이 문제집은 54강부터 57강까지의 도구를 섞어 다시 묻습니다. 판정 도구를 고르는 판단이 계산보다 먼저입니다.
급수를 만나면 다음 순서로 확인합니다.
| 확인 |
조치 |
| 항이 0으로 가는가 |
아니면 즉시 발산입니다 |
| 등비나 망원인가 |
정확한 합을 구합니다 |
| 유리식이나 대수식인가 |
극한비교(np1과 비교) |
| 계승이나 cn이 있는가 |
비판정 |
| 전체가 n제곱 꼴인가 |
근판정 |
| f(n) 꼴이고 적분되는가 |
적분판정 |
| 부호가 번갈아 나타나는가 |
교대급수 판정 |
이 단원에서 무한합의 상식이 여러 번 깨집니다. 아래 세 가지를 늘 기억하십시오.
| 유한합의 상식 |
무한합에서의 반례 |
| 순서를 바꿔도 값이 같습니다 |
교대조화급수를 재배열하면 23ln2가 됩니다 |
| 항별 미분·적분이 당연합니다 |
수렴구간 내부에서만 허용됩니다 |
| 도함수가 함수를 결정합니다 |
e−1/x2은 급수가 0인데 함수는 0이 아닙니다 |
답을 보기 전에 반드시 손으로 먼저 씁니다.
문제 1. 급수의 수렴을 정의하세요.
답. 부분합 SN=∑n=1Nan의 극한이 존재하면 수렴합니다.
문제 2. 등비급수의 합과 수렴 조건을 쓰세요.
답. n=0∑∞rn=1−r1이며 ∣r∣<1에서 수렴합니다.
문제 3. n=0∑∞(52)n을 구하세요.
답. 1−2/51=35입니다.
문제 4. 망원급수의 부분합 공식을 쓰세요.
답. an=bn−bn+1이면 SN=b1−bN+1입니다.
문제 5. n=1∑∞n(n+1)1을 구하세요.
답. n1−n+11로 쪼개면 부분합이 1−N+11이므로 합은 1입니다.
문제 6. 조화급수가 발산함을 한 가지 방법으로 보이세요.
답. 항을 2의 거듭제곱 단위로 묶으면 각 묶음의 합이 21을 넘으므로 부분합이 한없이 커집니다.
문제 7. HN−lnN의 극한을 무엇이라 부르며 근삿값은 얼마입니까?
답. 오일러-마스케로니 상수 γ이며 약 0.5772입니다.
문제 8. 발산판정을 쓰고 그 한계를 말하세요.
답. an→0이면 발산합니다. 발산을 보이는 데만 쓸 수 있고 an→0에서는 아무 결론이 없습니다.
문제 9. n=1∑∞3n+2n의 수렴을 판정하세요.
답. 항이 31으로 가므로 발산합니다.
문제 10. 적분판정법의 세 조건과 결론을 쓰세요.
답. f가 양수, 감소, 연속이면 ∑f(n)과 ∫1∞f가 동시에 수렴하거나 동시에 발산합니다.
문제 11. p-급수의 수렴 조건을 쓰고 53강의 어느 결과와 대응하는지 쓰세요.
답. p>1일 때만 수렴하며, ∫1∞xpdx의 수렴 조건과 같습니다.
문제 12. n=2∑∞nlnn1의 수렴을 판정하세요.
답. u=lnx 치환으로 적분이 ∫udu가 되어 발산하므로 급수도 발산합니다.
문제 13. n=1∑∞n!3n의 수렴을 판정하세요.
답. 비가 n+13→0<1이므로 수렴합니다.
문제 14. 비판정에서 L=1일 때 판정할 수 없음을 예로 보이세요.
답. ∑n1과 ∑n21이 모두 L=1인데 앞은 발산하고 뒤는 수렴합니다.
문제 15. 교대급수 판정의 조건과 오차 한계를 쓰세요.
답. bn이 감소하고 0으로 가면 수렴하며 오차는 bN+1 이하입니다.
문제 16. 절대수렴과 조건수렴을 구별하고 조건수렴의 예를 드세요.
답. 절대수렴은 ∑∣an∣도 수렴하는 것입니다. ∑n(−1)n+1이 조건수렴의 예입니다.
문제 17. 조건수렴 급수를 재배열하면 무슨 일이 생깁니까?
답. 리만 재배열 정리에 의해 임의의 실수로 수렴시키거나 발산시킬 수 있습니다.
문제 18. 아벨 보조정리를 쓰고 그 결론이 무엇을 보장하는지 말하세요.
답. 한 점에서 수렴하면 더 가까운 모든 점에서 절대수렴합니다. 수렴 집합이 구간임을 보장합니다.
문제 19. 비판정으로 수렴반경을 구하는 공식을 쓰세요.
답. R=lim∣∣∣∣∣an+1an∣∣∣∣∣입니다.
문제 20. n=0∑∞n!xn의 수렴반경을 구하세요.
답. 비가 (n+1)∣x∣→∞이므로 R=0이고 x=0에서만 수렴합니다.
문제 21. n=1∑∞n⋅3n(x−2)n의 수렴구간을 구하세요.
답. R=3이고 중심이 2입니다. x=5에서 조화급수라 발산하고 x=−1에서 교대급수라 수렴하므로 [−1,5)입니다.
문제 22. 수렴구간의 네 가지 모양을 예와 함께 쓰세요.
답. (−R,R)은 ∑xn, [−R,R)은 ∑nxn, (−R,R]은 ∑n(−1)nxn, [−R,R]은 ∑n2xn입니다.
문제 23. 항별 미분과 적분이 허용되는 범위를 쓰세요.
답. 수렴구간의 내부에서만 허용됩니다.
문제 24. 항별 연산 후 수렴반경이 변하지 않는 이유를 쓰세요.
답. 계수에 곱해지는 n에 대해 n1/n→1이라 근판정의 상극한이 달라지지 않기 때문입니다.
문제 25. 1+x21의 수렴반경이 1인 이유를 쓰세요.
답. 복소평면의 x=±i에 특이점이 있고 원점에서의 거리가 1이기 때문입니다.
문제 26. 아벨 정리를 쓰고 어디에 쓰이는지 말하세요.
답. 끝점에서 급수가 수렴하면 그 점에서 함수가 한쪽 연속입니다. 4π와 ln2의 급수 표현을 정당화합니다.
문제 27. 테일러 급수의 정의를 쓰세요.
답. n=0∑∞n!f(n)(c)(x−c)n입니다.
문제 28. 계수가 유일함을 어떻게 보입니까?
답. 항별로 n번 미분하고 x=c를 대입하면 f(n)(c)=n!an이 나오기 때문입니다.
문제 29. ex, sinx, cosx의 매클로린 급수를 쓰세요.
답. 각각 ∑n!xn, ∑(2n+1)!(−1)nx2n+1, ∑(2n)!(−1)nx2n입니다.
문제 30. e−x2의 매클로린 급수를 구하세요.
답. eu에 u=−x2을 넣어 n≥0∑n!(−1)nx2n입니다.
문제 31. 새 급수를 만드는 조작 다섯 가지를 쓰세요.
답. 치환, 곱하기, 나누기, 더하기, 미분·적분입니다.
문제 32. 테일러 급수가 원함수와 다를 수 있는 두 방식을 쓰세요.
답. 수렴반경 밖이라 발산하는 경우와, 수렴하지만 다른 함수로 수렴하는 경우입니다.
문제 33. C∞인데 해석적이 아닌 함수를 들고 이유를 쓰세요.
답. f(0)=0, x=0에서 e−1/x2인 함수입니다. 모든 도함수가 0에서 사라져 급수가 항등적으로 0이 되기 때문입니다.
문제 34. 그 함수의 모든 도함수가 0인 근거를 쓰세요.
답. 도함수가 x1의 다항식 곱하기 e−1/x2 꼴이고, 45강의 성장 위계로 지수함수가 이기기 때문입니다.
문제 35. ∫01e−x2dx를 급수로 나타내세요.
답. n=0∑∞n!(2n+1)(−1)n=1−31+101−⋯≈0.74682입니다.
문제 36. x→0limx3sinx−x을 급수로 구하세요.
답. 분자가 −6x3+⋯이므로 극한은 −61입니다.
문제 37. 급수로 극한을 구하는 것이 로피탈보다 나은 점을 쓰세요.
답. 한 번 펼치면 모든 차수의 정보가 나오고 부정형 확인이 필요 없으며 순환논법의 위험도 없습니다.
문제 38. eix의 급수를 실수부와 허수부로 나누면 무엇이 나옵니까?
답. cosx+isinx이며 이것이 오일러 공식입니다.
문제 39. 라그랑주 나머지의 식을 쓰세요.
답. RN(x)=(N+1)!f(N+1)(ξ)(x−c)N+1이며 ξ는 c와 x 사이에 있습니다.
문제 40. N=0인 테일러 정리는 어떤 정리입니까?
답. 42강의 평균값 정리입니다.
문제 41. 오차 상한 부등식을 쓰고 M이 무엇인지 말하세요.
답. ∣RN∣≤(N+1)!M∣x−c∣N+1이며 M은 구간에서 ∣f(N+1)∣의 최댓값입니다.
문제 42. sinx≈x−6x3의 오차 상한을 쓰세요.
답. P3=P4이므로 N=4를 써서 120∣x∣5입니다.
문제 43. sin1을 오차 10−10 이하로 계산할 차수를 구하세요.
답. (N+1)!1<10−10에서 14!=8.7×1010이므로 N=13입니다.
문제 44. 테일러 급수가 원함수로 수렴함을 어떻게 증명합니까?
답. 나머지항 RN이 N→∞에서 0으로 감을 보입니다.
문제 45. ex의 급수가 모든 실수에서 수렴하는 근거를 쓰세요.
답. ∣RN∣≤(N+1)!e∣x∣∣x∣N+1이고 성장 위계로 계승이 거듭제곱을 이기기 때문입니다.
문제 46. 뉴턴법의 이차 수렴 상수를 쓰고 어느 정리로 얻습니까?
답. 2f′(r)f′′(r)이며 뉴턴 사상에 N=1의 테일러 정리를 적용해 얻습니다.
문제 47. 절단 오차와 반올림 오차를 구별하고 둘의 관계를 쓰세요.
답. 절단 오차는 급수를 잘라 생기고 반올림 오차는 자릿수 한계에서 생깁니다. 항을 늘리면 앞은 줄고 뒤는 늘어 최적 차수가 있습니다.
문제 48. e−30을 급수로 직접 계산하면 왜 무너지며 어떻게 해결합니까?
답. 1012 규모의 항들이 상쇄되어 10−13을 만들어야 하는데 유효숫자가 모자라기 때문입니다. e301으로 계산하면 상쇄가 없어 정확합니다.
48문항 중 맞힌 개수로 다음을 판단합니다.
| 정답 수 |
판단 |
| 43개 이상 |
06단원으로 넘어갑니다 |
| 34∼42개 |
틀린 문제가 속한 강의만 다시 읽고 넘어갑니다 |
| 33개 이하 |
54강부터 57강까지 다시 읽습니다 |
2부에서 절반 이하를 맞혔다면 반드시 되돌아갑니다. 수렴판정은 이 단원 전체의 기초이며 06단원의 푸리에 급수에서도 계속 쓰입니다.
4부의 문제 32에서 34까지를 틀렸다면 특히 주의하십시오. "무한번 미분가능하니 급수로 적히겠지"라는 추론은 정리가 아닙니다. 이 구별을 놓치면 급수를 쓸 때마다 근거 없는 가정을 하게 됩니다.
이 단원의 반례 세 가지를 다시 확인하고 넘어가는 것이 좋습니다. 교대조화급수의 재배열, 수렴구간 밖에서의 항별 연산, 그리고 e−1/x2입니다. 셋 모두 "당연해 보이는 것이 무한에서는 당연하지 않다"는 같은 교훈을 줍니다.