50강과 51강에서 두 가지 기법을 얻었습니다. 그런데 여전히 막히는 유형이 있습니다.
∫ d x x 2 − 1 ∫ x 2 − 1 d x u = x 2 − 1 u = x 2 − 1 d u = 2 x d x d u = 2 x d x x x
그런데 이 함수를 다르게 보면 길이 열립니다. 분모를 인수분해하면 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) 1 x − 1 x − 1 1 1 x + 1 x + 1 1 쪼개고 나면 각 조각이 로그입니다.
이 강의가 특별한 이유는 결론의 강도에 있습니다. 앞의 두 강의는 "이런 경우에는 이 방법이 통한다"는 요령이었습니다. 여기서는 다릅니다.
어떤 유리함수든 반드시 적분되며, 답은 유리함수와 로그와 아크탄젠트의 조합입니다.
예외가 없습니다. 3강의 인수분해와 30강의 복소수, 그리고 대수학의 기본정리가 이 결론을 떠받칩니다. 대수에서 배운 것들이 적분 기술로 되살아나는 자리입니다.
유리함수를 부분분수로 분해할 수 있습니다.
미정계수법과 가리기 방법으로 계수를 빠르게 구할 수 있습니다.
중근과 기약 이차식 인수를 포함한 모든 경우의 분해 형태를 세울 수 있습니다.
가분수를 먼저 나눗셈으로 처리할 수 있습니다.
유리함수 적분이 언제나 가능한 이유를 설명할 수 있습니다.
문제. ∫ d x x 2 − 1 ∫ x 2 − 1 d x 1 x 2 − 1 = A x − 1 + B x + 1 x 2 − 1 1 = x − 1 A + x + 1 B A A B B
생각의 실마리. (1)에서 양변에 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) 항등식이므로 모든 x x (3)에서는 쪼개기 전과 후에 무엇이 달라졌는지 봅니다.
풀이. (1) 양변에 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 )
1 = A ( x + 1 ) + B ( x − 1 ) 1 = A ( x + 1 ) + B ( x − 1 )
x = 1 x = 1 1 = 2 A 1 = 2 A A = 1 2 A = 2 1 x = − 1 x = − 1 1 = − 2 B 1 = − 2 B B = − 1 2 B = − 2 1
1 x 2 − 1 = 1 2 ⋅ 1 x − 1 − 1 2 ⋅ 1 x + 1 x 2 − 1 1 = 2 1 ⋅ x − 1 1 − 2 1 ⋅ x + 1 1
(2) 각 항이 로그입니다.
∫ d x x 2 − 1 = 1 2 ln ∣ x − 1 ∣ − 1 2 ln ∣ x + 1 ∣ + C = 1 2 ln ∣ x − 1 x + 1 ∣ + C ∫ x 2 − 1 d x = 2 1 ln ∣ x − 1 ∣ − 2 1 ln ∣ x + 1 ∣ + C = 2 1 ln ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x + 1 x − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + C
(3) 원래 분모는 이차식이라 원시함수가 표에 없었습니다. 쪼갠 뒤에는 분모가 모두 일차식 이 되었고, ∫ d x x − a = ln ∣ x − a ∣ + C ∫ x − a d x = ln ∣ x − a ∣ + C 어려운 하나를 쉬운 여럿으로 바꾼 것 이 이 방법의 전부입니다.
이 문제에서 배우는 것: 부분분수 분해.
부분분수 분해. 진분수인 유리함수는 분모의 인수마다 대응하는 간단한 분수들의 합으로 유일하게 쪼개집니다.
세 가지 조건을 확인해 둡니다.
조건
뜻
어기면
진분수
분자의 차수 < <
먼저 나눗셈을 합니다(심화 1)
분모를 인수분해
실계수 일차·이차 인수의 곱
인수분해가 먼저입니다
형태를 맞춤
인수의 종류에 따라 다릅니다
계수가 안 구해집니다
세 번째의 "형태"가 이 강의의 뼈대이며, 문제 3과 4에서 나머지 경우를 채웁니다. 지금까지 나온 것은 가장 단순한 경우입니다.
서로 다른 일차 인수. 분모가 ( x − a 1 ) ( x − a 2 ) ⋯ ( x − a n ) ( x − a 1 ) ( x − a 2 ) ⋯ ( x − a n )
P ( x ) ( x − a 1 ) ⋯ ( x − a n ) = A 1 x − a 1 + ⋯ + A n x − a n ( x − a 1 ) ⋯ ( x − a n ) P ( x ) = x − a 1 A 1 + ⋯ + x − a n A n
입니다.
계수를 구할 때 쓴 요령도 기억해 둘 값이 있습니다. x = 1 x = 1 x = − 1 x = − 1
바로 확인 1.
확인 1-1. 1 x 2 − 4 x 2 − 4 1
답. 1 ( x − 2 ) ( x + 2 ) = 1 4 ⋅ 1 x − 2 − 1 4 ⋅ 1 x + 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) 1 = 4 1 ⋅ x − 2 1 − 4 1 ⋅ x + 2 1
확인 1-2. ∫ d x x 2 − 4 ∫ x 2 − 4 d x
답. 1 4 ln ∣ x − 2 x + 2 ∣ + C 4 1 ln ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x + 2 x − 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + C
확인 1-3. 부분분수 분해가 적분을 쉽게 만드는 이유를 한 문장으로 쓰세요.
답. 분모가 모두 일차식이 되어 각 항이 이미 아는 로그 적분이 되기 때문입니다.
문제. 3 x + 1 ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 3 ) ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 3 ) 3 x + 1
생각의 실마리. (1)에서 양변에 분모를 곱하면 이차식의 항등식이 되고, 계수를 비교하거나 세 값을 대입해 연립방정식을 풀 수 있습니다. (2)에서는 문제 1에서 근을 대입했을 때 한 항만 남았던 것을 떠올립니다. 분모에서 그 인수를 가려 놓고 근을 대입하면 됩니다.
풀이. (1) 분해 형태는
3 x + 1 ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 3 ) = A x − 1 + B x + 2 + C x − 3 ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 3 ) 3 x + 1 = x − 1 A + x + 2 B + x − 3 C
입니다. 양변에 분모를 곱하면
3 x + 1 = A ( x + 2 ) ( x − 3 ) + B ( x − 1 ) ( x − 3 ) + C ( x − 1 ) ( x + 2 ) 3 x + 1 = A ( x + 2 ) ( x − 3 ) + B ( x − 1 ) ( x − 3 ) + C ( x − 1 ) ( x + 2 )
입니다. x = 1 x = 1 4 = A ( 3 ) ( − 2 ) = − 6 A 4 = A ( 3 ) ( − 2 ) = − 6 A A = − 2 3 A = − 3 2 x = − 2 x = − 2 − 5 = B ( − 3 ) ( − 5 ) = 15 B − 5 = B ( − 3 ) ( − 5 ) = 1 5 B B = − 1 3 B = − 3 1 x = 3 x = 3 10 = C ( 2 ) ( 5 ) = 10 C 1 0 = C ( 2 ) ( 5 ) = 1 0 C C = 1 C = 1
(2) 위 계산을 보면 매번 구하려는 계수의 인수를 지운 나머지에 그 근을 대입 하고 있습니다. 절차로 정리하면 이렇습니다. A A ( x − 1 ) ( x − 1 ) x = 1 x = 1
A = 3 x + 1 ( x + 2 ) ( x − 3 ) ∣ x = 1 = 4 3 ⋅ ( − 2 ) = − 2 3 A = ( x + 2 ) ( x − 3 ) 3 x + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x = 1 = 3 ⋅ ( − 2 ) 4 = − 3 2
B = 3 x + 1 ( x − 1 ) ( x − 3 ) ∣ x = − 2 = − 5 ( − 3 ) ( − 5 ) = − 1 3 , C = 3 x + 1 ( x − 1 ) ( x + 2 ) ∣ x = 3 = 10 2 ⋅ 5 = 1 B = ( x − 1 ) ( x − 3 ) 3 x + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x = − 2 = ( − 3 ) ( − 5 ) − 5 = − 3 1 , C = ( x − 1 ) ( x + 2 ) 3 x + 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x = 3 = 2 ⋅ 5 1 0 = 1
(3) 양변에 ( x − 1 ) ( x − 1 )
3 x + 1 ( x + 2 ) ( x − 3 ) = A + ( x − 1 ) [ B x + 2 + C x − 3 ] ( x + 2 ) ( x − 3 ) 3 x + 1 = A + ( x − 1 ) [ x + 2 B + x − 3 C ]
입니다. x → 1 x → 1 ( x − 1 ) ( x − 1 ) 0 0 A A 왼쪽이 정확히 "인수를 가린 식"입니다.
이 문제에서 배우는 것: 가리기 방법.
가리기 방법(헤비사이드). 분모가 서로 다른 일차 인수의 곱일 때, 인수 ( x − a ) ( x − a ) x = a x = a
미정계수법과 비교합니다.
미정계수법
가리기 방법
절차
연립방정식을 풉니다
값을 하나씩 대입합니다
속도
느립니다
빠릅니다
적용 범위
모든 경우 서로 다른 일차 인수만
실수 위험
전개에서 실수합니다
적습니다
가리기 방법은 빠르지만 적용 범위가 좁습니다. 중근이나 기약 이차식이 있으면 그 부분은 미정계수법으로 처리해야 합니다. 다만 일차 인수 부분의 계수는 여전히 가리기로 구할 수 있으므로, 둘을 섞어 쓰는 것이 실전에서 가장 빠릅니다.
이제 적분을 마무리합니다.
∫ 3 x + 1 ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 3 ) d x = − 2 3 ln ∣ x − 1 ∣ − 1 3 ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x − 3 ∣ + C ∫ ( x − 1 ) ( x + 2 ) ( x − 3 ) 3 x + 1 d x = − 3 2 ln ∣ x − 1 ∣ − 3 1 ln ∣ x + 2 ∣ + ln ∣ x − 3 ∣ + C
바로 확인 2.
확인 2-1. x ( x − 1 ) ( x + 3 ) ( x − 1 ) ( x + 3 ) x
답. x = 1 x = 1 1 4 4 1 x = − 3 x = − 3 − 3 − 4 = 3 4 − 4 − 3 = 4 3 1 / 4 x − 1 + 3 / 4 x + 3 x − 1 1 / 4 + x + 3 3 / 4
확인 2-2. ∫ x d x ( x − 1 ) ( x + 3 ) ∫ ( x − 1 ) ( x + 3 ) x d x
답. 1 4 ln ∣ x − 1 ∣ + 3 4 ln ∣ x + 3 ∣ + C 4 1 ln ∣ x − 1 ∣ + 4 3 ln ∣ x + 3 ∣ + C
확인 2-3. 가리기 방법을 쓸 수 없는 경우를 하나 쓰세요.
답. 분모에 ( x − 1 ) 2 ( x − 1 ) 2
문제. ∫ d x x ( x + 1 ) 2 ∫ x ( x + 1 ) 2 d x 1 x ( x + 1 ) 2 = A x + B x + 1 x ( x + 1 ) 2 1 = x A + x + 1 B
생각의 실마리. (1)에서 오른쪽을 통분하면 분모가 x ( x + 1 ) x ( x + 1 ) 분모의 차수가 맞지 않으므로 어떤 A A B B (2)에서는 분모가 ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) 2
풀이. (1) 오른쪽을 통분하면 A ( x + 1 ) + B x x ( x + 1 ) x ( x + 1 ) A ( x + 1 ) + B x x ( x + 1 ) 2 x ( x + 1 ) 2 x ( x + 1 ) x ( x + 1 ) 자유도가 부족합니다. 미지수가 둘인데 결정해야 할 것은 셋입니다.
(2) ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) 2
1 x ( x + 1 ) 2 = A x + B x + 1 + C ( x + 1 ) 2 x ( x + 1 ) 2 1 = x A + x + 1 B + ( x + 1 ) 2 C
양변에 x ( x + 1 ) 2 x ( x + 1 ) 2
1 = A ( x + 1 ) 2 + B x ( x + 1 ) + C x 1 = A ( x + 1 ) 2 + B x ( x + 1 ) + C x
입니다. x = 0 x = 0 1 = A 1 = A x = − 1 x = − 1 1 = − C 1 = − C C = − 1 C = − 1 B B x 2 x 2 0 0 A + B A + B B = − 1 B = − 1
1 x ( x + 1 ) 2 = 1 x − 1 x + 1 − 1 ( x + 1 ) 2 x ( x + 1 ) 2 1 = x 1 − x + 1 1 − ( x + 1 ) 2 1
(3) 앞의 두 항은 로그이고 마지막은 멱함수입니다.
∫ d x x ( x + 1 ) 2 = ln ∣ x ∣ − ln ∣ x + 1 ∣ + 1 x + 1 + C = ln ∣ x x + 1 ∣ + 1 x + 1 + C ∫ x ( x + 1 ) 2 d x = ln ∣ x ∣ − ln ∣ x + 1 ∣ + x + 1 1 + C = ln ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x + 1 x ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + x + 1 1 + C
이 문제에서 배우는 것: 중복 인수의 형태.
중복 일차 인수. 분모에 ( x − a ) m ( x − a ) m
A 1 x − a + A 2 ( x − a ) 2 + ⋯ + A m ( x − a ) m x − a A 1 + ( x − a ) 2 A 2 + ⋯ + ( x − a ) m A m
을 모두 둡니다.
왜 모든 차수를 다 둬야 하는지 가 (1)에서 드러났습니다. 통분했을 때 분자가 m − 1 m − 1
미지수의 개수를 세어 확인할 수도 있습니다. 분모가 n n n − 1 n − 1 n n n n
계수를 구하는 요령도 정리합니다.
계수
방법
가장 높은 차수 A_
x = a x = a
다른 일차 인수의 계수
가리기 방법이 통합니다
나머지 A_{1},\dots,A_
계수 비교나 다른 값 대입
최고차 계수만 대입으로 얻어지고 나머지는 다른 방법이 필요합니다. 문제 3에서 C C B B
적분 결과도 눈여겨보십시오. 1 x − a x − a 1 1 ( x − a ) 2 ( x − a ) 2 1 − 1 x − a − x − a 1 유리함수 가 됩니다. 그래서 유리함수의 적분 결과에 유리함수 부분이 남습니다.
바로 확인 3.
확인 3-1. 1 ( x − 2 ) 3 ( x − 2 ) 3 1
답. 없습니다. 이미 하나의 항이므로 그대로 적분하면 − 1 2 ( x − 2 ) 2 + C − 2 ( x − 2 ) 2 1 + C
확인 3-2. x ( x − 1 ) 2 ( x − 1 ) 2 x
답. A x − 1 + B ( x − 1 ) 2 x − 1 A + ( x − 1 ) 2 B x = A ( x − 1 ) + B x = A ( x − 1 ) + B A = 1 A = 1 B = 1 B = 1
확인 3-3. 중복 인수에서 모든 차수의 항을 둬야 하는 이유를 쓰세요.
답. 통분했을 때 분자가 충분한 차수까지 자유롭게 나와야 원래 분자를 맞출 수 있는데, 항을 빠뜨리면 미지수가 부족해 항등식이 성립하지 않기 때문입니다.
문제. 다음을 계산하세요.∫ d x x 3 + x ∫ x 3 + x d x ∫ 0 1 x + 1 x 2 + 1 d x ∫ 0 1 x 2 + 1 x + 1 d x
생각의 실마리. (1)에서 x 3 + x = x ( x 2 + 1 ) x 3 + x = x ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 x 2 + 1 분모가 이차식이면 분자에 일차식까지 올 수 있으므로 B x + C x 2 + 1 x 2 + 1 B x + C (2)는 이미 분해된 형태이며, 분자를 두 부분으로 나누는 것이 요령입니다.
풀이. (1) 형태를 세웁니다.
1 x ( x 2 + 1 ) = A x + B x + C x 2 + 1 x ( x 2 + 1 ) 1 = x A + x 2 + 1 B x + C
양변에 x ( x 2 + 1 ) x ( x 2 + 1 )
1 = A ( x 2 + 1 ) + ( B x + C ) x 1 = A ( x 2 + 1 ) + ( B x + C ) x
입니다. x = 0 x = 0 A = 1 A = 1 x 2 x 2 0 = A + B 0 = A + B B = − 1 B = − 1 x x 0 = C 0 = C
1 x 3 + x = 1 x − x x 2 + 1 x 3 + x 1 = x 1 − x 2 + 1 x
적분하면 둘째 항은 u = x 2 + 1 u = x 2 + 1
∫ d x x 3 + x = ln ∣ x ∣ − 1 2 ln ( x 2 + 1 ) + C ∫ x 3 + x d x = ln ∣ x ∣ − 2 1 ln ( x 2 + 1 ) + C
입니다.
(2) 분자를 나눕니다. x x
∫ 0 1 x + 1 x 2 + 1 d x = ∫ 0 1 x x 2 + 1 d x + ∫ 0 1 d x x 2 + 1 ∫ 0 1 x 2 + 1 x + 1 d x = ∫ 0 1 x 2 + 1 x d x + ∫ 0 1 x 2 + 1 d x
= [ 1 2 ln ( x 2 + 1 ) ] 0 1 + [ arctan x ] 0 1 = ln 2 2 + π 4 ≈ 1.1320 = [ 2 1 ln ( x 2 + 1 ) ] 0 1 + [ arctan x ] 0 1 = 2 ln 2 + 4 π ≈ 1 . 1 3 2 0
이 문제에서 배우는 것: 기약 이차식 인수.
기약 이차식 인수. 분모에 실수 범위에서 인수분해되지 않는 x 2 + p x + q x 2 + p x + q 일차식 을 둡니다.
B x + C x 2 + p x + q x 2 + p x + q B x + C
중복되어 ( x 2 + p x + q ) m ( x 2 + p x + q ) m
이 항을 적분하는 절차가 정해져 있습니다.
단계
할 일
결과
1
분자를 분모의 도함수 부분과 상수 부분으로 나눕니다
2
도함수 부분은 치환합니다
로그가 나옵니다
3
상수 부분은 완전제곱으로 정리합니다
아크탄젠트가 나옵니다
(2)에서 x 2 + 1 x 2 + 1 2 x 2 x x x
∫ d x x 2 + 2 x + 5 = ∫ d x ( x + 1 ) 2 + 4 = 1 2 arctan x + 1 2 + C ∫ x 2 + 2 x + 5 d x = ∫ ( x + 1 ) 2 + 4 d x = 2 1 arctan 2 x + 1 + C
입니다. 2강의 완전제곱 만들기가 여기서 쓰입니다.
이제 유리함수 적분에서 나올 수 있는 결과가 모두 나왔습니다.
분해된 항
적분 결과
\dfrac{A}
로그
A ( x − a ) m ( x − a ) m A m ≥ 2 m ≥ 2 유리함수
B x + C x 2 + p x + q x 2 + p x + q B x + C 로그와 아크탄젠트
B x + C ( x 2 + p x + q ) m ( x 2 + p x + q ) m B x + C 유리함수, 로그, 아크탄젠트
이 네 가지가 전부입니다. 다른 종류의 함수는 나오지 않습니다. 왜 그런지가 문제 5의 주제입니다.
바로 확인 4.
확인 4-1. 1 ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) ( x + 1 ) ( x 2 + 1 ) 1
답. A x + 1 + B x + C x 2 + 1 x + 1 A + x 2 + 1 B x + C
확인 4-2. ∫ d x x 2 + 4 x + 13 ∫ x 2 + 4 x + 1 3 d x
답. 완전제곱으로 ( x + 2 ) 2 + 9 ( x + 2 ) 2 + 9 1 3 arctan x + 2 3 + C 3 1 arctan 3 x + 2 + C
확인 4-3. 기약 이차식 분모에 일차식 분자를 두는 이유를 쓰세요.
답. 분모가 이차식이면 진분수가 되기 위해 분자가 일차식까지 가능하고, 그 자유도가 있어야 항등식이 성립하기 때문입니다.
문제. 다음에 답하세요.
생각의 실마리. (1)은 30강의 복소수와 대수학의 기본정리를 씁니다. 복소수 범위에서는 모든 다항식이 일차식의 곱인데, 실계수라면 복소근이 켤레쌍으로 나타납니다. 그 쌍을 묶으면 무엇이 되는지 계산해 봅니다.
풀이. (1) 대수학의 기본정리에 의해 n n n n
Q ( x ) = c ( x − z 1 ) ( x − z 2 ) ⋯ ( x − z n ) Q ( x ) = c ( x − z 1 ) ( x − z 2 ) ⋯ ( x − z n )
으로 분해됩니다. 계수가 실수이면 Q ( z ˉ ) = Q ( z ) ‾ Q ( z ˉ ) = Q ( z ) z z z ˉ z ˉ
( x − z ) ( x − z ˉ ) = x 2 − ( z + z ˉ ) x + z z ˉ = x 2 − 2 ( Re z ) x + ∣ z ∣ 2 ( x − z ) ( x − z ˉ ) = x 2 − ( z + z ˉ ) x + z z ˉ = x 2 − 2 ( R e z ) x + ∣ z ∣ 2
이고 계수가 모두 실수입니다. 판별식은 4 ( Re z ) 2 − 4 ∣ z ∣ 2 = − 4 ( Im z ) 2 < 0 4 ( R e z ) 2 − 4 ∣ z ∣ 2 = − 4 ( I m z ) 2 < 0
실계수 다항식은 실계수 일차식과 기약 이차식의 곱으로 분해됩니다.
(2) 분모가 그 형태로 분해되므로 각 인수에 대응하는 항을 두면 됩니다. 문제 1의 서로 다른 일차 인수, 문제 3의 중복 일차 인수, 문제 4의 기약 이차식 인수, 그리고 중복 기약 이차식 인수까지 네 가지가 모든 경우를 덮습니다. 다른 형태의 인수는 존재할 수 없기 때문입니다.
미지수의 개수도 맞습니다. 분모가 n n n n n n
(3) 문제 4의 표에서 나온 네 종류가 전부입니다.
유리함수 적분의 형태. 유리함수의 원시함수는 언제나
( 유리함수 ) + ∑ ( 상수 ) ln ∣ ⋅ ∣ + ∑ ( 상수 ) arctan ( ⋅ ) ( 유리함수 ) + ∑ ( 상수 ) ln ∣ ⋅ ∣ + ∑ ( 상수 ) arctan ( ⋅ )
꼴입니다.
이 문제에서 배우는 것: 완결성.
이 결론이 왜 특별한지 확인해 두십시오. 49강 심화 3에서 e − x 2 e − x 2 sin x x x sin x
유리함수에는 그런 실패가 없습니다.
함수 종류
초등 원시함수
유리함수
언제나 존재합니다
다항식 곱하기 지수
존재합니다(51강)
e − x 2 e − x 2 존재하지 않습니다
\dfrac{\sin x}
존재하지 않습니다
1 + x 4 1 + x 4 존재하지 않습니다
그러므로 유리함수 적분은 요령이 아니라 알고리즘 입니다. 절차를 따라가기만 하면 반드시 끝납니다.
단계
할 일
1
가분수이면 나눗셈으로 진분수로 만듭니다
2
분모를 실계수 일차·기약 이차 인수로 인수분해합니다
3
인수의 종류에 맞는 형태를 세웁니다
4
계수를 구합니다
5
각 항을 로그, 유리함수, 아크탄젠트로 적분합니다
2단계가 실제로는 가장 어렵습니다. 고차 다항식의 인수분해는 손으로 쉽지 않고, 5차 이상은 근을 근호로 적을 수 없습니다(47강). 이론적으로 언제나 가능하다는 것과 손으로 계산할 수 있다는 것은 다릅니다.
50강 심화 4의 만능 치환이 여기서 값을 가집니다. 삼각함수의 유리식을 t t 적분이 반드시 끝난다는 보장 을 얻습니다.
바로 확인 5.
확인 5-1. 실계수 다항식이 일차식과 기약 이차식의 곱으로 분해되는 근거를 쓰세요.
답. 대수학의 기본정리로 복소수 범위에서 일차식의 곱이 되고, 실계수이면 복소근이 켤레쌍이라 그 쌍을 묶으면 실계수 기약 이차식이 되기 때문입니다.
확인 5-2. x 4 + 1 x 4 + 1
답. x 4 + 1 = ( x 2 + 2 x + 1 ) ( x 2 − 2 x + 1 ) x 4 + 1 = ( x 2 + 2 x + 1 ) ( x 2 − 2 x + 1 ) 2 − 4 = − 2 < 0 2 − 4 = − 2 < 0
확인 5-3. 유리함수 적분이 "알고리즘"이라는 말의 뜻을 쓰세요.
답. 정해진 절차를 따라가면 반드시 초등함수 답에 도달하며 실패하는 경우가 없다는 뜻입니다.
분모의 인수
분해 형태
( x − a ) ( x − a ) \dfrac{A}
(x-a)^
A 1 x − a + ⋯ + A m ( x − a ) m x − a A 1 + ⋯ + ( x − a ) m A m
x 2 + p x + q x 2 + p x + q B x + C x 2 + p x + q x 2 + p x + q B x + C
(x^{2}+px+q)^
차수마다 일차식 분자를 둡니다
항
적분 결과
\dfrac{A}
A ln ∣ x − a ∣ A ln ∣ x − a ∣
A ( x − a ) m ( x − a ) m A − A ( m − 1 ) ( x − a ) m − 1 ( m − 1 ) ( x − a ) m − 1 − A
x x 2 + q x 2 + q x 1 2 ln ( x 2 + q ) 2 1 ln ( x 2 + q )
1 x 2 + a 2 x 2 + a 2 1 \dfrac1a\arctan\dfrac{x}
계수 구하는 법
적용
가리기 방법
서로 다른 일차 인수
근 대입
중복 인수의 최고차 계수
계수 비교
나머지 전부
절차
내용
1
가분수이면 나눗셈
2
분모 인수분해
3
형태 세우기
4
계수 결정
5
항별 적분
자주 하는 실수
바로잡기
가분수인데 바로 분해합니다
나눗셈을 먼저 합니다
중복 인수에서 최고차만 둡니다
모든 차수를 둡니다
기약 이차식에 상수 분자를 둡니다
일차식 분자를 둡니다
로그에 절댓값을 빠뜨립니다
ln ∣ ⋅ ∣ ln ∣ ⋅ ∣
문제 6. 1 ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 1 ) ( x − 2 ) 1
답. 가리기로 x = 1 x = 1 1 − 1 = − 1 − 1 1 = − 1 x = 2 x = 2 1 1 = 1 1 1 = 1 − 1 x − 1 + 1 x − 2 x − 1 − 1 + x − 2 1
문제 7. ∫ d x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ∫ ( x − 1 ) ( x − 2 ) d x
답. − ln ∣ x − 1 ∣ + ln ∣ x − 2 ∣ + C = ln ∣ x − 2 x − 1 ∣ + C − ln ∣ x − 1 ∣ + ln ∣ x − 2 ∣ + C = ln ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x − 1 x − 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + C
문제 8. ∫ x d x x 2 − 5 x + 6 ∫ x 2 − 5 x + 6 x d x
답. 분모가 ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) − 2 x − 2 + 3 x − 3 x − 2 − 2 + x − 3 3 − 2 ln ∣ x − 2 ∣ + 3 ln ∣ x − 3 ∣ + C − 2 ln ∣ x − 2 ∣ + 3 ln ∣ x − 3 ∣ + C
문제 9. ∫ d x x 2 + 6 x + 13 ∫ x 2 + 6 x + 1 3 d x
답. ( x + 3 ) 2 + 4 ( x + 3 ) 2 + 4 1 2 arctan x + 3 2 + C 2 1 arctan 2 x + 3 + C
문제 10. 2 x + 3 ( x + 1 ) 2 ( x + 1 ) 2 2 x + 3
답. 2 x + 3 = A ( x + 1 ) + B 2 x + 3 = A ( x + 1 ) + B A = 2 A = 2 B = 1 B = 1 2 x + 1 + 1 ( x + 1 ) 2 x + 1 2 + ( x + 1 ) 2 1
문제 11. 문제 10의 적분을 구하세요.
답. 2 ln ∣ x + 1 ∣ − 1 x + 1 + C 2 ln ∣ x + 1 ∣ − x + 1 1 + C
문제 12. ∫ x 2 x 2 + 1 d x ∫ x 2 + 1 x 2 d x
답. 가분수이므로 1 − 1 x 2 + 1 1 − x 2 + 1 1 x − arctan x + C x − arctan x + C
문제 13. ∫ 2 x + 5 x 2 + 4 d x ∫ x 2 + 4 2 x + 5 d x
답. 분자를 나눠 ln ( x 2 + 4 ) + 5 2 arctan x 2 + C ln ( x 2 + 4 ) + 2 5 arctan 2 x + C
문제 14. ∫ 2 3 d x x 2 − 1 ∫ 2 3 x 2 − 1 d x
답. 1 2 [ ln ∣ x − 1 x + 1 ∣ ] 2 3 = 1 2 ( ln 1 2 − ln 1 3 ) = 1 2 ln 3 2 ≈ 0.2027 2 1 [ ln ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x + 1 x − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ] 2 3 = 2 1 ( ln 2 1 − ln 3 1 ) = 2 1 ln 2 3 ≈ 0 . 2 0 2 7
문제 15. 1 x 3 − x x 3 − x 1
답. x ( x − 1 ) ( x + 1 ) x ( x − 1 ) ( x + 1 ) − 1 x + 1 / 2 x − 1 + 1 / 2 x + 1 x − 1 + x − 1 1 / 2 + x + 1 1 / 2
문제 16. x 2 + 1 ( x − 1 ) ( x 2 + 4 ) ( x − 1 ) ( x 2 + 4 ) x 2 + 1
답. A x − 1 + B x + C x 2 + 4 x − 1 A + x 2 + 4 B x + C
문제 17. ∫ d x x ( x + 1 ) 2 ∫ x ( x + 1 ) 2 d x
답. ln ∣ x x + 1 ∣ + 1 x + 1 + C ln ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x + 1 x ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + x + 1 1 + C
문제 18. 유리함수의 원시함수에 나올 수 있는 함수 종류를 모두 쓰세요.
답. 유리함수, 로그, 아크탄젠트 세 가지입니다.
심화 1. 가분수인 유리함수를 어떻게 처리하는지 설명하고 ∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x ∫ 0 1 x 2 + 1 x 3 d x
풀이. 분자의 차수가 분모 이상이면 부분분수 분해가 성립하지 않습니다. 분해 형태의 미지수 개수가 분모의 차수로 정해져 있는데 분자의 정보량이 그보다 많기 때문입니다.
해결은 다항식 나눗셈입니다. P = Q S + R P = Q S + R R R < < S S
P ( x ) S ( x ) = Q ( x ) + R ( x ) S ( x ) S ( x ) P ( x ) = Q ( x ) + S ( x ) R ( x )
이고 앞은 다항식이라 즉시 적분되며 뒤는 진분수라 분해가 됩니다.
계산합니다. x 3 x 3 x 2 + 1 x 2 + 1 x x − x − x
x 3 x 2 + 1 = x − x x 2 + 1 x 2 + 1 x 3 = x − x 2 + 1 x
확인해 보면 x ( x 2 + 1 ) − x = x 3 x ( x 2 + 1 ) − x = x 3
∫ 0 1 x 3 x 2 + 1 d x = [ x 2 2 − 1 2 ln ( x 2 + 1 ) ] 0 1 = 1 2 − ln 2 2 ≈ 0.1534 ∫ 0 1 x 2 + 1 x 3 d x = [ 2 x 2 − 2 1 ln ( x 2 + 1 ) ] 0 1 = 2 1 − 2 ln 2 ≈ 0 . 1 5 3 4
입니다.
나눗셈을 매번 하지 않아도 되는 요령이 있습니다. 분자를 분모의 배수로 억지로 만들어 쪼개는 것 입니다.
x 3 x 2 + 1 = x ( x 2 + 1 ) − x x 2 + 1 = x − x x 2 + 1 x 2 + 1 x 3 = x 2 + 1 x ( x 2 + 1 ) − x = x − x 2 + 1 x
문제 12의 x 2 x 2 + 1 = ( x 2 + 1 ) − 1 x 2 + 1 = 1 − 1 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 = x 2 + 1 ( x 2 + 1 ) − 1 = 1 − x 2 + 1 1
심화 2. 가리기 방법이 중복 인수에서 최고차 계수만 주는 이유를 설명하고, 나머지 계수를 얻는 체계적인 방법을 제시하세요.
풀이. 분모가 ( x − a ) m R ( x ) ( x − a ) m R ( x ) R ( a ) ≠ 0 R ( a ) = 0
P ( x ) ( x − a ) m R ( x ) = A 1 x − a + ⋯ + A m ( x − a ) m + ( R 에 대응하는 항들 ) ( x − a ) m R ( x ) P ( x ) = x − a A 1 + ⋯ + ( x − a ) m A m + ( R 에 대응하는 항들 )
입니다. 양변에 ( x − a ) m ( x − a ) m
P ( x ) R ( x ) = A 1 ( x − a ) m − 1 + ⋯ + A m − 1 ( x − a ) + A m + ( x − a ) m ( ⋯ ) R ( x ) P ( x ) = A 1 ( x − a ) m − 1 + ⋯ + A m − 1 ( x − a ) + A m + ( x − a ) m ( ⋯ )
입니다. x = a x = a ( x − a ) ( x − a ) A m A m
A m = P ( a ) R ( a ) A m = R ( a ) P ( a )
A m A m ( x − a ) ( x − a )
그런데 위 식을 보면 나머지도 얻는 방법이 보입니다. 오른쪽은 A m A m ( x − a ) ( x − a ) 양변을 x x x = a x = a A m − 1 A m − 1
A m − 1 = d d x [ P ( x ) R ( x ) ] ∣ x = a A m − 1 = d x d [ R ( x ) P ( x ) ] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x = a
일반적으로는
A m − k = 1 k ! d k d x k [ P ( x ) R ( x ) ] ∣ x = a A m − k = k ! 1 d x k d k [ R ( x ) P ( x ) ] ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x = a
입니다. 41강의 고계도함수가 여기서 쓰이며, 계수의 형태가 57강의 테일러 계수와 똑같습니다. 우연이 아니고 실제로 같은 것입니다. P R R P x = a x = a
문제 3에서 확인해 봅니다. 1 x ( x + 1 ) 2 x ( x + 1 ) 2 1 a = − 1 a = − 1 m = 2 m = 2 R ( x ) = x R ( x ) = x P R = 1 x R P = x 1
A 2 = 1 x ∣ x = − 1 = − 1 , A 1 = d d x 1 x ∣ x = − 1 = − 1 x 2 ∣ x = − 1 = − 1 A 2 = x 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x = − 1 = − 1 , A 1 = d x d x 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x = − 1 = − x 2 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x = − 1 = − 1
앞에서 계수 비교로 얻은 B = − 1 B = − 1 C = − 1 C = − 1
심화 3. ∫ d x ( x 2 + 1 ) n ∫ ( x 2 + 1 ) n d x n = 2 , 3 n = 2 , 3 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ]
풀이. I n = ∫ d x ( x 2 + 1 ) n I n = ∫ ( x 2 + 1 ) n d x u = ( x 2 + 1 ) − n u = ( x 2 + 1 ) − n d v = d x d v = d x
I n = x ( x 2 + 1 ) n + 2 n ∫ x 2 ( x 2 + 1 ) n + 1 d x I n = ( x 2 + 1 ) n x + 2 n ∫ ( x 2 + 1 ) n + 1 x 2 d x
입니다. 남은 적분의 분자를 x 2 = ( x 2 + 1 ) − 1 x 2 = ( x 2 + 1 ) − 1
∫ x 2 d x ( x 2 + 1 ) n + 1 = ∫ d x ( x 2 + 1 ) n − ∫ d x ( x 2 + 1 ) n + 1 = I n − I n + 1 ∫ ( x 2 + 1 ) n + 1 x 2 d x = ∫ ( x 2 + 1 ) n d x − ∫ ( x 2 + 1 ) n + 1 d x = I n − I n + 1
이므로
I n = x ( x 2 + 1 ) n + 2 n ( I n − I n + 1 ) I n = ( x 2 + 1 ) n x + 2 n ( I n − I n + 1 )
입니다. I n + 1 I n + 1
I n + 1 = x 2 n ( x 2 + 1 ) n + 2 n − 1 2 n I n I n + 1 = 2 n ( x 2 + 1 ) n x + 2 n 2 n − 1 I n
입니다.
I 1 = arctan x I 1 = arctan x
I 2 = x 2 ( x 2 + 1 ) + 1 2 arctan x I 2 = 2 ( x 2 + 1 ) x + 2 1 arctan x
[ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] 1 4 + π 8 ≈ 0.6427 4 1 + 8 π ≈ 0 . 6 4 2 7
I 3 = x 4 ( x 2 + 1 ) 2 + 3 4 I 2 I 3 = 4 ( x 2 + 1 ) 2 x + 4 3 I 2
[ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] 1 4 ⋅ 4 + 3 4 ⋅ 0.6427 = 0.0625 + 0.4820 = 0.5445 4 ⋅ 4 1 + 4 3 ⋅ 0 . 6 4 2 7 = 0 . 0 6 2 5 + 0 . 4 8 2 0 = 0 . 5 4 4 5
분자에서 x 2 = ( x 2 + 1 ) − 1 x 2 = ( x 2 + 1 ) − 1 이 이 유도의 핵심입니다. 51강 문제 5에서 2 = 1 − 2 cos 2 = 1 − sin 2 점화식을 만들려면 원래 적분이 다시 나타나도록 식을 조작해야 한다 는 원리가 두 곳에서 같습니다.
심화 4. 복소수를 쓰면 기약 이차식 인수가 사라지고 모든 항이 일차 인수가 됨을 보이고, 그때 아크탄젠트가 어디로 가는지 설명하세요.
풀이. 30강에서 본 대로 복소수 범위에서는 모든 다항식이 일차식의 곱입니다. x 2 + 1 = ( x − i ) ( x + i ) x 2 + 1 = ( x − i ) ( x + i )
1 x 2 + 1 = A x − i + B x + i x 2 + 1 1 = x − i A + x + i B
이고 가리기 방법으로 A = 1 2 i A = 2 i 1 B = − 1 2 i B = − 2 i 1
1 x 2 + 1 = 1 2 i ( 1 x − i − 1 x + i ) x 2 + 1 1 = 2 i 1 ( x − i 1 − x + i 1 )
입니다. 확인해 보면 오른쪽은 1 2 i ⋅ 2 i x 2 + 1 = 1 x 2 + 1 2 i 1 ⋅ x 2 + 1 2 i = x 2 + 1 1
그러므로 복소수 범위에서는 부분분수 분해가 훨씬 단순합니다. 기약 이차식이라는 개념이 없고 일차 인수만 있으므로 형태가 한 가지뿐입니다.
적분하면 두 항 모두 로그입니다.
∫ d x x 2 + 1 = 1 2 i [ ln ( x − i ) − ln ( x + i ) ] = 1 2 i ln x − i x + i ∫ x 2 + 1 d x = 2 i 1 [ ln ( x − i ) − ln ( x + i ) ] = 2 i 1 ln x + i x − i
이 값이 arctan x arctan x ln z = ln ∣ z ∣ + i arg z ln z = ln ∣ z ∣ + i arg z x − i x + i x + i x − i 1 1 0 0 1 2 i 2 i 1 − arctan 1 x − arctan x 1
아크탄젠트는 복소로그의 편각 부분입니다.
이 관점이 58강에서 정식화됩니다. 오일러 공식으로 지수와 삼각이 이어지면, 로그와 아크탄젠트도 하나의 복소로그의 실수부와 허수부로 통합됩니다. 문제 4에서 로그와 아크탄젠트가 나란히 나온 것이 우연이 아니라 같은 함수의 두 부분이었습니다.
실무에서 복소 분해를 쓰지 않는 이유는 답이 실수여야 하는데 중간 과정에 복소수가 끼어들어 정리가 번거롭기 때문입니다. 다만 이론적으로는 복소 쪽이 훨씬 깨끗하다는 점 을 알아 두면 좋습니다.
심화 5. ∫ d x x x + 1 ∫ x x + 1 d x
풀이. 근호를 없애는 치환을 씁니다. t = x + 1 t = x + 1 x = t 2 − 1 x = t 2 − 1 d x = 2 t d t d x = 2 t d t
∫ d x x x + 1 = ∫ 2 t d t ( t 2 − 1 ) t = ∫ 2 d t t 2 − 1 ∫ x x + 1 d x = ∫ ( t 2 − 1 ) t 2 t d t = ∫ t 2 − 1 2 d t
근호가 사라지고 유리함수가 되었습니다. 이제 문제 1의 결과를 그대로 씁니다.
= 2 ⋅ 1 2 ln ∣ t − 1 t + 1 ∣ + C = ln ∣ x + 1 − 1 x + 1 + 1 ∣ + C = 2 ⋅ 2 1 ln ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ t + 1 t − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + C = ln ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x + 1 + 1 x + 1 − 1 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ + C
일반화하면 이렇습니다.
형태
치환
a x + b n n a x + b t=\sqrt[n]
a x + b c x + d n n c x + d a x + b t = a x + b c x + d n t = n c x + d a x + b
a x 2 + b x + c a x 2 + b x + c 오일러 치환 또는 삼각치환
앞의 두 경우는 근호 안이 일차식의 비이므로 t t x x t t 50강의 만능 치환과 같은 발상입니다. 다루기 어려운 대상을 유리함수로 옮겨 이 강의의 알고리즘에 넘깁니다.
세 번째는 더 까다롭습니다. 50강 문제 4의 삼각치환으로 처리하거나, 오일러 치환 a x 2 + b x + c = t ± x a a x 2 + b x + c = t ± x a 적분이 끝난다는 보장이 이 강의의 결론에서 나옵니다.
심화 6. 유리함수 적분이 언제나 초등함수로 끝나는데 왜 그것이 특별한 일인지, 49강과 51강의 논의와 연결해 설명하세요.
풀이. 세 강의의 결론을 나란히 놓습니다.
강의
결론
49강 심화 3
e − x 2 e − x 2
51강 심화 6
적분이 안 되는 데는 두 가지 이유가 있고 하나는 고칠 수 없습니다
52강 문제 5
유리함수는 언제나 초등함수로 적분됩니다
미분과 적분의 비대칭 이 문제의 근원입니다. 초등함수를 미분하면 반드시 초등함수가 나옵니다. 미분 규칙이 유한하고 각 규칙이 초등함수를 초등함수로 보내기 때문입니다. 그런데 거꾸로는 성립하지 않습니다. 초등함수의 원시함수가 초등함수 밖으로 나가는 일이 흔합니다.
이것을 집합의 언어로 보면 이렇습니다. 초등함수의 모임은 미분에 대해 닫혀 있지만 적분에 대해 닫혀 있지 않습니다. 그래서 적분에는 "이 함수는 적분되는가"라는 질문 자체가 의미를 가집니다. 미분에는 그런 질문이 없습니다.
유리함수가 특별한 이유가 여기서 분명해집니다. 유리함수의 모임은 적분에 대해 닫혀 있지 않지만, 그 밖으로 나가는 방향이 로그와 아크탄젠트 두 갈래로 완전히 통제됩니다. 어디로 나가는지 미리 알고 있으므로 실패하지 않습니다.
리우빌이 19세기에 이 문제를 이론으로 만들었고, 어떤 함수의 원시함수가 초등함수인지 판정하는 알고리즘이 20세기에 완성되었습니다. 리쉬 알고리즘이라 부르며, 오늘날 수식 처리 소프트웨어가 적분을 계산하는 근거입니다. "이 적분은 초등함수로 표현할 수 없습니다"라는 응답은 포기가 아니라 정리에 근거한 판정입니다.
이 강의에서는 numpy만 씁니다. 부분분수 분해는 검산이 특히 명확합니다. 분해 전 식과 분해 후 식을 여러 점에서 평가해 같은지 보면 항등식인지 즉시 판정됩니다.
import numpy as np
def mid(f, a, b, n=400000):
"""중점법칙으로 정적분을 근사합니다."""
x = np.linspace(a, b, n + 1)
return float(np.sum(f(0.5*(x[:-1] + x[1:])))*(b - a)/n)
# --- 문제 1: 1/(x^2-1) 의 분해 -----------------------------------------
x = np.linspace(2.0, 5.0, 7)
lhs = 1/(x**2 - 1)
rhs = 0.5/(x - 1) - 0.5/(x + 1)
print(bool(np.allclose(lhs, rhs)), float(np.max(np.abs(lhs - rhs))))
# True 5.551115123125783e-17
print(round(mid(lambda t: 1/(t**2 - 1), 2.0, 3.0), 9),
round(0.5*np.log(3/2), 9)) # 0.202732554 0.202732554
# --- 문제 3: 중근이 있는 경우 ------------------------------------------
x = np.linspace(1.0, 4.0, 7)
print(bool(np.allclose(1/(x*(x + 1)**2),
1/x - 1/(x + 1) - 1/(x + 1)**2))) # True
print(round(mid(lambda t: 1/(t*(t + 1)**2), 1.0, 2.0), 9),
round(np.log(4/3) - 1/6, 9)) # 0.121015406 0.121015406
# --- 문제 4: 기약 이차식 인수 ------------------------------------------
x = np.linspace(1.0, 4.0, 7)
print(bool(np.allclose(1/(x**3 + x), 1/x - x/(x**2 + 1)))) # True
print(round(mid(lambda t: 1/(t**3 + t), 1.0, 2.0), 9),
round(1.5*np.log(2) - 0.5*np.log(5), 9)) # 0.235001815 0.235001815
print(round(mid(lambda t: (t + 1)/(t**2 + 1), 0.0, 1.0), 9),
round(0.5*np.log(2) + np.pi/4, 9)) # 1.131971754 1.131971754
# --- 심화 1: 가분수는 먼저 나눗셈 --------------------------------------
x = np.linspace(0.0, 3.0, 7)
print(bool(np.allclose(x**3/(x**2 + 1), x - x/(x**2 + 1)))) # True
print(round(mid(lambda t: t**3/(t**2 + 1), 0.0, 1.0), 9),
round(0.5 - 0.5*np.log(2), 9)) # 0.15342641 0.15342641
# --- 심화 3: 중복 이차식 인수의 점화식 ----------------------------------
I2 = 0.25 + np.pi/8
print(round(mid(lambda t: 1/(t**2 + 1)**2, 0.0, 1.0), 9), round(I2, 9))
# 0.642699082 0.642699082
print(round(mid(lambda t: 1/(t**2 + 1)**3, 0.0, 1.0), 9),
round(1/16 + 0.75*I2, 9)) # 0.544524311 0.544524311
# --- 심화 4: 복소 일차 인수로의 분해 ------------------------------------
z = np.linspace(0.0, 3.0, 7).astype(complex)
print(bool(np.allclose(1/(z**2 + 1),
(1/(2j))*(1/(z - 1j) - 1/(z + 1j))))) # True
print(round(mid(lambda t: 1/(t**2 + 1), 0.0, 1.0), 9),
round(np.pi/4, 9)) # 0.785398163 0.785398163
실행하면 주석과 같은 값이 나옵니다. 다섯 곳을 짚어 둡니다.
첫째, 분해 항등식이 다섯 곳에서 모두 True입니다. 첫 줄의 최대 오차가 5.6 × 1 0 − 17 5 . 6 × 1 0 − 1 7 분해가 근사가 아니라 항등식이라는 것이 확인됩니다. 계수를 잘못 구했다면 이 값이 크게 나왔을 것입니다.
둘째, 다섯 개의 정적분이 모두 손계산과 소수 아홉 자리까지 일치합니다. 특히 ∫ 0 1 x + 1 x 2 + 1 d x = 1.131971754 ∫ 0 1 x 2 + 1 x + 1 d x = 1 . 1 3 1 9 7 1 7 5 4 ln 2 2 + π 4 2 ln 2 + 4 π 로그와 아크탄젠트가 한 적분에서 함께 나온다는 것 이 이 값에 드러납니다.
셋째, 심화 3의 점화식이 두 경우 모두 맞습니다. I 2 I 2 0.642699082 0 . 6 4 2 6 9 9 0 8 2 I 3 I 3 0.544524311 0 . 5 4 4 5 2 4 3 1 1 1 16 + 3 4 I 2 1 6 1 + 4 3 I 2 51강에서 익힌 점화식 세우기가 이 강의에서 그대로 재사용됩니다.
넷째, 심화 4의 복소 분해가 성립합니다. 1 x 2 + 1 x 2 + 1 1 1 2 i ( 1 x − i − 1 x + i ) 2 i 1 ( x − i 1 − x + i 1 ) 실수 범위에서 기약이던 이차식이 복소수에서는 두 일차 인수로 쪼개집니다. 30강의 복소수가 여기서 쓰입니다.
다섯째, 마지막 줄이 ∫ 0 1 d x x 2 + 1 = π 4 ∫ 0 1 x 2 + 1 d x = 4 π
코드로 할 수 없는 일도 분명히 해 둡니다. 수치적분은 분해가 옳은지 확인해 줄 뿐 분해를 해 주지 않습니다. 그리고 분모를 인수분해하는 일, 즉 절차의 2단계는 코드가 아니라 대수의 문제입니다. 고차 다항식에서는 그 단계가 실제로 가장 큰 장벽입니다.
부분분수 분해가 가능하기 위한 조건을 쓰세요.
서로 다른 일차 인수의 분해 형태를 쓰세요.
중복 인수 ( x − a ) m ( x − a ) m
기약 이차식 인수의 분자에 무엇을 둡니까?
가리기 방법을 쓰고 적용 범위를 말하세요.
가분수는 어떻게 처리합니까?
실계수 다항식이 어떤 인수들의 곱으로 분해되는지와 그 근거를 쓰세요.
유리함수의 원시함수에 나올 수 있는 함수 종류를 쓰세요.
유리함수 적분이 "알고리즘"인 이유를 쓰세요.
아크탄젠트는 복소수 관점에서 무엇입니까?
정답.
진분수여야 하고 분모를 실계수 일차·기약 이차 인수로 인수분해할 수 있어야 합니다.
인수마다 A k x − a k x − a k A k
A 1 x − a x − a A 1 A m ( x − a ) m ( x − a ) m A m 일차식 B x + C B x + C
그 인수를 지우고 근을 대입합니다. 서로 다른 일차 인수에만 통합니다.
다항식 나눗셈으로 다항식과 진분수의 합으로 만듭니다.
일차식과 기약 이차식의 곱입니다. 대수학의 기본정리와 복소근의 켤레쌍 성질이 근거입니다.
유리함수, 로그, 아크탄젠트입니다.
정해진 절차를 따르면 반드시 초등함수 답에 도달하며 실패하지 않기 때문입니다.
복소로그의 편각 부분입니다.
기호
읽는 법
뜻
부분분수 분해
partial fractions
유리함수를 간단한 분수의 합으로 쪼갭니다
진분수
proper fraction
분자의 차수가 분모보다 낮습니다
기약 이차식
irreducible quadratic
실수 범위에서 인수분해되지 않습니다
가리기 방법
Heaviside cover-up
인수를 지우고 근을 대입합니다
미정계수법
method of undetermined coefficients
항등식에서 계수를 비교합니다
대수학의 기본정리
fundamental theorem of algebra
복소수 범위에서 n n n n
리쉬 알고리즘
Risch algorithm
초등 원시함수의 존재를 판정합니다
다음 53강에서 04단원을 마칩니다. 지금까지 정적분은 유계인 함수를 유한한 구간에서 다뤘습니다. 그런데 ∫ 1 ∞ d x x 2 ∫ 1 ∞ x 2 d x ∫ 0 1 d x x ∫ 0 1 x d x 극한으로 정의를 확장하면 어떤 것은 유한한 값에 수렴하고 어떤 것은 발산하며, 그 경계가 정확히 어디인지 가 그 강의의 주제입니다.