이 문제집은 58강부터 61강까지의 도구를 섞어 다시 묻습니다. 계산보다 두 세계 사이의 대응을 정확히 아는 것이 먼저 입니다.
시간 영역과 진동수 영역의 사전을 먼저 확인하십시오.
시간 영역
진동수 영역
f ( x − b ) f ( x − b ) e − i k b F ( k ) e − i k b F ( k )
e i a x f ( x ) e i a x f ( x ) F ( k − a ) F ( k − a )
f ( c x ) f ( c x ) 1 ∣ c ∣ F ( k / c ) ∣ c ∣ 1 F ( k / c )
f ( n ) ( x ) f ( n ) ( x ) ( i k ) n F ( k ) ( i k ) n F ( k )
f ∗ g f ∗ g F ⋅ G F ⋅ G
f ⋅ g f ⋅ g 1 2 π F ∗ G 2 π 1 F ∗ G
좁힘
넓어짐
이 단원에서 자주 놓치는 세 가지도 미리 못 박아 둡니다.
놓치기 쉬운 것
바로잡기
∣ e z ∣ = e z ∣ e z ∣ = e z e Re z e R e z
불연속점에서 함숫값으로 수렴한다고 여깁니다
좌우 극한의 중점 입니다
합성곱에서 뒤집기를 빠뜨립니다
g ( x − t ) g ( x − t ) g ( t − x ) g ( t − x )
답을 보기 전에 반드시 손으로 먼저 씁니다.
문제 1. e z e z
답. e z = ∑ n ≥ 0 z n n ! e z = ∑ n ≥ 0 n ! z n e ∣ z ∣ e ∣ z ∣
문제 2. 오일러 공식을 쓰고 유도의 뼈대를 말하세요.
답. e i x = cos x + i sin x e i x = cos x + i sin x i x i x i n i n 4 4
문제 3. cos x cos x sin x sin x
답. cos x = e i x + e − i x 2 cos x = 2 e i x + e − i x sin x = e i x − e − i x 2 i sin x = 2 i e i x − e − i x
문제 4. ∣ e 3 − 4 i ∣ ∣ e 3 − 4 i ∣
답. e Re z = e 3 e R e z = e 3
문제 5. e z e z
답. 2 π i 2 π i
문제 6. ( 1 + i ) 6 ( 1 + i ) 6
답. 1 + i = 2 e i π / 4 1 + i = 2 e i π / 4 ( 2 ) 6 e 3 i π / 2 = 8 ( − i ) = − 8 i ( 2 ) 6 e 3 i π / 2 = 8 ( − i ) = − 8 i
문제 7. 드무아브르로 cos 2 θ cos 2 θ
답. ( cos θ + i sin θ ) 2 ( cos θ + i sin θ ) 2 2 θ − 2 θ cos 2 θ − sin 2 θ cos 2 θ cos 2 θ
문제 8. 1 1 n n
답. e 2 π i k / n e 2 π i k / n k = 0 , … , n − 1 k = 0 , … , n − 1 n ≥ 2 n ≥ 2 0 0
문제 9. ∫ e 2 x sin 3 x d x ∫ e 2 x sin 3 x d x
답. e ( 2 + 3 i ) x e ( 2 + 3 i ) x e 2 x ( 2 sin 3 x − 3 cos 3 x ) 13 + C 1 3 e 2 x ( 2 sin 3 x − 3 cos 3 x ) + C
문제 10. 복소로그가 여러 값을 가지는 이유와 주가지의 정의를 쓰세요.
답. e z e z 2 π i 2 π i arg z ∈ ( − π , π ] arg z ∈ ( − π , π ]
문제 11. i i i i
답. i i = e i log i i i = e i l o g i log i log i i ⋅ i = − 1 i ⋅ i = − 1
문제 12. 삼각함수계의 직교성을 식으로 쓰세요.
답. 1 2 π ∫ − π π e i n x e i m x ‾ d x = δ n m 2 π 1 ∫ − π π e i n x e i m x d x = δ n m
문제 13. 복소 푸리에 계수의 공식을 쓰세요.
답. c n = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i n x d x c n = 2 π 1 ∫ − π π f ( x ) e − i n x d x
문제 14. 실수 푸리에 계수의 공식을 쓰세요.
답. a n = 1 π ∫ f cos n x d x a n = π 1 ∫ f cos n x d x b n = 1 π ∫ f sin n x d x b n = π 1 ∫ f sin n x d x
문제 15. 짝함수와 홀함수에서 각각 어떤 계수가 사라집니까?
답. 짝함수는 b n b n a n a n
문제 16. 구형파의 푸리에 급수를 쓰세요.
답. 4 π ( sin x + sin 3 x 3 + sin 5 x 5 + ⋯ ) π 4 ( sin x + 3 sin 3 x + 5 sin 5 x + ⋯ )
문제 17. 디리클레 정리를 쓰고 불연속점에서 어디로 수렴하는지 말하세요.
답. 조각별로 매끄러우면 좌우 극한의 중점 f ( x + ) + f ( x − ) 2 2 f ( x + ) + f ( x − )
문제 18. 깁스 현상이란 무엇이며 왜 사라지지 않습니까?
답. 도약 근처에서 부분합이 약 18 % 1 8 %
문제 19. 파스발 항등식을 쓰고 물리적 의미를 말하세요.
답. 1 π ∫ f 2 = a 0 2 2 + ∑ ( a n 2 + b n 2 ) π 1 ∫ f 2 = 2 a 0 2 + ∑ ( a n 2 + b n 2 )
문제 20. x 2 x 2 x = π x = π
답. ∑ 1 n 2 = π 2 6 ∑ n 2 1 = 6 π 2
문제 21. 톱니파에 파스발을 적용하면 무엇이 나옵니까?
답. 같은 π 2 6 6 π 2
문제 22. 리만-르베그 보조정리를 쓰고 근거를 말하세요.
답. 푸리에 계수가 0 0
문제 23. 푸리에와 테일러의 요구 조건을 비교하세요.
답. 테일러는 무한번 미분가능해야 하고 푸리에는 조각별로 매끄럽기만 하면 됩니다.
문제 24. 푸리에 변환과 역변환의 정의를 쓰세요.
답. F ( k ) = ∫ f e − i k x d x F ( k ) = ∫ f e − i k x d x f ( x ) = 1 2 π ∫ F e i k x d k f ( x ) = 2 π 1 ∫ F e i k x d k
문제 25. 급수에서 변환으로 넘어가는 과정을 요약하세요.
답. 주기 2 L 2 L π L L π L → ∞ L → ∞ 0 0
문제 26. 반폭 a a
답. 2 sin a k k k 2 sin a k
문제 27. e − x 2 / 2 e − x 2 / 2
답. 2 π e − k 2 / 2 2 π e − k 2 / 2
문제 28. 함수의 매끄러움과 변환의 감소 속도의 관계를 쓰세요.
답. 매끄러울수록 변환이 빨리 줄어듭니다. 도약이 있으면 1 k k 1
문제 29. f ( x − 3 ) f ( x − 3 ) f ( 2 x ) f ( 2 x )
답. e − 3 i k F ( k ) e − 3 i k F ( k ) 1 2 F ( k 2 ) 2 1 F ( 2 k )
문제 30. f ′ ′ f ′ ′
답. − k 2 F ( k ) − k 2 F ( k )
문제 31. 불확정성 원리를 쓰고 등호 조건을 말하세요.
답. Δ x Δ k ≥ 1 2 Δ x Δ k ≥ 2 1
문제 32. 폭 σ σ
답. 1 σ σ 1
문제 33. 플랑슈렐 정리를 쓰고 세 관점에서 해석하세요.
답. ∫ ∣ f ∣ 2 = 1 2 π ∫ ∣ F ∣ 2 ∫ ∣ f ∣ 2 = 2 π 1 ∫ ∣ F ∣ 2
문제 34. 샘플링 정리를 쓰세요.
답. 최대 진동수가 K K π K K π
문제 35. FFT와 정의대로 계산할 때의 계산량을 비교하세요.
답. O ( N log N ) O ( N log N ) O ( N 2 ) O ( N 2 )
문제 36. 합성곱의 정의를 쓰고 두 가지 조작을 말하세요.
답. ( f ∗ g ) ( x ) = ∫ f ( t ) g ( x − t ) d t ( f ∗ g ) ( x ) = ∫ f ( t ) g ( x − t ) d t g g x x
문제 37. 합성곱 정리를 쓰고 증명에 쓰이는 성질을 말하세요.
답. F [ f ∗ g ] = F G F [ f ∗ g ] = F G
문제 38. 곱의 변환을 쓰세요.
답. F [ f g ] = 1 2 π F ∗ G F [ f g ] = 2 π 1 F ∗ G
문제 39. 반폭 1 1
답. max ( 2 − ∣ x ∣ , 0 ) max ( 2 − ∣ x ∣ , 0 )
문제 40. 표준편차 σ 1 σ 1 σ 2 σ 2
답. σ 1 2 + σ 2 2 σ 1 2 + σ 2 2
문제 41. 합성곱의 항등원은 무엇이며 그 변환은 얼마입니까?
답. 델타이며 변환이 항등적으로 1 1
문제 42. ( f ∗ g ) ′ ( f ∗ g ) ′
답. f ′ ∗ g f ′ ∗ g f ∗ g ′ f ∗ g ′
문제 43. 합성곱에 역원이 일반적으로 없는 이유를 쓰세요.
답. F ( k ) F ( k ) 0 0
문제 44. 합성곱과 상관의 차이를 쓰고 어느 쪽이 좋은 성질을 가지는지 말하세요.
답. 뒤집느냐 아니냐가 다릅니다. 합성곱이 교환·결합법칙을 만족해 대수적으로 좋습니다.
문제 45. 독립인 두 확률변수의 합의 밀도를 쓰세요.
답. 두 밀도의 합성곱입니다.
문제 46. 이산 합성곱 [ 1 , 2 , 3 ] ∗ [ 1 , 1 ] [ 1 , 2 , 3 ] ∗ [ 1 , 1 ]
답. [ 1 , 3 , 5 , 3 ] [ 1 , 3 , 5 , 3 ] ( 1 + 2 x + 3 x 2 ) ( 1 + x ) ( 1 + 2 x + 3 x 2 ) ( 1 + x )
문제 47. 합성곱이 함수를 매끄럽게 만드는 이유를 두 가지로 쓰세요.
답. 주변 값의 가중평균이라 급격한 변화가 완화되고, 진동수 관점에서 높은 성분이 눌리기 때문입니다.
문제 48. FFT로 합성곱을 계산할 때 제로 패딩이 필요한 이유를 쓰세요.
답. 이산 변환이 주기성을 가정해 순환 합성곱이 나오므로, 끝이 앞으로 감기지 않도록 0 0
48 4 8
정답 수
판단
43 4 3 관문 2로 넘어갑니다
34 ∼ 42 3 4 ∼ 4 2 틀린 문제가 속한 강의만 다시 읽고 넘어갑니다
33 3 3 58강부터 61강까지 다시 읽습니다
1부에서 절반 이하를 맞혔다면 반드시 되돌아갑니다. 오일러 공식을 자유롭게 쓰지 못하면 2부부터 4부까지가 모두 암기가 됩니다.
3부의 성질표는 외우는 것이 아니라 유도할 수 있어야 합니다. 모두 정의에 넣고 치환하면 몇 줄에 나오며, 그 유도를 한 번씩 손으로 해 보는 것이 표를 스무 번 읽는 것보다 낫습니다.
이 단원의 문제집을 마치면 S3 미적분학 I이 끝납니다. 61강 뒤의 관문 2에서 33강부터 61강까지를 섞어 다시 묻고, 통과하면 62강부터 선형대수학이 시작됩니다. 그 과목에서 59강의 직교성과 내적이 벡터의 언어로 다시 정의되며, 푸리에 급수가 정규직교기저의 대표적인 예가 됩니다.