56강에서 함수를 거듭제곱으로 분해했습니다. ex=1+x+2x2+⋯처럼 다항식의 합으로 적었습니다.
그 방법에는 한계가 있습니다. 테일러 급수는 한 점에서의 도함수 정보만 쓰므로 그 점 근처에서만 잘 맞습니다. 55강에서 본 대로 수렴반경 밖에서는 아무 소용이 없고, 56강에서는 무한번 미분가능한데도 급수가 함수와 다른 경우까지 보았습니다.
주기적으로 반복되는 현상에는 다른 분해가 필요합니다. 소리, 전류, 진동은 한 점 근처의 성질이 아니라 전체적으로 얼마나 빠르게 흔들리는가로 특징지어집니다. 그런 함수에는 다항식보다 진동 자체를 재료로 삼는 것이 자연스럽습니다.
f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)
이것이 푸리에 급수입니다. 놀라운 점은 계수를 구하는 방법이 테일러만큼이나 단순하다는 것입니다. 테일러가 미분으로 계수를 뽑았다면 푸리에는 적분으로 뽑습니다. 그 근거가 58강 심화 2에서 예고한 직교성입니다.
이 강의에서 오래 미뤄 둔 값 하나도 나옵니다. 54강에서 ∑n21=6π2이라고 적으면서 "59강에서 유도한다"고 했는데, 여기서 파스발 항등식으로 얻습니다.
- 삼각함수계의 직교성을 증명하고 계수 추출에 쓸 수 있습니다.
- 실수형과 복소형 푸리에 계수를 계산할 수 있습니다.
- 짝함수와 홀함수의 대칭성으로 계산을 줄일 수 있습니다.
- 불연속점에서 급수가 어디로 수렴하는지 판정할 수 있습니다.
- 파스발 항등식으로 급수의 합을 구할 수 있습니다.
문제. f(x)=n=−∞∑∞cneinx로 적힌다고 가정합니다.
(1) ∫−ππeinxe−imxdx를 계산하세요.
(2) (1)을 써서 cm을 f로 나타내세요.
(3) 이 방법이 56강의 계수 추출과 어떻게 대응합니까?
생각의 실마리. (1)에서 지수를 합치면 ei(n−m)x입니다. n=m이면 상수이고 아니면 진동합니다. 한 주기에 걸쳐 적분하면 진동은 상쇄됩니다. (2)에서는 급수 양변에 e−imx를 곱하고 적분합니다. (1)의 결과가 한 항만 남깁니다.
풀이. (1) 지수를 합칩니다. k=n−m으로 두면
∫−ππeikxdx
입니다. k=0이면 피적분함수가 1이라 값이 2π입니다. k=0이면
∫−ππeikxdx=[ikeikx]−ππ=ikeikπ−e−ikπ=ik2isinkπ=0
입니다. k가 정수라 sinkπ=0이기 때문입니다. 정리하면
∫−ππeinxe−imxdx={2π0(n=m)(n=m)
(2) 급수 양변에 e−imx를 곱하고 [−π,π]에서 적분합니다. 항별 적분이 허용된다고 하면
∫−ππf(x)e−imxdx=n∑cn∫−ππeinxe−imxdx=2πcm
입니다. n=m인 항 하나만 살아남았습니다. 따라서
cm=2π1∫−ππf(x)e−imxdx
(3) 구조가 정확히 대응합니다.
|
테일러(56강) |
푸리에(59강) |
| 재료 |
(x-c)^ |
e^ |
| 계수 추출 |
n번 미분하고 x=c 대입 |
e−imx 곱하고 적분 |
| 원리 |
다른 항이 미분에서 사라집니다 |
다른 항이 적분에서 사라집니다 |
이 문제에서 배우는 것: 직교성.
삼각함수계의 직교성. 정수 n, m에 대해
2π1∫−ππeinxeimxdx={10(n=m)(n=m)
입니다.
이 성질에 직교라는 이름이 붙은 이유가 있습니다. 벡터에서 내적이 0이면 수직이었는데, 함수에도 내적을 정의할 수 있습니다.
⟨f,g⟩=2π1∫−ππf(x)g(x)dx
이렇게 두면 위의 결과는 {einx}가 서로 수직인 단위벡터들이라는 뜻입니다. 그러면 계수를 뽑는 일이 벡터를 축에 정사영하는 것과 같아집니다.
cn=⟨f,einx⟩
푸리에 급수는 함수 공간에서의 좌표 표현입니다. 이 관점이 62강부터 시작하는 선형대수학에서 정식으로 다뤄지며, 77강의 정규직교기저와 그람슈미트가 정확히 같은 구조입니다.
직교성의 근거도 확인해 두십시오. k=0일 때 적분이 0이 되는 것은 sinkπ=0 때문인데, 이는 58강 심화 2에서 본 "n제곱근의 합이 0"과 같은 사실입니다. 한 바퀴 도는 동안 골고루 퍼져 상쇄됩니다.
바로 확인 1.
확인 1-1. ∫−ππe3ixe−3ixdx를 구하세요.
답. n=m이므로 2π입니다.
확인 1-2. ∫−ππcos2xcos5xdx를 구하세요.
답. 지수로 바꿔 계산하면 서로 다른 진동수라 0입니다.
확인 1-3. 계수 추출에서 다른 항들이 사라지는 이유를 쓰세요.
답. 서로 다른 진동수의 곱을 한 주기에 걸쳐 적분하면 진동이 상쇄되어 0이 되기 때문입니다.
문제. f가 주기 2π인 함수일 때
f(x)=2a0+n=1∑∞(ancosnx+bnsinnx)
로 적습니다.
(1) an과 bn을 적분으로 나타내세요.
(2) 구형파 f(x)=sgn(sinx)의 계수를 구하세요.
(3) a0 앞에 21이 붙는 이유를 설명하세요.
생각의 실마리. (1)은 문제 1과 같은 방법입니다. 양변에 cosmx나 sinmx를 곱하고 적분하면 되는데, 이번에는 cos끼리와 sin끼리의 직교성이 필요합니다. (2)에서 구형파는 홀함수이므로 계산이 줄어듭니다.
풀이. (1) 직교 관계는 다음과 같습니다.
∫−ππcosnxcosmxdx=πδnm,∫−ππsinnxsinmxdx=πδnm,∫−ππcosnxsinmxdx=0
(n,m≥1). 양변에 cosmx를 곱하고 적분하면 am 항만 남습니다.
an=π1∫−ππf(x)cosnxdx,bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx
(2) 구형파는 0<x<π에서 1이고 −π<x<0에서 −1입니다. 홀함수이므로 f(x)cosnx가 홀함수이고 대칭구간 적분이 0입니다(50강 심화 2).
an=0(모든 n)
bn은 f(x)sinnx가 짝함수이므로 절반을 두 배 합니다.
bn=π2∫0πsinnxdx=π2[n−cosnx]0π=nπ2(1−cosnπ)
cosnπ=(−1)n이므로 n이 짝수이면 0이고 홀수이면 nπ4입니다.
f(x)=π4(sinx+3sin3x+5sin5x+⋯)
(3) n=0일 때 cos0=1이므로 (1)의 공식에 n=0을 넣으면
a0=π1∫−ππf(x)dx
입니다. 그런데 상수항은 f의 평균값이어야 하고 평균값은 2π1∫−ππf입니다. 그러니 상수항이 2a0가 됩니다. 21을 붙여 두면 an의 공식을 n=0에도 그대로 쓸 수 있어 편합니다.
이 문제에서 배우는 것: 계수 공식과 대칭성.
푸리에 계수(실수형).
an=π1∫−ππf(x)cosnxdx,bn=π1∫−ππf(x)sinnxdx
대칭성을 이용하면 계산이 절반으로 줄어듭니다.
| f의 대칭 |
결과 |
| 짝함수 |
bn=0, 코사인만 남습니다 |
| 홀함수 |
an=0, 사인만 남습니다 |
| 대칭 없음 |
둘 다 계산합니다 |
계산을 시작하기 전에 대칭성부터 확인하는 것이 습관이 되어야 합니다. 구형파에서 an을 일일이 계산했다면 모두 0이 나오는 데 시간을 낭비했을 것입니다.
복소형과의 관계도 정리합니다. 오일러 공식으로 cosnx와 sinnx를 지수로 바꾸면
cn=2an−ibn,c−n=2an+ibn(n≥1)
이고 c0=2a0입니다. f가 실함수이면 c−n=cn입니다. 복소형이 식이 간결하고 실수형이 실제 값을 바로 보여 주므로, 이론에서는 복소형을 쓰고 계산 결과를 보고할 때는 실수형을 씁니다.
바로 확인 2.
확인 2-1. 짝함수의 푸리에 급수에 사인 항이 없는 이유를 쓰세요.
답. f(x)sinnx가 홀함수가 되어 대칭구간 적분이 0이기 때문입니다.
확인 2-2. 구형파의 b3을 구하세요.
답. 3π4≈0.4244입니다.
확인 2-3. cn과 an,bn의 관계를 쓰세요.
답. n≥1에서 cn=2an−ibn이고 c−n=2an+ibn이며 c0=2a0입니다.
문제. 다음의 푸리에 급수를 구하세요.
(1) 톱니파 f(x)=x (−π<x<π, 주기 2π)
(2) f(x)=x2 (−π<x<π, 주기 2π)
(3) (2)의 급수에 x=π를 넣으면 무엇이 나옵니까?
생각의 실마리. (1)은 홀함수이고 (2)는 짝함수이므로 각각 한쪽만 계산합니다. 적분에는 51강의 부분적분이 필요합니다. (3)에서는 cosnπ=(−1)n을 넣어 정리하면 유명한 급수가 나옵니다.
풀이. (1) 홀함수이므로 an=0입니다.
bn=π2∫0πxsinnxdx
부분적분합니다. u=x, dv=sinnxdx이면 v=−ncosnx입니다.
∫0πxsinnxdx=[n−xcosnx]0π+n1∫0πcosnxdx=n−π(−1)n+0
따라서 bn=n2(−1)n+1입니다.
x=2(sinx−2sin2x+3sin3x−⋯)
(2) 짝함수이므로 bn=0입니다.
a0=π2∫0πx2dx=π2⋅3π3=32π2
an=π2∫0πx2cosnxdx
부분적분을 두 번 하면 an=n24(−1)n입니다.
x2=3π2+4n=1∑∞n2(−1)ncosnx
(3) x=π를 넣습니다. cosnπ=(−1)n이므로 (−1)ncosnπ=(−1)2n=1입니다.
π2=3π2+4n=1∑∞n21
정리하면
n=1∑∞n21=41(π2−3π2)=6π2
입니다. 54강에서 값만 적고 미뤄 둔 바젤 문제가 여기서 풀렸습니다.
이 문제에서 배우는 것: 급수의 합을 얻는 통로.
푸리에 급수는 파형을 분석하는 도구인데, 뜻밖에도 수 급수의 합을 구하는 통로가 됩니다. 방법은 두 가지입니다.
| 방법 |
하는 일 |
| 특정 x 대입 |
삼각함수가 구체적 값이 되어 수 급수가 나옵니다 |
| 파스발 항등식 |
계수의 제곱합이 함수의 제곱적분과 같습니다 |
첫 번째를 (3)에서 썼습니다. 다른 값을 넣으면 다른 급수가 나옵니다. x=0을 넣으면
0=3π2+4∑n2(−1)n⟹n=1∑∞n2(−1)n−1=12π2
입니다. 두 번째 방법은 문제 5에서 다룹니다.
바젤 문제는 17세기부터 미해결이었고 1735년에 오일러가 처음 풀었습니다. 오일러의 방법은 xsinx를 무한곱으로 전개하는 것이었는데 당시로서는 엄밀하지 않았습니다. 푸리에 급수를 쓰면 위와 같이 몇 줄에 얻어집니다.
바로 확인 3.
확인 3-1. 톱니파의 급수에 x=2π를 넣으면 무엇이 나옵니까?
답. 2π=2(1−31+51−⋯)이므로 4π=1−31+51−⋯입니다. 55강 문제 13과 같습니다.
확인 3-2. x2의 급수에서 a0의 값을 쓰세요.
답. 32π2이며 상수항은 그 절반인 3π2입니다.
확인 3-3. 푸리에 급수로 수 급수의 합을 얻는 두 방법을 쓰세요.
답. 특정 x를 대입하는 방법과 파스발 항등식을 쓰는 방법입니다.
문제. 구형파의 푸리에 급수를 봅니다.
(1) x=0에서 급수의 값은 얼마입니까? 함숫값과 비교하세요.
(2) 부분합을 계산해 불연속점 근처에서 무슨 일이 일어나는지 보세요.
(3) 수렴을 보장하는 조건을 정리하세요.
생각의 실마리. (1)은 계산이 쉽습니다. sin0=0이므로 모든 항이 0입니다. 그런데 함수는 x=0에서 뛰어오릅니다. (2)에서는 부분합의 그래프가 도약 근처에서 어떻게 행동하는지가 관건입니다. 56강에서 테일러 급수가 원함수와 다를 수 있었던 것과는 다른 종류의 현상입니다.
풀이. (1) 모든 항이 sin(n⋅0)=0이므로 급수의 값은 0입니다.
한편 함수는 x=0에서 왼쪽 극한이 −1이고 오른쪽 극한이 1입니다. 급수가 그 중간값 0으로 수렴합니다. 우연이 아니며 (3)의 정리가 설명합니다.
(2) 항 N개까지 더한 부분합을 계산하면, x=2π처럼 매끄러운 곳에서는 N이 커질수록 1에 다가갑니다. N=11에서 0.947, N=101에서 1.006, N=1001에서 1.0006입니다.
그런데 x=0 바로 오른쪽에서는 다릅니다. 부분합의 최댓값이 N을 아무리 키워도 약 1.179에 머뭅니다. N=21에서 1.1797, N=501에서 1.17898입니다. 1을 약 18% 초과하며 그 초과가 사라지지 않습니다.
봉우리의 위치는 x=0 쪽으로 다가가지만 높이는 줄지 않습니다. 이를 깁스 현상이라 하며 심화 2에서 다룹니다.
(3) 조건을 정리합니다.
이 문제에서 배우는 것: 디리클레 수렴 정리.
디리클레 정리. f가 주기 2π이고 조각별로 매끄러우면(유한개의 점을 빼고 미분가능하고 그 도함수가 조각별로 연속), 각 점 x에서 푸리에 급수가
2f(x+)+f(x−)
로 수렴합니다.
이 정리를 읽으면 여러 사실이 따라옵니다.
| 상황 |
급수가 수렴하는 값 |
| f가 x에서 연속 |
f(x) |
| f가 x에서 도약 |
좌우 극한의 중점 |
연속인 곳에서는 함수 그대로이고 불연속인 곳에서는 중점입니다. (1)에서 0이 나온 것이 이 규칙입니다.
56강의 테일러와 비교하면 성격이 크게 다릅니다.
|
테일러 급수 |
푸리에 급수 |
| 요구 조건 |
무한번 미분가능 |
조각별로 매끄러움 |
| 그래도 실패 |
e−1/x2 |
조건 아래서는 실패 없음 |
| 불연속 함수 |
다룰 수 없습니다 |
다룰 수 있습니다 |
| 유효 범위 |
수렴반경 안 |
전 구간 |
푸리에 쪽의 조건이 훨씬 약합니다. 미분가능성을 요구하지 않고 도약이 있어도 됩니다. 구형파는 미분이 안 되는 점이 있는데도 급수가 잘 작동합니다. 실제 신호는 매끄럽지 않은 경우가 많으므로 이 차이가 실용적으로 결정적입니다.
바로 확인 4.
확인 4-1. 구형파의 급수가 x=π에서 어떤 값으로 수렴합니까?
답. sinnπ=0이므로 0이고, 좌우 극한 1과 −1의 중점과 일치합니다.
확인 4-2. 디리클레 정리가 요구하는 조건을 쓰세요.
답. 주기함수이고 조각별로 매끄러워야 합니다.
확인 4-3. 푸리에가 테일러보다 조건이 약한 점을 쓰세요.
답. 미분가능성을 요구하지 않고 불연속 함수도 다룰 수 있습니다.
문제. 다음을 조사합니다.
(1) π1∫−ππ∣f∣2dx를 계수로 나타내세요.
(2) 톱니파에 적용해 ∑n21을 구하세요.
(3) 구형파에 적용하면 무엇이 나옵니까?
생각의 실마리. (1)에서 f를 급수로 바꿔 제곱하면 항들의 곱이 무수히 많이 나옵니다. 그런데 직교성 덕분에 서로 다른 항의 곱은 적분에서 사라집니다. 같은 항끼리의 곱만 남습니다. 벡터에서 ∣v∣2=∑vi2이었던 것과 같은 구조입니다.
풀이. (1) f=2a0+∑(ancosnx+bnsinnx)를 제곱하고 적분합니다. 교차항은 직교성으로 모두 사라지고 제곱항만 남습니다.
π1∫−ππf2dx=2a02+n=1∑∞(an2+bn2)
이것이 파스발 항등식입니다.
(2) 톱니파는 an=0이고 bn=n2(−1)n+1입니다. 왼쪽을 계산하면
π1∫−ππx2dx=π1⋅32π3=32π2
오른쪽은
n=1∑∞n24
입니다. 같다고 두면
n=1∑∞n21=41⋅32π2=6π2
문제 3의 (3)과 같은 답을 다른 경로로 얻었습니다.
(3) 구형파는 ∣f∣=1이므로 왼쪽이 π1⋅2π=2입니다. 오른쪽은 홀수 n에 대해 bn=nπ4이므로
n 홀수∑n2π216=2⟹n 홀수∑n21=8π2
입니다.
이 문제에서 배우는 것: 파스발 항등식.
파스발 항등식. f가 제곱적분가능하면
π1∫−ππ∣f∣2dx=2a02+n=1∑∞(an2+bn2)=2n=−∞∑∞∣cn∣2
입니다.
이 등식이 말하는 바를 물리적으로 읽으면 이렇습니다. 왼쪽이 신호의 전체 에너지이고 오른쪽이 각 진동수 성분의 에너지 합입니다. 에너지가 진동수별로 나뉘어 보존됩니다.
기하학적으로는 피타고라스 정리의 무한차원 판입니다. 직교하는 축으로 분해했을 때 벡터의 길이 제곱이 성분 제곱의 합이라는 것인데, 축이 무한히 많아졌을 뿐입니다.
∣v∣2=i∑vi2⟷∥f∥2=n∑∣cn∣2
이 대응이 79강 이후 내적공간에서 정식으로 다뤄집니다.
파스발이 급수의 합을 주는 도구가 되는 이유도 분명합니다. 왼쪽은 계산하기 쉬운 정적분이고 오른쪽은 구하려는 급수이기 때문입니다. 서로 다른 함수를 넣으면 서로 다른 급수를 얻습니다.
| 함수 |
얻는 급수 |
| 톱니파 x |
\displaystyle\sum\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}} |
| 구형파 |
\displaystyle\sum_{n\ \text{홀수}}\frac{1}{n^{2}}=\frac{\pi^{2}} |
| x^ |
\displaystyle\sum\frac{1}{n^{4}}=\frac{\pi^{4}} |
마지막 줄은 심화 3에서 계산합니다.
파스발의 한 가지 따름 정리도 기억해 둘 값이 있습니다. 왼쪽이 유한하면 오른쪽도 유한하므로 계수가 0으로 가야 합니다.
an→0,bn→0
이를 리만-르베그 보조정리라 하며, 60강의 푸리에 변환에서 다시 나타납니다.
바로 확인 5.
확인 5-1. 파스발 항등식의 물리적 의미를 쓰세요.
답. 신호의 전체 에너지가 진동수별 성분의 에너지 합과 같다는 뜻입니다.
확인 5-2. 구형파에 파스발을 적용하면 어떤 급수가 나옵니까?
답. 홀수의 제곱의 역수 합이 8π2입니다.
확인 5-3. 파스발에서 푸리에 계수가 0으로 가야 하는 이유를 쓰세요.
답. 계수의 제곱합이 수렴하므로 항이 0으로 가야 하기 때문입니다.
| 개념 |
식 |
| 복소형 급수 |
f=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^ |
| 복소 계수 |
cn=2π1∫−ππf(x)e−inxdx |
| 실수형 급수 |
f=2a0+∑(ancosnx+bnsinnx) |
| 실수 계수 |
an=π1∫−ππfcosnxdx, bn=π1∫−ππfsinnxdx |
| 직교성 |
\dfrac{1}{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}e^{inx}\overline{e^{imx}}dx=\delta_ |
| 파스발 |
π1∫−ππf2=2a02+∑(an2+bn2) |
| 대칭 |
결과 |
| 짝함수 |
bn=0 |
| 홀함수 |
an=0 |
| 기억할 급수 |
값 |
| 구형파 |
\dfrac4\pi\displaystyle\sum_{n\ \text{홀수}}\frac{\sin nx} |
| 톱니파 x |
2\displaystyle\sum_{n\ge 1}\frac{(-1)^{n+1}\sin nx} |
| x^ |
3π2+4n≥1∑n2(−1)ncosnx |
| 얻어지는 값 |
|
| ∑n21 |
\dfrac{\pi^{2}} |
| ∑n2(−1)n−1 |
\dfrac{\pi^{2}} |
| n 홀수∑n21 |
\dfrac{\pi^{2}} |
| ∑n41 |
\dfrac{\pi^{4}} |
| 자주 하는 실수 |
바로잡기 |
| 대칭성을 안 보고 다 계산합니다 |
짝·홀을 먼저 확인합니다 |
| 불연속점에서 함숫값으로 수렴한다고 여깁니다 |
좌우 극한의 중점입니다 |
| 깁스 초과가 사라진다고 여깁니다 |
위치만 옮기고 높이는 남습니다 |
| a0의 21을 빠뜨립니다 |
상수항은 평균값입니다 |
문제 6. ∫−ππsin3xsin3xdx를 구하세요.
답. 같은 진동수이므로 π입니다.
문제 7. ∫−ππcos2xsin2xdx를 구하세요.
답. cos과 sin은 언제나 직교하므로 0입니다.
문제 8. f(x)=∣x∣ (−π<x<π)의 급수에 사인 항이 있습니까?
답. 짝함수이므로 없습니다. 코사인 항만 있습니다.
문제 9. 구형파의 b5를 구하세요.
답. 5π4≈0.2546입니다.
문제 10. 구형파의 b4를 구하세요.
답. 짝수이므로 0입니다.
문제 11. 톱니파의 b2를 구하세요.
답. 22(−1)3=−1입니다.
문제 12. f가 x=a에서 왼쪽 극한 3, 오른쪽 극한 7일 때 급수가 수렴하는 값을 구하세요.
답. 중점인 5입니다.
문제 13. x2의 급수에 x=0을 넣으면 무엇이 나옵니까?
답. 0=3π2+4∑n2(−1)n에서 ∑n2(−1)n−1=12π2입니다.
문제 14. 파스발 항등식을 복소형으로 쓰세요.
답. 2π1∫−ππ∣f∣2dx=n=−∞∑∞∣cn∣2입니다.
문제 15. 리만-르베그 보조정리를 쓰고 근거를 말하세요.
답. 푸리에 계수가 0으로 수렴합니다. 파스발에서 계수의 제곱합이 수렴하기 때문입니다.
문제 16. 푸리에 급수와 테일러 급수의 요구 조건을 비교하세요.
답. 테일러는 무한번 미분가능해야 하고 푸리에는 조각별로 매끄럽기만 하면 됩니다.
문제 17. 직교성이 계수 추출에서 하는 역할을 쓰세요.
답. 다른 진동수 항의 적분이 0이 되어 원하는 항 하나만 남깁니다.
문제 18. f가 실함수일 때 cn과 c−n의 관계를 쓰세요.
답. c−n=cn입니다.
심화 1. 복소형과 실수형 푸리에 급수가 같음을 오일러 공식으로 보이세요.
풀이. 복소형에서 출발합니다.
n=−∞∑∞cneinx=c0+n=1∑∞(cneinx+c−ne−inx)
오일러 공식으로 지수를 풀면
cneinx+c−ne−inx=(cn+c−n)cosnx+i(cn−c−n)sinnx
입니다. 따라서
an=cn+c−n,bn=i(cn−c−n)
이고 거꾸로 풀면
cn=2an−ibn,c−n=2an+ibn
입니다.
f가 실함수이면 추가 정보가 나옵니다. cn의 정의에서
cn=2π1∫−ππf(x)einxdx=2π1∫−ππf(x)einxdx=c−n
입니다. 켤레 대칭성이며, 이 조건이 an과 bn이 실수임을 보장합니다.
두 형태를 언제 쓰는지 정리합니다.
|
복소형 |
실수형 |
| 식의 간결함 |
하나의 공식 |
두 개의 공식 |
| 계산 |
지수라 쉽습니다 |
삼각이라 번거롭습니다 |
| 결과 해석 |
크기와 위상 |
진폭이 바로 보입니다 |
| 이론 전개 |
유리합니다 |
|
∣cn∣이 진폭이고 argcn이 위상이라는 점이 복소형의 큰 장점입니다. 58강에서 극형식이 크기와 편각을 분리한 것이 여기서 신호의 세기와 시간 지연으로 해석됩니다.
심화 2. 깁스 현상을 정량적으로 다루고 초과량이 사라지지 않는 이유를 설명하세요.
풀이. 구형파의 부분합을 봅니다.
SN(x)=π4k 홀수, k≤N∑ksinkx
SN의 최댓값이 어디인지 찾습니다. 미분하면
SN′(x)=π4k 홀수∑coskx
인데 58강 문제 4의 방법으로 합을 닫힌 형태로 만들면 πsinx2sin2Mx 꼴이 됩니다(N=2M−1). 첫 번째 영점은 x=2Mπ이고 거기가 최댓값입니다.
그 점에서의 값을 계산합니다. x=2Mπ을 넣고 M→∞의 극한을 취하면 합이 리만합이 되어 적분으로 바뀝니다.
M→∞limSN(2Mπ)=π2∫0πtsintdt=π2Si(π)
Si(π)=1.8519370…이므로(56강 심화 4의 급수로 계산됩니다)
π2Si(π)=1.1789797…
입니다. 참값 1을 약 17.9% 초과합니다. 도약의 크기가 2이므로 도약 대비로는 약 9%입니다.
검산에서 N=21에 1.17967, N=501에 1.17898로 이 값에 수렴합니다.
왜 사라지지 않는지가 핵심입니다. 봉우리의 위치는 x=2Mπ→0으로 도약점에 다가갑니다. 그런데 높이는 위의 극한값으로 고정됩니다. 즉
| 양 |
N→∞에서 |
| 봉우리 위치 |
0으로 다가갑니다 |
| 봉우리 높이 |
1.17898로 고정됩니다 |
| 봉우리 폭 |
0으로 줄어듭니다 |
넓이는 0으로 가지만 높이는 남습니다. 그래서 각 점에서의 수렴(디리클레 정리)은 성립하는데 균등수렴은 아닙니다. 55강 심화 2에서 균등수렴이 항별 연산의 근거라고 했는데, 여기서는 그 조건이 깨집니다.
실용적 함의가 큽니다. 신호를 유한한 진동수까지만 써서 복원하면 도약 근처에서 반드시 링잉이 나타납니다. 이미지 압축에서 경계 주변에 생기는 물결무늬가 같은 현상이며, 실제로 창 함수를 곱해 이 효과를 줄이는 기법이 쓰입니다.
심화 3. x2의 푸리에 급수에 파스발을 적용해 ∑n41=90π4을 유도하세요.
풀이. 문제 3에서 a0=32π2, an=n24(−1)n, bn=0을 얻었습니다.
파스발의 왼쪽을 계산합니다.
π1∫−ππx4dx=π1⋅52π5=52π4
오른쪽은
2a02+n=1∑∞an2=21⋅94π4+n=1∑∞n416=92π4+16n=1∑∞n41
같다고 두면
16n=1∑∞n41=52π4−92π4=2π4⋅459−5=458π4
이므로
n=1∑∞n41=90π4
입니다.
같은 함수에서 두 가지 급수가 나왔습니다. 문제 3에서 x=π를 대입해 6π2을 얻었고, 여기서 파스발로 90π4을 얻었습니다. 대입은 계수의 일차식을 주고 파스발은 제곱합을 줍니다.
이 방법을 반복하면 ζ(2k)를 모두 얻을 수 있습니다. ζ는 리만 제타함수 ∑ns1이며, 짝수에서의 값이 언제나 π2k의 유리수배임이 알려져 있습니다.
| s |
ζ(s) |
| 2 |
\dfrac{\pi^{2}} |
| 4 |
\dfrac{\pi^{4}} |
| 6 |
\dfrac{\pi^{6}} |
홀수에서는 사정이 전혀 다릅니다. ζ(3)=1.2020569…는 무리수임이 1978년에 증명되었지만 닫힌 형태는 아직 알려지지 않았습니다. ζ(5) 이상은 무리수인지조차 미해결입니다.
심화 4. 58강 문제 4에서 나온 sin(θ/2)sin(nθ/2) 꼴이 푸리에 급수의 부분합에서 어떻게 등장하는지 밝히세요.
풀이. 복소형 부분합을 계수의 정의로 되돌립니다.
SN(x)=n=−N∑Ncneinx=n=−N∑N(2π1∫−ππf(t)e−intdt)einx
합과 적분의 순서를 바꾸면(유한합이므로 문제없습니다)
SN(x)=2π1∫−ππf(t)(n=−N∑Nein(x−t))dt
괄호 안이 등비급수입니다. 58강 문제 4의 계산을 대칭 구간에 맞게 하면
DN(u)=n=−N∑Neinu=sin(u/2)sin((N+21)u)
입니다. 이를 디리클레 핵이라 합니다. 따라서
SN(x)=2π1∫−ππf(t)DN(x−t)dt
입니다.
이 식의 모양이 중요합니다. 두 함수의 곱을 하나를 뒤집어 이동시키며 적분하는 형태인데, 이것이 61강의 합성곱입니다. 푸리에 급수의 부분합이 원래 함수와 디리클레 핵의 합성곱으로 표현됩니다.
DN의 성질을 봅니다.
| 성질 |
내용 |
| 전체 적분 |
2π1∫−ππDN=1 |
| u=0에서 값 |
2N+1로 커집니다 |
| 진동 |
부호를 바꾸며 흔들립니다 |
N이 커질수록 u=0에 뾰족하게 몰리지만 진동이 남습니다. 절댓값의 적분이 lnN처럼 커지는데, 이것이 깁스 현상과 푸리에 급수의 여러 난점의 원인입니다. 진동이 없는 다른 핵(페예르 핵)을 쓰면 깁스 현상이 사라진다는 사실이 알려져 있습니다.
디리클레 핵은 60강에서 푸리에 변환의 극한을 취할 때 다시 나타나며, 그때 델타 함수라는 개념으로 이어집니다.
심화 5. 푸리에 급수를 항별로 미분하고 적분할 수 있는 조건을 정리하세요.
풀이. 55강에서 멱급수는 수렴구간 내부에서 항별 연산이 자유로웠습니다. 푸리에 급수에서는 사정이 다릅니다.
적분은 관대합니다. 계수가 n으로 나뉘어 작아지므로 수렴이 좋아집니다.
∫0xf(t)dt=2a0x+n=1∑∞(nansinnx+nbn(1−cosnx))
f가 적분가능하기만 하면 이 등식이 성립합니다.
미분은 까다롭습니다. 계수에 n이 곱해져 커지므로 수렴이 나빠집니다.
f′(x) 의 급수 ∼ n=1∑∞n(−ansinnx+bncosnx)
이 급수가 수렴하려면 nan과 nbn이 충분히 빨리 0으로 가야 합니다.
구형파로 확인해 봅니다. bn=nπ4(홀수)이므로 미분한 급수의 계수는 nbn=π4로 0으로 가지 않습니다. 리만-르베그 보조정리에 어긋나므로 그 급수는 어떤 함수의 푸리에 급수도 아닙니다. 실제로 구형파의 도함수는 도약점에서 함수로 정의되지 않습니다.
조건을 정리합니다.
| 연산 |
조건 |
| 항별 적분 |
f가 적분가능하면 언제나 |
| 항별 미분 |
f가 연속이고 f′이 조각별로 매끄러워야 합니다 |
f의 연속성이 결정적입니다. 도약이 있으면 미분한 급수가 무너집니다.
계수의 감소 속도와 매끄러움의 관계도 일반적으로 성립합니다.
| f의 매끄러움 |
계수의 크기 |
| 도약 있음 |
n1 정도 |
| 연속이지만 꺾임 |
n21 정도 |
| C^ |
nk+11 정도 |
| 해석적 |
지수적으로 감소 |
매끄러울수록 고주파 성분이 빨리 죽습니다. 이 대응이 신호처리의 기본 직관이며, 60강에서 푸리에 변환으로 옮겨도 그대로 유지됩니다.
심화 6. 테일러 급수와 푸리에 급수를 여러 축에서 비교하고, 각각 어떤 상황에 맞는지 정리하세요.
풀이. 두 급수 모두 함수를 기본 함수들의 합으로 분해합니다. 그런데 성격이 크게 다릅니다.
| 축 |
테일러 |
푸리에 |
| 재료 |
(x-c)^ |
einx 또는 cosnx,sinnx |
| 계수 추출 |
미분 |
적분 |
| 쓰는 정보 |
한 점의 도함수 |
전 구간의 값 |
| 요구 조건 |
무한번 미분가능 |
조각별로 매끄러움 |
| 유효 범위 |
수렴반경 안 |
전 구간 |
| 불연속 |
다룰 수 없습니다 |
다룰 수 있습니다 |
| 국소 정확도 |
중심 근처에서 매우 높습니다 |
고르게 퍼집니다 |
| 근사 성격 |
국소적 |
전역적 |
세 번째 줄이 가장 근본적인 차이입니다. 테일러는 한 점의 정보만 쓰므로 그 점에서 완벽하지만 멀어지면 나빠집니다. 푸리에는 전 구간을 적분해 정보를 모으므로 어느 한 점에서 특별히 정확하지는 않지만 전체적으로 고릅니다.
그래서 쓰임이 갈립니다.
| 상황 |
맞는 도구 |
| 한 점 근처의 거동 |
테일러 |
| 오차 한계 계산 |
테일러(57강) |
| 주기적인 신호 |
푸리에 |
| 불연속이 있는 함수 |
푸리에 |
| 진동수 성분 분석 |
푸리에 |
| 미분방정식의 국소해 |
테일러(56강 심화 6) |
56강 심화 4에서 e−x2을 테일러로 적분한 것과 이 강의에서 구형파를 푸리에로 분해한 것을 나란히 놓으면 차이가 분명합니다. 앞은 매끄러운 함수의 국소 근사이고 뒤는 거친 함수의 전역 분해입니다.
이 커리큘럼에서 두 도구가 각각 어디로 이어지는지도 정리해 둡니다.
|
이어지는 곳 |
| 테일러 |
57강 오차 평가, 112강 뉴턴법, 219강 최적화의 국소 근사 |
| 푸리에 |
60강 변환, 143강 특성함수, 248강 합성곱, 410강 스펙트로그램 |
두 관점이 경쟁하는 것이 아니라 서로 다른 질문에 답합니다. 어느 것을 쓸지는 문제가 국소적인지 전역적인지, 대상이 매끄러운지 진동하는지로 정해집니다.
이 강의에서는 numpy만 씁니다. 푸리에 급수는 검산이 명확합니다. 계수를 수치적분으로 구해 이론값과 비교하고, 부분합을 계산해 수렴을 관찰합니다.
import numpy as np
def mid(f, a, b, N=400000):
"""중점법칙으로 정적분을 근사합니다."""
x = np.linspace(a, b, N + 1)
return np.sum(f(0.5*(x[:-1] + x[1:])), axis=-1)*(b - a)/N
# --- 문제 1: 직교성 -----------------------------------------------------
for n, m in [(1, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 5)]:
v = complex(mid(lambda t: np.exp(1j*n*t)*np.exp(-1j*m*t), -np.pi, np.pi))
print(n, m, "%.6f%+.6fj" % (v.real, v.imag))
print("2pi =", round(2*np.pi, 6))
# 1 1 6.283185-0.000000j
# 1 2 0.000000-0.000000j
# 3 3 6.283185+0.000000j
# 2 5 0.000000+0.000000j
# 2pi = 6.283185
# --- 문제 2: 구형파의 계수 ----------------------------------------------
sq = lambda t: np.sign(np.sin(t))
for n in [1, 2, 3, 4, 5]:
b = mid(lambda t, n=n: sq(t)*np.sin(n*t), -np.pi, np.pi)/np.pi
print(n, "%.8f" % float(b), "%.8f" % (4/(n*np.pi) if n % 2 else 0.0))
# 1 1.27323954 1.27323954
# 2 -0.00000000 0.00000000
# 3 0.42441318 0.42441318
# 4 0.00000000 0.00000000
# 5 0.25464791 0.25464791
# --- 문제 4: 불연속점에서는 중점으로 수렴합니다 --------------------------
def sqpart(x, N):
k = np.arange(1, N + 1, 2)
return float(4/np.pi*np.sum(np.sin(k*x)/k))
for N in [11, 101, 1001]:
print(N, "%.8f %.8f %.8f" % (sqpart(0.0, N), sqpart(np.pi/2, N), sqpart(1.0, N)))
# 11 0.00000000 0.94730492 0.94915438
# 101 0.00000000 1.00624077 0.99920023
# 1001 0.00000000 1.00063535 1.00074433
# --- 심화 2: 깁스 현상은 높이가 줄지 않습니다 ---------------------------
for N in [21, 101, 501]:
k = np.arange(1, N + 1, 2)
xs = np.linspace(1e-4, 3*np.pi/N, 4000)
vals = np.array([4/np.pi*np.sum(np.sin(k*x)/k) for x in xs])
print(N, "%.8f" % float(vals.max()))
print("이론값 (2/pi)Si(pi) = %.8f" % (2/np.pi*1.8519370))
# 21 1.17966907
# 101 1.17901178
# 501 1.17898106
# 이론값 (2/pi)Si(pi) = 1.17897971
# --- 문제 5, 심화 3: 파스발 --------------------------------------------
lhs = float(mid(lambda t: t**2, -np.pi, np.pi))/np.pi # 톱니파
n = np.arange(1.0, 200001.0)
print("%.8f %.8f %.8f" % (lhs, float(np.sum((2.0/n)**2)), 2*np.pi**2/3))
# 6.57973627 6.57971627 6.57973627
lhs2 = float(mid(lambda t: sq(t)**2, -np.pi, np.pi))/np.pi # 구형파
k = np.arange(1.0, 400001.0, 2.0)
print("%.8f %.8f" % (lhs2, float(np.sum((4/(k*np.pi))**2))))
# 2.00000000 1.99999797
# --- 바젤 문제와 그 사촌 -------------------------------------------------
m = np.arange(1.0, 2000001.0)
print("%.8f %.8f" % (float(np.sum(1.0/m**2)), np.pi**2/6))
print("%.8f %.8f" % (float(np.sum(1.0/m**4)), np.pi**4/90))
# 1.64493357 1.64493407
# 1.08232323 1.08232323
실행하면 주석과 같은 값이 나옵니다. 다섯 곳을 짚어 둡니다.
첫째, 직교성이 정확히 확인됩니다. n=m이면 2π=6.283185이고 n=m이면 0입니다. 계수 추출의 근거가 숫자로 보입니다.
둘째, 구형파의 계수가 이론값과 소수 여덟 자리까지 일치합니다. 짝수 n에서 0이 나오는 것도 확인됩니다. 홀함수라 an을 계산할 필요가 없다는 판단이 옳았습니다.
셋째, 부분합이 x=0에서 항상 정확히 0입니다. 좌우 극한 −1과 1의 중점이며 디리클레 정리 그대로입니다. x=2π와 x=1에서는 N이 커질수록 1에 다가갑니다.
넷째, 깁스 현상이 이 강의에서 가장 인상적인 출력입니다. 부분합의 최댓값이 N=21에서 1.17967, N=501에서 1.17898로 줄어들지 않고 이론값 1.17898에 수렴합니다. 항을 아무리 더해도 18% 초과가 사라지지 않습니다. 봉우리가 도약점으로 다가가며 좁아질 뿐 낮아지지 않습니다.
다섯째, 파스발이 두 파형에서 모두 성립합니다. 톱니파에서 6.5797이 양쪽에 나오고 구형파에서 2가 나옵니다. 이 등식에서 6π2과 8π2이 유도됩니다. 마지막 두 줄에서 ζ(2)와 ζ(4)가 이론값과 맞는 것도 확인됩니다.
코드로 할 수 없는 일도 분명히 해 둡니다. 수치적분은 계수가 맞는지 확인해 줄 뿐 급수가 함수로 수렴함을 증명하지 못합니다. 디리클레 정리가 그 보장을 하며, 깁스 현상처럼 "각 점에서는 수렴하는데 균등하지는 않은" 미묘한 상황은 유한한 계산으로 구별하기 어렵습니다.
- 삼각함수계의 직교성을 식으로 쓰세요.
- 복소 푸리에 계수의 공식을 쓰세요.
- 실수 푸리에 계수의 공식을 쓰세요.
- 짝함수와 홀함수에서 각각 어떤 계수가 사라집니까?
- 디리클레 정리를 쓰고 불연속점에서 어디로 수렴하는지 말하세요.
- 깁스 현상이란 무엇이며 왜 사라지지 않습니까?
- 파스발 항등식을 쓰고 물리적 의미를 말하세요.
- 파스발로 ∑n21을 얻는 과정을 요약하세요.
- 리만-르베그 보조정리를 쓰세요.
- 테일러와 푸리에의 가장 근본적인 차이를 한 문장으로 쓰세요.
정답.
- 2π1∫−ππeinxeimxdx=δnm입니다.
- cn=2π1∫−ππf(x)e−inxdx입니다.
- an=π1∫fcosnx, bn=π1∫fsinnx입니다.
- 짝함수는 bn이, 홀함수는 an이 사라집니다.
- 조각별로 매끄러우면 좌우 극한의 중점으로 수렴합니다.
- 도약 근처에서 부분합이 약 18% 초과하는 현상입니다. 봉우리가 좁아지며 도약점으로 다가갈 뿐 높이가 줄지 않기 때문입니다.
- π1∫f2=2a02+∑(an2+bn2)이며 신호의 에너지가 진동수별로 나뉘어 보존된다는 뜻입니다.
- 톱니파에 적용해 왼쪽 32π2과 오른쪽 ∑n24을 같다고 두면 나옵니다.
- 푸리에 계수가 0으로 수렴합니다.
- 테일러는 한 점의 도함수를 쓰고 푸리에는 전 구간의 적분을 씁니다.
| 기호 |
읽는 법 |
뜻 |
| c_ |
복소 푸리에 계수 |
2π1∫fe−inx입니다 |
| an, b_ |
실수 푸리에 계수 |
코사인·사인 성분의 진폭입니다 |
| \delta_ |
크로네커 델타 |
n=m이면 1, 아니면 0입니다 |
| ⟨f,g⟩ |
함수의 내적 |
2π1∫fgˉ입니다 |
| 직교성 |
orthogonality |
서로 다른 진동수의 내적이 0입니다 |
| 디리클레 정리 |
Dirichlet |
조각별 매끄러움에서 중점 수렴입니다 |
| 깁스 현상 |
Gibbs phenomenon |
도약 근처의 약 18% 초과입니다 |
| 파스발 항등식 |
Parseval |
에너지가 진동수별로 보존됩니다 |
| D_ |
디리클레 핵 |
부분합을 합성곱으로 적을 때의 핵입니다 |
| ζ(s) |
리만 제타함수 |
∑ns1입니다 |
다음 60강에서는 주기 조건을 없앱니다. 푸리에 급수는 주기함수만 다룰 수 있는데, 주기를 무한대로 보내면 진동수가 촘촘해져 합이 적분으로 바뀝니다. 그렇게 얻는 것이 푸리에 변환이며, 주기가 없는 일반 함수도 진동수로 분해할 수 있게 됩니다. 심화 4에서 본 디리클레 핵이 그 극한에서 델타 함수로 이어집니다.