49강에서 적분 계산이 원시함수 찾기로 바뀌었습니다. 그런데 그 강의에서 다룬 적분은 모두 표에 있는 것뿐이었습니다.
∫ 2 x e x 2 d x ∫ 2 x e x 2 d x x x e x e x e x 2 e x 2
답을 알면 검산은 쉬운데 답을 찾는 방법이 없습니다. 이것이 적분의 근본적인 어려움입니다. 미분은 규칙을 순서대로 적용하면 기계적으로 끝나지만, 적분에는 그런 절차가 없습니다.
그래서 04단원의 나머지는 미분 규칙을 하나씩 거꾸로 읽는 작업 입니다. 이 강의는 38강의 연쇄법칙을 뒤집고, 51강은 곱의 미분법을 뒤집습니다. 미분 규칙 하나마다 대응하는 적분 기술이 있고, 그것이 우리가 가진 도구의 전부입니다.
치환적분은 이 커리큘럼에서 계산 기술 이상의 의미를 가집니다. 129강에서 확률변수를 변환할 때 밀도가 어떻게 바뀌는지, 384강에서 확산 모형이 좌표를 바꿀 때 무슨 일이 일어나는지가 모두 치환의 문제입니다. 변수를 바꾸면 미소량이 어떻게 변하는가 가 그 질문의 공통된 형태입니다.
연쇄법칙을 거꾸로 읽어 치환적분 공식을 유도할 수 있습니다.
무엇을 치환할지 식의 구조를 보고 설계할 수 있습니다.
정적분에서 적분 한계를 함께 바꿀 수 있습니다.
근호가 있는 식에 삼각치환을 설계할 수 있습니다.
치환이 정당한 조건을 판정하고 실패하는 경우를 진단할 수 있습니다.
문제. ∫ 2 x e x 2 d x ∫ 2 x e x 2 d x F ( x ) = e x 2 F ( x ) = e x 2
생각의 실마리. (1)은 38강의 연쇄법칙입니다. 바깥이 e u e u x 2 x 2 바깥함수의 도함수에 안쪽함수의 도함수가 곱해진 꼴 인데, 적분할 식이 정확히 그 모양이면 언제나 같은 방법이 통할 것입니다.
풀이. (1) 연쇄법칙으로
d d x e x 2 = e x 2 ⋅ 2 x d x d e x 2 = e x 2 ⋅ 2 x
입니다.
(2) 미분해서 2 x e x 2 2 x e x 2
∫ 2 x e x 2 d x = e x 2 + C ∫ 2 x e x 2 d x = e x 2 + C
입니다.
(3) F ′ = f F ′ = f g g
d d x F ( g ( x ) ) = f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x d F ( g ( x ) ) = f ( g ( x ) ) g ′ ( x )
입니다. 양변을 적분으로 뒤집으면
∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = F ( g ( x ) ) + C
입니다.
이 문제에서 배우는 것: 치환적분.
치환적분(부정적분). f f g g
∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u ( u = g ( x ) ) ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u ( u = g ( x ) )
입니다.
오른쪽 적분을 계산한 뒤 u u g ( x ) g ( x )
실제로 쓸 때는 다음과 같이 적습니다.
단계
표기
치환을 정합니다
u = g ( x ) u = g ( x )
미분해서 미소량을 바꿉니다
d u = g ′ ( x ) d x d u = g ′ ( x ) d x
식을 u u
∫ f ( u ) d u ∫ f ( u ) d u
적분한 뒤 되돌립니다
F ( u ) = F ( g ( x ) ) F ( u ) = F ( g ( x ) )
d u = g ′ ( x ) d x d u = g ′ ( x ) d x d u d x = g ′ ( x ) d x d u = g ′ ( x ) d x d x 여기서도 그 조작이 최종적으로는 위의 정리로 정당화됩니다.
문제 1의 계산을 이 표기로 다시 씁니다. u = x 2 u = x 2 d u = 2 x d x d u = 2 x d x
∫ 2 x e x 2 d x = ∫ e u d u = e u + C = e x 2 + C ∫ 2 x e x 2 d x = ∫ e u d u = e u + C = e x 2 + C
입니다.
이 방법이 언제 통하는지가 핵심입니다. 피적분함수가 "합성함수 곱하기 안쪽함수의 도함수" 꼴이어야 합니다. ∫ e x 2 d x ∫ e x 2 d x 2 x 2 x 2 x 2 x
바로 확인 1.
확인 1-1. ∫ 3 x 2 cos ( x 3 ) d x ∫ 3 x 2 cos ( x 3 ) d x
답. u = x 3 u = x 3 d u = 3 x 2 d x d u = 3 x 2 d x ∫ cos u d u = sin u + C = sin ( x 3 ) + C ∫ cos u d u = sin u + C = sin ( x 3 ) + C
확인 1-2. ∫ 2 x 1 + x 2 d x ∫ 1 + x 2 2 x d x
답. u = 1 + x 2 u = 1 + x 2 d u = 2 x d x d u = 2 x d x ∫ d u u = ln ∣ u ∣ + C = ln ( 1 + x 2 ) + C ∫ u d u = ln ∣ u ∣ + C = ln ( 1 + x 2 ) + C
확인 1-3. ∫ e x 2 d x ∫ e x 2 d x
답. u = x 2 u = x 2 d u = 2 x d x d u = 2 x d x x x d x d x d u d u
문제. 다음 각각에서 치환할 대상을 정하고 적분하세요.∫ x x 2 + 1 d x ∫ x x 2 + 1 d x ∫ ln x x d x ∫ x ln x d x ∫ tan x d x ∫ tan x d x ∫ x x − 1 d x ∫ x x − 1 d x
생각의 실마리. 치환의 후보는 식 안에 덩어리로 들어 있으면서 그 도함수도 식 안에 있는 것 입니다. (1)은 근호 안, (2)는 ln x ln x sin x cos x cos x sin x u = x − 1 u = x − 1 d u = d x d u = d x x x
풀이. (1) u = x 2 + 1 u = x 2 + 1 d u = 2 x d x d u = 2 x d x x d x = d u 2 x d x = 2 d u
∫ x x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ u d u = 1 2 ⋅ 2 3 u 3 / 2 + C = 1 3 ( x 2 + 1 ) 3 / 2 + C ∫ x x 2 + 1 d x = 2 1 ∫ u d u = 2 1 ⋅ 3 2 u 3 / 2 + C = 3 1 ( x 2 + 1 ) 3 / 2 + C
(2) u = ln x u = ln x d u = d x x d u = x d x
∫ ln x x d x = ∫ u d u = u 2 2 + C = ( ln x ) 2 2 + C ∫ x ln x d x = ∫ u d u = 2 u 2 + C = 2 ( ln x ) 2 + C
(3) tan x = sin x cos x tan x = cos x sin x u = cos x u = cos x d u = − sin x d x d u = − sin x d x
∫ tan x d x = − ∫ d u u = − ln ∣ u ∣ + C = − ln ∣ cos x ∣ + C ∫ tan x d x = − ∫ u d u = − ln ∣ u ∣ + C = − ln ∣ cos x ∣ + C
입니다. ln ∣ sec x ∣ + C ln ∣ sec x ∣ + C
(4) u = x − 1 u = x − 1 d u = d x d u = d x x = u + 1 x = u + 1 남은 x x u u
∫ x x − 1 d x = ∫ ( u + 1 ) u d u = ∫ ( u 3 / 2 + u 1 / 2 ) d u = 2 5 u 5 / 2 + 2 3 u 3 / 2 + C ∫ x x − 1 d x = ∫ ( u + 1 ) u d u = ∫ ( u 3 / 2 + u 1 / 2 ) d u = 5 2 u 5 / 2 + 3 2 u 3 / 2 + C
되돌리면 2 5 ( x − 1 ) 5 / 2 + 2 3 ( x − 1 ) 3 / 2 + C 5 2 ( x − 1 ) 5 / 2 + 3 2 ( x − 1 ) 3 / 2 + C
이 문제에서 배우는 것: 치환의 설계.
무엇을 u u 설계 입니다. 다만 좋은 후보를 찾는 기준이 있습니다.
치환 후보를 고르는 기준.
우선순위
후보
이유
1
근호 안 의 식
근호를 벗기면 멱함수가 됩니다
2
지수의 지수
e u e u
3
분모 전체
d u u u d u
4
괄호 안의 복잡한 식
안쪽이 단순해집니다
5
ln x ln x arctan x arctan x 도함수가 유리식이라 잘 맞습니다
고른 뒤에는 d u d u
(4)는 조금 다른 상황이라 따로 기억해 둡니다. d u d u d x d x x x x x
계산 후 검산은 언제나 쉽습니다. 미분해서 원래 함수가 나오는지 보면 됩니다. (1)을 확인하면
d d x [ 1 3 ( x 2 + 1 ) 3 / 2 ] = 1 3 ⋅ 3 2 ( x 2 + 1 ) 1 / 2 ⋅ 2 x = x x 2 + 1 d x d [ 3 1 ( x 2 + 1 ) 3 / 2 ] = 3 1 ⋅ 2 3 ( x 2 + 1 ) 1 / 2 ⋅ 2 x = x x 2 + 1
으로 맞습니다. 49강에서 말한 대로 적분은 어렵고 미분은 쉬우므로 검산을 거르지 마십시오.
바로 확인 2.
확인 2-1. ∫ d x x ln x ∫ x ln x d x
답. u = ln x u = ln x d u = d x x d u = x d x ∫ d u u = ln ∣ ln x ∣ + C ∫ u d u = ln ∣ ln x ∣ + C
확인 2-2. ∫ 3 x cos x d x ∫ sin 3 x cos x d x
답. u = sin x u = sin x d u = cos x d x d u = cos x d x ∫ u 3 d u = 4 x 4 + C ∫ u 3 d u = 4 sin 4 x + C
확인 2-3. ∫ x ( x + 2 ) 5 d x ∫ x ( x + 2 ) 5 d x
답. u = x + 2 u = x + 2 x = u − 2 x = u − 2 ∫ ( u − 2 ) u 5 d u = u 7 7 − u 6 3 + C = ( x + 2 ) 7 7 − ( x + 2 ) 6 3 + C ∫ ( u − 2 ) u 5 d u = 7 u 7 − 3 u 6 + C = 7 ( x + 2 ) 7 − 3 ( x + 2 ) 6 + C
문제. ∫ 0 π / 2 sin x cos x d x ∫ 0 π / 2 sin x cos x d x
생각의 실마리. (2)의 방식이 요령입니다. x x 0 0 π 2 2 π u = sin x u = sin x 한계를 바꾸면 되돌릴 필요가 없어집니다.
풀이. (1) u = sin x u = sin x d u = cos x d x d u = cos x d x
∫ sin x cos x d x = ∫ u d u = u 2 2 + C = 2 x 2 + C ∫ sin x cos x d x = ∫ u d u = 2 u 2 + C = 2 sin 2 x + C
이고 대입하면
[ 2 x 2 ] 0 π / 2 = 1 2 − 0 = 1 2 [ 2 sin 2 x ] 0 π / 2 = 2 1 − 0 = 2 1
입니다.
(2) x = 0 x = 0 u = sin 0 = 0 u = sin 0 = 0 x = π 2 x = 2 π u = sin π 2 = 1 u = sin 2 π = 1
∫ 0 π / 2 sin x cos x d x = ∫ 0 1 u d u = [ u 2 2 ] 0 1 = 1 2 ∫ 0 π / 2 sin x cos x d x = ∫ 0 1 u d u = [ 2 u 2 ] 0 1 = 2 1
입니다.
(3) (2)가 짧습니다. 되돌리는 단계가 없기 때문입니다. 일반적으로
∫ a b f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u ∫ a b f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u
입니다.
이 문제에서 배우는 것: 한계 변환.
치환적분(정적분). g g [ a , b ] [ a , b ] g ′ g ′ f f g g
∫ a b f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u ∫ a b f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u
입니다.
증명은 49강의 기본정리로 두 줄입니다. F ′ = f F ′ = f F ( g ( b ) ) − F ( g ( a ) ) F ( g ( b ) ) − F ( g ( a ) ) F ( g ( b ) ) − F ( g ( a ) ) F ( g ( b ) ) − F ( g ( a ) )
두 방식을 비교합니다.
되돌리는 방식
한계를 바꾸는 방식
단계 수
많습니다
적습니다
실수하기 쉬운 곳
되돌리기를 빠뜨립니다
한계 계산을 틀립니다
부정적분이 복잡할 때
식이 지저분해집니다
영향받지 않습니다
권장
이쪽을 씁니다
정적분에서는 한계를 바꾸는 방식을 기본으로 삼으십시오. 되돌리기를 잊어 x x u u
한계 변환에서 자주 놓치는 것이 있습니다. g ( a ) > g ( b ) g ( a ) > g ( b ) u = cos x u = cos x x x u u
바로 확인 3.
확인 3-1. ∫ 0 1 2 x e x 2 d x ∫ 0 1 2 x e x 2 d x
답. u = x 2 u = x 2 0 0 1 1 ∫ 0 1 e u d u = e − 1 ∫ 0 1 e u d u = e − 1
확인 3-2. ∫ 0 π / 2 sin x 2 x d x ∫ 0 π / 2 sin x cos 2 x d x
답. u = cos x u = cos x d u = − sin x d x d u = − sin x d x 1 1 0 0 − ∫ 1 0 u 2 d u = ∫ 0 1 u 2 d u = 1 3 − ∫ 1 0 u 2 d u = ∫ 0 1 u 2 d u = 3 1
확인 3-3. 치환 후 아래끝이 위끝보다 커져도 되는 이유를 쓰세요.
답. 48강의 방향 반전 규약에 의해 ∫ b a = − ∫ a b ∫ b a = − ∫ a b
문제. 다음을 계산하세요.∫ 0 1 1 − x 2 d x ∫ 0 1 1 − x 2 d x ∫ d x 1 + x 2 ∫ 1 + x 2 d x
생각의 실마리. (1)에서 u = 1 − x 2 u = 1 − x 2 d u = − 2 x d x d u = − 2 x d x x x x x 1 − x 2 1 − x 2
풀이. (1) x = sin θ x = sin θ 1 − x 2 = 1 − 2 θ = 2 θ 1 − x 2 = 1 − sin 2 θ = cos 2 θ
1 − x 2 = ∣ cos θ ∣ 1 − x 2 = ∣ cos θ ∣
입니다. θ θ [ − π 2 , π 2 ] [ − 2 π , 2 π ] cos θ ≥ 0 cos θ ≥ 0 d x = cos θ d θ d x = cos θ d θ x = 0 x = 0 θ = 0 θ = 0 x = 1 x = 1 θ = π 2 θ = 2 π
∫ 0 1 1 − x 2 d x = ∫ 0 π / 2 cos θ ⋅ cos θ d θ = ∫ 0 π / 2 2 θ d θ ∫ 0 1 1 − x 2 d x = ∫ 0 π / 2 cos θ ⋅ cos θ d θ = ∫ 0 π / 2 cos 2 θ d θ
반각공식 2 θ = 1 + cos 2 θ 2 cos 2 θ = 2 1 + cos 2 θ
= 1 2 ∫ 0 π / 2 ( 1 + cos 2 θ ) d θ = 1 2 [ θ + sin 2 θ 2 ] 0 π / 2 = 1 2 ⋅ π 2 = π 4 = 2 1 ∫ 0 π / 2 ( 1 + cos 2 θ ) d θ = 2 1 [ θ + 2 sin 2 θ ] 0 π / 2 = 2 1 ⋅ 2 π = 4 π
입니다.
(2) y = 1 − x 2 y = 1 − x 2 x 2 + y 2 = 1 x 2 + y 2 = 1 x x 0 0 1 1 반지름 1 1 이고 그 값은 π 4 4 π
(3) 1 + x 2 1 + x 2 1 + 2 θ = 2 θ 1 + tan 2 θ = sec 2 θ x = tan θ x = tan θ
1 + x 2 = sec θ , d x = 2 θ d θ 1 + x 2 = sec θ , d x = sec 2 θ d θ
이므로 적분이 ∫ sec θ d θ ∫ sec θ d θ
이 문제에서 배우는 것: 역치환과 삼각치환.
지금까지는 u = g ( x ) u = g ( x ) x = h ( θ ) x = h ( θ ) 역치환 이라 합니다.
역치환. x = h ( θ ) x = h ( θ ) 단사 이면
∫ f ( x ) d x = ∫ f ( h ( θ ) ) h ′ ( θ ) d θ ∫ f ( x ) d x = ∫ f ( h ( θ ) ) h ′ ( θ ) d θ
입니다.
단사 조건이 새로 붙었습니다. 계산을 마친 뒤 θ θ x x h h θ θ [ − π 2 , π 2 ] [ − 2 π , 2 π ]
근호의 형태에 따라 치환이 정해집니다.
근호
치환
근거 항등식
θ θ
a 2 − x 2 a 2 − x 2 x = a sin θ x = a sin θ 1-\sin^{2}=\cos^
[ − π 2 , π 2 ] [ − 2 π , 2 π ]
a 2 + x 2 a 2 + x 2 x = a tan θ x = a tan θ 1+\tan^{2}=\sec^
( − π 2 , π 2 ) ( − 2 π , 2 π )
x 2 − a 2 x 2 − a 2 x = a sec θ x = a sec θ \sec^{2}-1=\tan^
[ 0 , π 2 ) [ 0 , 2 π )
세 치환 모두 목적이 같습니다. 피타고라스 항등식으로 근호 안을 완전제곱으로 만들어 근호를 벗기는 것입니다. 외울 것은 세 항등식뿐이고 치환은 거기서 따라 나옵니다.
(2)의 확인도 습관으로 삼을 값이 있습니다. 기하학적으로 답을 아는 적분으로 방법을 검증 하면 계산이 맞는지 즉시 알 수 있습니다.
바로 확인 4.
확인 4-1. ∫ 0 1 / 2 d x 1 − x 2 ∫ 0 1 / 2 1 − x 2 d x
답. 원시함수가 arcsin x arcsin x arcsin 1 2 − 0 = π 6 arcsin 2 1 − 0 = 6 π
확인 4-2. ∫ 4 − x 2 d x ∫ 4 − x 2 d x
답. x = 2 sin θ x = 2 sin θ 4 − x 2 = 4 2 θ 4 − x 2 = 4 cos 2 θ
확인 4-3. 역치환에서 단사 조건이 필요한 이유를 쓰세요.
답. 계산을 마친 뒤 θ θ x x
문제. 다음을 판정하세요.∫ − 1 2 x e x 2 d x ∫ − 1 2 x e x 2 d x u = x 2 u = x 2 g g ∫ − 1 1 x e x 2 d x ∫ − 1 1 x e x 2 d x ∫ − 1 1 1 − x 2 d x ∫ − 1 1 1 − x 2 d x x = sin θ x = sin θ θ θ [ 0 , 2 π ] [ 0 , 2 π ]
생각의 실마리. (1)과 (2)는 u = g ( x ) u = g ( x ) x = h ( θ ) x = h ( θ ) 두 방향에 필요한 조건이 다릅니다. 어느 쪽에서 단사성이 필요한지가 이 문제의 요점입니다.
풀이. (1) u = x 2 u = x 2 d u = 2 x d x d u = 2 x d x x = − 1 x = − 1 u = 1 u = 1 x = 2 x = 2 u = 4 u = 4
∫ − 1 2 x e x 2 d x = 1 2 ∫ 1 4 e u d u = e 4 − e 2 ≈ 25.94 ∫ − 1 2 x e x 2 d x = 2 1 ∫ 1 4 e u d u = 2 e 4 − e ≈ 2 5 . 9 4
직접 계산해도 [ e x 2 2 ] − 1 2 = e 4 − e 2 [ 2 e x 2 ] − 1 2 = 2 e 4 − e g ( x ) = x 2 g ( x ) = x 2 [ − 1 , 2 ] [ − 1 , 2 ]
(2) 한계가 x = − 1 x = − 1 u = 1 u = 1 x = 1 x = 1 u = 1 u = 1
1 2 ∫ 1 1 e u d u = 0 2 1 ∫ 1 1 e u d u = 0
이고, 실제로 x e x 2 x e x 2 0 0
(3) θ θ [ 0 , 2 π ] [ 0 , 2 π ] x = sin θ x = sin θ 0 → 1 → 0 → − 1 → 0 0 → 1 → 0 → − 1 → 0 cos θ cos θ 1 − x 2 = ∣ cos θ ∣ ≠ cos θ 1 − x 2 = ∣ cos θ ∣ = cos θ cos θ cos θ 틀린 답이 나옵니다.
이 문제에서 배우는 것: 두 방향에 필요한 조건이 다릅니다.
방향
형태
필요한 조건
단사성
정방향
u = g ( x ) u = g ( x ) g g g ′ g ′ 필요 없습니다
역방향
x = h ( θ ) x = h ( θ ) h h h ′ h ′ 필요합니다
정방향에서 단사성이 필요 없는 이유는 증명을 보면 분명합니다. 49강의 기본정리로 양변이 모두 F ( g ( b ) ) − F ( g ( a ) ) F ( g ( b ) ) − F ( g ( a ) ) g g g g 양 끝에서의 값만 결과에 남습니다.
역방향에서 단사성이 필요한 이유는 다릅니다. 첫째, 부정적분에서는 θ θ x x h ′ h ′ 부호를 바꾸면 절댓값 처리가 필요해집니다.
실무적 결론은 이렇습니다.
정방향 치환은 마음 놓고 쓰되, 역치환에서는 새 변수의 범위를 반드시 명시하십시오.
문제 4에서 θ ∈ [ − π 2 , π 2 ] θ ∈ [ − 2 π , 2 π ] cos θ ≥ 0 cos θ ≥ 0
바로 확인 5.
확인 5-1. 정방향 치환에 g g
답. 증명에서 양변이 모두 F ( g ( b ) ) − F ( g ( a ) ) F ( g ( b ) ) − F ( g ( a ) )
확인 5-2. ∫ − 2 2 x cos ( x 2 ) d x ∫ − 2 2 x cos ( x 2 ) d x
답. u = x 2 u = x 2 4 4 4 4 0 0
확인 5-3. 1 − x 2 = cos θ 1 − x 2 = cos θ
답. cos θ ≥ 0 cos θ ≥ 0 θ ∈ [ − π 2 , π 2 ] θ ∈ [ − 2 π , 2 π ]
공식
조건
∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u g g f f
∫ a b f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u ∫ a b f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ g ( a ) g ( b ) f ( u ) d u 위와 같습니다
∫ f ( x ) d x = ∫ f ( h ( θ ) ) h ′ ( θ ) d θ ∫ f ( x ) d x = ∫ f ( h ( θ ) ) h ′ ( θ ) d θ h h 단사
치환 후보
대상
근호 안
g ( x ) g ( x ) g ( x ) g ( x )
지수의 지수
e g ( x ) e g ( x ) g ( x ) g ( x )
분모 전체
g ′ ( x ) g ( x ) g ( x ) g ′ ( x )
초월함수
ln x ln x arctan x arctan x
근호
삼각치환
항등식
a 2 − x 2 a 2 − x 2 x = a sin θ x = a sin θ 1-\sin^{2}=\cos^
a 2 + x 2 a 2 + x 2 x = a tan θ x = a tan θ 1+\tan^{2}=\sec^
x 2 − a 2 x 2 − a 2 x = a sec θ x = a sec θ \sec^{2}-1=\tan^
기억할 적분
값
∫ tan x d x ∫ tan x d x − ln ∣ cos x ∣ + C − ln ∣ cos x ∣ + C
∫ g ′ ( x ) g ( x ) d x ∫ g ( x ) g ′ ( x ) d x ln ∣ g ( x ) ∣ + C ln ∣ g ( x ) ∣ + C
∫ 0 1 1 − x 2 d x ∫ 0 1 1 − x 2 d x π 4 4 π
자주 하는 실수
바로잡기
한계를 안 바꾸고 u u
한계를 바꾸거나 반드시 되돌립니다
d u d u g ′ ( x ) d x g ′ ( x ) d x
역치환에서 범위를 안 정합니다
절댓값 처리를 위해 반드시 명시합니다
아래끝이 커졌다고 억지로 뒤집습니다
방향 반전 규약대로 두면 됩니다
문제 6. ∫ ( 2 x + 3 ) 5 d x ∫ ( 2 x + 3 ) 5 d x
답. u = 2 x + 3 u = 2 x + 3 d u = 2 d x d u = 2 d x 1 2 ⋅ u 6 6 + C = ( 2 x + 3 ) 6 12 + C 2 1 ⋅ 6 u 6 + C = 1 2 ( 2 x + 3 ) 6 + C
문제 7. ∫ x e − x 2 d x ∫ x e − x 2 d x
답. u = − x 2 u = − x 2 d u = − 2 x d x d u = − 2 x d x − 1 2 e − x 2 + C − 2 1 e − x 2 + C
문제 8. ∫ d x 3 x + 1 ∫ 3 x + 1 d x
답. u = 3 x + 1 u = 3 x + 1 1 3 ln ∣ 3 x + 1 ∣ + C 3 1 ln ∣ 3 x + 1 ∣ + C
문제 9. ∫ 4 x sin x d x ∫ cos 4 x sin x d x
답. u = cos x u = cos x d u = − sin x d x d u = − sin x d x − 5 x 5 + C − 5 cos 5 x + C
문제 10. ∫ 0 2 x x 2 + 5 d x ∫ 0 2 x x 2 + 5 d x
답. u = x 2 + 5 u = x 2 + 5 5 5 9 9 1 2 ⋅ 2 3 [ u 3 / 2 ] 5 9 = 1 3 ( 27 − 5 5 ) 2 1 ⋅ 3 2 [ u 3 / 2 ] 5 9 = 3 1 ( 2 7 − 5 5 )
문제 11. ∫ 1 e ( ln x ) 2 x d x ∫ 1 e x ( ln x ) 2 d x
답. u = ln x u = ln x 0 0 1 1 ∫ 0 1 u 2 d u = 1 3 ∫ 0 1 u 2 d u = 3 1
문제 12. ∫ cot x d x ∫ cot x d x
답. cos x sin x sin x cos x u = sin x u = sin x ln ∣ sin x ∣ + C ln ∣ sin x ∣ + C
문제 13. ∫ d x 9 − x 2 ∫ 9 − x 2 d x
답. x = 3 sin θ x = 3 sin θ ∫ d θ = θ + C = arcsin x 3 + C ∫ d θ = θ + C = arcsin 3 x + C
문제 14. ∫ d x 4 + x 2 ∫ 4 + x 2 d x
답. x = 2 tan θ x = 2 tan θ 1 2 ∫ d θ = 1 2 arctan x 2 + C 2 1 ∫ d θ = 2 1 arctan 2 x + C
문제 15. ∫ x x + 3 d x ∫ x x + 3 d x
답. u = x + 3 u = x + 3 x = u − 3 x = u − 3 ∫ ( u − 3 ) u 1 / 2 d u = 2 5 u 5 / 2 − 2 u 3 / 2 + C ∫ ( u − 3 ) u 1 / 2 d u = 5 2 u 5 / 2 − 2 u 3 / 2 + C
문제 16. ∫ 0 π 3 x d x ∫ 0 π sin 3 x d x
답. 3 x = ( 1 − 2 x ) sin x sin 3 x = ( 1 − cos 2 x ) sin x u = cos x u = cos x 1 1 − 1 − 1 ∫ − 1 1 ( 1 − u 2 ) d u = 2 − 2 3 = 4 3 ∫ − 1 1 ( 1 − u 2 ) d u = 2 − 3 2 = 3 4
문제 17. ∫ − 3 3 x 5 e x 2 cos ( x 2 ) d x ∫ − 3 3 x 5 e x 2 cos ( x 2 ) d x
답. 피적분함수가 홀함수이고 구간이 원점 대칭이므로 0 0
문제 18. ∫ 2 x + 1 x 2 + x + 7 d x ∫ x 2 + x + 7 2 x + 1 d x
답. 분자가 분모의 도함수이므로 ln ∣ x 2 + x + 7 ∣ + C ln ∣ x 2 + x + 7 ∣ + C
심화 1. 48강 심화 6과 49강 심화 5에서 다룬 L ( x ) = ∫ 1 x d t t L ( x ) = ∫ 1 x t d t L ( x y ) = L ( x ) + L ( y ) L ( x y ) = L ( x ) + L ( y )
풀이. x , y > 0 x , y > 0
L ( x y ) = ∫ 1 x y d t t = ∫ 1 x d t t + ∫ x x y d t t = L ( x ) + ∫ x x y d t t L ( x y ) = ∫ 1 x y t d t = ∫ 1 x t d t + ∫ x x y t d t = L ( x ) + ∫ x x y t d t
입니다. 남은 적분을 치환합니다. t = x s t = x s d t = x d s d t = x d s t = x t = x s = 1 s = 1 t = x y t = x y s = y s = y
∫ x x y d t t = ∫ 1 y x d s x s = ∫ 1 y d s s = L ( y ) ∫ x x y t d t = ∫ 1 y x s x d s = ∫ 1 y s d s = L ( y )
이므로 L ( x y ) = L ( x ) + L ( y ) L ( x y ) = L ( x ) + L ( y ) ■ ■
증명에서 무슨 일이 일어났는지 보십시오. 1 t t 1 t t x x d t d t x x 1 t t 1 1 x x 1 곱셈에 의한 스케일 변화에 대해 이 적분이 불변 이며, 그것이 곱을 합으로 바꾸는 로그 성질의 정체입니다.
이로써 48강에서 시작한 작업이 완결됩니다. L L L ( 1 ) = 0 L ( 1 ) = 0 L ( x y ) = L ( x ) + L ( y ) L ( x y ) = L ( x ) + L ( y ) ln ln 지수함수를 한 번도 쓰지 않고 적분만으로 로그를 세웠습니다.
L ( x n ) = n L ( x ) L ( x n ) = n L ( x ) L L exp exp e = exp ( 1 ) e = exp ( 1 )
심화 2. 다음 두 대칭 성질을 치환으로 증명하고 활용하세요.f f ∫ − a a f = 0 ∫ − a a f = 0 ∫ − a a f = 2 ∫ 0 a f ∫ − a a f = 2 ∫ 0 a f ∫ 0 a f ( x ) d x = ∫ 0 a f ( a − x ) d x ∫ 0 a f ( x ) d x = ∫ 0 a f ( a − x ) d x ∫ 0 π x sin x 1 + 2 x d x ∫ 0 π 1 + cos 2 x x sin x d x
풀이. (1) 구간을 갈라 왼쪽에 x = − t x = − t d x = − d t d x = − d t x = − a x = − a t = a t = a x = 0 x = 0 t = 0 t = 0
∫ − a 0 f ( x ) d x = ∫ a 0 f ( − t ) ( − d t ) = ∫ 0 a f ( − t ) d t ∫ − a 0 f ( x ) d x = ∫ a 0 f ( − t ) ( − d t ) = ∫ 0 a f ( − t ) d t
홀함수이면 f ( − t ) = − f ( t ) f ( − t ) = − f ( t ) − ∫ 0 a f − ∫ 0 a f 0 0 f ( − t ) = f ( t ) f ( − t ) = f ( t ) 2 ∫ 0 a f 2 ∫ 0 a f
(2) x = a − t x = a − t d x = − d t d x = − d t x = 0 x = 0 t = a t = a x = a x = a t = 0 t = 0
∫ 0 a f ( x ) d x = ∫ a 0 f ( a − t ) ( − d t ) = ∫ 0 a f ( a − t ) d t ∫ 0 a f ( x ) d x = ∫ a 0 f ( a − t ) ( − d t ) = ∫ 0 a f ( a − t ) d t
입니다. 적분변수는 더미이므로 t t x x
이제 활용합니다. I = ∫ 0 π x sin x 1 + 2 x d x I = ∫ 0 π 1 + cos 2 x x sin x d x
I = ∫ 0 π ( π − x ) sin ( π − x ) 1 + 2 ( π − x ) d x = ∫ 0 π ( π − x ) sin x 1 + 2 x d x I = ∫ 0 π 1 + cos 2 ( π − x ) ( π − x ) sin ( π − x ) d x = ∫ 0 π 1 + cos 2 x ( π − x ) sin x d x
입니다. sin ( π − x ) = sin x sin ( π − x ) = sin x cos ( π − x ) = − cos x cos ( π − x ) = − cos x
두 표현을 더하면 x x
2 I = ∫ 0 π π sin x 1 + 2 x d x 2 I = ∫ 0 π 1 + cos 2 x π sin x d x
이제 u = cos x u = cos x d u = − sin x d x d u = − sin x d x 1 1 − 1 − 1
2 I = π ∫ − 1 1 d u 1 + u 2 = π [ arctan u ] − 1 1 = π ( π 4 + π 4 ) = π 2 2 2 I = π ∫ − 1 1 1 + u 2 d u = π [ arctan u ] − 1 1 = π ( 4 π + 4 π ) = 2 π 2
이므로 I = π 2 4 ≈ 2.4674 I = 4 π 2 ≈ 2 . 4 6 7 4
x x
심화 3. 삼각치환 세 가지가 왜 그 형태인지 설명하고, ∫ d x x 2 + a 2 ∫ x 2 + a 2 d x
풀이. 목적은 하나입니다. 근호 안을 완전제곱으로 만들어 근호를 벗기는 것 입니다. 그러려면 피타고라스 항등식 세 개 중 하나를 쓸 수 있는 형태여야 합니다.
근호 안
필요한 항등식
치환
결과
a^{2}-x^
\cos^{2}=1-\sin^
x = a sin θ x = a sin θ a 2 2 θ a 2 cos 2 θ
a^{2}+x^
\sec^{2}=1+\tan^
x = a tan θ x = a tan θ a 2 2 θ a 2 sec 2 θ
x^{2}-a^
2 = 2 − 1 tan 2 = sec 2 − 1 x = a sec θ x = a sec θ a 2 2 θ a 2 tan 2 θ
항등식의 좌변이 제곱 하나이고 우변이 우리가 만나는 형태 라는 대응만 기억하면 치환이 따라 나옵니다.
계산합니다. x = a tan θ x = a tan θ d x = a 2 θ d θ d x = a sec 2 θ d θ x 2 + a 2 = a sec θ x 2 + a 2 = a sec θ θ ∈ ( − π 2 , π 2 ) θ ∈ ( − 2 π , 2 π ) sec θ > 0 sec θ > 0
∫ d x x 2 + a 2 = ∫ a 2 θ a sec θ d θ = ∫ sec θ d θ ∫ x 2 + a 2 d x = ∫ a sec θ a sec 2 θ d θ = ∫ sec θ d θ
∫ sec θ d θ = ln ∣ sec θ + tan θ ∣ + C ∫ sec θ d θ = ln ∣ sec θ + tan θ ∣ + C sec θ + tan θ sec θ + tan θ
∫ sec θ ( sec θ + tan θ ) sec θ + tan θ d θ = ∫ 2 θ + sec θ tan θ sec θ + tan θ d θ ∫ sec θ + tan θ sec θ ( sec θ + tan θ ) d θ = ∫ sec θ + tan θ sec 2 θ + sec θ tan θ d θ
이 되는데 분자가 정확히 분모의 도함수 입니다. 따라서 값이 ln ∣ sec θ + tan θ ∣ + C ln ∣ sec θ + tan θ ∣ + C
되돌립니다. tan θ = x a tan θ = a x sec θ = x 2 + a 2 a sec θ = a x 2 + a 2
∫ d x x 2 + a 2 = ln ∣ x 2 + a 2 + x a ∣ + C = ln ( x 2 + a 2 + x ) + C ′ ∫ x 2 + a 2 d x = ln ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ a x 2 + a 2 + x ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + C = ln ( x 2 + a 2 + x ) + C ′
입니다. 상수 − ln a − ln a C C
심화 4. t = tan x 2 t = tan 2 x ∫ 0 π / 2 d x 1 + sin x ∫ 0 π / 2 1 + sin x d x
풀이. t = tan x 2 t = tan 2 x
sin x = 2 sin x 2 cos x 2 , cos x = 2 x 2 − 2 x 2 sin x = 2 sin 2 x cos 2 x , cos x = cos 2 2 x − sin 2 2 x
이고, 양변을 2 x 2 cos 2 2 x
sin x = 2 t 1 + t 2 , cos x = 1 − t 2 1 + t 2 sin x = 1 + t 2 2 t , cos x = 1 + t 2 1 − t 2
입니다. 또 d t d x = 1 2 2 x 2 = 1 + t 2 2 d x d t = 2 1 sec 2 2 x = 2 1 + t 2
d x = 2 d t 1 + t 2 d x = 1 + t 2 2 d t
입니다.
이 세 식이 왜 강력한지 봅니다. sin x sin x cos x cos x d x d x 모두 t t 입니다. 그러므로 sin x sin x cos x cos x t t 삼각함수 유리식 적분에 대한 만능 알고리즘 인 셈이며, 그래서 만능 치환이라고도 부릅니다.
계산합니다. x = 0 x = 0 t = 0 t = 0 x = π 2 x = 2 π t = tan π 4 = 1 t = tan 4 π = 1
∫ 0 π / 2 d x 1 + sin x = ∫ 0 1 1 1 + 2 t 1 + t 2 ⋅ 2 d t 1 + t 2 = ∫ 0 1 2 d t ( 1 + t 2 ) + 2 t = ∫ 0 1 2 d t ( 1 + t ) 2 ∫ 0 π / 2 1 + sin x d x = ∫ 0 1 1 + 1 + t 2 2 t 1 ⋅ 1 + t 2 2 d t = ∫ 0 1 ( 1 + t 2 ) + 2 t 2 d t = ∫ 0 1 ( 1 + t ) 2 2 d t
이고
= [ − 2 1 + t ] 0 1 = − 1 + 2 = 1 = [ − 1 + t 2 ] 0 1 = − 1 + 2 = 1
입니다.
만능이라고 해서 늘 최선은 아닙니다. 분모가 t t 다른 치환이 보이면 그쪽이 대개 빠르고, 만능 치환은 막혔을 때의 최후 수단으로 쓰는 편이 좋습니다.
심화 5. 역치환에서 단사 조건을 어겨 틀린 답이 나오는 예를 하나 만들고, 어디서 무엇이 잘못되는지 정확히 짚으세요.
풀이. ∫ 0 π 2 x d x ∫ 0 π sin 2 x d x ∫ 0 π ∣ sin x ∣ d x = ∫ 0 π sin x d x = 2 ∫ 0 π ∣ sin x ∣ d x = ∫ 0 π sin x d x = 2
여기에 u = sin x u = sin x d u = cos x d x d u = cos x d x cos x cos x d x = d u cos x = d u ± 1 − u 2 d x = cos x d u = ± 1 − u 2 d u
∫ 0 π 2 x d x ⟶ ∫ 0 0 ∣ u ∣ d u 1 − u 2 = 0 ∫ 0 π sin 2 x d x ⟶ ∫ 0 0 1 − u 2 ∣ u ∣ d u = 0
이 되어 참값 2 2 0 0
무엇이 잘못되었는지 정확히 짚습니다. x x 0 0 π π u = sin x u = sin x 0 → 1 → 0 0 → 1 → 0 왕복 합니다. 올라가는 구간에서 cos x > 0 cos x > 0 cos x < 0 cos x < 0 d x = d u cos x d x = cos x d u
정방향 치환에서는 이런 문제가 없었습니다. 문제 5의 (1)과 (2)에서 확인했습니다. 차이는 이렇습니다.
상황
안전한가
f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) 안전합니다. g ′ g ′
d x d x d u g ′ g ′ d u 위험합니다. g ′ g ′
올바른 처리는 g ′ g ′ 구간을 나누는 것 입니다. x = π 2 x = 2 π
∫ 0 π / 2 u d u 1 − u 2 + ∫ 0 1 u d u 1 − u 2 = 1 + 1 = 2 ∫ 0 π / 2 1 − u 2 u d u + ∫ 0 1 1 − u 2 u d u = 1 + 1 = 2
로 참값이 나옵니다. 단조인 조각으로 나누는 것이 원칙입니다.
심화 6. 확률변수 X X p X p X Y = g ( X ) Y = g ( X ) Y Y p X ( x ) = 3 x 2 p X ( x ) = 3 x 2 0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ x ≤ 1 Y = X 2 Y = X 2
풀이. 129강에서 정식으로 다루지만 계산의 뼈대는 치환적분 그 자체입니다.
g g h = g − 1 h = g − 1 Y ≤ y Y ≤ y X ≤ h ( y ) X ≤ h ( y )
∫ − ∞ y p Y ( v ) d v = ∫ − ∞ h ( y ) p X ( x ) d x ∫ − ∞ y p Y ( v ) d v = ∫ − ∞ h ( y ) p X ( x ) d x
입니다. 양변을 y y p Y ( y ) p Y ( y ) p X ( h ( y ) ) h ′ ( y ) p X ( h ( y ) ) h ′ ( y )
p Y ( y ) = p X ( h ( y ) ) h ′ ( y ) p Y ( y ) = p X ( h ( y ) ) h ′ ( y )
입니다. g g
p Y ( y ) = p X ( h ( y ) ) ∣ h ′ ( y ) ∣ p Y ( y ) = p X ( h ( y ) ) ∣ ∣ ∣ h ′ ( y ) ∣ ∣ ∣
로 씁니다.
절댓값이 붙는 이유가 정확히 심화 5에서 본 것과 같습니다. 밀도는 음수가 될 수 없으므로 방향이 뒤집히는 경우를 절댓값으로 흡수합니다.
계산합니다. g ( x ) = x 2 g ( x ) = x 2 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] h ( y ) = y h ( y ) = y h ′ ( y ) = 1 2 y h ′ ( y ) = 2 y 1
p Y ( y ) = 3 ( y ) 2 ⋅ 1 2 y = 3 y 2 y = 3 2 y ( 0 ≤ y ≤ 1 ) p Y ( y ) = 3 ( y ) 2 ⋅ 2 y 1 = 2 y 3 y = 2 3 y ( 0 ≤ y ≤ 1 )
검산으로 전체 적분이 1 1
∫ 0 1 3 2 y d y = 3 2 ⋅ 2 3 = 1 ∫ 0 1 2 3 y d y = 2 3 ⋅ 3 2 = 1
으로 맞습니다.
이 공식이 이 커리큘럼에서 쓰이는 곳은 대단히 많습니다. 129강의 변수변환, 147강의 역변환 표집법, 384강의 확산 모형에서 좌표를 바꿀 때마다 이 야코비 인수 ∣ h ′ ∣ ∣ h ′ ∣ 차원이 올라가도 구조는 그대로 입니다.
이 강의에서는 numpy만 씁니다. 치환적분은 검산이 특히 명확합니다. 치환 전 적분과 치환 후 적분을 각각 수치로 구해 비교하면 등식을 직접 검사할 수 있습니다.
import numpy as np
def mid(f, a, b, n=400000):
"""중점법칙으로 정적분을 근사합니다."""
x = np.linspace(a, b, n + 1)
return float(np.sum(f(0.5*(x[:-1] + x[1:])))*(b - a)/n)
# --- 문제 1: 연쇄법칙을 거꾸로 ------------------------------------------
print(round(mid(lambda t: 2*t*np.exp(t**2), 0.0, 1.0), 9), round(np.e - 1, 9))
# 1.718281828 1.718281828
# --- 문제 3: 정적분 치환은 한계도 바꿉니다 ------------------------------
print(round(mid(lambda t: np.sin(t)*np.cos(t), 0.0, np.pi/2), 9), 0.5) # 0.5 0.5
print(round(mid(lambda u: u, 0.0, 1.0), 9)) # 0.5 (u = sin x 로 바꾼 적분)
# 비단사 치환도 정방향에서는 그대로 통합니다
print(round(mid(lambda t: t*np.exp(t**2), -1.0, 2.0), 8),
round(0.5*(np.e**4 - np.e), 8)) # 25.9399341 25.9399341
print(round(mid(lambda t: t*np.exp(t**2), -1.0, 1.0), 8)) # 0.0
# --- 문제 4: 삼각치환 --------------------------------------------------
print(round(mid(lambda t: np.sqrt(1 - t**2), 0.0, 1.0), 8), round(np.pi/4, 8))
# 0.78539816 0.78539816
print(round(mid(lambda t: 1/np.sqrt(1 - t**2), 0.0, 0.5), 8), round(np.pi/6, 8))
# 0.52359878 0.52359878
print(round(mid(lambda t: 1/(1 + t**2), 0.0, 1.0), 9), round(np.pi/4, 9))
# 0.785398163 0.785398163
# --- 심화 1: L(xy) = L(x) + L(y) ---------------------------------------
L = lambda x: mid(lambda t: 1/t, 1.0, x, 200000)
for a, b in [(2.0, 3.0), (1.5, 4.0), (0.5, 8.0)]:
print(a, b, round(L(a*b), 8), round(L(a) + L(b), 8))
# 2.0 3.0 1.79175947 1.79175947
# 1.5 4.0 1.79175947 1.79175947
# 0.5 8.0 1.38629436 1.38629436
# --- 심화 2: 대칭 치환 (x -> a - x) -------------------------------------
f = lambda t: t*np.sin(t)/(1 + np.cos(t)**2)
print(round(mid(f, 0.0, np.pi), 8), round(np.pi**2/4, 8)) # 2.4674011 2.4674011
print(round(mid(lambda t: t**3*np.cos(t), -2.0, 2.0), 10)) # -0.0
# --- 심화 4: 바이어슈트라스 치환 ----------------------------------------
print(round(mid(lambda t: 1/(1 + np.sin(t)), 0.0, np.pi/2), 8)) # 1.0
# --- 심화 6: 변수변환과 밀도 -------------------------------------------
print(round(mid(lambda t: 3*t**2, 0.0, 1.0), 9)) # 1.0 (X 의 밀도)
print(round(mid(lambda u: 1.5*np.sqrt(u), 0.0, 1.0), 9)) # 1.0 (Y = X^2 의 밀도)
실행하면 주석과 같은 값이 나옵니다. 다섯 곳을 짚어 둡니다.
첫째, 문제 3에서 치환 전 ∫ 0 π / 2 sin x cos x d x ∫ 0 π / 2 sin x cos x d x ∫ 0 1 u d u ∫ 0 1 u d u 0.5 0 . 5 왼쪽은 삼각함수의 곱을 사십만 번 더한 것이고 오른쪽은 일차함수를 더한 것인데 값이 같습니다. 치환이 적분을 얼마나 단순하게 만드는지가 눈에 보입니다.
둘째, 비단사 치환이 정말 통한다는 것이 두 줄로 확인됩니다. [ − 1 , 2 ] [ − 1 , 2 ] g ( x ) = x 2 g ( x ) = x 2 e 4 − e 2 2 e 4 − e [ − 1 , 1 ] [ − 1 , 1 ] 0 0
셋째, 심화 1의 로그법칙이 세 쌍 모두에서 성립합니다. 특히 ( 1.5 , 4.0 ) ( 1 . 5 , 4 . 0 ) ( 2.0 , 3.0 ) ( 2 . 0 , 3 . 0 ) 같은 값 1.79175947 1 . 7 9 1 7 5 9 4 7 곱이 둘 다 6 6 L L
넷째, 심화 2의 ∫ 0 π x sin x 1 + 2 x d x ∫ 0 π 1 + cos 2 x x sin x d x 2.4674011 2 . 4 6 7 4 0 1 1 π 2 4 4 π 2 x x − 0.0 − 0 . 0 0 0
다섯째, 심화 6에서 변환 전후의 밀도가 둘 다 1 1 밀도의 총합이 1 1 ∣ h ′ ∣ ∣ h ′ ∣ 이 인수를 빠뜨리면 총합이 1 1
코드로 할 수 없는 일도 분명히 해 둡니다. 수치적분은 치환이 정당한지 판정하지 못합니다. 심화 5의 잘못된 계산도 코드로 돌리면 0 0 g ′ g ′
치환적분 공식을 쓰고 어느 미분 규칙을 거꾸로 읽은 것인지 말하세요.
치환이 통하려면 피적분함수가 어떤 꼴이어야 합니까?
정적분에서 치환할 때 한계를 어떻게 처리합니까?
치환 후보를 고르는 기준을 세 가지 쓰세요.
∫ g ′ ( x ) g ( x ) d x ∫ g ( x ) g ′ ( x ) d x 삼각치환 세 가지를 근호의 형태와 함께 쓰세요.
정방향 치환에 단사성이 필요합니까? 이유를 쓰세요.
역치환에 단사성이 필요합니까? 이유를 쓰세요.
∫ 0 a f ( x ) d x = ∫ 0 a f ( a − x ) d x ∫ 0 a f ( x ) d x = ∫ 0 a f ( a − x ) d x 확률변수를 변환할 때 밀도에 곱해지는 인수는 무엇입니까?
정답.
∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u ∫ f ( g ( x ) ) g ′ ( x ) d x = ∫ f ( u ) d u 합성함수에 안쪽함수의 도함수가 곱해진 꼴이어야 합니다.
x x u = g ( x ) u = g ( x ) g ( a ) g ( a ) g ( b ) g ( b ) 근호 안, 지수의 지수, 분모 전체입니다.
ln ∣ g ( x ) ∣ + C ln ∣ g ( x ) ∣ + C a 2 − x 2 a 2 − x 2 a sin θ a sin θ a 2 + x 2 a 2 + x 2 a tan θ a tan θ x 2 − a 2 x 2 − a 2 a sec θ a sec θ 필요 없습니다. 증명에 양 끝의 값만 쓰이기 때문입니다.
필요합니다. 되돌리려면 역함수가 있어야 하고 부호 문제를 피해야 하기 때문입니다.
x = a − t x = a − t 역함수의 도함수의 절댓값, 즉 야코비 인수 ∣ h ′ ( y ) ∣ ∣ h ′ ( y ) ∣
기호
읽는 법
뜻
u = g ( x ) u = g ( x ) 정방향 치환
안쪽 덩어리를 새 변수로 삼습니다
x = h ( θ ) x = h ( θ ) 역치환
원래 변수를 새 변수의 함수로 놓습니다
d u = g ′ ( x ) d x d u = g ′ ( x ) d x 미소량의 변환
형식적 표기이며 정리로 정당화됩니다
삼각치환
trigonometric substitution
피타고라스 항등식으로 근호를 벗깁니다
t=\tan\frac{x}
바이어슈트라스, 만능 치환
삼각 유리식을 유리함수로 바꿉니다
야코비 인수
Jacobian factor
변수변환에서 미소량의 배율입니다
∣ h ′ ( y ) ∣ ∣ h ′ ( y ) ∣ 밀도 변환에 곱해지는 값입니다
다음 51강에서는 곱의 미분법을 거꾸로 읽습니다. ∫ x e x d x ∫ x e x d x x x e x e x 두 함수의 곱을 적분할 때 미분과 적분의 역할을 나눠 맡기는 방법이며, 그것으로 이 유형이 열립니다.