48강에서 정적분을 정의할 때 두 가지를 요구했습니다. 구간이 유한하고 함수가 유계여야 합니다. 그 조건이 없으면 리만합 자체를 만들 수 없습니다.
그런데 그 밖에서도 의미 있는 값이 나올 것 같은 경우가 있습니다. y = 1 x 2 y = x 2 1 x ≥ 1 x ≥ 1 0 0
극한을 한 번 더 쓰면 이런 경우를 다룰 수 있습니다. 유한한 곳까지 적분하고 그 끝을 무한으로 보내는 것입니다. 그렇게 확장한 적분을 이상적분 이라 하며, 어떤 것은 유한한 값에 수렴하고 어떤 것은 발산합니다.
이 강의의 진짜 주제는 그 경계가 정확히 어디인가 입니다. 1 x 2 x 2 1 1 x x 1 p = 1 p = 1
이 판정은 앞으로 계속 쓰입니다. 54강의 급수 수렴판정이 이 강의와 같은 구조이고, 129강에서 확률밀도함수가 조건을 만족하는지 확인할 때, 143강에서 분포의 평균이 존재하는지 물을 때 모두 이상적분의 수렴 문제입니다. 적분이 존재하지 않으면 그 통계량이 아예 정의되지 않습니다.
무한구간과 특이점의 이상적분을 극한으로 정의할 수 있습니다.
p p 무한구간과 특이점의 판정 방향이 반대인 이유를 설명할 수 있습니다.
비교판정법으로 계산 없이 수렴을 판정할 수 있습니다.
코시 주값의 함정을 지적할 수 있습니다.
문제. 다음을 조사합니다.∫ 1 b d x x 2 ∫ 1 b x 2 d x b → ∞ b → ∞ ∫ 1 b d x x ∫ 1 b x d x
생각의 실마리. 무한구간에서 리만합을 만들 수 없으므로 정의를 확장해야 합니다. 유한한 b b b b 0 0 속도 를 비교합니다.
풀이. (1) 원시함수가 − 1 x − x 1
∫ 1 b d x x 2 = [ − 1 x ] 1 b = 1 − 1 b ∫ 1 b x 2 d x = [ − x 1 ] 1 b = 1 − b 1
입니다. b → ∞ b → ∞ 1 b → 0 b 1 → 0 1 1
(2) 원시함수가 ln x ln x
∫ 1 b d x x = ln b ∫ 1 b x d x = ln b
입니다. b → ∞ b → ∞ ln b → ∞ ln b → ∞
(3) 두 함수 모두 x → ∞ x → ∞ 0 0 1 x 2 x 2 1 꼬리 부분의 넓이가 충분히 빨리 줄어들어야 총합이 유한합니다. 1 x x 1 0 0
이 문제에서 배우는 것: 이상적분의 정의.
제1종 이상적분(무한구간). f f [ a , ∞ ) [ a , ∞ )
∫ a ∞ f ( x ) d x = b → ∞ ∫ a b f ( x ) d x ∫ a ∞ f ( x ) d x = b → ∞ lim ∫ a b f ( x ) d x
로 정의합니다. 극한이 존재하면 수렴 한다고 하고, 존재하지 않으면 발산 한다고 합니다.
( − ∞ , b ] ( − ∞ , b ]
∫ − ∞ ∞ f = ∫ − ∞ c f + ∫ c ∞ f ∫ − ∞ ∞ f = ∫ − ∞ c f + ∫ c ∞ f
두 조각이 모두 수렴해야 전체가 수렴합니다. 이 조건은 형식적인 것이 아니며, 문제 5에서 이를 어기면 무슨 일이 생기는지 봅니다.
(3)에서 관찰한 것을 그림으로 말하면 이렇습니다. y = 1 x 2 y = x 2 1 넓이가 1 1 무한히 긴 영역의 넓이가 유한할 수 있다는 것은 직관에 어긋나 보이지만, 폭이 늘어나는 만큼 높이가 더 빨리 줄어들면 가능합니다.
두 결과의 경계가 어디인지가 다음 문제의 주제입니다. 지수 2 2 1 1
바로 확인 1.
확인 1-1. ∫ 1 ∞ d x x 3 ∫ 1 ∞ x 3 d x
답. [ − 1 2 x 2 ] 1 b = 1 2 − 1 2 b 2 → 1 2 [ − 2 x 2 1 ] 1 b = 2 1 − 2 b 2 1 → 2 1
확인 1-2. ∫ 0 ∞ e − x d x ∫ 0 ∞ e − x d x
답. [ − e − x ] 0 b = 1 − e − b → 1 [ − e − x ] 0 b = 1 − e − b → 1
확인 1-3. ∫ − ∞ ∞ f ∫ − ∞ ∞ f
답. 아무 점에서 잘라 얻은 두 조각이 모두 수렴해야 합니다.
문제. ∫ 1 ∞ d x x p ∫ 1 ∞ x p d x p ≠ 1 p = 1 ∫ 1 b ∫ 1 b b → ∞ b → ∞ p = 1 p = 1
생각의 실마리. (1)은 멱법칙입니다. 원시함수의 지수가 − p + 1 − p + 1 그 지수의 부호가 b → ∞ b → ∞ 음수이면 0 0
풀이. (1) p ≠ 1 p = 1 x 1 − p 1 − p 1 − p x 1 − p
∫ 1 b d x x p = [ x 1 − p 1 − p ] 1 b = b 1 − p − 1 1 − p ∫ 1 b x p d x = [ 1 − p x 1 − p ] 1 b = 1 − p b 1 − p − 1
입니다.
(2) b → ∞ b → ∞ b 1 − p b 1 − p
1 − p 1 − p b 1 − p b 1 − p 조건
음수
0 0 p > 1 p > 1
양수
∞ ∞ p < 1 p < 1
p > 1 p > 1 0 − 1 1 − p = 1 p − 1 1 − p 0 − 1 = p − 1 1 p < 1 p < 1
(3) p = 1 p = 1 ln b → ∞ ln b → ∞
∫ 1 ∞ d x x p = { 1 p − 1 ( p > 1 ) 발산 ( p ≤ 1 ) ∫ 1 ∞ x p d x = ⎩ ⎪ ⎨ ⎪ ⎧ p − 1 1 발산 ( p > 1 ) ( p ≤ 1 )
입니다.
이 문제에서 배우는 것: p p
p p ∫ 1 ∞ d x x p ∫ 1 ∞ x p d x p > 1 p > 1 p ≤ 1 p ≤ 1
경계가 정확히 p = 1 p = 1 p = 1 p = 1
p p 1 1 p = 1.01 p = 1 . 0 1 1 0.01 = 100 0 . 0 1 1 = 1 0 0 p = 1.001 p = 1 . 0 0 1 1000 1 0 0 0 경계에 다가갈수록 값이 폭발하며 p = 1 p = 1 수렴과 발산이 갑자기 갈라지는 것이 아니라 연속적으로 이어져 있습니다.
이 판정은 이 커리큘럼에서 계속 쓰입니다. 54강의 급수에서 ∑ 1 n p ∑ n p 1 ∑ 1 n ∑ n 1 ∫ 1 ∞ d x x ∫ 1 ∞ x d x
바로 확인 2.
확인 2-1. ∫ 1 ∞ d x x 1.5 ∫ 1 ∞ x 1 . 5 d x
답. p = 1.5 > 1 p = 1 . 5 > 1 1 0.5 = 2 0 . 5 1 = 2
확인 2-2. ∫ 1 ∞ d x x ∫ 1 ∞ x d x
답. p = 0.5 ≤ 1 p = 0 . 5 ≤ 1
확인 2-3. p = 1 p = 1
답. 원시함수가 ln b ln b
문제. 다음을 조사합니다.∫ 0 1 d x x ∫ 0 1 x d x ∫ 0 1 d x x q ∫ 0 1 x q d x
생각의 실마리. x = 0 x = 0 아래끝을 ε > 0 ε > 0 ε → 0 + ε → 0 + 무한구간에서 위끝을 밀어냈던 것과 같은 발상입니다.
풀이. (1) 정의는
∫ 0 1 d x x = ε → 0 + ∫ ε 1 d x x ∫ 0 1 x d x = ε → 0 + lim ∫ ε 1 x d x
입니다. 원시함수가 2 x 2 x
∫ ε 1 d x x = 2 − 2 ε ⟶ 2 ∫ ε 1 x d x = 2 − 2 ε ⟶ 2
입니다. 함숫값이 무한대로 발산하는데도 넓이는 유한합니다.
(2) q ≠ 1 q = 1
∫ ε 1 d x x q = [ x 1 − q 1 − q ] ε 1 = 1 − ε 1 − q 1 − q ∫ ε 1 x q d x = [ 1 − q x 1 − q ] ε 1 = 1 − q 1 − ε 1 − q
입니다. ε → 0 + ε → 0 + ε 1 − q ε 1 − q
1 − q 1 − q ε 1 − q ε 1 − q 조건
양수
0 0 q < 1 q < 1
음수
∞ ∞ q > 1 q > 1
q < 1 q < 1 1 1 − q 1 − q 1 q > 1 q > 1 q = 1 q = 1 − ln ε → ∞ − ln ε → ∞
(3) 부등호의 방향이 정반대입니다.
적분
수렴 조건
∫ 1 ∞ d x x p ∫ 1 ∞ x p d x p > 1 p > 1
∫ 0 1 d x x q ∫ 0 1 x q d x q < 1 q < 1
이 문제에서 배우는 것: p p
제2종 이상적분(특이점). f f a a
∫ a b f = ε → 0 + ∫ a + ε b f ∫ a b f = ε → 0 + lim ∫ a + ε b f
로 정의합니다. 특이점이 위끝이나 구간 내부에 있어도 같은 방식으로 처리합니다.
p p ∫ 0 1 d x x q ∫ 0 1 x q d x q < 1 q < 1 q ≥ 1 q ≥ 1
두 판정이 반대 방향인 것이 처음에는 혼란스럽습니다. 그러나 이유를 생각하면 자연스럽습니다.
상황
위험 요소
필요한 것
무한구간
폭이 무한합니다
높이가 빨리 줄어야 합니다
특이점
높이가 무한합니다
발산이 느려야 합니다
같은 p p x x x x 0 0
두 판정이 사실은 하나라는 것을 심화 1에서 치환으로 보입니다. x = 1 u x = u 1 p p q q
q = 1 q = 1 양쪽 모두에서 1 x x 1
바로 확인 3.
확인 3-1. ∫ 0 1 d x x 1 / 3 ∫ 0 1 x 1 / 3 d x
답. q = 1 3 < 1 q = 3 1 < 1 1 1 − 1 / 3 = 3 2 1 − 1 / 3 1 = 2 3
확인 3-2. ∫ 0 1 d x x 2 ∫ 0 1 x 2 d x
답. q = 2 ≥ 1 q = 2 ≥ 1
확인 3-3. 두 p p
답. 무한구간에서는 함수가 빨리 줄어야 하고 특이점에서는 발산이 느려야 하는데, 지수가 커지면 앞쪽에는 유리하고 뒤쪽에는 불리하기 때문입니다.
문제. 다음의 수렴 여부를 판정하세요.∫ 1 ∞ d x x 2 + 1 ∫ 1 ∞ x 2 + 1 d x ∫ 1 ∞ e − x 2 d x ∫ 1 ∞ e − x 2 d x ∫ 1 ∞ d x x 3 + 1 ∫ 1 ∞ x 3 + 1 d x
생각의 실마리. (1)은 계산할 수 있지만 (2)는 49강 심화 3에서 본 대로 원시함수가 초등함수가 아닙니다. 그러면 수렴 여부를 어떻게 압니까. 계산하지 않고도 판정하려면 이미 아는 적분과 크기를 비교하면 됩니다. 48강의 단조성이 그 근거입니다.
풀이. (1) x ≥ 1 x ≥ 1 x 2 + 1 > x 2 x 2 + 1 > x 2
0 < 1 x 2 + 1 < 1 x 2 0 < x 2 + 1 1 < x 2 1
입니다. ∫ 1 ∞ d x x 2 ∫ 1 ∞ x 2 d x p = 2 > 1 p = 2 > 1
(2) x ≥ 1 x ≥ 1 x 2 ≥ x x 2 ≥ x e − x 2 ≤ e − x e − x 2 ≤ e − x ∫ 1 ∞ e − x d x = e − 1 ∫ 1 ∞ e − x d x = e − 1 원시함수를 몰라도 수렴을 알았습니다.
(3) x ≥ 1 x ≥ 1 x 3 + 1 > x 3 x 3 + 1 > x 3
1 x 3 + 1 < 1 x 3 / 2 x 3 + 1 1 < x 3 / 2 1
입니다. p = 3 2 > 1 p = 2 3 > 1
이 문제에서 배우는 것: 비교판정법.
비교판정법. [ a , ∞ ) [ a , ∞ ) 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x ) 0 ≤ f ( x ) ≤ g ( x )
조건
결론
∫ a ∞ g ∫ a ∞ g ∫ a ∞ f ∫ a ∞ f
∫ a ∞ f ∫ a ∞ f ∫ a ∞ g ∫ a ∞ g
증명은 48강의 단조성에서 나옵니다. F ( b ) = ∫ a b f F ( b ) = ∫ a b f f ≥ 0 f ≥ 0 b b 단조수렴정리 가 쓰이는데, 33강에서 e e
두 번째 줄은 첫 번째의 대우입니다. 발산을 보일 때는 아래에서 눌러야 하고 수렴을 보일 때는 위에서 덮어야 합니다. 방향을 헷갈리면 아무 결론도 얻지 못합니다.
비교 대상으로는 p p
비교 대상
수렴 조건
1 x p x p 1 x → ∞ x → ∞ p > 1 p > 1
1 x q x q 1 x → 0 x → 0 q < 1 q < 1
e − a x e − a x a > 0 a > 0 x → ∞ x → ∞ 언제나 수렴
f ≥ 0 f ≥ 0
실무에서는 부등식을 정확히 세우기 번거로울 때가 많습니다. 그럴 때는 극한을 비교하는 편이 편하며 , 그것이 심화 2의 극한비교판정법입니다.
바로 확인 4.
확인 4-1. ∫ 1 ∞ d x x 2 + x ∫ 1 ∞ x 2 + x d x
답. 1 x 2 + x < 1 x 2 x 2 + x 1 < x 2 1
확인 4-2. ∫ 1 ∞ d x x + x ∫ 1 ∞ x + x d x
답. x ≥ 1 x ≥ 1 x ≤ x x ≤ x x + x ≤ 2 x x + x ≤ 2 x 1 x + x ≥ 1 2 x x + x 1 ≥ 2 x 1 ∫ 1 ∞ d x 2 x ∫ 1 ∞ 2 x d x
확인 4-3. 비교판정법에서 f ≥ 0 f ≥ 0
답. 부분적분값이 증가함수여야 단조수렴정리를 쓸 수 있는데, 부호가 바뀌면 증가하지 않기 때문입니다.
문제. ∫ − 1 1 d x x ∫ − 1 1 x d x 0 0
생각의 실마리. 특이점이 구간 내부 에 있습니다. 정의는 그 점에서 구간을 나누고 각각을 따로 처리하라고 요구합니다. 두 조각이 각각 수렴해야 하며, 하나라도 발산하면 전체가 발산입니다. (2)의 주장은 그 조건을 건너뛰고 있습니다.
풀이. (1) x = 0 x = 0
∫ − 1 1 d x x = ∫ − 1 0 d x x + ∫ 0 1 d x x ∫ − 1 1 x d x = ∫ − 1 0 x d x + ∫ 0 1 x d x
오른쪽 조각은 ε → 0 + ∫ ε 1 d x x = lim ( − ln ε ) = + ∞ ε → 0 + lim ∫ ε 1 x d x = lim ( − ln ε ) = + ∞ − ∞ − ∞ 두 조각이 모두 발산하므로 이 적분은 발산합니다.
(2) 틀렸습니다. ∞ − ∞ ∞ − ∞
실제로 좌우를 다른 속도로 좁히면 어떤 값이든 만들 수 있습니다. 왼쪽을 − ε − ε k ε k ε
∫ − 1 − ε d x x + ∫ k ε 1 d x x = ln ε − 0 + 0 − ln ( k ε ) = − ln k ∫ − 1 − ε x d x + ∫ k ε 1 x d x = ln ε − 0 + 0 − ln ( k ε ) = − ln k
입니다. k k − ln k − ln k 답이 하나로 정해지지 않으므로 적분이 존재하지 않는 것이 맞습니다.
(3) 좌우를 같은 속도로, 즉 k = 1 k = 1 0 0
p . v . ∫ − 1 1 d x x = ε → 0 + ( ∫ − 1 − ε d x x + ∫ ε 1 d x x ) = 0 p . v . ∫ − 1 1 x d x = ε → 0 + lim ( ∫ − 1 − ε x d x + ∫ ε 1 x d x ) = 0
로 쓰고 코시 주값 이라 합니다. 적분이 존재하지 않아도 주값은 존재할 수 있습니다.
이 문제에서 배우는 것: 주값은 적분이 아닙니다.
코시 주값. 특이점 c c 같은 속도로 좁히는 극한이 존재하면 그것을 주값이라 하고 p . v . p . v .
주값과 적분의 관계를 정확히 해 둡니다.
상황
적분
주값
둘 다 수렴
존재합니다
같은 값입니다
한쪽만 발산
발산합니다
발산합니다
양쪽이 반대 부호로 발산
발산합니다 존재할 수 있습니다
주값이 존재한다고 적분이 존재하는 것이 아닙니다. 주값은 좌우를 같은 속도로 좁힌다는 추가 규칙을 붙인 값이며, 그 규칙에 물리적 근거가 있을 때만 의미를 가집니다.
실제로 주값이 쓰이는 곳이 있습니다. 신호처리에서 힐베르트 변환, 물리학에서 분산관계가 주값으로 정의됩니다. 그 맥락에서는 대칭적으로 좁히는 것이 물리적으로 정당한 절차입니다. 그러나 아무 근거 없이 "대칭이니 0 0
같은 함정이 무한구간에도 있습니다.
∫ − ∞ ∞ x d x ∫ − ∞ ∞ x d x
는 발산합니다. 두 조각이 각각 발산하기 때문입니다. 그런데 R → ∞ ∫ − R R x d x = 0 R → ∞ lim ∫ − R R x d x = 0 0 0 "홀함수이니 0 0
이 구별은 129강 이후 확률에서 실질적으로 중요해집니다. 심화 6에서 확인합니다.
바로 확인 5.
확인 5-1. ∫ − 1 1 d x x 2 ∫ − 1 1 x 2 d x
답. 오른쪽 조각 ∫ 0 1 d x x 2 ∫ 0 1 x 2 d x q = 2 ≥ 1 q = 2 ≥ 1
확인 5-2. 확인 5-1에서 주값도 발산합니까?
답. 발산합니다. 두 조각이 모두 + ∞ + ∞
확인 5-3. "홀함수이니 대칭구간 적분이 0 0
답. 각 조각이 수렴할 때만 유효합니다. 발산하면 ∞ − ∞ ∞ − ∞
종류
정의
제1종(무한구간)
∫ a ∞ f = b → ∞ ∫ a b f ∫ a ∞ f = b → ∞ lim ∫ a b f
제2종(특이점)
∫ a b f = ε → 0 + ∫ a + ε b f ∫ a b f = ε → 0 + lim ∫ a + ε b f
양쪽 무한
잘라서 둘 다 수렴해야 합니다
내부 특이점
잘라서 둘 다 수렴해야 합니다
판정
수렴 조건
∫ 1 ∞ d x x p ∫ 1 ∞ x p d x p > 1 p > 1
∫ 0 1 d x x q ∫ 0 1 x q d x q < 1 q < 1
∫ 0 ∞ e − a x d x ∫ 0 ∞ e − a x d x a > 0 a > 0 1 a a 1
비교판정
방향
수렴을 보입니다
수렴하는 것으로 위에서 덮습니다
발산을 보입니다
발산하는 것으로 아래에서 누릅니다
기억할 값
∫ 0 ∞ e − x 2 d x ∫ 0 ∞ e − x 2 d x π 2 ≈ 0.8862 2 π ≈ 0 . 8 8 6 2
∫ 0 ∞ sin x x d x ∫ 0 ∞ x sin x d x π 2 2 π
∫ 0 ∞ x s − 1 e − x d x ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x d x Γ ( s ) Γ ( s ) s > 0 s > 0
자주 하는 실수
바로잡기
내부 특이점을 못 보고 계산합니다
분모가 0 0
홀함수라고 0 0
각 조각의 수렴을 먼저 확인합니다
주값을 적분값으로 씁니다
둘은 다른 개념입니다
두 p p
무한은 p > 1 p > 1 q < 1 q < 1
문제 6. ∫ 1 ∞ d x x 4 ∫ 1 ∞ x 4 d x
답. p = 4 > 1 p = 4 > 1 1 3 3 1
문제 7. ∫ 2 ∞ d x x ∫ 2 ∞ x d x
답. p = 1 p = 1
문제 8. ∫ 0 1 d x x 0.9 ∫ 0 1 x 0 . 9 d x
답. q = 0.9 < 1 q = 0 . 9 < 1 1 0.1 = 10 0 . 1 1 = 1 0
문제 9. ∫ 0 ∞ e − 3 x d x ∫ 0 ∞ e − 3 x d x
답. [ − e − 3 x 3 ] 0 ∞ = 1 3 [ − 3 e − 3 x ] 0 ∞ = 3 1
문제 10. ∫ 0 ∞ d x 1 + x 2 ∫ 0 ∞ 1 + x 2 d x
답. [ arctan x ] 0 ∞ = π 2 − 0 = π 2 [ arctan x ] 0 ∞ = 2 π − 0 = 2 π
문제 11. ∫ − ∞ ∞ d x 1 + x 2 ∫ − ∞ ∞ 1 + x 2 d x
답. 두 조각이 각각 π 2 2 π π π
문제 12. ∫ 1 ∞ d x x 3 + 1 ∫ 1 ∞ x 3 + 1 d x
답. 1 x 3 + 1 < 1 x 3 x 3 + 1 1 < x 3 1 p = 3 > 1 p = 3 > 1
문제 13. ∫ 1 ∞ d x ln x + x ∫ 1 ∞ ln x + x d x
답. x ≥ 3 x ≥ 3 ln x ≤ x ln x ≤ x ln x + x ≤ 2 x ln x + x ≤ 2 x 1 2 x 2 x 1 ∫ d x 2 x ∫ 2 x d x
문제 14. ∫ 0 1 d x 1 − x 2 ∫ 0 1 1 − x 2 d x
답. x = 1 x = 1 [ arcsin x ] 0 1 − = π 2 [ arcsin x ] 0 1 − = 2 π
문제 15. ∫ 0 2 d x x − 1 ∫ 0 2 x − 1 d x
답. x = 1 x = 1
문제 16. 문제 15의 주값을 구하세요.
답. 대칭적으로 좁히면 ln ∣ x − 1 ∣ ln ∣ x − 1 ∣ 0 0
문제 17. ∫ 0 ∞ d x x 2 ∫ 0 ∞ x 2 d x
답. [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] q = 2 ≥ 1 q = 2 ≥ 1
문제 18. ∫ 1 ∞ 2 x x 2 d x ∫ 1 ∞ x 2 sin 2 x d x
답. 2 x ≤ 1 sin 2 x ≤ 1 1 x 2 x 2 1
심화 1. x = 1 u x = u 1 p p
풀이. ∫ 1 ∞ f ( x ) d x ∫ 1 ∞ f ( x ) d x x = 1 u x = u 1 d x = − d u u 2 d x = − u 2 d u x = 1 x = 1 u = 1 u = 1 x → ∞ x → ∞ u → 0 + u → 0 +
∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 0 f ( 1 u ) ( − d u u 2 ) = ∫ 0 1 f ( 1 / u ) u 2 d u ∫ 1 ∞ f ( x ) d x = ∫ 1 0 f ( u 1 ) ( − u 2 d u ) = ∫ 0 1 u 2 f ( 1 / u ) d u
무한구간의 적분이 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] u = 0 u = 0
f ( x ) = x − p f ( x ) = x − p f ( 1 u ) = u p f ( u 1 ) = u p
∫ 1 ∞ d x x p = ∫ 0 1 u p u 2 d u = ∫ 0 1 u p − 2 d u = ∫ 0 1 d u u 2 − p ∫ 1 ∞ x p d x = ∫ 0 1 u 2 u p d u = ∫ 0 1 u p − 2 d u = ∫ 0 1 u 2 − p d u
입니다. 오른쪽은 q = 2 − p q = 2 − p p p q < 1 q < 1
2 − p < 1 ⟺ p > 1 2 − p < 1 ⟺ p > 1
입니다. 문제 2의 조건과 정확히 같습니다.
두 판정의 부등호 방향이 반대였던 이유가 이제 분명합니다. q = 2 − p q = 2 − p 두 판정은 별개의 사실이 아니라 하나의 사실을 x x 1 x x 1
경계도 대응합니다. p = 1 p = 1 q = 2 − 1 = 1 q = 2 − 1 = 1 1 x x 1 로그가 양쪽에서 모두 나타나는 이유가 여기 있습니다.
이 치환은 실용적 가치도 큽니다. 검산에서 확인하듯 무한구간의 수치적분을 유한구간의 수치적분으로 바꿔 훨씬 정확하게 계산할 수 있습니다.
심화 2. 극한비교판정법을 서술하고 ∫ 1 ∞ 2 x + 3 x 3 + x + 1 d x ∫ 1 ∞ x 3 + x + 1 2 x + 3 d x
풀이. 부등식을 세우기 번거로울 때 쓰는 판정입니다.
극한비교판정법. f , g > 0 f , g > 0
x → ∞ f ( x ) g ( x ) = L x → ∞ lim g ( x ) f ( x ) = L
일 때, 0 < L < ∞ 0 < L < ∞
증명의 뼈대는 이렇습니다. 극한의 정의에서 충분히 큰 x x L 2 < f g < 2 L 2 L < g f < 2 L
L 2 g < f < 2 L g 2 L g < f < 2 L g
입니다. 비교판정법을 양쪽으로 적용하면 됩니다. 앞부분의 유한구간은 적분값이 유한하므로 수렴 여부에 영향이 없습니다.
L = 0 L = 0 g g f f L = ∞ L = ∞
적용합니다. x x 2 x 2 x x 3 x 3 g ( x ) = 2 x x 3 = 2 x 2 g ( x ) = x 3 2 x = x 2 2
f g = 2 x + 3 x 3 + x + 1 ⋅ x 2 2 = 2 x 3 + 3 x 2 2 x 3 + 2 x + 2 ⟶ 1 g f = x 3 + x + 1 2 x + 3 ⋅ 2 x 2 = 2 x 3 + 2 x + 2 2 x 3 + 3 x 2 ⟶ 1
입니다. 0 < 1 < ∞ 0 < 1 < ∞ ∫ 1 ∞ 2 d x x 2 ∫ 1 ∞ x 2 2 d x
요령은 최고차항만 남기는 것입니다. 유리함수의 이상적분은 분자와 분모의 차수 차이만 보면 됩니다. 차수 차이가 d d 1 x d x d 1 d > 1 d > 1
심화 3. ∫ 0 ∞ sin x x d x ∫ 0 ∞ x sin x d x ∫ 0 ∞ ∣ sin x x ∣ d x ∫ 0 ∞ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x sin x ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ d x
풀이. 먼저 x = 0 x = 0 sin x x → 1 x sin x → 1
수렴 부분 을 봅니다. [ 1 , ∞ ) [ 1 , ∞ ) u = 1 x u = x 1 d v = sin x d x d v = sin x d x
∫ 1 b sin x x d x = [ − cos x x ] 1 b − ∫ 1 b cos x x 2 d x ∫ 1 b x sin x d x = [ x − cos x ] 1 b − ∫ 1 b x 2 cos x d x
입니다. 첫 항은 b → ∞ b → ∞ − cos b b → 0 b − cos b → 0 cos 1 cos 1 ∣ cos x x 2 ∣ ≤ 1 x 2 ∣ ∣ ∣ ∣ x 2 cos x ∣ ∣ ∣ ∣ ≤ x 2 1 값은 π 2 2 π
발산 부분 을 봅니다. [ k π , ( k + 1 ) π ] [ k π , ( k + 1 ) π ] ∣ sin x ∣ ∣ sin x ∣ 2 2 1 x ≥ 1 ( k + 1 ) π x 1 ≥ ( k + 1 ) π 1
∫ k π ( k + 1 ) π ∣ sin x ∣ x d x ≥ 2 ( k + 1 ) π ∫ k π ( k + 1 ) π x ∣ sin x ∣ d x ≥ ( k + 1 ) π 2
입니다. 모두 더하면 2 π ∑ 1 k + 1 π 2 ∑ k + 1 1
용어를 정합니다.
용어
뜻
절대수렴
∫ ∣ f ∣ ∫ ∣ f ∣
조건수렴
∫ f ∫ f ∫ ∣ f ∣ ∫ ∣ f ∣
sin x x x sin x 조건수렴 의 대표적인 예입니다. 수렴하는 이유가 크기가 작아서가 아니라 부호가 번갈아 나타나며 상쇄되기 때문입니다.
이 구별이 중요한 이유가 있습니다. 조건수렴하는 적분은 다루기 까다롭습니다. 비교판정법이 통하지 않고(부호가 바뀌므로), 급수의 경우 항의 순서를 바꾸면 값이 달라지기까지 합니다. 54강에서 급수의 조건수렴을 다룰 때 이 사정을 자세히 봅니다.
심화 4. ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = 2 π
풀이. 수렴 은 비교판정으로 즉시 나옵니다. [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] [ 1 , ∞ ) [ 1 , ∞ ) x ≥ 1 x ≥ 1 x 2 ≥ x x 2 ≥ x
e − x 2 ≤ e − x e − x 2 ≤ e − x
이고 ∫ 1 ∞ e − x d x = e − 1 ∫ 1 ∞ e − x d x = e − 1
값 을 구하는 것은 전혀 다른 문제입니다. 49강 심화 3에서 본 대로 원시함수가 초등함수가 아니므로 49강의 기본정리로는 접근할 수 없습니다. 그런데도 정적분의 값은 정확히 알려져 있습니다.
방법의 개요는 이렇습니다. I = ∫ 0 ∞ e − x 2 d x I = ∫ 0 ∞ e − x 2 d x 제곱을 이중적분으로 봅니다.
I 2 = ( ∫ 0 ∞ e − x 2 d x ) ( ∫ 0 ∞ e − y 2 d y ) = ∬ x , y > 0 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y I 2 = ( ∫ 0 ∞ e − x 2 d x ) ( ∫ 0 ∞ e − y 2 d y ) = ∬ x , y > 0 e − ( x 2 + y 2 ) d x d y
이제 극좌표로 바꿉니다. x 2 + y 2 = r 2 x 2 + y 2 = r 2 r d r d θ r d r d θ 그 r r 적분이
I 2 = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = π 2 ⋅ 1 2 = π 4 I 2 = ∫ 0 π / 2 ∫ 0 ∞ e − r 2 r d r d θ = 2 π ⋅ 2 1 = 4 π
가 되어 I = π 2 I = 2 π u = r 2 u = r 2
한 변수로는 안 되는데 두 변수로 올라가니 풀렸습니다. 극좌표 변환에서 나타나는 r r
이 값은 129강에서 정규분포의 밀도가 전체 적분 1 1 1 2 π 2 π 1
심화 5. 감마함수 Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x d x Γ ( s ) = ∫ 0 ∞ x s − 1 e − x d x s s
풀이. 이 적분에는 두 가지 이상성이 함께 있습니다. x → ∞ x → ∞ s < 1 s < 1 x → 0 + x → 0 + x s − 1 x s − 1 두 종류가 섞여 있으면 반드시 나눠서 따로 판정합니다.
Γ ( s ) = ∫ 0 1 x s − 1 e − x d x + ∫ 1 ∞ x s − 1 e − x d x Γ ( s ) = ∫ 0 1 x s − 1 e − x d x + ∫ 1 ∞ x s − 1 e − x d x
앞 조각 을 봅니다. [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] e − 1 ≤ e − x ≤ 1 e − 1 ≤ e − x ≤ 1
e − 1 ∫ 0 1 x s − 1 d x ≤ ∫ 0 1 x s − 1 e − x d x ≤ ∫ 0 1 x s − 1 d x e − 1 ∫ 0 1 x s − 1 d x ≤ ∫ 0 1 x s − 1 e − x d x ≤ ∫ 0 1 x s − 1 d x
입니다. 가운데를 양쪽에서 조였으므로 ∫ 0 1 x s − 1 d x ∫ 0 1 x s − 1 d x q = 1 − s q = 1 − s p p 1 − s < 1 1 − s < 1 s > 0 s > 0
뒤 조각 을 봅니다. 45강의 성장 위계에 의해 x x x s − 1 ≤ e x / 2 x s − 1 ≤ e x / 2
x s − 1 e − x ≤ e − x / 2 x s − 1 e − x ≤ e − x / 2
이고 그 적분이 수렴합니다. s s
종합하면 Γ ( s ) Γ ( s ) s > 0 s > 0
51강 심화 2에서 Γ ( n + 1 ) = n ! Γ ( n + 1 ) = n ! n n 계승이 실수로 확장됩니다. Γ ( 1 2 ) = π Γ ( 2 1 ) = π x = t 2 x = t 2
Γ ( 1 2 ) = ∫ 0 ∞ x − 1 / 2 e − x d x = ∫ 0 ∞ e − t 2 t ⋅ 2 t d t = 2 ∫ 0 ∞ e − t 2 d t = π Γ ( 2 1 ) = ∫ 0 ∞ x − 1 / 2 e − x d x = ∫ 0 ∞ t e − t 2 ⋅ 2 t d t = 2 ∫ 0 ∞ e − t 2 d t = π
두 유명한 적분이 하나의 치환으로 이어집니다.
심화 6. 코시분포의 밀도 p ( x ) = 1 π ( 1 + x 2 ) p ( x ) = π ( 1 + x 2 ) 1 ∫ − ∞ ∞ p = 1 ∫ − ∞ ∞ p = 1
풀이. 전체 적분 부터 확인합니다.
∫ − ∞ ∞ d x π ( 1 + x 2 ) = 1 π [ arctan x ] − ∞ ∞ = 1 π ( π 2 + π 2 ) = 1 ∫ − ∞ ∞ π ( 1 + x 2 ) d x = π 1 [ arctan x ] − ∞ ∞ = π 1 ( 2 π + 2 π ) = 1
두 조각이 각각 수렴하므로 정당합니다. 이 함수는 정당한 확률밀도함수입니다.
평균 은 ∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x ∫ − ∞ ∞ x p ( x ) d x
∫ 0 ∞ x d x π ( 1 + x 2 ) = 1 2 π [ ln ( 1 + x 2 ) ] 0 ∞ = ∞ ∫ 0 ∞ π ( 1 + x 2 ) x d x = 2 π 1 [ ln ( 1 + x 2 ) ] 0 ∞ = ∞
발산합니다. 왼쪽 조각도 − ∞ − ∞ 두 조각이 모두 발산하므로 평균은 존재하지 않습니다.
여기서 문제 5의 함정이 실전에 등장합니다. 피적분함수 x p ( x ) x p ( x ) 0 0 0 0 그러나 평균의 정의는 주값이 아니라 적분이므로, 코시분포의 평균은 0 0
이 구별이 실질적인 결과를 낳습니다.
분포
평균
표본평균의 거동
정규분포
존재합니다
참값으로 수렴합니다(142강 큰 수의 법칙)
코시분포
없습니다 수렴하지 않고 계속 요동칩니다
142강의 큰 수의 법칙은 평균이 존재한다는 가정 위에 서 있습니다. 코시분포에서는 그 가정이 깨지므로, 표본을 아무리 많이 모아도 표본평균이 안정되지 않습니다. 표본평균의 분포가 원래 분포와 똑같은 코시분포가 되어 표본을 늘려도 전혀 나아지지 않습니다.
적분의 수렴 여부가 통계량의 존재 여부를 결정하고, 그것이 실제 데이터 분석의 결과를 바꿉니다. 꼬리가 두꺼운 분포를 다룰 때 평균 대신 중앙값을 쓰는 관행의 근거가 여기 있으며, 46강 심화 5에서 중앙값이 절대오차를 최소화한다고 한 것과 이어집니다.
이 강의에서는 numpy만 씁니다. 이상적분은 수치로 확인하기가 특히 까다롭습니다. 무한을 유한한 격자로 덮을 수 없고 특이점 근처에서는 값이 폭발하기 때문입니다. 그래서 심화 1의 치환 x = 1 u x = u 1 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ]
import numpy as np
def mid(f, a, b, n=400000):
"""중점법칙으로 정적분을 근사합니다."""
x = np.linspace(a, b, n + 1)
return float(np.sum(f(0.5*(x[:-1] + x[1:])))*(b - a)/n)
def tail(f, n=400000):
"""심화 1 의 치환으로 int_1^inf f 를 [0,1] 위의 적분으로 옮깁니다."""
return mid(lambda u: f(1.0/u)/u**2, 0.0, 1.0, n)
# --- 문제 1, 2: 무한구간의 p-적분 --------------------------------------
print("p int_1^inf x^-p 이론값 1/(p-1)")
for p in [2.0, 3.0, 1.5]:
print(p, "%.9f" % tail(lambda t, p=p: t**(-p)), "%.9f" % (1/(p - 1)))
# 2.0 1.000000000 1.000000000
# 3.0 0.500000000 0.500000000
# 1.5 1.999043571 2.000000000
print("p = 1 부분합:", ["%.4f" % mid(lambda t: 1/t, 1.0, b) for b in [1e2, 1e4, 1e6]])
print(["%.4f" % np.log(b) for b in [1e2, 1e4, 1e6]])
# p = 1 부분합: ['4.6052', '9.2103', '13.6541']
# ['4.6052', '9.2103', '13.8155']
# --- 문제 3: 0 에서의 특이점 -------------------------------------------
print("q int_0^1 x^-q 이론값 1/(1-q)")
for q in [0.5, 0.25]:
print(q, "%.9f" % mid(lambda t, q=q: t**(-q), 0.0, 1.0, 4000000),
"%.9f" % (1/(1 - q)))
# 0.5 1.999697551 2.000000000
# 0.25 1.333331613 1.333333333
print("q = 1 부분합:", ["%.4f" % mid(lambda t: 1/t, e, 1.0, 4000000)
for e in [1e-2, 1e-4, 1e-6]])
print(["%.4f" % (-np.log(e)) for e in [1e-2, 1e-4, 1e-6]])
# q = 1 부분합: ['4.6052', '9.2103', '13.8129']
# ['4.6052', '9.2103', '13.8155']
# --- 문제 4: 비교판정의 대상들 -----------------------------------------
print("%.9f %.9f" % (tail(lambda t: 1/(1 + t**2)), np.pi/4))
# 0.785398163 0.785398163
print("%.9f %.9f" % (tail(lambda t: np.exp(-t**2)),
np.sqrt(np.pi)/2 - mid(lambda t: np.exp(-t**2), 0.0, 1.0)))
# 0.139402793 0.139402793
# --- 심화 3: 디리클레 적분은 조건수렴입니다 ------------------------------
for T in [100.0, 1000.0]:
print(int(T), "%.6f" % mid(lambda t: np.sin(t)/t, 1e-9, T, 4000000),
"%.4f" % mid(lambda t: np.abs(np.sin(t))/t, 1e-9, T, 4000000))
print("%.6f" % (np.pi/2))
# 100 1.562225 4.0467
# 1000 1.570233 5.5104
# 1.570796
# --- 심화 4: 가우스 적분 -----------------------------------------------
g = mid(lambda t: np.exp(-t**2), 0.0, 1.0) + tail(lambda t: np.exp(-t**2))
print("%.10f %.10f" % (g, np.sqrt(np.pi)/2)) # 0.8862269255 0.8862269255
# --- 심화 5: 감마함수 --------------------------------------------------
for s in [0.5, 1.0, 3.0]:
v = mid(lambda t, s=s: t**(s-1)*np.exp(-t), 0.0, 1.0, 4000000) \
+ tail(lambda t, s=s: t**(s-1)*np.exp(-t))
print(s, "%.6f" % v)
print("%.6f %.6f %.6f" % (np.sqrt(np.pi), 1.0, 2.0))
# 0.5 1.772151
# 1.0 1.000000
# 3.0 2.000000
# 1.772454 1.000000 2.000000
# --- 심화 6: 코시분포는 적분이 1 인데 평균이 없습니다 --------------------
p = lambda t: 1/(np.pi*(1 + t**2))
print("%.9f" % (2*(mid(p, 0.0, 1.0) + tail(p)))) # 1.000000000
print("|x| 의 기댓값 부분합:",
["%.4f" % (2*mid(lambda t: t*p(t), 0.0, b, 2000000)) for b in [1e1, 1e3, 1e5]])
# |x| 의 기댓값 부분합: ['1.4690', '4.3976', '7.3294']
실행하면 주석과 같은 값이 나옵니다. 여섯 곳을 짚어 둡니다.
첫째, p = 2 p = 2 p = 3 p = 3 소수 아홉 자리까지 정확히 일치합니다. 치환 후 피적분함수가 각각 상수 1 1 u u 심화 1의 치환이 실용적 도구이기도 하다는 것이 여기서 드러납니다.
둘째, p = 1.5 p = 1 . 5 1.999043571 1 . 9 9 9 0 4 3 5 7 1 2 2 u − 0.5 u − 0 . 5 u = 0 u = 0 무한대의 어려움이 사라진 것이 아니라 원점으로 옮겨 갔을 뿐 이라는 심화 1의 요점이 오차의 형태로 확인됩니다.
셋째, p = 1 p = 1 q = 1 q = 1 ln ln 경계선 위의 발산이 로그 속도라는 사실 이 보입니다. 두 줄이 같은 숫자 4.6052 4 . 6 0 5 2 9.2103 9 . 2 1 0 3
넷째, 디리클레 적분에서 T = 100 T = 1 0 0 1.562225 1 . 5 6 2 2 2 5 T = 1000 T = 1 0 0 0 1.570233 1 . 5 7 0 2 3 3 π 2 = 1.570796 2 π = 1 . 5 7 0 7 9 6 진동하며 수렴하는 모습입니다. 반면 절댓값 적분은 4.05 4 . 0 5 5.51 5 . 5 1 같은 함수인데 절댓값을 씌우니 발산합니다. 조건수렴의 뜻이 두 열의 대비로 드러납니다.
다섯째, 가우스 적분이 0.8862269255 0 . 8 8 6 2 2 6 9 2 5 5 π 2 2 π 원시함수를 초등함수로 적을 수 없는 적분의 값을 열 자리까지 얻었습니다. 적분의 존재와 원시함수의 표현 가능성이 별개의 문제라는 것이 이 한 줄에 담겨 있습니다.
여섯째, 코시분포의 전체 적분이 정확히 1.000000000 1 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.47 1 . 4 7 4.40 4 . 4 0 7.33 7 . 3 3 적분 범위를 열 배 늘릴 때마다 대략 ln 100 ≈ 2.9 ln 1 0 0 ≈ 2 . 9 입니다. 확률밀도로서는 완벽한데 평균은 존재하지 않는다는 사실이 두 줄에 나란히 나타납니다.
코드로 할 수 없는 일도 분명히 해 둡니다. 수치적분은 수렴을 증명하지 못합니다. 부분합이 안정되어 보여도 훨씬 뒤에서 발산할 수 있고, 실제로 조화급수는 아주 느리게 발산해 유한한 계산으로는 구별하기 어렵습니다. 판정은 언제나 p p
제1종과 제2종 이상적분의 정의를 각각 쓰세요.
양쪽이 무한하거나 내부에 특이점이 있으면 어떻게 처리합니까?
∫ 1 ∞ d x x p ∫ 1 ∞ x p d x ∫ 0 1 d x x q ∫ 0 1 x q d x 두 조건의 부등호 방향이 반대인 이유를 쓰세요.
비교판정법에서 수렴과 발산을 보일 때 각각 어느 방향으로 비교합니까?
코시 주값이란 무엇이며 적분과 어떻게 다릅니까?
절대수렴과 조건수렴의 차이를 쓰세요.
Γ ( s ) Γ ( s ) s s 코시분포의 평균이 존재하지 않는다는 말의 뜻을 쓰세요.
정답.
각각 b → ∞ ∫ a b f lim b → ∞ ∫ a b f ε → 0 + ∫ a + ε b f lim ε → 0 + ∫ a + ε b f
나눠서 각 조각이 모두 수렴해야 전체가 수렴합니다.
p > 1 p > 1 1 p − 1 p − 1 1 q < 1 q < 1 x = 1 u x = u 1 q = 2 − p q = 2 − p 수렴은 위에서 덮고 발산은 아래에서 누릅니다.
특이점을 좌우에서 같은 속도로 좁힌 극한이며, 적분이 발산해도 존재할 수 있습니다.
절대수렴은 ∫ ∣ f ∣ ∫ ∣ f ∣ ∫ f ∫ f
s > 0 s > 0 [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] q = 1 − s < 1 q = 1 − s < 1 [ 1 , ∞ ) [ 1 , ∞ ) ∫ x p ( x ) d x ∫ x p ( x ) d x 0 0
기호
읽는 법
뜻
이상적분
improper integral
극한으로 확장한 적분입니다
제1종
type I
구간이 무한합니다
제2종
type II
함수가 유계가 아닙니다
p p p-test
멱함수와 비교해 수렴을 가립니다
\mathrm
코시 주값
좌우를 같은 속도로 좁힌 극한입니다
절대수렴
absolute convergence
∫ ∣ f ∣ ∫ ∣ f ∣
조건수렴
conditional convergence
상쇄 덕분에만 수렴합니다
Γ ( s ) Γ ( s ) 감마함수
s > 0 s > 0
가우스 적분
Gaussian integral
∫ 0 ∞ e − x 2 d x = π 2 ∫ 0 ∞ e − x 2 d x = 2 π
이 강의로 04단원 적분이 끝납니다. 48강에서 리만합으로 정적분을 세우고, 49강에서 미분과 적분이 서로의 역임을 밝히고, 50강부터 52강까지 계산 기술을 갖췄으며, 이 강의에서 정의를 극한으로 확장했습니다. 쪼개기와 더하기가 하나의 이론으로 묶였습니다.
다음 05단원에서는 무한히 많은 항을 더합니다. 54강의 급수 수렴판정은 이 강의의 p p 어떤 함수든 다항식의 무한합으로 적을 수 있다 는 결론에 도달하는데, 그것이 51강 심화 3에서 부분적분으로 미리 엿본 테일러 정리입니다.