50강에서 연쇄법칙을 거꾸로 읽어 치환적분을 얻었습니다. 그런데 곧 벽에 부딪힙니다.
∫ x e x d x ∫ x e x d x u = x u = x d u = d x d u = d x e x e x u = e x u = e x d u = e x d x d u = e x d x e x e x x x 어느 쪽도 다른 쪽의 도함수가 아니기 때문에 치환이 통하지 않습니다.
48강 문제 3에서 짚어 둔 사실이 여기서 문제가 됩니다. 적분은 곱을 보존하지 않습니다. ∫ f g ≠ ( ∫ f ) ( ∫ g ) ∫ f g = ( ∫ f ) ( ∫ g )
38강에서 미분이 같은 문제를 겪었을 때 답은 곱의 미분법이었습니다. 그러니 이번에도 곱의 미분법을 거꾸로 읽습니다. 그렇게 얻는 것이 부분적분이며, 04단원의 구조가 여기서 한 번 더 확인됩니다. 미분 규칙 하나마다 대응하는 적분 기술이 있습니다.
부분적분은 계산 도구를 넘어섭니다. 57강의 테일러 정리에서 나머지항을 적분으로 적을 때, 143강의 특성함수를 다룰 때, 178강에서 엔트로피의 성질을 유도할 때 모두 이 기법이 뼈대가 됩니다. 적분 기호 안의 미분을 밖으로 빼내는 조작 이 그 쓰임의 공통 형태입니다.
곱의 미분법을 거꾸로 읽어 부분적분 공식을 유도할 수 있습니다.
u u d v d v 여러 번 적용해야 하는 적분과 순환형 적분을 처리할 수 있습니다.
d v = d x d v = d x 점화식을 세워 지수가 일반적인 적분을 해결할 수 있습니다.
문제. ∫ x e x d x ∫ x e x d x ( x e x ) ′ ( x e x ) ′
생각의 실마리. (1)은 38강의 곱의 미분법입니다. 결과에 우리가 구하려는 x e x x e x 한 항으로 들어 있습니다. 그러면 나머지 항들을 이항해서 원하는 것을 얻을 수 있습니다. (3)에서는 어떤 곱을 미분했을 때 목표가 나오는지 거꾸로 생각합니다.
풀이. (1) 곱의 미분법으로
( x e x ) ′ = 1 ⋅ e x + x ⋅ e x = e x + x e x ( x e x ) ′ = 1 ⋅ e x + x ⋅ e x = e x + x e x
입니다.
(2) 양변을 적분합니다. 왼쪽은 미분한 것을 다시 적분하므로 x e x x e x
x e x = ∫ e x d x + ∫ x e x d x x e x = ∫ e x d x + ∫ x e x d x
이항하면
∫ x e x d x = x e x − ∫ e x d x = x e x − e x + C ∫ x e x d x = x e x − ∫ e x d x = x e x − e x + C
입니다. 검산으로 미분해 보면 e x + x e x − e x = x e x e x + x e x − e x = x e x
(3) u u v v
( u v ) ′ = u ′ v + u v ′ ( u v ) ′ = u ′ v + u v ′
입니다. 양변을 적분하면
u v = ∫ u ′ v d x + ∫ u v ′ d x u v = ∫ u ′ v d x + ∫ u v ′ d x
이고 이항하면
∫ u v ′ d x = u v − ∫ u ′ v d x ∫ u v ′ d x = u v − ∫ u ′ v d x
입니다.
이 문제에서 배우는 것: 부분적분.
부분적분. u u v v u ′ u ′ v ′ v ′
∫ u d v = u v − ∫ v d u ∫ u d v = u v − ∫ v d u
입니다. 정적분에서는
∫ a b u d v = [ u v ] a b − ∫ a b v d u ∫ a b u d v = [ u v ] a b − ∫ a b v d u
입니다.
d v = v ′ d x d v = v ′ d x d u = u ′ d x d u = u ′ d x
이 공식이 하는 일을 정확히 말하면 이렇습니다. 하나의 적분을 다른 적분으로 바꿉니다. 적분을 없애 주지 않습니다. 그러므로 성공의 조건은 하나입니다.
바꾼 뒤의 적분 ∫ v d u ∫ v d u
문제 1에서 ∫ x e x d x ∫ x e x d x ∫ e x d x ∫ e x d x x x u = e x u = e x d v = x d x d v = x d x v = x 2 2 v = 2 x 2
∫ x e x d x = x 2 2 e x − ∫ x 2 2 e x d x ∫ x e x d x = 2 x 2 e x − ∫ 2 x 2 e x d x
가 되어 x x u u d v d v
바로 확인 1.
확인 1-1. ∫ x cos x d x ∫ x cos x d x
답. u = x u = x d v = cos x d x d v = cos x d x v = sin x v = sin x x sin x − ∫ sin x d x = x sin x + cos x + C x sin x − ∫ sin x d x = x sin x + cos x + C
확인 1-2. ∫ x e − x d x ∫ x e − x d x
답. u = x u = x d v = e − x d x d v = e − x d x v = − e − x v = − e − x − x e − x + ∫ e − x d x = − x e − x − e − x + C − x e − x + ∫ e − x d x = − x e − x − e − x + C
확인 1-3. 부분적분이 적분을 없애 주지 않는다는 말의 뜻을 쓰세요.
답. 하나의 적분을 다른 적분으로 바꿀 뿐이므로 바뀐 적분이 더 쉬워야만 쓸모가 있다는 뜻입니다.
문제. 다음에서 u u d v d v ∫ x ln x d x ∫ x ln x d x ∫ x 2 sin x d x ∫ x 2 sin x d x ∫ x arctan x d x ∫ x arctan x d x
생각의 실마리. 두 가지를 함께 봅니다. u u d v d v ln x ln x 1 x x 1 x d x x d x
풀이. (1) u = ln x u = ln x d v = x d x d v = x d x d u = d x x d u = x d x v = x 2 2 v = 2 x 2
∫ x ln x d x = x 2 2 ln x − ∫ x 2 2 ⋅ d x x = x 2 2 ln x − 1 2 ∫ x d x = x 2 2 ln x − x 2 4 + C ∫ x ln x d x = 2 x 2 ln x − ∫ 2 x 2 ⋅ x d x = 2 x 2 ln x − 2 1 ∫ x d x = 2 x 2 ln x − 4 x 2 + C
(2) u = x 2 u = x 2 d v = sin x d x d v = sin x d x v = − cos x v = − cos x
∫ x 2 sin x d x = − x 2 cos x + 2 ∫ x cos x d x ∫ x 2 sin x d x = − x 2 cos x + 2 ∫ x cos x d x
남은 적분은 확인 1-1에서 구했습니다. x sin x + cos x x sin x + cos x
= − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C = − x 2 cos x + 2 x sin x + 2 cos x + C
입니다.
(3) u = arctan x u = arctan x d v = x d x d v = x d x d u = d x 1 + x 2 d u = 1 + x 2 d x v = x 2 2 v = 2 x 2
∫ x arctan x d x = x 2 2 arctan x − 1 2 ∫ x 2 1 + x 2 d x ∫ x arctan x d x = 2 x 2 arctan x − 2 1 ∫ 1 + x 2 x 2 d x
남은 적분은 x 2 1 + x 2 = 1 − 1 1 + x 2 1 + x 2 x 2 = 1 − 1 + x 2 1
∫ ( 1 − 1 1 + x 2 ) d x = x − arctan x ∫ ( 1 − 1 + x 2 1 ) d x = x − arctan x
이므로
∫ x arctan x d x = x 2 2 arctan x − x 2 + arctan x 2 + C ∫ x arctan x d x = 2 x 2 arctan x − 2 x + 2 arctan x + C
입니다.
이 문제에서 배우는 것: 나누기의 설계 원칙.
두 조건을 동시에 만족해야 합니다.
대상
조건
u u 미분하면 단순해집니다
d v d v 적분할 수 있습니다
두 조건이 충돌할 때를 위해 실용적인 순서가 알려져 있습니다. 앞에 오는 것을 u u
LIATE 순서.
순서
종류
예
L
로그(Logarithmic)
ln x ln x
I
역삼각(Inverse trig)
arctan x arctan x arcsin x arcsin x
A
대수(Algebraic)
x^
T
삼각(Trigonometric)
sin x sin x cos x cos x
E
지수(Exponential)
e^
이 순서에 근거가 있습니다. 앞쪽일수록 미분하면 크게 단순해지고 적분하기는 어렵습니다. ln x ln x e x e x 미분해서 이득이 큰 쪽을 u u d v d v 이 이 순서의 뜻입니다.
문제 2를 순서로 확인하면 (1)은 L과 A이므로 ln x ln x u u x 2 x 2 u u arctan x arctan x u u
LIATE는 법칙이 아니라 경험칙 입니다. 통하지 않는 경우도 있으므로 결과가 복잡해지면 다른 나누기를 시도해야 합니다. 판단 기준은 언제나 하나, 바뀐 적분이 더 쉬운가 입니다.
바로 확인 2.
확인 2-1. ∫ x 2 ln x d x ∫ x 2 ln x d x u u d v d v
답. u = ln x u = ln x d v = x 2 d x d v = x 2 d x x 3 3 ln x − x 3 9 + C 3 x 3 ln x − 9 x 3 + C
확인 2-2. ∫ x e 2 x d x ∫ x e 2 x d x
답. u = x u = x d v = e 2 x d x d v = e 2 x d x v = e 2 x 2 v = 2 e 2 x x e 2 x 2 − e 2 x 4 + C 2 x e 2 x − 4 e 2 x + C
확인 2-3. LIATE 순서의 근거를 한 문장으로 쓰세요.
답. 앞쪽일수록 미분하면 크게 단순해지고 적분은 어려우므로 그쪽을 u u
문제. I = ∫ e x sin x d x I = ∫ e x sin x d x I I
생각의 실마리. e x e x sin x sin x 그런데 두 번 적용하면 원래 적분이 되돌아오고, 그때 방정식으로 풀 수 있습니다. 두 번 모두 같은 쪽을 u u
풀이. (1) u = e x u = e x d v = sin x d x d v = sin x d x v = − cos x v = − cos x
I = − e x cos x + ∫ e x cos x d x I = − e x cos x + ∫ e x cos x d x
(2) 남은 적분에 같은 방식으로 적용합니다. u = e x u = e x d v = cos x d x d v = cos x d x v = sin x v = sin x
∫ e x cos x d x = e x sin x − ∫ e x sin x d x = e x sin x − I ∫ e x cos x d x = e x sin x − ∫ e x sin x d x = e x sin x − I
(3) (1)에 (2)를 넣습니다.
I = − e x cos x + e x sin x − I I = − e x cos x + e x sin x − I
I I
2 I = e x ( sin x − cos x ) ⟹ I = e x ( sin x − cos x ) 2 + C 2 I = e x ( sin x − cos x ) ⟹ I = 2 e x ( sin x − cos x ) + C
이 문제에서 배우는 것: 순환형 적분.
순환형 적분. 부분적분을 두 번 적용했을 때 원래 적분이 계수와 함께 되돌아오면, 그것을 미지수로 보고 방정식을 풀어 값을 얻습니다.
성공의 조건이 하나 있습니다. 두 번 모두 같은 종류를 u u 두 번째에 u u d v d v I = I I = I
이 유형에 해당하는 적분들을 모아 둡니다.
적분
결과
∫ e a x sin b x d x ∫ e a x sin b x d x e a x ( a sin b x − b cos b x ) a 2 + b 2 + C a 2 + b 2 e a x ( a sin b x − b cos b x ) + C
∫ e a x cos b x d x ∫ e a x cos b x d x e a x ( a cos b x + b sin b x ) a 2 + b 2 + C a 2 + b 2 e a x ( a cos b x + b sin b x ) + C
∫ 3 x d x ∫ sec 3 x d x sec x tan x + ln ∣ sec x + tan x ∣ 2 + C 2 sec x tan x + ln ∣ sec x + tan x ∣ + C
첫 두 줄의 분모 a 2 + b 2 a 2 + b 2 e a x sin b x e a x sin b x e ( a + b i ) x e ( a + b i ) x a 2 + b 2 a 2 + b 2 ∣ a + b i ∣ 2 ∣ a + b i ∣ 2 두 번 부분적분해서 방정식을 푸는 수고가 복소수 하나로 사라집니다.
반복 적용의 다른 유형도 정리해 둡니다.
유형
처리
∫ x n e x d x ∫ x n e x d x n n x x
∫ x n sin x d x ∫ x n sin x d x 같습니다
∫ e x sin x d x ∫ e x sin x d x 두 번 만에 순환하므로 방정식으로 풉니다
∫ n x d x ∫ sin n x d x 점화식을 세웁니다(문제 5)
바로 확인 3.
확인 3-1. ∫ e x cos x d x ∫ e x cos x d x
답. 같은 방법으로 e x ( cos x + sin x ) 2 + C 2 e x ( cos x + sin x ) + C
확인 3-2. 순환형에서 두 번째 적용 때 u u d v d v
답. 첫 번째 조작이 되돌려져 I = I I = I
확인 3-3. ∫ 0 π e x sin x d x ∫ 0 π e x sin x d x
답. 원시함수가 e x ( sin x − cos x ) 2 2 e x ( sin x − cos x ) e π ( 0 + 1 ) 2 − 1 ⋅ ( 0 − 1 ) 2 = e π + 1 2 ≈ 12.07 2 e π ( 0 + 1 ) − 2 1 ⋅ ( 0 − 1 ) = 2 e π + 1 ≈ 1 2 . 0 7
문제. 다음을 구하세요.∫ ln x d x ∫ ln x d x ∫ arctan x d x ∫ arctan x d x ∫ arcsin x d x ∫ arcsin x d x
생각의 실마리. 셋 다 함수가 하나뿐이라 부분적분을 쓸 곳이 없어 보입니다. 그런데 1 1 ln x = ln x ⋅ 1 ln x = ln x ⋅ 1 d v = d x d v = d x v = x v = x
풀이. (1) u = ln x u = ln x d v = d x d v = d x d u = d x x d u = x d x v = x v = x
∫ ln x d x = x ln x − ∫ x ⋅ d x x = x ln x − ∫ d x = x ln x − x + C ∫ ln x d x = x ln x − ∫ x ⋅ x d x = x ln x − ∫ d x = x ln x − x + C
검산으로 미분하면 ln x + 1 − 1 = ln x ln x + 1 − 1 = ln x
(2) u = arctan x u = arctan x d v = d x d v = d x d u = d x 1 + x 2 d u = 1 + x 2 d x v = x v = x
∫ arctan x d x = x arctan x − ∫ x 1 + x 2 d x ∫ arctan x d x = x arctan x − ∫ 1 + x 2 x d x
남은 적분은 50강의 치환입니다. w = 1 + x 2 w = 1 + x 2 1 2 ln ( 1 + x 2 ) 2 1 ln ( 1 + x 2 )
= x arctan x − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C = x arctan x − 2 1 ln ( 1 + x 2 ) + C
입니다.
(3) u = arcsin x u = arcsin x d v = d x d v = d x d u = d x 1 − x 2 d u = 1 − x 2 d x v = x v = x
∫ arcsin x d x = x arcsin x − ∫ x 1 − x 2 d x ∫ arcsin x d x = x arcsin x − ∫ 1 − x 2 x d x
남은 적분에서 w = 1 − x 2 w = 1 − x 2 d w = − 2 x d x d w = − 2 x d x − 1 − x 2 − 1 − x 2
= x arcsin x + 1 − x 2 + C = x arcsin x + 1 − x 2 + C
입니다.
이 문제에서 배우는 것: d v = d x d v = d x
d v = d x d v = d x u u d x d x d v d v v = x v = x ∫ f ( x ) d x = x f ( x ) − ∫ x f ′ ( x ) d x ∫ f ( x ) d x = x f ( x ) − ∫ x f ′ ( x ) d x
이 요령이 통하는 함수의 공통점이 있습니다. 미분하면 유리식이나 대수식이 되어 성격이 완전히 바뀌는 함수 입니다.
함수
도함수
성격 변화
ln x ln x 1 x x 1 초월 → →
arctan x arctan x 1 1 + x 2 1 + x 2 1 초월 → →
arcsin x arcsin x 1 1 − x 2 1 − x 2 1 초월 → →
반대로 sin x sin x e x e x ∫ x cos x d x ∫ x cos x d x
LIATE 순서와도 맞아떨어집니다. L과 I가 맨 앞에 있는 이유가 정확히 이것 이며, 그 두 종류는 곱이 아니라 홀로 있어도 부분적분의 대상입니다.
바로 확인 4.
확인 4-1. ∫ 1 e ln x d x ∫ 1 e ln x d x
답. [ x ln x − x ] 1 e = ( e − e ) − ( 0 − 1 ) = 1 [ x ln x − x ] 1 e = ( e − e ) − ( 0 − 1 ) = 1
확인 4-2. ∫ 10 x d x ∫ log 1 0 x d x
답. 10 x = ln x ln 10 log 1 0 x = ln 1 0 ln x x ln x − x ln 10 + C ln 1 0 x ln x − x + C
확인 4-3. sin x sin x d v = d x d v = d x
답. 미분해도 삼각함수라 성격이 바뀌지 않아 오히려 ∫ x cos x d x ∫ x cos x d x
문제. I n = ∫ 0 π / 2 n x d x I n = ∫ 0 π / 2 sin n x d x I 0 I 0 I 1 I 1 I n I n I n − 2 I n − 2 I 4 I 4 I 5 I 5
생각의 실마리. (2)에서 n x sin n x n − 1 x ⋅ sin x sin n − 1 x ⋅ sin x 미분한 결과에 2 x cos 2 x 1 − 2 x 1 − sin 2 x I n I n 문제 3처럼 방정식으로 풀 수 있습니다.
풀이. (1) I 0 = ∫ 0 π / 2 d x = π 2 I 0 = ∫ 0 π / 2 d x = 2 π I 1 = ∫ 0 π / 2 sin x d x = [ − cos x ] 0 π / 2 = 1 I 1 = ∫ 0 π / 2 sin x d x = [ − cos x ] 0 π / 2 = 1
(2) u = n − 1 x u = sin n − 1 x d v = sin x d x d v = sin x d x d u = ( n − 1 ) n − 2 x cos x d x d u = ( n − 1 ) sin n − 2 x cos x d x v = − cos x v = − cos x
I n = [ − n − 1 x cos x ] 0 π / 2 + ( n − 1 ) ∫ 0 π / 2 n − 2 x 2 x d x I n = [ − sin n − 1 x cos x ] 0 π / 2 + ( n − 1 ) ∫ 0 π / 2 sin n − 2 x cos 2 x d x
대괄호 항은 x = π 2 x = 2 π cos = 0 cos = 0 x = 0 x = 0 sin = 0 sin = 0 n ≥ 2 n ≥ 2 0 0 2 x = 1 − 2 x cos 2 x = 1 − sin 2 x
I n = ( n − 1 ) ∫ 0 π / 2 ( n − 2 x − n x ) d x = ( n − 1 ) ( I n − 2 − I n ) I n = ( n − 1 ) ∫ 0 π / 2 ( sin n − 2 x − sin n x ) d x = ( n − 1 ) ( I n − 2 − I n )
입니다. I n I n
n I n = ( n − 1 ) I n − 2 ⟹ I n = n − 1 n I n − 2 n I n = ( n − 1 ) I n − 2 ⟹ I n = n n − 1 I n − 2
입니다.
(3) 점화식을 반복 적용합니다.
I 2 = 1 2 I 0 = π 4 , I 4 = 3 4 I 2 = 3 π 16 ≈ 0.5890 I 2 = 2 1 I 0 = 4 π , I 4 = 4 3 I 2 = 1 6 3 π ≈ 0 . 5 8 9 0
I 3 = 2 3 I 1 = 2 3 , I 5 = 4 5 I 3 = 8 15 ≈ 0.5333 I 3 = 3 2 I 1 = 3 2 , I 5 = 5 4 I 3 = 1 5 8 ≈ 0 . 5 3 3 3
이 문제에서 배우는 것: 점화식으로 적분하기.
점화식(축소 공식). 지수 n n n n n − 1 n − 1 n − 2 n − 2
이 방법이 나타내는 사고방식이 중요합니다. n n n n
자주 쓰이는 점화식을 모아 둡니다.
적분
점화식
∫ 0 π / 2 n x d x ∫ 0 π / 2 sin n x d x I_{n}=\dfrac{n-1}{n}I_
∫ 0 π / 2 n x d x ∫ 0 π / 2 cos n x d x 같습니다
∫ x n e x d x ∫ x n e x d x J_{n}=x^{n}e^{x}-nJ_
∫ n x d x ∫ sec n x d x S_{n}=\dfrac{\sec^{n-2}x\tan x}{n-1}+\dfrac{n-2}{n-1}S_
두 번째 줄이 첫 번째와 같은 이유는 50강 심화 2의 대칭 치환 때문입니다. x → π 2 − x x → 2 π − x sin sin cos cos
I n I n
n n I_
π π
0 0 π 2 2 π 포함
1 1 1 1 없음
2 2 π 4 4 π 포함
3 3 2 3 3 2 없음
4 4 \dfrac{3\pi}
포함
5 5 \dfrac{8}
없음
짝수에서만 π π 점화식이 두 칸씩 내려가므로 짝수는 I 0 = π 2 I 0 = 2 π I 1 = 1 I 1 = 1
바로 확인 5.
확인 5-1. I 6 = ∫ 0 π / 2 6 x d x I 6 = ∫ 0 π / 2 sin 6 x d x
답. I 6 = 5 6 I 4 = 5 6 ⋅ 3 π 16 = 5 π 32 I 6 = 6 5 I 4 = 6 5 ⋅ 1 6 3 π = 3 2 5 π
확인 5-2. ∫ x 2 e x d x ∫ x 2 e x d x J n = x n e x − n J n − 1 J n = x n e x − n J n − 1
답. J 0 = e x J 0 = e x J 1 = x e x − e x J 1 = x e x − e x J 2 = x 2 e x − 2 ( x e x − e x ) = ( x 2 − 2 x + 2 ) e x + C J 2 = x 2 e x − 2 ( x e x − e x ) = ( x 2 − 2 x + 2 ) e x + C
확인 5-3. I n I n π π
답. 점화식이 두 칸씩 내려가 짝수는 I 0 = π 2 I 0 = 2 π I 1 = 1 I 1 = 1
공식
형태
부정적분
∫ u d v = u v − ∫ v d u ∫ u d v = u v − ∫ v d u
정적분
∫ a b u d v = [ u v ] a b − ∫ a b v d u ∫ a b u d v = [ u v ] a b − ∫ a b v d u
u u LIATE
L
로그
I
역삼각
A
대수
T
삼각
E
지수
유형
처리
x n × x n × n n x x
지수 × ×
두 번 적용 후 방정식으로 풉니다
로그·역삼각 홀로
d v = d x d v = d x v = x v = x
지수가 일반적
점화식을 세웁니다
기억할 적분
값
∫ ln x d x ∫ ln x d x x ln x − x + C x ln x − x + C
∫ arctan x d x ∫ arctan x d x x arctan x − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) + C x arctan x − 2 1 ln ( 1 + x 2 ) + C
∫ x e x d x ∫ x e x d x ( x − 1 ) e x + C ( x − 1 ) e x + C
∫ e x sin x d x ∫ e x sin x d x e x ( sin x − cos x ) 2 + C 2 e x ( s i n x − c o s x ) + C
∫ 0 π / 2 n x d x ∫ 0 π / 2 sin n x d x \frac{n-1}{n}I_
자주 하는 실수
바로잡기
바꾼 적분이 더 복잡한데 진행합니다
u u d v d v
순환형에서 두 번째에 방향을 바꿉니다
두 번 모두 같은 종류를 u u
v v + C + C v v
정적분에서 [ u v ] [ u v ]
대괄호 항을 반드시 먼저 계산합니다
문제 6. ∫ x sin x d x ∫ x sin x d x
답. u = x u = x d v = sin x d x d v = sin x d x − x cos x + sin x + C − x cos x + sin x + C
문제 7. ∫ x e 3 x d x ∫ x e 3 x d x
답. x e 3 x 3 − e 3 x 9 + C 3 x e 3 x − 9 e 3 x + C
문제 8. ∫ 0 1 x e x d x ∫ 0 1 x e x d x
답. [ ( x − 1 ) e x ] 0 1 = 0 − ( − 1 ) = 1 [ ( x − 1 ) e x ] 0 1 = 0 − ( − 1 ) = 1
문제 9. ∫ x 2 cos x d x ∫ x 2 cos x d x
답. 두 번 적용하면 x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x + C x 2 sin x + 2 x cos x − 2 sin x + C
문제 10. ∫ ln x x 2 d x ∫ x 2 ln x d x
답. u = ln x u = ln x d v = x − 2 d x d v = x − 2 d x − ln x x − 1 x + C − x ln x − x 1 + C
문제 11. ∫ 0 1 arctan x d x ∫ 0 1 arctan x d x
답. [ x arctan x − 1 2 ln ( 1 + x 2 ) ] 0 1 = π 4 − ln 2 2 ≈ 0.4388 [ x arctan x − 2 1 ln ( 1 + x 2 ) ] 0 1 = 4 π − 2 ln 2 ≈ 0 . 4 3 8 8
문제 12. ∫ e 2 x cos x d x ∫ e 2 x cos x d x
답. 표에서 a = 2 a = 2 b = 1 b = 1 e 2 x ( 2 cos x + sin x ) 5 + C 5 e 2 x ( 2 cos x + sin x ) + C
문제 13. ∫ 0 π / 2 4 x d x ∫ 0 π / 2 sin 4 x d x
답. 3 4 ⋅ 1 2 ⋅ π 2 = 3 π 16 ≈ 0.5890 4 3 ⋅ 2 1 ⋅ 2 π = 1 6 3 π ≈ 0 . 5 8 9 0
문제 14. ∫ 0 π / 2 5 x d x ∫ 0 π / 2 cos 5 x d x
답. sin sin 4 5 ⋅ 2 3 = 8 15 5 4 ⋅ 3 2 = 1 5 8
문제 15. ∫ x ln x d x ∫ x ln x d x
답. x 2 2 ln x − x 2 4 + C 2 x 2 ln x − 4 x 2 + C
문제 16. ∫ ( ln x ) 2 d x ∫ ( ln x ) 2 d x
답. u = ( ln x ) 2 u = ( ln x ) 2 d v = d x d v = d x x ( ln x ) 2 − 2 ∫ ln x d x = x ( ln x ) 2 − 2 x ln x + 2 x + C x ( ln x ) 2 − 2 ∫ ln x d x = x ( ln x ) 2 − 2 x ln x + 2 x + C
문제 17. ∫ x e x d x ∫ x e x d x u = e x u = e x d v = x d x d v = x d x
답. x 2 2 e x − ∫ x 2 2 e x d x 2 x 2 e x − ∫ 2 x 2 e x d x
문제 18. ∫ arccos x d x ∫ arccos x d x
답. u = arccos x u = arccos x d v = d x d v = d x d u = − d x 1 − x 2 d u = − 1 − x 2 d x x arccos x − 1 − x 2 + C x arccos x − 1 − x 2 + C
심화 1. 문제 5의 점화식에서 월리스 공식
π 2 = ∏ k = 1 ∞ 2 k 2 k − 1 ⋅ 2 k 2 k + 1 = 2 1 ⋅ 2 3 ⋅ 4 3 ⋅ 4 5 ⋅ 6 5 ⋅ 6 7 ⋯ 2 π = k = 1 ∏ ∞ 2 k − 1 2 k ⋅ 2 k + 1 2 k = 1 2 ⋅ 3 2 ⋅ 3 4 ⋅ 5 4 ⋅ 5 6 ⋅ 7 6 ⋯
를 유도하세요.
풀이. 점화식을 반복해 I 2 n I 2 n I 2 n + 1 I 2 n + 1
I 2 n = 2 n − 1 2 n ⋅ 2 n − 3 2 n − 2 ⋯ 1 2 ⋅ π 2 , I 2 n + 1 = 2 n 2 n + 1 ⋅ 2 n − 2 2 n − 1 ⋯ 2 3 ⋅ 1 I 2 n = 2 n 2 n − 1 ⋅ 2 n − 2 2 n − 3 ⋯ 2 1 ⋅ 2 π , I 2 n + 1 = 2 n + 1 2 n ⋅ 2 n − 1 2 n − 2 ⋯ 3 2 ⋅ 1
이제 두 값의 비를 봅니다.
I 2 n I 2 n + 1 = π 2 ⋅ ∏ k = 1 n ( 2 k − 1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k ) ( 2 k ) I 2 n + 1 I 2 n = 2 π ⋅ k = 1 ∏ n ( 2 k ) ( 2 k ) ( 2 k − 1 ) ( 2 k + 1 )
한편 [ 0 , π / 2 ] [ 0 , π / 2 ] 0 ≤ sin x ≤ 1 0 ≤ sin x ≤ 1 2 n + 1 x ≤ 2 n x ≤ 2 n − 1 x sin 2 n + 1 x ≤ sin 2 n x ≤ sin 2 n − 1 x
I 2 n + 1 ≤ I 2 n ≤ I 2 n − 1 I 2 n + 1 ≤ I 2 n ≤ I 2 n − 1
입니다. 모두 I 2 n + 1 I 2 n + 1
1 ≤ I 2 n I 2 n + 1 ≤ I 2 n − 1 I 2 n + 1 = 2 n + 1 2 n 1 ≤ I 2 n + 1 I 2 n ≤ I 2 n + 1 I 2 n − 1 = 2 n 2 n + 1
입니다. 마지막 등식은 점화식 I 2 n + 1 = 2 n 2 n + 1 I 2 n − 1 I 2 n + 1 = 2 n + 1 2 n I 2 n − 1 1 1
I 2 n I 2 n + 1 ⟶ 1 I 2 n + 1 I 2 n ⟶ 1
입니다. 따라서
π 2 ⋅ ∏ k = 1 n ( 2 k − 1 ) ( 2 k + 1 ) ( 2 k ) 2 ⟶ 1 2 π ⋅ k = 1 ∏ n ( 2 k ) 2 ( 2 k − 1 ) ( 2 k + 1 ) ⟶ 1
이고, 역수를 취하면 월리스 공식이 나옵니다.
적분에서 π π 이 이 결과의 놀라운 데입니다. 수렴은 매우 느려서 검산에서 이천 항을 곱해도 소수 넷째 자리까지만 맞습니다. 실용적 가치보다 이론적 가치가 큰 공식이며, 143강에서 스털링 근사를 유도할 때 이 공식의 상수가 쓰입니다.
심화 2. Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ x n e − x d x = n ! Γ ( n + 1 ) = ∫ 0 ∞ x n e − x d x = n ! n n
풀이. 무한구간의 적분이므로 엄밀히는 53강의 이상적분입니다. 여기서는 극한이 존재한다고 보고 계산합니다.
n ≥ 1 n ≥ 1 u = x n u = x n d v = e − x d x d v = e − x d x v = − e − x v = − e − x
∫ 0 ∞ x n e − x d x = [ − x n e − x ] 0 ∞ + n ∫ 0 ∞ x n − 1 e − x d x ∫ 0 ∞ x n e − x d x = [ − x n e − x ] 0 ∞ + n ∫ 0 ∞ x n − 1 e − x d x
대괄호 항을 봅니다. x = 0 x = 0 0 0 x → ∞ x → ∞ x n e x → 0 e x x n → 0 0 0 지수함수가 어떤 거듭제곱보다 빠르다는 사실이 여기서 쓰입니다.
따라서 Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n ) Γ ( n + 1 ) = n Γ ( n )
Γ ( 1 ) = ∫ 0 ∞ e − x d x = [ − e − x ] 0 ∞ = 1 Γ ( 1 ) = ∫ 0 ∞ e − x d x = [ − e − x ] 0 ∞ = 1
이므로 반복하면 Γ ( n + 1 ) = n ! Γ ( n + 1 ) = n !
이 결과의 의미는 계산 이상입니다. n ! n ! n n
Γ ( 1 2 ) = ∫ 0 ∞ x − 1 / 2 e − x d x = π Γ ( 2 1 ) = ∫ 0 ∞ x − 1 / 2 e − x d x = π
인데, 이는 49강 심화 3의 오차함수와 같은 뿌리에서 나옵니다. 감마함수는 145강의 카이제곱분포와 감마분포를 정의하는 데 쓰이며, 이 커리큘럼의 확률 파트에서 계속 등장합니다.
심화 3. 부분적분을 반복해 테일러 정리의 적분형 나머지
f ( b ) = ∑ k = 0 n f ( k ) ( a ) k ! ( b − a ) k + 1 n ! ∫ a b f ( n + 1 ) ( t ) ( b − t ) n d t f ( b ) = k = 0 ∑ n k ! f ( k ) ( a ) ( b − a ) k + n ! 1 ∫ a b f ( n + 1 ) ( t ) ( b − t ) n d t
를 유도하세요.
풀이. 출발은 49강의 기본정리입니다.
f ( b ) − f ( a ) = ∫ a b f ′ ( t ) d t f ( b ) − f ( a ) = ∫ a b f ′ ( t ) d t
오른쪽에 부분적분을 적용합니다. u = f ′ ( t ) u = f ′ ( t ) d v = d t d v = d t v v t t t − b t − b v v v = 0 v = 0
∫ a b f ′ ( t ) d t = [ f ′ ( t ) ( t − b ) ] a b − ∫ a b f ′ ′ ( t ) ( t − b ) d t = f ′ ( a ) ( b − a ) + ∫ a b f ′ ′ ( t ) ( b − t ) d t ∫ a b f ′ ( t ) d t = [ f ′ ( t ) ( t − b ) ] a b − ∫ a b f ′ ′ ( t ) ( t − b ) d t = f ′ ( a ) ( b − a ) + ∫ a b f ′ ′ ( t ) ( b − t ) d t
한 번 더 적용합니다. 이번에는 v = − ( b − t ) 2 2 v = − 2 ( b − t ) 2
∫ a b f ′ ′ ( t ) ( b − t ) d t = f ′ ′ ( a ) 2 ( b − a ) 2 + 1 2 ∫ a b f ′ ′ ′ ( t ) ( b − t ) 2 d t ∫ a b f ′ ′ ( t ) ( b − t ) d t = 2 f ′ ′ ( a ) ( b − a ) 2 + 2 1 ∫ a b f ′ ′ ′ ( t ) ( b − t ) 2 d t
같은 조작을 n n
이 유도가 보여 주는 것은 테일러 전개가 부분적분의 반복에 지나지 않는다는 사실입니다. 57강에서 테일러 정리를 다룰 때 라그랑주 형태의 나머지를 평균값 정리로 얻는데, 여기서 얻은 적분형은 그보다 정보가 많습니다. 나머지의 정확한 값을 적분으로 주기 때문에 오차의 부호와 크기를 직접 평가할 수 있습니다.
n = 0 n = 0 n = 1 n = 1
f ( b ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( b − a ) + ∫ a b f ′ ′ ( t ) ( b − t ) d t f ( b ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( b − a ) + ∫ a b f ′ ′ ( t ) ( b − t ) d t
입니다. f ′ ′ > 0 f ′ ′ > 0 f ( b ) > f ( a ) + f ′ ( a ) ( b − a ) f ( b ) > f ( a ) + f ′ ( a ) ( b − a ) 44강 심화 1의 접선 부등식 입니다. 볼록함수의 그래프가 접선 위에 있다는 사실이 여기서 다시 증명됩니다.
심화 4. ∫ e a x sin b x d x ∫ e a x sin b x d x a 2 + b 2 a 2 + b 2
풀이. I = ∫ e a x sin b x d x I = ∫ e a x sin b x d x J = ∫ e a x cos b x d x J = ∫ e a x cos b x d x u = e a x u = e a x
I = − e a x cos b x b + a b J , J = e a x sin b x b − a b I I = − b e a x cos b x + b a J , J = b e a x sin b x − b a I
둘째 식을 첫째에 넣습니다.
I = − e a x cos b x b + a b ( e a x sin b x b − a b I ) = − e a x cos b x b + a e a x sin b x b 2 − a 2 b 2 I I = − b e a x cos b x + b a ( b e a x sin b x − b a I ) = − b e a x cos b x + b 2 a e a x sin b x − b 2 a 2 I
I I
( 1 + a 2 b 2 ) I = e a x ( a sin b x − b cos b x ) b 2 ( 1 + b 2 a 2 ) I = b 2 e a x ( a sin b x − b cos b x )
이고 양변에 b 2 a 2 + b 2 a 2 + b 2 b 2
I = e a x ( a sin b x − b cos b x ) a 2 + b 2 + C I = a 2 + b 2 e a x ( a sin b x − b cos b x ) + C
입니다.
분모의 정체는 58강에서 밝혀집니다. 오일러 공식 e i θ = cos θ + i sin θ e i θ = cos θ + i sin θ e a x sin b x e a x sin b x e ( a + b i ) x e ( a + b i ) x
∫ e ( a + b i ) x d x = e ( a + b i ) x a + b i = e ( a + b i ) x ( a − b i ) a 2 + b 2 ∫ e ( a + b i ) x d x = a + b i e ( a + b i ) x = a 2 + b 2 e ( a + b i ) x ( a − b i )
이고 분모 a 2 + b 2 a 2 + b 2 ∣ a + b i ∣ 2 ∣ a + b i ∣ 2 허수부를 취하면 위의 공식이 그대로 나옵니다.
두 방법을 비교하면 사정이 분명합니다. 실수 안에서는 부분적분을 두 번 하고 연립방정식을 풀어야 하는 것이, 복소수를 쓰면 지수함수 하나의 적분으로 끝납니다. 58강에서 복소지수를 도입하는 이유 중 하나가 바로 이런 계산의 통일입니다.
심화 5. 부분적분의 이산 대응물인 **아벨 합공식(부분합)**을 세우고, ∑ k = 1 n k 2 k k = 1 ∑ n k 2 k
풀이. 수열에서 미분에 해당하는 것은 차분 Δ f k = f k + 1 − f k Δ f k = f k + 1 − f k
Δ ( f k g k ) = f k + 1 g k + 1 − f k g k = f k + 1 ( g k + 1 − g k ) + ( f k + 1 − f k ) g k = f k + 1 Δ g k + g k Δ f k Δ ( f k g k ) = f k + 1 g k + 1 − f k g k = f k + 1 ( g k + 1 − g k ) + ( f k + 1 − f k ) g k = f k + 1 Δ g k + g k Δ f k
곱의 미분법과 같은 모양입니다. 다만 한쪽 첨자가 k + 1 k + 1
양변을 k = m k = m n n
f n + 1 g n + 1 − f m g m = ∑ k = m n f k + 1 Δ g k + ∑ k = m n g k Δ f k f n + 1 g n + 1 − f m g m = k = m ∑ n f k + 1 Δ g k + k = m ∑ n g k Δ f k
이항하면
∑ k = m n f k + 1 Δ g k = [ f g ] m n + 1 − ∑ k = m n g k Δ f k k = m ∑ n f k + 1 Δ g k = [ f g ] m n + 1 − k = m ∑ n g k Δ f k
입니다. ∫ u d v = u v − ∫ v d u ∫ u d v = u v − ∫ v d u
이제 계산합니다. f k = k − 1 f k = k − 1 g k = 2 k g k = 2 k f k + 1 = k f k + 1 = k Δ f k = 1 Δ f k = 1
Δ g k = 2 k + 1 − 2 k = 2 k Δ g k = 2 k + 1 − 2 k = 2 k
입니다. 2 k 2 k
공식에 넣습니다. m = 1 m = 1
∑ k = 1 n k 2 k = ∑ k = 1 n f k + 1 Δ g k = [ f g ] 1 n + 1 − ∑ k = 1 n 2 k k = 1 ∑ n k 2 k = k = 1 ∑ n f k + 1 Δ g k = [ f g ] 1 n + 1 − k = 1 ∑ n 2 k
입니다. 앞항은 f n + 1 g n + 1 − f 1 g 1 = n ⋅ 2 n + 1 − 0 ⋅ 2 = n 2 n + 1 f n + 1 g n + 1 − f 1 g 1 = n ⋅ 2 n + 1 − 0 ⋅ 2 = n 2 n + 1 2 n + 1 − 2 2 n + 1 − 2
∑ k = 1 n k 2 k = n 2 n + 1 − ( 2 n + 1 − 2 ) = ( n − 1 ) 2 n + 1 + 2 k = 1 ∑ n k 2 k = n 2 n + 1 − ( 2 n + 1 − 2 ) = ( n − 1 ) 2 n + 1 + 2
n = 3 n = 3 2 + 8 + 24 = 34 2 + 8 + 2 4 = 3 4 2 ⋅ 16 + 2 = 34 2 ⋅ 1 6 + 2 = 3 4
연속과 이산이 같은 구조를 공유한다는 점 이 이 문제의 요점입니다. 96강 이후 알고리즘의 계산량을 분석할 때, 143강에서 급수의 수렴을 다룰 때 이 대응이 계속 쓰입니다.
심화 6. 부분적분이 실패하는 경우를 두 가지로 분류하고 각각 진단하는 방법을 제시하세요.
풀이. 실패는 두 종류입니다.
첫째, 나누기를 잘못 골라 더 복잡해지는 경우입니다. ∫ x e x d x ∫ x e x d x u = e x u = e x d v = x d x d v = x d x
x 2 2 e x − ∫ x 2 2 e x d x 2 x 2 e x − ∫ 2 x 2 e x d x
가 되어 다항식의 차수가 올라갑니다. 진단은 간단합니다. 한 번 적용한 뒤 남은 적분이 원래보다 어려우면 되돌아가 반대로 잡습니다. LIATE 순서를 확인하면 대개 예방됩니다.
둘째, 아무리 나눠도 진전이 없는 경우입니다. ∫ e x 2 d x ∫ e x 2 d x u = e x 2 u = e x 2 d v = d x d v = d x
x e x 2 − ∫ 2 x 2 e x 2 d x x e x 2 − ∫ 2 x 2 e x 2 d x
가 되어 더 나빠지고, 다르게 나눠도 마찬가지입니다. 49강 심화 3에서 본 대로 이 함수의 원시함수는 초등함수가 아니므로 어떤 기법으로도 초등함수 답을 얻을 수 없습니다. 진단은 이렇습니다. 두세 가지 나누기를 시도했는데 모두 나빠지면 초등 원시함수의 존재 자체를 의심해야 합니다.
두 실패를 구별하는 것이 중요합니다.
실패
원인
대처
나누기가 나쁨
사람의 선택
반대로 잡습니다
초등 원시함수 없음
함수 자체의 성질
급수나 수치적분으로 갑니다
앞의 것은 고칠 수 있고 뒤의 것은 고칠 수 없습니다. 적분이 안 풀린다고 해서 늘 방법을 잘못 고른 것이 아니라는 점 을 기억하십시오. 미분에는 이런 구별이 없습니다. 초등함수의 도함수는 언제나 초등함수이기 때문입니다. 미분과 적분의 비대칭이 여기서 가장 뚜렷하게 드러납니다.
이 강의에서는 numpy만 씁니다. 부분적분은 검산이 명확합니다. 손으로 얻은 원시함수의 양 끝 값 차이와 수치적분을 비교하면 됩니다.
import numpy as np
import math
def mid(f, a, b, n=400000):
"""중점법칙으로 정적분을 근사합니다."""
x = np.linspace(a, b, n + 1)
return float(np.sum(f(0.5*(x[:-1] + x[1:])))*(b - a)/n)
# --- 문제 1, 3: 기본과 반복 적용 ---------------------------------------
print(round(mid(lambda t: t*np.exp(t), 0.0, 1.0), 9), 1.0) # 1.0 1.0
print(round(mid(lambda t: t**2*np.exp(t), 0.0, 1.0), 9),
round(np.e - 2, 9)) # 0.718281828 0.718281828
print(round(mid(lambda t: np.exp(t)*np.sin(t), 0.0, np.pi), 8),
round((np.e**np.pi + 1)/2, 8)) # 12.07034632 12.07034632
# --- 문제 4: dv = dx 로 놓는 요령 --------------------------------------
print(round(mid(np.log, 1.0, np.e), 9), 1.0) # 1.0 1.0
print(round(mid(np.arctan, 0.0, 1.0), 9),
round(np.pi/4 - np.log(2)/2, 9)) # 0.438824573 0.438824573
# --- 문제 5: 점화식 ----------------------------------------------------
def I(n):
return mid(lambda t: np.sin(t)**n, 0.0, np.pi/2)
vals = [I(n) for n in range(6)]
print(["%.7f" % v for v in vals])
exact = [np.pi/2, 1.0, np.pi/4, 2/3, 3*np.pi/16, 8/15]
print(["%.7f" % v for v in exact])
# ['1.5707963', '1.0000000', '0.7853982', '0.6666667', '0.5890486', '0.5333333']
# ['1.5707963', '1.0000000', '0.7853982', '0.6666667', '0.5890486', '0.5333333']
for n in [2, 3, 4, 5]:
print(n, round(vals[n], 7), round((n-1)/n*vals[n-2], 7))
# 2 0.7853982 0.7853982
# 3 0.6666667 0.6666667
# 4 0.5890486 0.5890486
# 5 0.5333333 0.5333333
# --- 심화 1: 월리스 곱 (수렴이 매우 느립니다) ---------------------------
p = 1.0
for k in range(1, 2001):
p *= (2*k)*(2*k)/((2*k - 1)*(2*k + 1))
print(round(p, 6), round(np.pi/2, 6)) # 1.5706 1.570796
# --- 심화 2: 감마함수, int_0^inf x^n e^-x = n! --------------------------
for n in [3, 5, 7]:
print(n, round(mid(lambda t, n=n: t**n*np.exp(-t), 0.0, 80.0, 800000), 4),
math.factorial(n))
# 3 6.0 6
# 5 120.0 120
# 7 5040.0 5040
# --- 심화 5: 아벨 합공식으로 얻은 식 ------------------------------------
for n in [3, 10]:
k = np.arange(1, n + 1)
print(n, int(np.sum(k*2**k)), (n - 1)*2**(n + 1) + 2)
# 3 34 34
# 10 18434 18434
실행하면 주석과 같은 값이 나옵니다. 다섯 곳을 짚어 둡니다.
첫째, 다섯 개의 기본 적분이 모두 손계산과 소수 여덟 자리 이상 일치합니다. 특히 ∫ 0 π e x sin x d x ∫ 0 π e x sin x d x 12.07034632 1 2 . 0 7 0 3 4 6 3 2 e π + 1 2 2 e π + 1 두 번 부분적분하고 방정식을 풀어 얻은 원시함수가 맞다는 증거입니다.
둘째, 점화식 검증이 이 강의에서 가장 값진 출력입니다. I n I n n − 1 n I n − 2 n n − 1 I n − 2 손으로 유도한 점화식이 실제로 성립함을 확인했습니다. 여섯 개 값이 π π
셋째, 월리스 곱이 이천 항을 곱해도 1.5706 1 . 5 7 0 6 π 2 = 1.570796 2 π = 1 . 5 7 0 7 9 6 수렴이 매우 느립니다. 오차가 대략 1 4 n 4 n 1
넷째, 감마함수 적분이 6 6 120 1 2 0 5040 5 0 4 0 3 ! 3 ! 5 ! 5 ! 7 ! 7 ! 80 8 0 x = 80 x = 8 0 x 7 e − x ≈ 1 0 − 22 x 7 e − x ≈ 1 0 − 2 2
다섯째, 아벨 합공식으로 얻은 식이 n = 3 n = 3 n = 10 n = 1 0 연속의 부분적분과 이산의 부분합이 같은 구조라는 사실이 숫자로 확인됩니다.
코드로 할 수 없는 일도 분명히 해 둡니다. 수치적분은 원시함수를 알려 주지 않습니다. ∫ 0 1 x e x d x = 1 ∫ 0 1 x e x d x = 1 ( x − 1 ) e x ( x − 1 ) e x
부분적분 공식을 쓰고 어느 미분 규칙을 거꾸로 읽은 것인지 말하세요.
부분적분이 성공하는 조건은 무엇입니까?
LIATE 순서를 쓰고 그 근거를 말하세요.
순환형 적분을 어떻게 처리합니까?
순환형에서 두 번 모두 같은 종류를 u u
∫ ln x d x ∫ ln x d x d v = d x d v = d x ∫ 0 π / 2 n x d x ∫ 0 π / 2 sin n x d x Γ ( n + 1 ) = n ! Γ ( n + 1 ) = n ! 부분적분이 실패하는 두 가지 경우를 구별하세요.
정답.
∫ u d v = u v − ∫ v d u ∫ u d v = u v − ∫ v d u 바뀐 적분 ∫ v d u ∫ v d u
로그, 역삼각, 대수, 삼각, 지수 순이며 앞쪽일수록 미분해서 얻는 이득이 크기 때문입니다.
두 번 적용해 원래 적분이 되돌아오면 미지수로 보고 방정식을 풉니다.
방향을 바꾸면 첫 조작이 되돌려져 I = I I = I
u = ln x u = ln x d v = d x d v = d x v = x v = x 미분하면 유리식이나 대수식이 되어 성격이 완전히 바뀝니다.
I n = n − 1 n I n − 2 I n = n n − 1 I n − 2 45강의 성장 위계로 x n e x → 0 e x x n → 0
나누기를 잘못 골라 복잡해진 경우는 고칠 수 있고, 초등 원시함수가 없는 경우는 고칠 수 없습니다.
기호
읽는 법
뜻
∫ u d v ∫ u d v 부분적분
곱의 미분법을 거꾸로 읽은 공식입니다
LIATE
라이에이트
u u
순환형
cyclic
두 번 적용하면 원래 적분이 돌아옵니다
점화식
reduction formula
지수를 낮추는 관계식입니다
I_
∫ 0 π / 2 n x d x ∫ 0 π / 2 sin n x d x
월리스 공식
Wallis product
π 2 2 π
Γ ( s ) Γ ( s ) 감마함수
계승을 실수로 확장한 적분입니다
아벨 합공식
summation by parts
부분적분의 이산 대응물입니다
\Delta f_
차분
f k + 1 − f k f k + 1 − f k
다음 52강에서는 유리함수를 다룹니다. ∫ d x x 2 − 1 ∫ x 2 − 1 d x 1 x − 1 x − 1 1 1 x + 1 x + 1 1 어떤 유리함수든 반드시 적분된다 는 강한 결론에 도달합니다.