를 에서 보면 왼쪽은 이고 오른쪽은 입니다.
심화 1. 상적분과 하적분을 정의하고, 리만 적분가능성이 두 값의 일치와 같음을 설명하세요.
풀이. 분할을 잘게 할수록 하합은 커지고 상합은 작아집니다. 소구간을 쪼개면 각 조각의 하한이 원래 하한보다 크거나 같고 상한은 작거나 같기 때문입니다. 그러므로 다음이 정의됩니다.
앞의 것을 하적분, 뒤의 것을 상적분이라 합니다. 항상 하적분이 상적분 이하입니다.
다르부 정리. 가 유계일 때, 가 리만 적분가능할 필요충분조건은 하적분과 상적분이 같은 것이며, 그때 공통값이 정적분입니다.
이 관점이 편리한 이유는 표본점을 언급하지 않아도 된다는 데 있습니다. 리만의 정의는 "모든 분할과 모든 표본점"을 다뤄야 하는데, 다르부의 정의는 상한과 하한만 보므로 다루기 쉽습니다. 문제 4의 계산에서 실제로 이 방식을 썼습니다.
디리클레 함수에 적용하면 하적분이 , 상적분이 이므로 두 값이 다르고 적분가능하지 않다는 결론이 즉시 나옵니다.
심화 2. 가 에서 연속이면 적분가능함을 증명의 뼈대만 세워 보이세요.
풀이. 열쇠는 다음 사실입니다.
균등연속. 닫힌 유계구간에서 연속인 함수는 균등연속입니다. 즉 임의의 에 대해 어떤 이 있어, 이면 위치에 상관없이 입니다.
보통의 연속은 가 점마다 달라도 되지만, 균등연속은 하나의 가 구간 전체에서 통합니다. 이 강화가 닫힌 유계구간에서는 공짜로 얻어집니다.
증명의 뼈대는 이렇습니다. 이 주어지면 균등연속성으로 에 대응하는 를 얻습니다. 인 분할을 잡으면 각 소구간의 폭이 보다 작으므로 그 안의 두 점에서 함숫값 차이가 미만이고, 따라서 입니다. 그러면
이므로 리만 판정법이 만족됩니다.
균등연속이 왜 필요한지가 이 증명의 요점입니다. 보통의 연속만으로는 가 점마다 다를 수 있어 하나의 분할로 모든 소구간을 동시에 통제할 수 없습니다. 닫힌구간이라는 조건이 여기서 다시 결정적으로 쓰이며, 36강의 두 정리와 같은 뿌리에서 나옵니다.
심화 3. 중점법칙과 사다리꼴 법칙의 오차가 에 반비례하는 이유를 에서 확인하고, 두 오차의 부호가 반대인 이유를 볼록성으로 설명하세요.
풀이. 문제 1과 문제 2의 계산에서 의 등분에 대해
입니다. 사다리꼴 법칙은 좌우 합의 평균이므로
입니다. 좌우의 항이 정확히 상쇄되어 항이 사라졌습니다. 이것이 중점법칙과 사다리꼴 법칙이 빠른 이유입니다.
오차를 비교하면 중점은 이고 사다리꼴은 입니다. 부호가 반대이고 크기는 사다리꼴이 정확히 두 배입니다.
부호는 44강의 볼록성으로 설명됩니다. 은 아래로 볼록합니다.
| 방법 | 근사 도형 | 볼록함수에서 |
|---|---|---|
| 사다리꼴 | 두 끝점을 잇는 현 아래 | 현이 곡선 위에 있으므로 과대평가 |
| 중점 | 중점에서 그은 접선 아래 | 접선이 곡선 아래에 있으므로 과소평가 |
중점법칙이 접선 근사와 같다는 것은 확인이 필요합니다. 중점에서 그은 접선 아래의 사다리꼴 넓이는 밑변 곱하기 중점 높이와 같은데, 접선이 대칭이라 양쪽 초과분과 부족분이 상쇄되기 때문입니다. 44강 심화 1의 접선 부등식에 의해 곡선이 접선 위에 있으므로 중점법칙은 과소평가입니다.
크기가 정확히 두 배인 관계에서 더 좋은 방법이 나옵니다. 두 오차를 로 가중해 없애면
으로 오차가 완전히 사라집니다. 이것이 심프슨 법칙이며, 삼차함수까지 정확히 적분합니다.
심화 4. 적분의 평균값 정리에서 를 열린구간 에서 찾을 수 있음을 보이세요. 본문의 증명은 닫힌구간까지만 보장했습니다.
풀이. 본문에서는 중간값 정리를 에 적용해 를 얻었습니다. 가 끝점인 경우를 배제해야 합니다.
평균값을 라 합니다. 두 경우로 나눕니다.
가 상수이면 모든 점에서 이므로 내부의 아무 점이나 로 잡으면 됩니다.
가 상수가 아니면 어떤 점에서 이고 다른 점에서 입니다. 이유는 이렇습니다. 만약 모든 점에서 이고 어딘가에서 라면, 연속성에 의해 그 근처의 작은 구간에서도 가 유지되므로
가 되어 의 정의에 어긋납니다. 반대 경우도 같습니다.
그러므로 인 두 점 가 있고, 그 둘 사이의 닫힌구간에 중간값 정리를 적용하면 인 를 얻습니다. 와 중 적어도 하나는 내부에 있고 는 둘 사이에 있으므로, 필요하면 구간을 조금 좁혀 를 안에서 잡을 수 있습니다.
"모든 점에서 이면 적분이 커진다"는 논증이 이 풀이의 핵심이며, 연속성이 그 논증을 가능하게 합니다. 연속이 아니면 한 점만 튀어도 적분에 영향이 없으므로(문제 4) 이 방식이 통하지 않습니다.
심화 5. 를 증명하고 등호가 성립하는 조건을 구하세요. 단 입니다.
풀이. 모든 에서
입니다. 세 함수에 문제 3의 단조성을 적용하면
이고, 이는 곧 입니다.
등호 조건을 봅니다. 가 연속이라 가정하면, 등호가 성립할 필요충분조건은 가 구간에서 부호를 바꾸지 않는 것입니다.
이면 이므로 등호가 자명합니다. 이면 양변 모두 가 됩니다.
거꾸로 가 부호를 바꾼다고 하면, 연속이므로 인 구간과 인 구간이 각각 양의 길이를 가집니다. 그러면
입니다. 음수 부분이 에서는 빼지지만 에서는 더해지기 때문입니다.
이 부등식은 삼각부등식의 적분판입니다. 유한합에서 였던 것에 극한을 취한 것이며, 문제 3에서 말한 "유한합의 성질에 극한을 취한다"는 원리가 여기서도 그대로 작동합니다.
심화 6. 를 로 정의하면 45강 심화 4에서 지적한 순환논법을 피할 수 있음을 설명하세요.
풀이. 45강에서 확인한 순환 구조는 이랬습니다. 를 수열의 극한으로 정의하고, 그것으로 을 유도하고, 그 도함수로 다시 극한을 계산하는 순서였습니다. 논리적으로 무너지지는 않았지만 각 단계가 앞 단계에 의존해 사슬이 길고, 어떤 극한을 어떤 도구로 증명해도 되는지 매번 따져야 했습니다.
순서를 뒤집으면 훨씬 깔끔해집니다. 에서
로 정의합니다. 은 에서 연속이므로 심화 2에 의해 적분이 존재하며, 이 정의는 지수함수도 도 사용하지 않습니다.
이제 성질이 차례로 따라옵니다.
| 성질 | 근거 |
|---|---|
| 입니다 | |
| 49강의 미적분의 기본정리입니다 | |
| 이 순증가 | 이고 43강의 판정법입니다 |
| 이 위로 볼록 | 이고 44강입니다 |
| 50강의 치환적분으로 증명합니다 |
마지막 성질이 이 함수를 로그라고 부를 자격을 줍니다. 그리고 이 순증가하고 치역이 실수 전체이므로 역함수가 존재하는데, 그 역함수를 라 정의하고 로 둡니다. 가 정의의 출발점이 아니라 결과가 됩니다.
이 방식의 장점은 분명합니다. 33강의 수열이 수렴한다는 사실(단조수렴정리가 필요합니다)이나 39강에서 의 극한을 다루던 어려움을 모두 우회합니다. 적분 하나로 로그와 지수를 한꺼번에 세울 수 있습니다.
이 책에서 그렇게 하지 않은 이유는 순서 때문입니다. 지수와 로그는 19강에서 이미 필요했고 적분은 48강에서야 나옵니다. 다만 지금 시점에서는 이 대안을 알아 둘 값이 있으며, 실제로 많은 해석학 교재가 이 길을 택합니다. 53강에서 이 정의로 가 발산함을 보일 때 다시 만납니다.
이 강의에서는 numpy만 씁니다. 리만합은 코드로 확인하기에 이상적인 주제입니다. 정의가 곧 유한합이므로 코드가 정의를 그대로 옮겨 적을 수 있습니다. 다만 극한은 코드가 도달하지 못하므로 수렴하는 모습만 볼 수 있습니다.
import numpy as np
def riemann(f, a, b, n, kind="right"):
"""구간을 n 등분한 리만합입니다. kind 로 표본점을 고릅니다."""
x = np.linspace(a, b, n + 1)
h = (b - a)/n
if kind == "left": pts = x[:-1]
elif kind == "right":pts = x[1:]
else: pts = 0.5*(x[:-1] + x[1:])
return float(np.sum(f(pts))*h)
f = lambda t: t**2
print("n 좌합 우합 중점합")
for n in [4, 10, 100, 1000]:
print(n, "%.8f %.8f %.8f" % (riemann(f,0,1,n,"left"),
riemann(f,0,1,n,"right"),
riemann(f,0,1,n,"mid")))
print(1/3)
# n 좌합 우합 중점합
# 4 0.21875000 0.46875000 0.32812500
# 10 0.28500000 0.38500000 0.33250000
# 100 0.32835000 0.33835000 0.33332500
# 1000 0.33283350 0.33383350 0.33333325
# 0.3333333333333333
# 증가함수에서 좌합 <= 참값 <= 우합, 차이는 정확히 1/n
for n in [10, 1000]:
L = riemann(f,0,1,n,"left"); R = riemann(f,0,1,n,"right")
print(n, L <= 1/3 <= R, "%.8f" % (R - L), "%.8f" % (1.0/n))
# 10 True 0.10000000 0.10000000
# 1000 True 0.00100000 0.00100000
# 오차 차수: 좌합은 1/n, 중점과 사다리꼴은 1/n^2
print("n 좌합오차 중점오차 사다리꼴오차")
for n in [10, 100, 1000]:
L = riemann(f,0,1,n,"left"); R = riemann(f,0,1,n,"right")
M = riemann(f,0,1,n,"mid"); T = 0.5*(L + R)
print(n, "%.3e %.3e %.3e" % (abs(L-1/3), abs(M-1/3), abs(T-1/3)))
print("%.8f %.8f" % (1/(12*100**2), 1/(6*100**2)))
# n 좌합오차 중점오차 사다리꼴오차
# 10 4.833e-02 8.333e-04 1.667e-03
# 100 4.983e-03 8.333e-06 1.667e-05
# 1000 4.998e-04 8.333e-08 1.667e-07
# 0.00000833 0.00001667
# sin 의 정적분
for n in [10, 1000, 100000]:
print(n, "%.10f" % riemann(np.sin, 0, np.pi, n, "mid"))
# 10 2.0082484079
# 1000 2.0000008225
# 100000 2.0000000001
# 부호 있는 넓이와 실제 넓이
print("%.10f" % riemann(np.sin, 0, 2*np.pi, 100000, "mid")) # 0.0000000000
print("%.10f" % riemann(lambda t: np.abs(np.sin(t)), 0, 2*np.pi, 100000, "mid"))
# 4.0000000007
# 적분의 평균값 정리가 주는 c
avg = riemann(f, 0, 1, 1000000, "mid")/1.0
print("%.8f" % avg, "%.8f" % np.sqrt(1/3)) # 0.33333333 0.57735027
# 디리클레 함수: 부동소수점 수는 모두 유리수이므로 격자에서 늘 1 입니다
x = np.linspace(0.0, 1.0, 1001)
print(float(np.mean(np.ones_like(x))), float(np.mean(np.zeros_like(x)))) # 1.0 0.0
실행하면 주석과 같은 값이 나옵니다. 다섯 곳을 짚어 둡니다.
첫째, 좌합과 우합이 참값 을 정확히 위아래로 감쌉니다. 에서 입니다. 두 합이 조여 오는 모습이 곧 정의의 그림입니다.
둘째, 우합과 좌합의 차이가 에서 정확히 , 에서 정확히 입니다. 손으로 유도한 과 일치합니다. 증가함수에서는 이 그 차이인데 여기서는 입니다.
셋째, 오차 차수가 표에 그대로 드러납니다. 을 열 배 늘릴 때 좌합 오차는 열 배 줄고() 중점과 사다리꼴 오차는 백 배 줄어듭니다(). 그리고 의 실제 오차 과 가 이론값 , 과 정확히 일치하며, 사다리꼴 오차가 중점 오차의 두 배라는 심화 3의 관계도 확인됩니다.
넷째, 이 이고 이 입니다. 정적분이 부호 있는 넓이라는 사실이 한 줄로 드러납니다. 두 값의 차이가 정확히 축 아래 부분의 넓이 두 배입니다.
다섯째, 디리클레 함수 부분이 이 강의에서 코드의 한계를 가장 선명하게 보여 줍니다. 모든 부동소수점 수는 유리수이므로 코드는 무리수 쪽을 영원히 볼 수 없습니다. 격자에서 이 함수를 재면 항상 이 나오는데, 그것은 상합에 해당합니다. 하합인 은 코드가 도달할 수 없는 값이며, 두 값이 다르다는 사실이 곧 적분 불가능의 근거입니다. 코드가 볼 수 있는 것만 보고 판단하면 이 함수를 적분가능하다고 잘못 결론지었을 것입니다.
정답.
| 기호 | 읽는 법 | 뜻 |
|---|---|---|
| 부터 까지 의 적분 | 리만합의 극한입니다 | |
| partition | 구간을 나누는 점들의 모임입니다 | |
| 노름, mesh | 가장 넓은 소구간의 폭입니다 | |
| \xi_ | 크사이 | 번째 소구간의 표본점입니다 |
| \Delta x_ | 델타 엑스 | 번째 소구간의 폭입니다 |
| , | 하합, 상합 | 하한·상한으로 만든 합입니다 |
| 부호 있는 넓이 | signed area | 축 아래는 음수로 셉니다 |
| 균등연속 | uniform continuity | 가 위치에 무관한 연속입니다 |
| 심프슨 법칙 | Simpson's rule | 중점과 사다리꼴을 로 섞습니다 |
다음 49강에서 이 단원의 중심에 도달합니다. 지금까지 정적분을 계산하려면 합 공식을 찾아 극한을 취해야 했고, 같은 공식이 없는 함수에는 손도 못 댔습니다. 그런데 적분의 위끝을 변수로 놓고 미분하면 원래 함수가 되돌아옵니다. 이 한 문장이 미적분의 기본정리이며, 그 덕분에 적분 계산이 미분의 역과정으로 바뀝니다.