30강에서 복소수를 배웠습니다. 제곱해서 음수가 되는 수를 도입해 모든 다항식이 근을 가지게 만들었고, 극형식으로 곱셈이 회전임을 보았습니다.
그 뒤로 복소수가 여러 번 얼굴을 내밀었습니다. 52강 심화 4에서 기약 이차식이 복소수에서는 일차 인수로 쪼개졌고, 55강 심화 6에서 실수축에서 보이지 않던 특이점이 수렴반경을 결정했으며, 56강 심화 3에서는 e x e x i x i x cos x + i sin x cos x + i sin x
마지막 것이 이 강의의 출발점입니다. 그때는 복소수 지수를 정의하지 않은 채 형식적으로 계산했는데, 이제 제대로 정의하고 정리로 확립합니다.
정의는 놀랄 만큼 단순합니다. e z e z e x e x
그러고 나면 지수함수와 삼각함수가 하나로 묶입니다. 별개로 배운 두 함수가 실은 같은 하나의 함수를 실수축과 허수축에서 본 것 이었습니다. 이 통합이 계산을 크게 단순하게 만들고, 59강의 푸리에 급수가 그 위에 세워집니다.
복소지수를 급수로 정의하고 오일러 공식을 증명할 수 있습니다.
복소지수의 지수법칙과 주기성을 다룰 수 있습니다.
드무아브르 공식으로 삼각 항등식을 유도할 수 있습니다.
복소지수로 적분과 삼각급수를 간단히 계산할 수 있습니다.
복소로그가 여러 값을 가지는 이유를 설명할 수 있습니다.
문제. e z e z e x = ∑ x n n ! e x = ∑ n ! x n z = i x z = i x x x
생각의 실마리. (1)에서 확인할 것은 급수가 복소수에서도 수렴하는가 입니다. 56강에서 R = ∞ R = ∞
풀이. (1) 급수 ∑ z n n ! ∑ n ! z n
∑ n = 0 ∞ ∣ z n n ! ∣ = ∑ n = 0 ∞ ∣ z ∣ n n ! = e ∣ z ∣ n = 0 ∑ ∞ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ n ! z n ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ = n = 0 ∑ ∞ n ! ∣ z ∣ n = e ∣ z ∣
으로 수렴합니다. 절대수렴하므로 원래 급수도 수렴합니다. 게다가 ∣ z ∣ ∣ z ∣
그러므로 다음을 정의 로 삼습니다.
e z : = ∑ n = 0 ∞ z n n ! e z : = n = 0 ∑ ∞ n ! z n
z z e x e x
(2) i n i n
n 4 n m o d 4 i^
0 0 1 1
1 1 i i
2 2 − 1 − 1
3 3 − i − i
급수에 넣고 짝수 항과 홀수 항으로 나눕니다. 짝수 항은 i 2 m = ( − 1 ) m i 2 m = ( − 1 ) m i 2 m + 1 = i ( − 1 ) m i 2 m + 1 = i ( − 1 ) m
e i x = ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m x 2 m ( 2 m ) ! + i ∑ m = 0 ∞ ( − 1 ) m x 2 m + 1 ( 2 m + 1 ) ! e i x = m = 0 ∑ ∞ ( 2 m ) ! ( − 1 ) m x 2 m + i m = 0 ∑ ∞ ( 2 m + 1 ) ! ( − 1 ) m x 2 m + 1
두 급수가 정확히 cos x cos x sin x sin x (56강 문제 2). 항의 재배열이 정당한 이유는 절대수렴이기 때문이며, 54강 심화 4의 경고가 여기서는 적용되지 않습니다.
(3) 정리로 씁니다.
이 문제에서 배우는 것: 오일러 공식.
오일러 공식. 모든 실수 x x
e i x = cos x + i sin x e i x = cos x + i sin x
입니다.
이 한 줄이 여러 결과를 한꺼번에 줍니다.
먼저 거꾸로 풀면 삼각함수가 복소지수로 표현됩니다. e i x e i x e − i x e − i x
cos x = e i x + e − i x 2 , sin x = e i x − e − i x 2 i cos x = 2 e i x + e − i x , sin x = 2 i e i x − e − i x
입니다. 삼각함수가 지수함수의 조합이 되었습니다. 이 표현이 이 강의의 계산 도구 전부입니다.
다음으로 크기와 편각 이 읽힙니다. ∣ e i x ∣ 2 = 2 x + 2 x = 1 ∣ e i x ∣ 2 = cos 2 x + sin 2 x = 1
∣ e i x ∣ = 1 ∣ e i x ∣ = 1
입니다. x x e i x e i x 단위원 위 에 있고, x x r ( cos θ + i sin θ ) r ( cos θ + i sin θ )
z = r e i θ z = r e i θ
로 훨씬 간결하게 적을 수 있습니다.
x = π x = π
e i π = cos π + i sin π = − 1 ⟹ e i π + 1 = 0 e i π = cos π + i sin π = − 1 ⟹ e i π + 1 = 0
오일러 항등식 이라 부르며, e e i i π π 1 1 0 0
바로 확인 1.
확인 1-1. e i π / 2 e i π / 2
답. cos π 2 + i sin π 2 = i cos 2 π + i sin 2 π = i
확인 1-2. cos x cos x
답. e i x + e − i x 2 2 e i x + e − i x
확인 1-3. e z e z
답. 절댓값 급수가 e ∣ z ∣ e ∣ z ∣ ∣ z ∣ ∣ z ∣
문제. 다음을 확인하세요.e z + w = e z e w e z + w = e z e w z = x + i y z = x + i y e z e z e z e z
생각의 실마리. (1)은 급수의 곱을 다뤄야 하므로 55강 심화 4의 코시 곱이 필요합니다. (2)는 (1)을 쓰면 즉시 나옵니다. (3)에서는 실수지수에 없던 성질 이 나타납니다. e x e x e z e z
풀이. (1) 성립합니다. 증명은 심화 1에서 코시 곱으로 합니다. 두 급수가 모두 절대수렴하므로 곱을 항별로 정리할 수 있고, 이항정리(20강)로 계수가 맞아떨어집니다.
(2) z = x + i y z = x + i y
e z = e x + i y = e x e i y = e x ( cos y + i sin y ) e z = e x + i y = e x e i y = e x ( cos y + i sin y )
입니다. 실수부가 크기를 정하고 허수부가 편각을 정합니다.
성분
역할
e^
크기 ∣ e z ∣ ∣ e z ∣
y y 편각 \arg e^
(3) e 2 π i = cos 2 π + i sin 2 π = 1 e 2 π i = cos 2 π + i sin 2 π = 1
e z + 2 π i = e z e 2 π i = e z e z + 2 π i = e z e 2 π i = e z
입니다. e z e z 2 π i 2 π i
이 문제에서 배우는 것: 복소지수의 성질.
정리해 둡니다.
성질
식
실수와 비교
지수법칙
e^{z+w}=e^{z}e^
같습니다
0 0 e z ≠ 0 e z = 0 같습니다
극형식
e x + i y = e x ( cos y + i sin y ) e x + i y = e x ( cos y + i sin y ) 새로운 것입니다
크기
∣ e z ∣ = e Re z ∣ e z ∣ = e R e z 새로운 것입니다
주기성
e^{z+2\pi i}=e^
실수에는 없습니다
단사성
단사가 아닙니다
실수에서는 단사입니다
주기성이 실수지수와의 결정적 차이 입니다. e x e x e z e z 2 π i 2 π i
e z ≠ 0 e z = 0 e z e − z = e 0 = 1 e z e − z = e 0 = 1 e z e z 0 0 지수함수는 복소평면 어디에서도 0 0
이 성질들이 30강의 극형식 계산을 훨씬 편하게 만듭니다. 두 복소수를 곱할 때
r 1 e i θ 1 ⋅ r 2 e i θ 2 = r 1 r 2 e i ( θ 1 + θ 2 ) r 1 e i θ 1 ⋅ r 2 e i θ 2 = r 1 r 2 e i ( θ 1 + θ 2 )
로 크기는 곱하고 편각은 더하는 규칙이 지수법칙 하나로 설명됩니다. 30강에서 삼각함수의 덧셈정리로 확인했던 것이 여기서는 자명해집니다.
바로 확인 2.
확인 2-1. e 1 + i π e 1 + i π
답. e 1 ( cos π + i sin π ) = − e e 1 ( cos π + i sin π ) = − e
확인 2-2. ∣ e 3 − 2 i ∣ ∣ e 3 − 2 i ∣
답. e Re z = e 3 e R e z = e 3
확인 2-3. e z e z
답. 주기 2 π i 2 π i z z z + 2 π i z + 2 π i
문제. 오일러 공식으로 다음을 유도하세요.( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n θ ( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n θ cos 2 θ cos 2 θ sin 2 θ sin 2 θ cos A cos B cos A cos B
생각의 실마리. (1)은 오일러 공식을 넣고 지수법칙을 쓰면 한 줄입니다. (2)는 (1)에서 n = 2 n = 2 cos cos cos cos
풀이. (1) 왼쪽은 ( e i θ ) n = e i n θ ( e i θ ) n = e i n θ e i n θ e i n θ
(2) n = 2 n = 2
( cos θ + i sin θ ) 2 = 2 θ − 2 θ + 2 i sin θ cos θ ( cos θ + i sin θ ) 2 = cos 2 θ − sin 2 θ + 2 i sin θ cos θ
오른쪽은 cos 2 θ + i sin 2 θ cos 2 θ + i sin 2 θ 실수부끼리 허수부끼리 같아야 하므로
cos 2 θ = 2 θ − 2 θ , sin 2 θ = 2 sin θ cos θ cos 2 θ = cos 2 θ − sin 2 θ , sin 2 θ = 2 sin θ cos θ
입니다. 17강에서 유도한 공식이 한 번에 나옵니다.
(3) 지수로 바꿉니다.
cos A cos B = e i A + e − i A 2 ⋅ e i B + e − i B 2 = e i ( A + B ) + e i ( A − B ) + e − i ( A − B ) + e − i ( A + B ) 4 cos A cos B = 2 e i A + e − i A ⋅ 2 e i B + e − i B = 4 e i ( A + B ) + e i ( A − B ) + e − i ( A − B ) + e − i ( A + B )
첫째와 넷째를 묶고 둘째와 셋째를 묶으면 각각 cos cos
= 2 cos ( A + B ) + 2 cos ( A − B ) 4 = cos ( A + B ) + cos ( A − B ) 2 = 4 2 cos ( A + B ) + 2 cos ( A − B ) = 2 cos ( A + B ) + cos ( A − B )
이 문제에서 배우는 것: 드무아브르 공식과 계산 전략.
드무아브르 공식. 임의의 정수 n n
( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n θ ( cos θ + i sin θ ) n = cos n θ + i sin n θ
입니다.
30강에서 이 공식을 귀납법으로 증명했는데, 오일러 공식이 있으면 지수법칙의 특수한 경우 에 지나지 않습니다.
계산 전략을 정리합니다.
삼각 항등식을 얻는 절차.
삼각함수를 복소지수로 바꿉니다.
지수법칙으로 계산합니다.
다시 삼각함수로 되돌립니다.
지수함수의 계산이 삼각함수보다 훨씬 쉽기 때문에 이 우회가 이득입니다. 지수는 곱셈이 덧셈이 되지만 삼각함수는 덧셈정리를 외워야 합니다.
n n cos 5 θ cos 5 θ cos θ cos θ ( cos θ + i sin θ ) 5 ( cos θ + i sin θ ) 5
cos 5 θ = 5 θ − 10 3 θ 2 θ + 5 cos θ 4 θ cos 5 θ = cos 5 θ − 1 0 cos 3 θ sin 2 θ + 5 cos θ sin 4 θ
17강에서 배운 모든 삼각 항등식이 오일러 공식 하나에서 나옵니다. 외울 것이 하나로 줄어든 셈입니다.
바로 확인 3.
확인 3-1. 드무아브르로 cos 3 θ cos 3 θ
답. ( cos θ + i sin θ ) 3 ( cos θ + i sin θ ) 3 3 θ − 3 cos θ 2 θ cos 3 θ − 3 cos θ sin 2 θ cos 3 θ cos 3 θ
확인 3-2. sin A sin B sin A sin B
답. e i A − e − i A 2 i ⋅ e i B − e − i B 2 i 2 i e i A − e − i A ⋅ 2 i e i B − e − i B cos ( A − B ) − cos ( A + B ) 2 2 cos ( A − B ) − cos ( A + B )
확인 3-3. 삼각 항등식을 복소지수로 유도하는 것이 유리한 이유를 쓰세요.
답. 지수함수는 곱셈이 지수의 덧셈이 되어 계산이 단순한데, 삼각함수는 덧셈정리를 반복 적용해야 하기 때문입니다.
문제. 다음을 복소지수로 계산하세요.∫ e a x sin b x d x ∫ e a x sin b x d x ∑ k = 0 n − 1 cos k θ k = 0 ∑ n − 1 cos k θ
생각의 실마리. (1)은 51강 문제 3에서 부분적분을 두 번 하고 연립방정식을 풀어 얻은 결과입니다. 복소지수로 하면 지수함수 하나의 적분이 됩니다. (2)는 cos k θ cos k θ e i k θ e i k θ
풀이. (1) e a x sin b x e a x sin b x e a x e i b x = e ( a + b i ) x e a x e i b x = e ( a + b i ) x
∫ e ( a + b i ) x d x = e ( a + b i ) x a + b i ∫ e ( a + b i ) x d x = a + b i e ( a + b i ) x
분모를 유리화합니다.
= e a x ( cos b x + i sin b x ) ( a − b i ) a 2 + b 2 = a 2 + b 2 e a x ( cos b x + i sin b x ) ( a − b i )
허수부를 읽습니다. 분자에서 허수가 되는 항은 a sin b x a sin b x − b cos b x − b cos b x
∫ e a x sin b x d x = e a x ( a sin b x − b cos b x ) a 2 + b 2 + C ∫ e a x sin b x d x = a 2 + b 2 e a x ( a sin b x − b cos b x ) + C
51강 심화 4의 결과와 같고, 분모 a 2 + b 2 a 2 + b 2 ∣ a + b i ∣ 2 ∣ a + b i ∣ 2
(2) cos k θ = Re ( e i k θ ) cos k θ = R e ( e i k θ )
∑ k = 0 n − 1 cos k θ = Re ∑ k = 0 n − 1 ( e i θ ) k k = 0 ∑ n − 1 cos k θ = R e k = 0 ∑ n − 1 ( e i θ ) k
입니다. 오른쪽은 공비가 e i θ e i θ θ θ 2 π 2 π
∑ k = 0 n − 1 e i k θ = 1 − e i n θ 1 − e i θ k = 0 ∑ n − 1 e i k θ = 1 − e i θ 1 − e i n θ
입니다. 분자와 분모에서 절반씩 지수를 뽑아내는 것이 요령입니다.
1 − e i α = e i α / 2 ( e − i α / 2 − e i α / 2 ) = − 2 i e i α / 2 sin α 2 1 − e i α = e i α / 2 ( e − i α / 2 − e i α / 2 ) = − 2 i e i α / 2 sin 2 α
를 분자와 분모에 각각 쓰면
1 − e i n θ 1 − e i θ = e i ( n − 1 ) θ / 2 ⋅ sin ( n θ / 2 ) sin ( θ / 2 ) 1 − e i θ 1 − e i n θ = e i ( n − 1 ) θ / 2 ⋅ sin ( θ / 2 ) sin ( n θ / 2 )
이고 실수부를 읽으면
∑ k = 0 n − 1 cos k θ = sin ( n θ / 2 ) sin ( θ / 2 ) cos ( n − 1 ) θ 2 k = 0 ∑ n − 1 cos k θ = sin ( θ / 2 ) sin ( n θ / 2 ) cos 2 ( n − 1 ) θ
입니다. n = 3 n = 3 θ = π 3 θ = 3 π 1 + 1 2 − 1 2 = 1 1 + 2 1 − 2 1 = 1 sin ( π / 2 ) sin ( π / 6 ) cos π 3 = 1 0.5 ⋅ 0.5 = 1 sin ( π / 6 ) sin ( π / 2 ) cos 3 π = 0 . 5 1 ⋅ 0 . 5 = 1
이 문제에서 배우는 것: 실수 문제를 복소로 우회합니다.
두 계산의 공통 구조를 봅니다.
단계
내용
1
실수 문제를 복소 문제의 실수부(또는 허수부)로 봅니다
2
복소 문제를 풉니다. 지수함수라 쉽습니다
3
실수부(또는 허수부)를 읽습니다
답이 실수인데 중간 과정에 복소수를 거치는 것 이 이 방법의 특징입니다. 처음에는 이상해 보이지만 계산량이 크게 줄어듭니다.
(1)에서 51강의 방법과 비교해 보십시오. 부분적분 두 번과 연립방정식 풀이가 지수함수 하나의 적분으로 바뀌었습니다. (2)에서는 삼각급수가 등비급수가 되었습니다.
이 발상은 이 커리큘럼에서 계속 쓰입니다. 143강의 특성함수는 확률분포에 e i t X e i t X 어려운 대상을 복소지수로 감싸 다루는 것 이 그 도구들의 공통 전략입니다.
(2)의 결과도 따로 값이 있습니다. sin ( n θ / 2 ) sin ( θ / 2 ) sin ( θ / 2 ) sin ( n θ / 2 ) 59강에서 푸리에 급수의 부분합을 다룰 때 정확히 이 식이 나옵니다.
바로 확인 4.
확인 4-1. ∫ e x cos 2 x d x ∫ e x cos 2 x d x
답. a = 1 a = 1 b = 2 b = 2 e x ( cos 2 x + 2 sin 2 x ) 5 + C 5 e x ( cos 2 x + 2 sin 2 x ) + C
확인 4-2. ∑ k = 0 n − 1 sin k θ k = 0 ∑ n − 1 sin k θ
답. 같은 계산의 허수부이므로 sin ( n θ / 2 ) sin ( θ / 2 ) sin ( n − 1 ) θ 2 sin ( θ / 2 ) sin ( n θ / 2 ) sin 2 ( n − 1 ) θ
확인 4-3. 실수 문제를 복소로 우회하는 절차 세 단계를 쓰세요.
답. 복소 문제의 실수부나 허수부로 보고, 복소 문제를 풀고, 해당 부분을 읽습니다.
문제. 다음을 조사합니다.e w = z e w = z w w z = r e i θ z = r e i θ w w ln ( − 1 ) ln ( − 1 )
생각의 실마리. 로그는 지수의 역함수인데, 문제 2에서 e z e z 단사가 아니면 역함수가 하나로 정해지지 않습니다. (1)에서 w = u + i v w = u + i v
풀이. (1) w = u + i v w = u + i v e w = e u e i v e w = e u e i v r e i θ r e i θ e u = r e u = r u = ln r u = ln r v = θ v = θ 편각은 2 π 2 π
w = ln r + i ( θ + 2 π k ) , k ∈ Z w = ln r + i ( θ + 2 π k ) , k ∈ Z
(2) 무한히 많습니다. 정수 k k
(3) − 1 = 1 ⋅ e i π − 1 = 1 ⋅ e i π r = 1 r = 1 θ = π θ = π
ln ( − 1 ) = ln 1 + i ( π + 2 π k ) = i ( 2 k + 1 ) π ln ( − 1 ) = ln 1 + i ( π + 2 π k ) = i ( 2 k + 1 ) π
k = 0 k = 0 i π i π e i π = − 1 e i π = − 1
이 문제에서 배우는 것: 복소로그의 다가성.
복소로그. z ≠ 0 z = 0
log z = ln ∣ z ∣ + i arg z log z = ln ∣ z ∣ + i arg z
이며 arg z arg z 2 π 2 π 무한히 많은 값 을 가집니다.
이 현상을 다가성 이라 하고, 하나를 고르는 것을 가지를 택한다 고 말합니다. 보통 arg z ∈ ( − π , π ] arg z ∈ ( − π , π ] Log z L o g z
실수에서와 무엇이 다른지 정리합니다.
실수 로그
복소 로그
정의역
x > 0 x > 0 z ≠ 0 z = 0
값
하나
무한히 많습니다
음수
정의 안 됨
정의됩니다
log ( z w ) log ( z w ) = log z + log w = log z + log w 2 π i 2 π i
음수의 로그가 정의된다는 점 이 인상적입니다. 실수에서 ln ( − 1 ) ln ( − 1 ) i π i π ∫ d x x = ln ∣ x ∣ + C ∫ x d x = ln ∣ x ∣ + C ln x = ln ∣ x ∣ + i π ln x = ln ∣ x ∣ + i π
마지막 줄의 주의가 실질적입니다. 로그법칙이 완전히는 성립하지 않습니다. 예를 들어 주가지에서
Log ( ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ) = Log 1 = 0 L o g ( ( − 1 ) ⋅ ( − 1 ) ) = L o g 1 = 0
인데
Log ( − 1 ) + Log ( − 1 ) = i π + i π = 2 π i L o g ( − 1 ) + L o g ( − 1 ) = i π + i π = 2 π i
입니다. 두 값이 2 π i 2 π i 가지를 고정하면 로그법칙이 깨질 수 있으므로 복소로그를 다룰 때는 늘 조심해야 합니다.
52강 심화 4에서 아크탄젠트가 복소로그의 편각 부분이라고 했는데, 이제 그 말의 뜻이 분명합니다. log z log z arg z arg z
바로 확인 5.
확인 5-1. log i log i
답. i = e i π / 2 i = e i π / 2 log i = i ( π 2 + 2 π k ) log i = i ( 2 π + 2 π k ) i π 2 2 i π
확인 5-2. log ( − e ) log ( − e )
답. ∣ − e ∣ = e ∣ − e ∣ = e π π 1 + i π 1 + i π
확인 5-3. 복소로그가 여러 값을 가지는 근본 이유를 쓰세요.
답. e z e z 2 π i 2 π i
정의·정리
식
복소지수
e z = ∑ n ≥ 0 z n n ! e z = n ≥ 0 ∑ n ! z n z z
오일러 공식
e i x = cos x + i sin x e i x = cos x + i sin x
오일러 항등식
e i π + 1 = 0 e i π + 1 = 0
삼각의 지수 표현
cos x = e i x + e − i x 2 cos x = 2 e i x + e − i x
극형식
z=re^
드무아브르
\bigl(e^{i\theta}\bigr)^{n}=e^
복소로그
log z = ln ∣ z ∣ + i ( arg z + 2 π k ) log z = ln ∣ z ∣ + i ( arg z + 2 π k )
성질
내용
지수법칙
e^{z+w}=e^{z}e^
크기
∣ e z ∣ = e Re z ∣ e z ∣ = e R e z
주기
2 π i 2 π i
0 0 e z ≠ 0 e z = 0
단사성
아닙니다
계산 전략
방법
삼각 항등식
지수로 바꿔 지수법칙을 씁니다
∫ e a x sin b x ∫ e a x sin b x e ( a + b i ) x e ( a + b i ) x
∑ cos k θ ∑ cos k θ ∑ e i k θ ∑ e i k θ
n n e^
자주 하는 실수
바로잡기
∣ e z ∣ = e z ∣ e z ∣ = e z e Re z e R e z
복소로그를 하나의 값으로 씁니다
가지를 명시합니다
로그법칙을 그대로 씁니다
2 π i 2 π i
e z = 0 e z = 0 z z 존재하지 않습니다
문제 6. e i π / 3 e i π / 3 a + b i a + b i
답. cos π 3 + i sin π 3 = 1 2 + 3 2 i cos 3 π + i sin 3 π = 2 1 + 2 3 i
문제 7. e 2 + 3 i e 2 + 3 i
답. e Re z = e 2 e R e z = e 2
문제 8. sin x sin x
답. e i x − e − i x 2 i 2 i e i x − e − i x
문제 9. ( 1 + i ) 8 ( 1 + i ) 8
답. 1 + i = 2 e i π / 4 1 + i = 2 e i π / 4 ( 2 ) 8 e 2 π i = 16 ( 2 ) 8 e 2 π i = 1 6
문제 10. 드무아브르로 sin 3 θ sin 3 θ
답. ( cos θ + i sin θ ) 3 ( cos θ + i sin θ ) 3 3 2 θ sin θ − 3 θ 3 cos 2 θ sin θ − sin 3 θ
문제 11. e z = 1 e z = 1 z z
답. z = 2 π i k z = 2 π i k k k
문제 12. log ( 2 i ) log ( 2 i )
답. ln 2 + i π 2 ln 2 + 2 i π
문제 13. ∫ e 2 x sin 3 x d x ∫ e 2 x sin 3 x d x
답. e 2 x ( 2 sin 3 x − 3 cos 3 x ) 13 + C 1 3 e 2 x ( 2 sin 3 x − 3 cos 3 x ) + C
문제 14. 2 x cos 2 x
답. ( e i x + e − i x 2 ) 2 = e 2 i x + 2 + e − 2 i x 4 = cos 2 x + 1 2 ( 2 e i x + e − i x ) 2 = 4 e 2 i x + 2 + e − 2 i x = 2 cos 2 x + 1
문제 15. 1 1
답. e 2 π i k / 3 e 2 π i k / 3 k = 0 , 1 , 2 k = 0 , 1 , 2 1 1 − 1 2 + 3 2 i − 2 1 + 2 3 i − 1 2 − 3 2 i − 2 1 − 2 3 i
문제 16. e z e z 2 π i 2 π i
답. e 2 π i = cos 2 π + i sin 2 π = 1 e 2 π i = cos 2 π + i sin 2 π = 1 e z + 2 π i = e z e z + 2 π i = e z
문제 17. ∣ e i x ∣ = 1 ∣ e i x ∣ = 1
답. 2 x + 2 x = 1 cos 2 x + sin 2 x = 1
문제 18. 오일러 항등식을 쓰고 어떤 상수들이 들어 있는지 말하세요.
답. e i π + 1 = 0 e i π + 1 = 0 e e i i π π 1 1 0 0
심화 1. e z + w = e z e w e z + w = e z e w
풀이. 두 급수가 절대수렴하므로 55강 심화 4의 코시 곱을 쓸 수 있습니다.
e z e w = ( ∑ j ≥ 0 z j j ! ) ( ∑ m ≥ 0 w m m ! ) = ∑ k ≥ 0 c k , c k = ∑ j = 0 k z j j ! ⋅ w k − j ( k − j ) ! e z e w = ( j ≥ 0 ∑ j ! z j ) ( m ≥ 0 ∑ m ! w m ) = k ≥ 0 ∑ c k , c k = j = 0 ∑ k j ! z j ⋅ ( k − j ) ! w k − j
c k c k k ! k ! k ! j ! ( k − j ) ! j ! ( k − j ) ! k !
c k = 1 k ! ∑ j = 0 k k ! j ! ( k − j ) ! z j w k − j = 1 k ! ∑ j = 0 k ( k j ) z j w k − j c k = k ! 1 j = 0 ∑ k j ! ( k − j ) ! k ! z j w k − j = k ! 1 j = 0 ∑ k ( j k ) z j w k − j
괄호 안이 정확히 이항정리(20강)의 우변입니다.
c k = ( z + w ) k k ! c k = k ! ( z + w ) k
따라서
e z e w = ∑ k ≥ 0 ( z + w ) k k ! = e z + w e z e w = k ≥ 0 ∑ k ! ( z + w ) k = e z + w
입니다. ■ ■
증명의 뼈대가 이항정리 하나입니다. 20강에서 조합론으로 얻은 공식이 복소지수의 기본 성질을 떠받칩니다. 그리고 절대수렴이 코시 곱의 전제이므로, 54강 심화 4에서 강조한 절대수렴의 중요성이 여기서 실제로 쓰입니다.
이 증명이 실수의 경우도 포함한다는 점도 확인해 두십시오. e x + y = e x e y e x + y = e x e y
심화 2. 1 1 n n 0 0
풀이. z n = 1 z n = 1 z = r e i θ z = r e i θ r n e i n θ = 1 r n e i n θ = 1 r = 1 r = 1 n θ = 2 π k n θ = 2 π k
z k = e 2 π i k / n , k = 0 , 1 , … , n − 1 z k = e 2 π i k / n , k = 0 , 1 , … , n − 1
k = n k = n n n
기하학적으로는 단위원을 n n 입니다. k = 0 k = 0 1 1 2 π n n 2 π n n
**합이 0 0 n ≥ 2 n ≥ 2 ω = e 2 π i / n ≠ 1 ω = e 2 π i / n = 1 1 , ω , ω 2 , … , ω n − 1 1 , ω , ω 2 , … , ω n − 1
∑ k = 0 n − 1 ω k = 1 − ω n 1 − ω = 1 − 1 1 − ω = 0 k = 0 ∑ n − 1 ω k = 1 − ω 1 − ω n = 1 − ω 1 − 1 = 0
입니다. ω n = e 2 π i = 1 ω n = e 2 π i = 1
이 결과를 기하로 읽으면 정n n 이라는 뜻입니다. 대칭성에서 당연한데 대수적으로도 확인됩니다.
n n 0 0 직교 한다는 성질이 정확히 이 계산에서 나옵니다.
심화 3. 삼각함수와 쌍곡함수의 관계를 복소지수로 밝히세요.
풀이. 56강 문제 3에서 쌍곡함수를 정의했습니다.
cosh x = e x + e − x 2 , sinh x = e x − e − x 2 cosh x = 2 e x + e − x , sinh x = 2 e x − e − x
삼각함수의 지수 표현과 나란히 놓습니다.
cos x = e i x + e − i x 2 , sin x = e i x − e − i x 2 i cos x = 2 e i x + e − i x , sin x = 2 i e i x − e − i x
i i x x i x i x
cos ( i x ) = e − x + e x 2 = cosh x , sin ( i x ) = e − x − e x 2 i = i sinh x cos ( i x ) = 2 e − x + e x = cosh x , sin ( i x ) = 2 i e − x − e x = i sinh x
거꾸로도 성립합니다.
cosh ( i x ) = cos x , sinh ( i x ) = i sin x cosh ( i x ) = cos x , sinh ( i x ) = i sin x
두 함수족이 별개가 아니라 하나를 실수축과 허수축에서 본 것입니다.
이 관계가 항등식을 옮겨 줍니다. 2 + 2 = 1 cos 2 + sin 2 = 1 x → i x x → i x
2 x − 2 x = 1 cosh 2 x − sinh 2 x = 1
입니다. sin ( i x ) = i sinh x sin ( i x ) = i sinh x − 2 x − sinh 2 x 삼각의 모든 항등식이 부호 규칙 하나로 쌍곡 항등식이 됩니다.
삼각
쌍곡
2 + 2 = 1 cos 2 + sin 2 = 1 2 − 2 = 1 cosh 2 − sinh 2 = 1
sin 2 x = 2 sin x cos x sin 2 x = 2 sin x cos x sinh 2 x = 2 sinh x cosh x sinh 2 x = 2 sinh x cosh x
( sin x ) ′ = cos x ( sin x ) ′ = cos x ( sinh x ) ′ = cosh x ( sinh x ) ′ = cosh x
( cos x ) ′ = − sin x ( cos x ) ′ = − sin x ( cosh x ) ′ = + sinh x ( cosh x ) ′ = + sinh x
마지막 두 줄의 부호 차이도 같은 규칙에서 나옵니다. 이름이 비슷한 이유도 이제 분명합니다. 원을 매개하는 것이 ( cos , sin ) ( cos , sin ) ( cosh , sinh ) ( cosh , sinh )
심화 4. 51강 심화 4에서 복소수로 하면 쉽다고 예고한 계산을 완성하고, 실수 방법과 비교하세요.
풀이. 51강에서는 I = ∫ e a x sin b x d x I = ∫ e a x sin b x d x I I J J
∫ e ( a + b i ) x d x = e ( a + b i ) x a + b i ∫ e ( a + b i ) x d x = a + b i e ( a + b i ) x
이 하나의 식이 두 적분을 동시에 줍니다. 실수부가 ∫ e a x cos b x d x ∫ e a x cos b x d x ∫ e a x sin b x d x ∫ e a x sin b x d x
e a x ( cos b x + i sin b x ) ( a − b i ) a 2 + b 2 a 2 + b 2 e a x ( cos b x + i sin b x ) ( a − b i )
에서
∫ e a x cos b x d x = e a x ( a cos b x + b sin b x ) a 2 + b 2 , ∫ e a x sin b x d x = e a x ( a sin b x − b cos b x ) a 2 + b 2 ∫ e a x cos b x d x = a 2 + b 2 e a x ( a cos b x + b sin b x ) , ∫ e a x sin b x d x = a 2 + b 2 e a x ( a sin b x − b cos b x )
입니다.
두 방법을 비교합니다.
실수 방법(51강)
복소 방법(58강)
부분적분
두 번
없음
연립방정식
필요합니다
없음
얻는 것
하나씩 따로
둘을 한꺼번에
분모의 정체
계산 결과
∣ a + b i ∣ 2 ∣ a + b i ∣ 2
분모가 왜 a 2 + b 2 a 2 + b 2 실수 계산에서는 연립방정식을 풀다 보니 나온 값이었는데, 여기서는 1 a + b i a + b i 1 ∣ a + b i ∣ 2 ∣ a + b i ∣ 2
이 방법은 더 어려운 적분에도 통합니다. ∫ e a x cos b x cos c x d x ∫ e a x cos b x cos c x d x 삼각함수가 섞여 있을수록 복소 방법의 이득이 커집니다.
심화 5. 복소로그의 가지를 정하는 문제를 다루고, 가지를 자르는 선이 왜 필요한지 설명하세요.
풀이. 문제 5에서 log z log z arg z arg z
주가지. arg z ∈ ( − π , π ] arg z ∈ ( − π , π ] Log z L o g z
그런데 이 선택에 대가가 따릅니다. Log L o g
확인해 봅니다. z z − 1 − 1 π π Log z → i π L o g z → i π − π − π Log z → − i π L o g z → − i π 양쪽에서 다른 값이 나옵니다.
그러므로 주가지를 쓰려면 음의 실수축을 정의역에서 빼야 합니다. 그 선을 가지 자름 이라 합니다.
선택
결과
가지를 정하지 않음
값이 무한히 많아 함수가 아닙니다
가지를 정함
함수가 되지만 어느 선에서 불연속입니다
가지 자름을 뺌
연속이지만 정의역이 줄어듭니다
어느 쪽을 택해도 무언가를 잃습니다. 이것이 복소함수론의 근본적인 현상이며, 리만면이라는 개념이 그 해결책으로 나옵니다.
같은 문제가 z z z = r e i θ z = r e i θ ± r e i θ / 2 ± r e i θ / 2 2 π 2 π θ / 2 θ / 2 π π 원점을 한 바퀴 돌면 다른 값으로 돌아옵니다.
실무에서 이 문제가 실제로 나타납니다. 수치 라이브러리의 복소 로그와 제곱근은 모두 주가지를 쓰며, 음의 실수축 근처에서 값이 갑자기 뛰므로 그 근처의 계산은 특별히 조심해야 합니다.
심화 6. z w z w i i i i
풀이. 실수에서 x y = e y ln x x y = e y l n x
z w : = e w log z z w : = e w l o g z
log z log z z w z w
i i i i i = e i π / 2 i = e i π / 2
log i = i ( π 2 + 2 π k ) log i = i ( 2 π + 2 π k )
이고
i i = e i log i = e i ⋅ i ( π / 2 + 2 π k ) = e − ( π / 2 + 2 π k ) i i = e i l o g i = e i ⋅ i ( π / 2 + 2 π k ) = e − ( π / 2 + 2 π k )
입니다.
놀랍게도 모든 값이 실수입니다. 허수의 허수제곱이 실수가 됩니다. 주가지(k = 0 k = 0
i i = e − π / 2 ≈ 0.20788 i i = e − π / 2 ≈ 0 . 2 0 7 8 8
입니다.
이유는 지수에서 i ⋅ i = − 1 i ⋅ i = − 1 e − π / 2 e − π / 2
다른 k k e − π / 2 − 2 π k e − π / 2 − 2 π k k = 1 k = 1 e − π / 2 − 2 π ≈ 3.9 × 1 0 − 4 e − π / 2 − 2 π ≈ 3 . 9 × 1 0 − 4 같은 식이 무한히 많은 실수 값을 가집니다.
z w z w ( z a ) b = z a b ( z a ) b = z a b
( ( − 1 ) 2 ) 1 / 2 = 1 1 / 2 = 1 ( ( − 1 ) 2 ) 1 / 2 = 1 1 / 2 = 1
인데
( − 1 ) 2 ⋅ 1 / 2 = ( − 1 ) 1 = − 1 ( − 1 ) 2 ⋅ 1 / 2 = ( − 1 ) 1 = − 1
입니다. 가지를 어디서 어떻게 택하느냐에 따라 답이 달라지며, 이 함정이 복소수 계산에서 가장 흔한 오류의 원인입니다.
이 강의에서는 numpy만 씁니다. 복소지수는 검산이 명확합니다. 급수로 정의한 값과 cos + i sin cos + i sin numpy의 복소수 지원을 쓰되, 정의 자체는 급수로 직접 구현해 정리를 검사합니다.
import numpy as np
def invfact(N):
c = np.ones(N)
for k in range(1, N):
c[k] = c[k-1]/k
return c
IF = invfact(80)
def cexp(z, N=80):
"""급수로 정의한 복소지수입니다. numpy 의 exp 를 쓰지 않습니다."""
return complex(np.sum(IF[:N]*np.array([z**k for k in range(N)])))
# --- 문제 1: e^{ix} = cos x + i sin x -----------------------------------
for x in [0.5, 2.0, np.pi]:
v = cexp(1j*x)
print(round(x, 6), "%.10f%+.10fj" % (v.real, v.imag),
"%.10f%+.10fj" % (np.cos(x), np.sin(x)))
# 0.5 0.8775825619+0.4794255386j 0.8775825619+0.4794255386j
# 2.0 -0.4161468365+0.9092974268j -0.4161468365+0.9092974268j
# 3.141593 -1.0000000000+0.0000000000j -1.0000000000+0.0000000000j
# --- 문제 2: 지수법칙과 주기성 ------------------------------------------
z, w = 0.7 + 1.2j, -0.4 + 0.9j
print("%.10f%+.10fj" % (cexp(z + w).real, cexp(z + w).imag))
p = cexp(z)*cexp(w)
print("%.10f%+.10fj" % (p.real, p.imag))
# -0.6814709608+1.1652107664j
# -0.6814709608+1.1652107664j
q = cexp(z + 2j*np.pi)
print("%.10f%+.10fj" % (q.real, q.imag), "%.10f%+.10fj" % (cexp(z).real, cexp(z).imag))
# 0.7296989092+1.8768962328j 0.7296989092+1.8768962328j
# --- 문제 3: 드무아브르와 배각공식 --------------------------------------
th = 0.6
for k in [2, 3, 5]:
lhs = cexp(1j*k*th)
rhs = (np.cos(th) + 1j*np.sin(th))**k
print(k, "%.10f%+.10fj" % (lhs.real, lhs.imag), "%.10f%+.10fj" % (rhs.real, rhs.imag))
# 2 0.3623577545+0.9320390860j 0.3623577545+0.9320390860j
# 3 -0.2272020947+0.9738476309j -0.2272020947+0.9738476309j
# 5 -0.9899924966+0.1411200081j -0.9899924966+0.1411200081j
print("%.10f %.10f" % (np.cos(2*th), np.cos(th)**2 - np.sin(th)**2))
# 0.3623577545 0.3623577545
# --- 심화 4: 51강의 적분을 복소로 얻은 결과와 대조 ------------------------
def mid(f, a, b, N=400000):
x = np.linspace(a, b, N + 1)
return float(np.sum(f(0.5*(x[:-1] + x[1:])))*(b - a)/N)
a, b = 2.0, 3.0
F = lambda x: np.exp(a*x)*(a*np.sin(b*x) - b*np.cos(b*x))/(a**2 + b**2)
print("%.8f %.8f" % (mid(lambda t: np.exp(a*t)*np.sin(b*t), 0.0, 1.0), F(1.0) - F(0.0)))
# 2.07929366 2.07929366
# --- 심화 3: cos(ix) = cosh x -------------------------------------------
for x in [0.5, 1.5]:
v = (cexp(1j*(1j*x)) + cexp(-1j*(1j*x)))/2
print(x, "%.10f" % v.real, "%.10f" % np.cosh(x))
# 0.5 1.1276259652 1.1276259652
# 1.5 2.3524096152 2.3524096152
# --- 심화 6: i^i 는 실수입니다 ------------------------------------------
print("%.10f %.10f" % (float(np.exp(-np.pi/2)), abs(complex(1j)**1j)))
# 0.2078795764 0.2078795764
# --- 오일러 항등식 ------------------------------------------------------
v = cexp(1j*np.pi)
print("%.3e %.3e" % (v.real + 1, v.imag)) # -8.882e-16 7.184e-30
실행하면 주석과 같은 값이 나옵니다. 다섯 곳을 짚어 둡니다.
첫째, 급수로 계산한 e i x e i x cos x + i sin x cos x + i sin x numpy의 지수함수를 쓰지 않고 정의에서 직접 계산했으므로 오일러 공식 자체가 검증됩니다. x = π x = π − 1 − 1 0 0
둘째, 지수법칙이 성립합니다. e z + w e z + w e z e w e z e w
셋째, 주기성이 정확합니다. e z + 2 π i e z + 2 π i e z e z 실수지수에는 없던 성질이 눈으로 보입니다.
넷째, 드무아브르가 세 지수에서 모두 성립하고 배각공식도 맞습니다. cos 2 θ cos 2 θ 2 θ − 2 θ cos 2 θ − sin 2 θ 0.3623577545 0 . 3 6 2 3 5 7 7 5 4 5 17강에서 따로 외웠던 공식이 지수법칙의 결과임이 확인됩니다.
다섯째, 오일러 항등식의 검산에서 e i π + 1 e i π + 1 − 8.9 × 1 0 − 16 − 8 . 9 × 1 0 − 1 6 7.2 × 1 0 − 30 7 . 2 × 1 0 − 3 0 배정밀도의 기계 오차 수준이므로 정확히 0 0 허수부가 실수부보다 훨씬 작은 것은 sin sin π π
코드로 할 수 없는 일도 분명히 해 둡니다. 복소로그의 다가성은 수치 계산에 나타나지 않습니다. 라이브러리가 주가지 하나만 돌려주므로, log ( − 1 ) log ( − 1 ) i π i π 3 i π 3 i π − i π − i π
e z e z 오일러 공식을 쓰고 유도의 뼈대를 말하세요.
cos x cos x sin x sin x ∣ e z ∣ ∣ e z ∣ e z e z 드무아브르 공식이 오일러 공식에서 어떻게 나옵니까?
삼각 항등식을 복소지수로 유도하는 절차를 쓰세요.
∫ e a x sin b x d x ∫ e a x sin b x d x a 2 + b 2 a 2 + b 2 복소로그가 여러 값을 가지는 이유를 쓰세요.
i i i i
정답.
e z = ∑ z n n ! e z = ∑ n ! z n e i x = cos x + i sin x e i x = cos x + i sin x i x i x i n i n cos x = e i x + e − i x 2 cos x = 2 e i x + e − i x sin x = e i x − e − i x 2 i sin x = 2 i e i x − e − i x e Re z e R e z 2 π i 2 π i ( e i θ ) n = e i n θ ( e i θ ) n = e i n θ 지수로 바꾸고, 지수법칙으로 계산하고, 다시 삼각으로 되돌립니다.
1 a + b i a + b i 1 ∣ a + b i ∣ 2 ∣ a + b i ∣ 2 e z e z 2 π i 2 π i 지수에서 i ⋅ i = − 1 i ⋅ i = − 1
기호
읽는 법
뜻
e^
복소지수
급수 ∑ z n n ! ∑ n ! z n
e i x = cos x + i sin x e i x = cos x + i sin x 오일러 공식
지수와 삼각을 잇습니다
e i π + 1 = 0 e i π + 1 = 0 오일러 항등식
다섯 상수가 한 식에 모입니다
re^
극형식
크기와 편각으로 적은 복소수입니다
Re z R e z Im z I m z 실수부, 허수부
arg z arg z 편각
2 π 2 π
Log z L o g z 주가지 로그
arg z ∈ ( − π , π ] arg z ∈ ( − π , π ]
가지 자름
branch cut
다가함수를 단일값으로 만들려고 빼는 선입니다
cosh cosh sinh sinh 쌍곡함수
삼각함수를 허수축에서 본 것입니다
다음 59강에서 이 도구를 본격적으로 씁니다. 56강의 테일러 급수가 함수를 거듭제곱으로 분해했다면, 푸리에 급수는 진동으로 분해합니다. 주기함수를 sin sin cos cos e i n x e i n x n n 0 0