59강의 푸리에 급수에는 제약이 하나 있습니다. 주기함수만 다룰 수 있습니다.
그런데 현실의 신호 대부분은 주기적이지 않습니다. 한 번 울린 소리, 한 번 지나간 충격, 한 번 찍힌 이미지는 반복되지 않습니다. 이런 것들도 진동수로 분해하고 싶습니다.
방법은 뜻밖에 단순합니다. 주기를 무한대로 보냅니다. 주기가 2 L 2 L n π L L n π L L 합이 적분으로 바뀝니다.
∑ n c n e i k n x ⟶ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( k ) e i k x d k n ∑ c n e i k n x ⟶ 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ F ( k ) e i k x d k
그렇게 얻는 F F 푸리에 변환 입니다. 함수를 진동수의 함수로 바꾸는 사전이며, 원래 함수와 완전히 같은 정보를 담고 있습니다.
이 변환이 이 커리큘럼에서 차지하는 자리가 대단히 큽니다. 143강의 특성함수는 확률분포의 푸리에 변환이고, 248강의 합성곱 신경망, 384강의 확산 모형, 410강의 스펙트로그램이 모두 이 도구 위에 있습니다. 미분이 곱셈이 되는 성질 때문에 미분방정식이 대수방정식으로 바뀌는 것도 여기서 나옵니다.
푸리에 급수의 극한으로 변환을 유도할 수 있습니다.
상자함수와 가우스함수의 변환을 계산할 수 있습니다.
이동, 스케일, 미분에 대한 변환 성질을 쓸 수 있습니다.
시간과 진동수를 동시에 좁힐 수 없음을 설명할 수 있습니다.
플랑슈렐 정리로 에너지 보존을 확인할 수 있습니다.
문제. 주기가 2 L 2 L k n k n Δ k Δ k c n c n Δ k Δ k L → ∞ L → ∞
생각의 실마리. 59강의 공식을 주기 2 π 2 π 2 L 2 L x x π x L L π x 리만합의 모양 이 되는 것을 알아채는 것이 핵심입니다. 48강에서 리만합의 극한이 적분이었습니다.
풀이. (1) 주기가 2 L 2 L π L L π
k n = n π L , Δ k = k n + 1 − k n = π L k n = L n π , Δ k = k n + 1 − k n = L π
입니다. L L
(2) 59강의 계수 공식을 주기 2 L 2 L
c n = 1 2 L ∫ − L L f ( x ) e − i k n x d x c n = 2 L 1 ∫ − L L f ( x ) e − i k n x d x
입니다. 1 2 L = Δ k 2 π 2 L 1 = 2 π Δ k
c n = Δ k 2 π ∫ − L L f ( x ) e − i k n x d x c n = 2 π Δ k ∫ − L L f ( x ) e − i k n x d x
로 쓸 수 있습니다. 적분 부분을 F L ( k n ) F L ( k n ) c n = Δ k 2 π F L ( k n ) c n = 2 π Δ k F L ( k n )
(3) 급수에 넣습니다.
f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e i k n x = 1 2 π ∑ n = − ∞ ∞ F L ( k n ) e i k n x Δ k f ( x ) = n = − ∞ ∑ ∞ c n e i k n x = 2 π 1 n = − ∞ ∑ ∞ F L ( k n ) e i k n x Δ k
오른쪽이 정확히 리만합의 모양입니다. 값 곱하기 간격을 더하고 있습니다. L → ∞ L → ∞ Δ k → 0 Δ k → 0
f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( k ) e i k x d k , F ( k ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i k x d x f ( x ) = 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ F ( k ) e i k x d k , F ( k ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i k x d x
입니다.
이 문제에서 배우는 것: 푸리에 변환.
푸리에 변환과 역변환.
F ( k ) = F [ f ] ( k ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i k x d x F ( k ) = F [ f ] ( k ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i k x d x
f ( x ) = F − 1 [ F ] ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( k ) e i k x d k f ( x ) = F − 1 [ F ] ( x ) = 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ F ( k ) e i k x d k
급수와 변환의 대응을 표로 정리합니다.
푸리에 급수
푸리에 변환
대상
주기함수
일반 함수
진동수
이산 k_{n}=\frac{n\pi}
연속 k\in\mathbb
표현
합
적분
계수
c n c n F ( k ) F ( k )
조건
제곱적분가능
∫ ∣ f ∣ < ∞ ∫ ∣ f ∣ < ∞
**"계수가 수열에서 함수로 바뀐 것"**이 가장 큰 변화입니다. 59강에서 c n c n n n k k
1 2 π 2 π 1 1 2 π 2 π 1 e − 2 π i k x e − 2 π i k x 어느 관례를 쓰는지 확인하지 않으면 상수 인수가 틀립니다.
변환이 존재하려면 조건이 필요합니다. ∫ − ∞ ∞ ∣ f ∣ d x < ∞ ∫ − ∞ ∞ ∣ f ∣ d x < ∞
바로 확인 1.
확인 1-1. 주기가 2 L 2 L
답. Δ k = π L Δ k = L π L L 0 0
확인 1-2. 푸리에 변환의 정의식을 쓰세요.
답. F ( k ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i k x d x F ( k ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i k x d x
확인 1-3. 급수가 적분으로 바뀌는 과정에서 48강의 어떤 개념이 쓰입니까?
답. 리만합입니다. 값 곱하기 간격의 합이 간격이 0 0
문제. 다음의 푸리에 변환을 구하세요.f ( x ) = 1 f ( x ) = 1 ∣ x ∣ < a ∣ x ∣ < a 0 0 g ( x ) = e − x 2 / 2 g ( x ) = e − x 2 / 2
생각의 실마리. (1)은 적분 구간이 유한하므로 직접 계산됩니다. (2)는 지수의 지수가 이차식이라 까다로운데, 완전제곱을 만들어 가우스 적분(53강 심화 4)에 귀착시킵니다. (3)에서는 두 변환의 감소 속도를 비교합니다.
풀이. (1) 적분 구간이 [ − a , a ] [ − a , a ]
F ( k ) = ∫ − a a e − i k x d x = [ e − i k x − i k ] − a a = e − i k a − e i k a − i k = 2 sin a k k F ( k ) = ∫ − a a e − i k x d x = [ − i k e − i k x ] − a a = − i k e − i k a − e i k a = k 2 sin a k
오일러 공식으로 지수를 사인으로 바꿨습니다. k = 0 k = 0 F ( 0 ) = 2 a F ( 0 ) = 2 a
이 함수 sin a k k k sin a k 싱크함수 라 하며 56강 문제 3에서 이미 만났습니다.
(2) 지수를 합쳐 완전제곱을 만듭니다.
− x 2 2 − i k x = − 1 2 ( x 2 + 2 i k x ) = − 1 2 ( ( x + i k ) 2 + k 2 ) − 2 x 2 − i k x = − 2 1 ( x 2 + 2 i k x ) = − 2 1 ( ( x + i k ) 2 + k 2 )
따라서
G ( k ) = e − k 2 / 2 ∫ − ∞ ∞ e − ( x + i k ) 2 / 2 d x G ( k ) = e − k 2 / 2 ∫ − ∞ ∞ e − ( x + i k ) 2 / 2 d x
남은 적분은 복소평면에서 경로를 옮기는 논의가 필요한데, 결과는 실수축 위의 가우스 적분과 같은 2 π 2 π
G ( k ) = 2 π e − k 2 / 2 G ( k ) = 2 π e − k 2 / 2
가우스함수의 변환이 다시 가우스함수입니다.
(3) 감소 속도가 크게 다릅니다.
함수
변환
변환의 감소
상자함수
\dfrac{2\sin ak}
1 k k 1
가우스함수
2 π e − k 2 / 2 2 π e − k 2 / 2 지수적으로 빠릅니다
이 문제에서 배우는 것: 매끄러움과 감소의 대응.
두 예의 차이가 우연이 아닙니다. 59강 심화 5에서 푸리에 계수의 감소 속도가 함수의 매끄러움과 대응한다고 했는데, 변환에서도 같은 법칙이 성립합니다.
함수의 성질
변환의 감소
도약이 있음
1 k k 1
연속이지만 꺾임
1 k 2 k 2 1
C^
1 k k + 1 k k + 1 1
무한히 매끄럽고 빨리 줄어듦
지수적으로
상자함수는 x = ± a x = ± a 1 k k 1
가우스가 자기 자신으로 변환된다는 사실 은 이 강의에서 여러 번 쓰입니다. 129강의 정규분포가 확률에서 특별한 자리를 차지하는 이유 중 하나이고, 143강의 중심극한정리 증명에서도 이 성질이 핵심입니다.
기본 변환 쌍을 모아 둡니다.
f ( x ) f ( x ) F ( k ) F ( k )
상자함수(폭 2 a 2 a
\dfrac{2\sin ak}
e − x 2 / 2 e − x 2 / 2 2 π e − k 2 / 2 2 π e − k 2 / 2
e^
2 a a 2 + k 2 a 2 + k 2 2 a
1 1 + x 2 1 + x 2 1 \pi e^
세 번째와 네 번째가 서로 뒤집힌 관계인 것도 눈여겨보십시오. 변환을 두 번 하면 원래 함수가 뒤집혀 돌아옵니다.
바로 확인 2.
확인 2-1. 폭이 2 2 a = 1 a = 1 k = 0 k = 0
답. F ( 0 ) = 2 a = 2 F ( 0 ) = 2 a = 2
확인 2-2. e − x 2 e − x 2
답. π e − k 2 / 4 π e − k 2 / 4
확인 2-3. 변환의 감소가 느린 함수의 특징을 쓰세요.
답. 매끄럽지 않습니다. 도약이나 꺾임이 있으면 변환이 천천히 줄어듭니다.
문제. 다음 성질을 확인하세요.F [ f ( x − b ) ] ( k ) F [ f ( x − b ) ] ( k ) F [ f ( c x ) ] ( k ) F [ f ( c x ) ] ( k ) c > 0 c > 0 F [ f ′ ] ( k ) F [ f ′ ] ( k )
생각의 실마리. 세 경우 모두 정의에 넣고 치환하면 됩니다. (1)은 u = x − b u = x − b u = c x u = c x f f 0 0
풀이. (1) u = x − b u = x − b d x = d u d x = d u x = u + b x = u + b
∫ f ( x − b ) e − i k x d x = ∫ f ( u ) e − i k ( u + b ) d u = e − i k b F ( k ) ∫ f ( x − b ) e − i k x d x = ∫ f ( u ) e − i k ( u + b ) d u = e − i k b F ( k )
이동은 위상만 바꿉니다. 크기 ∣ F ( k ) ∣ ∣ F ( k ) ∣
(2) u = c x u = c x d x = d u c d x = c d u
∫ f ( c x ) e − i k x d x = 1 c ∫ f ( u ) e − i k u / c d u = 1 c F ( k c ) ∫ f ( c x ) e − i k x d x = c 1 ∫ f ( u ) e − i k u / c d u = c 1 F ( c k )
x x k k c > 1 c > 1
(3) 부분적분합니다. u = e − i k x u = e − i k x d v = f ′ d x d v = f ′ d x
∫ f ′ ( x ) e − i k x d x = [ f ( x ) e − i k x ] − ∞ ∞ + i k ∫ f ( x ) e − i k x d x ∫ f ′ ( x ) e − i k x d x = [ f ( x ) e − i k x ] − ∞ ∞ + i k ∫ f ( x ) e − i k x d x
f ( x ) → 0 f ( x ) → 0 x → ± ∞ x → ± ∞
F [ f ′ ] ( k ) = i k F ( k ) F [ f ′ ] ( k ) = i k F ( k )
입니다. 미분이 i k i k
이 문제에서 배우는 것: 변환의 성질표.
푸리에 변환의 기본 성질.
함수
변환
α f + β g α f + β g α F + β G α F + β G
f ( x − b ) f ( x − b ) e − i k b F ( k ) e − i k b F ( k )
e i a x f ( x ) e i a x f ( x ) F ( k − a ) F ( k − a )
f ( c x ) f ( c x ) 1 ∣ c ∣ F ( k c ) ∣ c ∣ 1 F ( c k )
f ′ ( x ) f ′ ( x ) i k F ( k ) i k F ( k )
f ( n ) ( x ) f ( n ) ( x ) ( i k ) n F ( k ) ( i k ) n F ( k )
x f ( x ) x f ( x ) i F ′ ( k ) i F ′ ( k )
두 번째와 세 번째가 짝을 이룹니다. 시간을 옮기면 진동수에서 위상이 돌고, 진동수를 옮기면 시간에서 진동이 곱해집니다. 라디오의 변조가 정확히 세 번째 줄입니다.
다섯 번째 줄이 이 변환을 강력하게 만듭니다.
미분이 곱셈이 됩니다.
미분방정식을 푸리에 변환하면 d d x d x d i k i k 미분방정식이 대수방정식이 됩니다. 풀고 나서 역변환하면 답이 나옵니다. 심화 5에서 실제로 해 봅니다.
네 번째 줄의 스케일 성질도 뒤에서 중요합니다. x x k k
마지막 줄은 미분 성질의 짝입니다. 시간에서 미분하면 진동수에서 곱셈이 되고, 시간에서 곱셈하면 진동수에서 미분이 됩니다. 두 세계가 서로를 거울처럼 비춥니다.
바로 확인 3.
확인 3-1. ∣ F [ f ( x − b ) ] ( k ) ∣ ∣ F [ f ( x − b ) ] ( k ) ∣ ∣ F ( k ) ∣ ∣ F ( k ) ∣
답. 같습니다. 이동은 위상만 바꾸고 크기는 바꾸지 않습니다.
확인 3-2. f ′ ′ f ′ ′
답. ( i k ) 2 F ( k ) = − k 2 F ( k ) ( i k ) 2 F ( k ) = − k 2 F ( k )
확인 3-3. 함수를 두 배로 좁히면 변환이 어떻게 됩니까?
답. 두 배로 넓어지고 높이가 절반이 됩니다. 1 2 F ( k 2 ) 2 1 F ( 2 k )
문제. 폭이 σ σ f σ ( x ) = e − x 2 / ( 2 σ 2 ) f σ ( x ) = e − x 2 / ( 2 σ 2 ) σ σ
생각의 실마리. (1)은 문제 3의 스케일 성질을 쓰면 됩니다. f σ ( x ) = g ( x σ ) f σ ( x ) = g ( σ x ) σ G ( σ k ) σ G ( σ k ) σ σ
풀이. (1) 스케일 성질에서 c = 1 σ c = σ 1
F σ ( k ) = σ 2 π e − σ 2 k 2 / 2 F σ ( k ) = σ 2 π e − σ 2 k 2 / 2
입니다. 원래 함수의 폭이 σ σ 1 σ σ 1
(2) σ σ σ σ
(3) 폭을 표준편차로 재면 곱이 일정합니다. 정확히 정의하면 ∣ f ∣ 2 ∣ f ∣ 2
Δ x 2 = ∫ x 2 ∣ f ∣ 2 d x ∫ ∣ f ∣ 2 d x , Δ k 2 = ∫ k 2 ∣ F ∣ 2 d k ∫ ∣ F ∣ 2 d k Δ x 2 = ∫ ∣ f ∣ 2 d x ∫ x 2 ∣ f ∣ 2 d x , Δ k 2 = ∫ ∣ F ∣ 2 d k ∫ k 2 ∣ F ∣ 2 d k
입니다. 가우스에서 계산하면 Δ x = σ 2 Δ x = 2 σ Δ k = 1 2 σ Δ k = 2 σ 1
Δ x ⋅ Δ k = 1 2 Δ x ⋅ Δ k = 2 1
으로 σ σ σ σ 0.5 0 . 5
이 문제에서 배우는 것: 불확정성 원리.
불확정성 원리. 적당한 조건 아래 모든 함수에 대해
Δ x ⋅ Δ k ≥ 1 2 Δ x ⋅ Δ k ≥ 2 1
이고, 등호는 가우스함수에서만 성립합니다.
시간과 진동수를 동시에 좁힐 수 없습니다. 하나를 좁히면 다른 하나가 반드시 넓어집니다.
직관적으로도 그럴듯합니다. 진동수를 정확히 알려면 파동을 오래 관찰해야 하는데, 그러면 그것이 언제 일어났는지가 흐려집니다. 반대로 아주 짧은 순간의 신호는 시각은 정확하지만 어떤 진동수인지 말할 수 없습니다.
신호
시간 정보
진동수 정보
순수한 사인파(무한히 김)
없음
정확합니다
아주 짧은 펄스
정확합니다
없음
가우스 펄스
적당함
적당함
가우스가 두 폭의 곱을 최소로 만드는 유일한 함수 라는 사실이 심화 3에서 증명됩니다.
이 원리는 여러 분야에서 나타납니다.
분야
나타나는 방식
양자역학
위치와 운동량의 하이젠베르크 원리
신호처리
짧은 창으로는 낮은 진동수를 못 봅니다
음악
짧은 음의 음높이가 불분명합니다
이미지
국소성과 주파수 해상도의 맞바꿈
410강의 스펙트로그램이 정확히 이 맞바꿈을 다룹니다. 창의 길이를 정하는 것이 시간 해상도와 진동수 해상도 중 어디에 무게를 둘지 고르는 일입니다.
바로 확인 4.
확인 4-1. 가우스함수의 폭을 두 배로 하면 변환의 폭은 어떻게 됩니까?
답. 절반이 됩니다. 곱은 일정하게 유지됩니다.
확인 4-2. 무한히 긴 순수한 사인파의 진동수 정보와 시간 정보를 비교하세요.
답. 진동수는 정확히 하나로 정해지지만 언제 일어났는지에 대한 정보는 없습니다.
확인 4-3. 불확정성의 등호를 달성하는 함수를 쓰세요.
답. 가우스함수입니다.
문제. 다음을 확인하세요.∫ ∣ f ∣ 2 d x ∫ ∣ f ∣ 2 d x ∫ ∣ F ∣ 2 d k ∫ ∣ F ∣ 2 d k
생각의 실마리. (1)은 59강의 파스발 항등식이 변환으로 옮겨진 것입니다. 급수에서 계수의 제곱합이었던 것이 여기서는 변환의 제곱적분이 됩니다. (3)에서는 변환을 두 번 했을 때 무엇이 되는지 먼저 봅니다.
풀이. (1) 다음이 성립합니다.
∫ − ∞ ∞ ∣ f ( x ) ∣ 2 d x = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ F ( k ) ∣ 2 d k ∫ − ∞ ∞ ∣ f ( x ) ∣ 2 d x = 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ ∣ F ( k ) ∣ 2 d k
플랑슈렐 정리 라 합니다. 59강의 파스발과 같은 내용이며, 이산 합이 연속 적분으로 바뀌었을 뿐입니다.
(2) 역변환 공식을 변환 공식에 넣어 봅니다.
1 2 π ∫ F ( k ) e i k x d k = 1 2 π ∫ ( ∫ f ( t ) e − i k t d t ) e i k x d k = ∫ f ( t ) ( 1 2 π ∫ e i k ( x − t ) d k ) d t 2 π 1 ∫ F ( k ) e i k x d k = 2 π 1 ∫ ( ∫ f ( t ) e − i k t d t ) e i k x d k = ∫ f ( t ) ( 2 π 1 ∫ e i k ( x − t ) d k ) d t
괄호 안이 t = x t = x 59강의 직교성이 연속판으로 나타난 것 이며, 이 대상을 델타 함수라 하고 심화 2에서 다룹니다.
(3) 변환을 두 번 하면 F 2 [ f ] ( x ) = 2 π f ( − x ) F 2 [ f ] ( x ) = 2 π f ( − x )
F 4 [ f ] ( x ) = ( 2 π ) 2 f ( x ) F 4 [ f ] ( x ) = ( 2 π ) 2 f ( x )
로 상수배를 빼면 원래대로 돌아옵니다. 변환을 2 π 2 π
이 문제에서 배우는 것: 변환은 정보를 잃지 않습니다.
플랑슈렐 정리가 뜻하는 바를 정리합니다.
관점
뜻
물리
신호의 에너지가 시간 영역과 진동수 영역에서 같습니다
기하
변환이 길이를 보존하는 사상입니다
정보
F F f f
두 번째 관점이 중요합니다. 변환은 함수 공간에서 회전과 같은 것이며, 좌표계를 바꿀 뿐 대상 자체를 바꾸지 않습니다. 59강에서 푸리에 급수를 좌표 표현으로 본 것과 같은 관점이고, 79강 이후 내적공간에서 이런 사상을 유니터리 변환이라 부릅니다.
(3)의 결과도 흥미롭습니다. 변환을 네 번 하면 제자리로 돌아온다는 것은 변환이 9 0 ∘ 9 0 ∘ 임을 뜻합니다. 실제로 변환 연산자의 고윳값이 1 , i , − 1 , − i 1 , i , − 1 , − i 1 1
F 2 [ f ] ( x ) = 2 π f ( − x ) F 2 [ f ] ( x ) = 2 π f ( − x ) e − a ∣ x ∣ e − a ∣ x ∣ 1 1 + x 2 1 + x 2 1
바로 확인 5.
확인 5-1. 플랑슈렐 정리를 쓰세요.
답. ∫ ∣ f ∣ 2 d x = 1 2 π ∫ ∣ F ∣ 2 d k ∫ ∣ f ∣ 2 d x = 2 π 1 ∫ ∣ F ∣ 2 d k
확인 5-2. 변환을 두 번 하면 무엇이 됩니까?
답. 2 π f ( − x ) 2 π f ( − x )
확인 5-3. 플랑슈렐 정리가 정보 관점에서 뜻하는 바를 쓰세요.
답. 변환이 정보를 잃지 않으므로 F F f f
정의
식
변환
F ( k ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i k x d x F ( k ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i k x d x
역변환
f ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( k ) e i k x d k f ( x ) = 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ F ( k ) e i k x d k
플랑슈렐
∫ ∣ f ∣ 2 d x = 1 2 π ∫ ∣ F ∣ 2 d k ∫ ∣ f ∣ 2 d x = 2 π 1 ∫ ∣ F ∣ 2 d k
함수
변환
α f + β g α f + β g α F + β G α F + β G
f ( x − b ) f ( x − b ) e − i k b F ( k ) e − i k b F ( k )
e i a x f ( x ) e i a x f ( x ) F ( k − a ) F ( k − a )
f ( c x ) f ( c x ) 1 ∣ c ∣ F ( k / c ) ∣ c ∣ 1 F ( k / c )
f ( n ) ( x ) f ( n ) ( x ) ( i k ) n F ( k ) ( i k ) n F ( k )
x f ( x ) x f ( x ) i F ′ ( k ) i F ′ ( k )
기본 변환 쌍
상자함수(반폭 a a
\dfrac{2\sin ak}
e − x 2 / 2 e − x 2 / 2 2 π e − k 2 / 2 2 π e − k 2 / 2
e^
2 a a 2 + k 2 a 2 + k 2 2 a
1 1 + x 2 1 + x 2 1 \pi e^
원리
내용
매끄러움과 감소
매끄러울수록 변환이 빨리 줄어듭니다
불확정성
Δ x Δ k ≥ 1 2 Δ x Δ k ≥ 2 1
미분과 곱셈
미분이 i k i k
네 번 변환
상수배를 빼면 제자리입니다
자주 하는 실수
바로잡기
관례를 확인하지 않습니다
1 2 π 2 π 1
이동이 크기를 바꾼다고 여깁니다
위상만 바꿉니다
좁히면 변환도 좁아진다고 여깁니다
반대로 넓어집니다
미분 성질에서 부호를 놓칩니다
f ′ ′ f ′ ′ − k 2 F − k 2 F
문제 6. 푸리에 변환의 정의식을 쓰세요.
답. F ( k ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i k x d x F ( k ) = ∫ − ∞ ∞ f ( x ) e − i k x d x
문제 7. 반폭이 2 2
답. 2 sin 2 k k k 2 sin 2 k
문제 8. e − x 2 / 2 e − x 2 / 2
답. 2 π e − k 2 / 2 2 π e − k 2 / 2
문제 9. f ( x − 3 ) f ( x − 3 ) F F
답. e − 3 i k F ( k ) e − 3 i k F ( k )
문제 10. f ( 2 x ) f ( 2 x )
답. 1 2 F ( k 2 ) 2 1 F ( 2 k )
문제 11. f ′ ′ ′ f ′ ′ ′
답. ( i k ) 3 F ( k ) = − i k 3 F ( k ) ( i k ) 3 F ( k ) = − i k 3 F ( k )
문제 12. e 5 i x f ( x ) e 5 i x f ( x )
답. F ( k − 5 ) F ( k − 5 )
문제 13. 상자함수의 변환이 천천히 줄어드는 이유를 쓰세요.
답. 함수에 도약이 있어 매끄럽지 않기 때문입니다.
문제 14. 폭 σ σ
답. 1 σ σ 1
문제 15. 불확정성 원리의 부등식을 쓰고 등호 조건을 말하세요.
답. Δ x Δ k ≥ 1 2 Δ x Δ k ≥ 2 1
문제 16. 플랑슈렐 정리의 물리적 의미를 쓰세요.
답. 신호의 에너지가 시간 영역과 진동수 영역에서 같다는 뜻입니다.
문제 17. 미분이 곱셈이 되는 성질이 왜 유용합니까?
답. 미분방정식을 대수방정식으로 바꿔 풀 수 있기 때문입니다.
문제 18. F 4 [ f ] F 4 [ f ]
답. ( 2 π ) 2 f ( x ) ( 2 π ) 2 f ( x )
심화 1. 가우스함수의 변환이 가우스함수임을 미분방정식으로 증명하세요. 복소 경로 이동을 쓰지 않습니다.
풀이. g ( x ) = e − x 2 / 2 g ( x ) = e − x 2 / 2 G ( k ) G ( k ) G G
g g
g ′ ( x ) = − x e − x 2 / 2 = − x g ( x ) g ′ ( x ) = − x e − x 2 / 2 = − x g ( x )
양변을 푸리에 변환합니다. 문제 3의 성질표에서 왼쪽은 i k G ( k ) i k G ( k ) x g ( x ) x g ( x ) i G ′ ( k ) i G ′ ( k )
i k G ( k ) = − i G ′ ( k ) ⟹ G ′ ( k ) = − k G ( k ) i k G ( k ) = − i G ′ ( k ) ⟹ G ′ ( k ) = − k G ( k )
입니다. G G g g
이 방정식은 변수분리로 풀립니다.
G ′ G = − k ⟹ ln G = − k 2 2 + C ⟹ G ( k ) = G ( 0 ) e − k 2 / 2 G G ′ = − k ⟹ ln G = − 2 k 2 + C ⟹ G ( k ) = G ( 0 ) e − k 2 / 2
초기값 G ( 0 ) G ( 0 )
G ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 / 2 d x = 2 π G ( 0 ) = ∫ − ∞ ∞ e − x 2 / 2 d x = 2 π
53강 심화 4의 가우스 적분입니다. 따라서
G ( k ) = 2 π e − k 2 / 2 G ( k ) = 2 π e − k 2 / 2
입니다. ■ ■
증명이 우아한 이유 는 적분을 직접 계산하지 않았다는 데 있습니다. 변환의 성질만으로 G G x f x f f ′ f ′
가우스가 특별한 이유도 여기서 보입니다. g ′ = − x g g ′ = − x g 자기 자신으로 옮겨지는 유일한 형태 이며, 그래서 가우스가 푸리에 변환의 고유함수가 됩니다.
심화 2. 역변환 공식에 나타난 1 2 π ∫ e i k ( x − t ) d k 2 π 1 ∫ e i k ( x − t ) d k
풀이. 이 적분은 보통의 뜻으로는 수렴하지 않습니다. x ≠ t x = t
그러나 유한한 범위로 자르면 계산됩니다.
1 2 π ∫ − K K e i k ( x − t ) d k = sin ( K ( x − t ) ) π ( x − t ) 2 π 1 ∫ − K K e i k ( x − t ) d k = π ( x − t ) sin ( K ( x − t ) )
이 함수를 D K ( x − t ) D K ( x − t )
성질
내용
전체 적분
∫ − ∞ ∞ D K ( u ) d u = 1 ∫ − ∞ ∞ D K ( u ) d u = 1
u = 0 u = 0 K π π K
u ≠ 0 u = 0 진동하며 K K
K K
극한에서 이 대상은 함수가 아닙니다. 모든 u ≠ 0 u = 0 0 0 u = 0 u = 0 1 1 적분 안에서 어떻게 작용하는지로 정의 합니다.
∫ − ∞ ∞ δ ( u ) φ ( u ) d u = φ ( 0 ) ∫ − ∞ ∞ δ ( u ) φ ( u ) d u = φ ( 0 )
이를 디랙 델타 라 하고, 정확히는 함수가 아니라 분포입니다. 이 규칙을 쓰면 역변환의 계산이 완결됩니다.
∫ f ( t ) δ ( x − t ) d t = f ( x ) ∫ f ( t ) δ ( x − t ) d t = f ( x )
델타는 "값을 뽑아내는" 도구 입니다. 이 관점이 61강의 합성곱에서 항등원 역할을 하며, 384강의 확산 모형에서 초기 조건을 다룰 때도 쓰입니다.
델타를 정당하게 다루려면 분포 이론이 필요하고 이 책의 범위를 넘습니다. 실용적으로는 **"극한으로 뾰족해지는 함수열의 약칭"**으로 이해하면 충분하며, 위의 D K D K 0 0
심화 3. 불확정성 원리 Δ x Δ k ≥ 1 2 Δ x Δ k ≥ 2 1
풀이. f f ∫ ∣ f ∣ 2 d x = 1 ∫ ∣ f ∣ 2 d x = 1 0 0
플랑슈렐 정리와 미분 성질을 쓰면
Δ k 2 = 1 2 π ∫ k 2 ∣ F ( k ) ∣ 2 d k = ∫ ∣ f ′ ( x ) ∣ 2 d x Δ k 2 = 2 π 1 ∫ k 2 ∣ F ( k ) ∣ 2 d k = ∫ ∣ f ′ ( x ) ∣ 2 d x
입니다. i k F i k F f ′ f ′ 진동수 쪽의 퍼짐이 도함수의 크기로 바뀝니다.
이제 코시-슈바르츠 부등식을 씁니다. 함수의 내적에 대해
∣ ∫ x f ( x ) f ′ ( x ) ‾ d x ∣ 2 ≤ ( ∫ x 2 ∣ f ∣ 2 d x ) ( ∫ ∣ f ′ ∣ 2 d x ) = Δ x 2 Δ k 2 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∫ x f ( x ) f ′ ( x ) d x ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ 2 ≤ ( ∫ x 2 ∣ f ∣ 2 d x ) ( ∫ ∣ f ′ ∣ 2 d x ) = Δ x 2 Δ k 2
입니다. 왼쪽을 아래에서 눌러야 합니다. 실수부만 보면
Re ∫ x f f ′ ‾ d x = 1 2 ∫ x ( f f ′ ‾ + f ‾ f ′ ) d x = 1 2 ∫ x d d x ∣ f ∣ 2 d x R e ∫ x f f ′ d x = 2 1 ∫ x ( f f ′ + f f ′ ) d x = 2 1 ∫ x d x d ∣ f ∣ 2 d x
이고 부분적분하면(f f 0 0
= − 1 2 ∫ ∣ f ∣ 2 d x = − 1 2 = − 2 1 ∫ ∣ f ∣ 2 d x = − 2 1
입니다. 따라서 왼쪽의 크기가 1 2 2 1
1 4 ≤ Δ x 2 Δ k 2 ⟹ Δ x Δ k ≥ 1 2 4 1 ≤ Δ x 2 Δ k 2 ⟹ Δ x Δ k ≥ 2 1
입니다. ■ ■
등호 조건 은 코시-슈바르츠의 등호 조건에서 나옵니다. 두 함수가 비례해야 하므로
f ′ ( x ) = λ x f ( x ) f ′ ( x ) = λ x f ( x )
인 상수 λ λ f ( x ) = C e λ x 2 / 2 f ( x ) = C e λ x 2 / 2 λ < 0 λ < 0 가우스함수뿐입니다.
심화 1에서 가우스가 g ′ = − x g g ′ = − x g 같은 미분방정식이 변환의 고유함수임과 불확정성의 최소값을 동시에 설명합니다.
코시-슈바르츠 부등식은 76강에서 정식으로 다룹니다. 벡터의 내적에 대한 ∣ ⟨ u , v ⟩ ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥ ∣ ⟨ u , v ⟩ ∣ ≤ ∥ u ∥ ∥ v ∥
심화 4. 대역이 제한된 신호를 유한한 표본으로 완전히 복원할 수 있음을 설명하세요.
풀이. f f F F ∣ k ∣ > K ∣ k ∣ > K 0 0 대역제한 되었다고 합니다.
그러면 F F [ − K , K ] [ − K , K ] 푸리에 급수로 전개할 수 있습니다. 59강의 도구를 진동수 영역에 적용하는 것입니다.
F ( k ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e − i π n k / K ( ∣ k ∣ ≤ K ) F ( k ) = n = − ∞ ∑ ∞ c n e − i π n k / K ( ∣ k ∣ ≤ K )
계수는
c n = 1 2 K ∫ − K K F ( k ) e i π n k / K d k c n = 2 K 1 ∫ − K K F ( k ) e i π n k / K d k
인데, 오른쪽은 역변환 공식에서 x = π n K x = K π n
c n = π K f ( π n K ) c n = K π f ( K π n )
계수가 원래 함수의 표본값입니다. 그러므로 F F f f F F
샘플링 정리(나이퀴스트-섀넌). 최대 진동수가 K K π K K π
복원 공식도 나옵니다. 위의 급수를 역변환하면
f ( x ) = ∑ n = − ∞ ∞ f ( π n K ) sinc ( K x π − n ) f ( x ) = n = − ∞ ∑ ∞ f ( K π n ) s i n c ( π K x − n )
으로 싱크함수들의 합 이 됩니다. 문제 2에서 상자함수의 변환이 싱크였던 것이 여기서 되돌아옵니다.
실용적 함의가 큽니다. 사람의 가청 진동수가 약 20 2 0 44.1 4 4 . 1 CD의 표본 주파수가 그렇게 정해진 근거가 이 정리입니다.
조건을 어기면 문제가 생깁니다. 대역제한이 아닌 신호를 표본으로 뜨면 높은 진동수가 낮은 진동수로 잘못 접혀 들어오는데, 이를 에일리어싱 이라 합니다. 그래서 실제 장치는 표본을 뜨기 전에 저역통과 필터를 먼저 겁니다.
심화 5. 미분이 곱셈이 되는 성질로 미분방정식을 푸는 방법을 보이세요.
풀이. 다음 방정식을 봅니다.
− u ′ ′ ( x ) + u ( x ) = f ( x ) − u ′ ′ ( x ) + u ( x ) = f ( x )
양변을 푸리에 변환합니다. 문제 3에서 u ′ ′ u ′ ′ − k 2 U ( k ) − k 2 U ( k )
k 2 U ( k ) + U ( k ) = F ( k ) ⟹ U ( k ) = F ( k ) 1 + k 2 k 2 U ( k ) + U ( k ) = F ( k ) ⟹ U ( k ) = 1 + k 2 F ( k )
입니다. 미분방정식이 나눗셈 하나로 바뀌었습니다.
이제 역변환하면 해가 나옵니다.
u ( x ) = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( k ) 1 + k 2 e i k x d k u ( x ) = 2 π 1 ∫ − ∞ ∞ 1 + k 2 F ( k ) e i k x d k
여기서 더 나아갈 수 있습니다. 문제 2의 표에서 1 1 + k 2 1 + k 2 1 1 2 e − ∣ x ∣ 2 1 e − ∣ x ∣ 변환의 곱은 합성곱의 변환 이므로
u ( x ) = 1 2 ∫ − ∞ ∞ e − ∣ x − t ∣ f ( t ) d t u ( x ) = 2 1 ∫ − ∞ ∞ e − ∣ x − t ∣ f ( t ) d t
입니다. 적분 하나로 해가 적혔습니다.
방법의 구조를 정리합니다.
단계
하는 일
1
방정식을 푸리에 변환합니다
2
미분이 i k i k
3
U ( k ) U ( k )
4
역변환해 u ( x ) u ( x )
어려운 연산(미분)이 쉬운 연산(곱셈)으로 바뀌는 것 이 이 방법의 전부입니다. 로그가 곱셈을 덧셈으로 바꿔 계산을 쉽게 했던 것과 같은 발상입니다.
이 기법은 편미분방정식에서 더 강력합니다. 열방정식 u t = u x x u t = u x x x x
∂ U ∂ t = − k 2 U ⟹ U ( k , t ) = U ( k , 0 ) e − k 2 t ∂ t ∂ U = − k 2 U ⟹ U ( k , t ) = U ( k , 0 ) e − k 2 t
가 되어 각 진동수가 독립적으로 지수감쇠합니다. 높은 진동수가 더 빨리 죽으므로 열전도가 신호를 매끄럽게 만든다는 사실이 식에 그대로 나타납니다. 384강의 확산 모형이 이 구조 위에 있습니다.
심화 6. 연속 변환을 컴퓨터로 계산하는 방법과 그 계산량을 논하세요.
풀이. 컴퓨터는 무한 적분을 할 수 없으므로 이산화합니다. N N f 0 , … , f N − 1 f 0 , … , f N − 1
F m = ∑ n = 0 N − 1 f n e − 2 π i m n / N , m = 0 , … , N − 1 F m = n = 0 ∑ N − 1 f n e − 2 π i m n / N , m = 0 , … , N − 1
을 이산 푸리에 변환 이라 합니다. 적분이 유한합으로, 연속 진동수가 N N
계산량을 세어 봅니다. 각 m m N N m m N N N 2 N 2 N = 1 0 6 N = 1 0 6 1 0 12 1 0 1 2
그런데 e − 2 π i m n / N e − 2 π i m n / N 1 1 N N N N
F m = ∑ j f 2 j ω N / 2 j m ⏟ 크기 N / 2 변환 + ω N m ∑ j f 2 j + 1 ω N / 2 j m ⏟ 크기 N / 2 변환 F m = 크기 N / 2 변환 j ∑ f 2 j ω N / 2 j m + ω N m 크기 N / 2 변환 j ∑ f 2 j + 1 ω N / 2 j m
으로 크기가 절반인 변환 두 개 로 쪼개집니다. 이를 재귀적으로 반복하면 계산량이
T ( N ) = 2 T ( N / 2 ) + O ( N ) ⟹ T ( N ) = O ( N log N ) T ( N ) = 2 T ( N / 2 ) + O ( N ) ⟹ T ( N ) = O ( N log N )
이 됩니다. **고속 푸리에 변환(FFT)**이며, N = 1 0 6 N = 1 0 6 1 0 12 1 0 1 2 2 × 1 0 7 2 × 1 0 7
방법
계산량
N=10^
정의대로
O ( N 2 ) O ( N 2 ) 10^
FFT
O ( N log N ) O ( N log N ) 2\times 10^
이 알고리즘이 없었다면 디지털 신호처리 대부분이 불가능했습니다. 음성 인식, 이미지 압축, 통신, 의료 영상이 모두 FFT 위에서 돌아갑니다.
계산량 분석에 쓴 점화식 T ( N ) = 2 T ( N / 2 ) + O ( N ) T ( N ) = 2 T ( N / 2 ) + O ( N )
이산 변환에서 주의할 점도 있습니다. 표본이 유한하므로 주기적이라고 가정하는 셈 이라, 신호의 양 끝이 이어지지 않으면 인위적인 도약이 생겨 고주파 잡음이 나타납니다. 창 함수를 곱해 양 끝을 부드럽게 만드는 것이 표준적인 대처입니다.
이 강의에서는 numpy만 씁니다. 푸리에 변환은 무한 적분이므로 유한 구간에서 잘라 계산합니다. 가우스처럼 빨리 줄어드는 함수는 잘라도 오차가 미미하지만, 상자함수처럼 변환이 천천히 줄어드는 경우는 잘린 꼬리가 눈에 띄는 오차를 남깁니다.
import numpy as np
L, N = 40.0, 400000
x = np.linspace(-L, L, N + 1)[:-1] + L/N
dx = 2*L/N
def FT(f, k):
"""F(k) = int f(x) e^{-ikx} dx 를 수치로 계산합니다."""
return complex(np.sum(f(x)*np.exp(-1j*k*x))*dx)
# --- 문제 2: 상자함수 -> sinc ------------------------------------------
a = 1.0
box = lambda t: (np.abs(t) < a).astype(float)
for k in [0.5, 2.0, 3.0]:
v = FT(box, k)
print(k, "%.8f%+.8fj" % (v.real, v.imag), "%.8f" % (2*np.sin(a*k)/k))
# 0.5 1.91770216-0.00000000j 1.91770215
# 2.0 0.90929743-0.00000000j 0.90929743
# 3.0 0.09408001-0.00000000j 0.09408001
# --- 문제 2: 가우스 -> 가우스 ------------------------------------------
g = lambda t: np.exp(-t**2/2)
for k in [0.0, 1.0, 2.5]:
v = FT(g, k)
print(k, "%.8f%+.8fj" % (v.real, v.imag),
"%.8f" % (np.sqrt(2*np.pi)*np.exp(-k**2/2)))
# 0.0 2.50662827+0.00000000j 2.50662827
# 1.0 1.52034690+0.00000000j 1.52034690
# 2.5 0.11013356-0.00000000j 0.11013356
# --- 문제 3: 이동, 스케일, 미분 -----------------------------------------
sh = 1.3
v1 = FT(lambda t: g(t - sh), 2.0)
v2 = np.exp(-1j*2.0*sh)*FT(g, 2.0)
print("%.8f%+.8fj" % (v1.real, v1.imag), "%.8f%+.8fj" % (v2.real, v2.imag))
# -0.29068687-0.17487624j -0.29068687-0.17487624j
c = 2.0
v3 = FT(lambda t: g(c*t), 1.0)
v4 = FT(g, 1.0/c)/c
print("%.8f%+.8fj" % (v3.real, v3.imag), "%.8f%+.8fj" % (v4.real, v4.imag))
# 1.10604584-0.00000000j 1.10604584+0.00000000j
gp = lambda t: -t*np.exp(-t**2/2)
v5 = FT(gp, 1.7)
v6 = 1j*1.7*FT(g, 1.7)
print("%.8f%+.8fj" % (v5.real, v5.imag), "%.8f%+.8fj" % (v6.real, v6.imag))
# -0.00000000+1.00457723j -0.00000000+1.00457723j
# --- 문제 5: 플랑슈렐 정리 ----------------------------------------------
K = 60.0
for f, name in [(g, "gauss"), (box, "box")]:
lhs = float(np.sum(np.abs(f(x))**2)*dx)
kg = np.linspace(-K, K, 3001); dk2 = 2*K/3000
Fk = np.array([FT(f, kv) for kv in kg])
rhs = float(np.sum(np.abs(Fk)**2)*dk2/(2*np.pi))
print(name, "%.6f %.6f" % (lhs, rhs))
# gauss 1.772454 1.772454
# box 2.000000 1.989340
# --- 문제 4: 불확정성 곱은 가우스에서 정확히 1/2 -------------------------
for s in [0.5, 1.0, 2.0]:
f = lambda t, s=s: np.exp(-t**2/(2*s**2))
n2 = float(np.sum(np.abs(f(x))**2)*dx)
vx = float(np.sum(x**2*np.abs(f(x))**2)*dx)/n2
kg = np.linspace(-K, K, 3001); dk2 = 2*K/3000
Fk = np.array([FT(f, kv) for kv in kg])
n2k = float(np.sum(np.abs(Fk)**2)*dk2)
vk = float(np.sum(kg**2*np.abs(Fk)**2)*dk2)/n2k
print(s, "%.6f %.6f %.6f" % (np.sqrt(vx), np.sqrt(vk), np.sqrt(vx*vk)))
# 0.5 0.353553 1.414214 0.500000
# 1.0 0.707107 0.707107 0.500000
# 2.0 1.414214 0.353553 0.500000
실행하면 주석과 같은 값이 나옵니다. 다섯 곳을 짚어 둡니다.
첫째, 상자함수의 변환이 2 sin a k k k 2 sin a k 0 0 상자함수가 짝함수라 변환이 실수 이기 때문입니다.
둘째, 가우스의 변환이 2 π e − k 2 / 2 2 π e − k 2 / 2 k = 0 k = 0 2.50662827 2 . 5 0 6 6 2 8 2 7 2 π 2 π 변환이 자기 자신 꼴이라는 사실이 세 값에서 확인됩니다.
셋째, 세 가지 성질이 모두 성립합니다. 이동에서는 위상이 돌아 복소수가 되지만 두 계산이 일치하고, 스케일에서는 1 2 F ( k 2 ) 2 1 F ( 2 k ) i k i k
넷째, 플랑슈렐 정리가 가우스에서 1.772454 1 . 7 7 2 4 5 4 2.000000 2 . 0 0 0 0 0 0 1.989340 1 . 9 8 9 3 4 0 이 차이는 예측할 수 있습니다. 싱크의 제곱이 1 k 2 k 2 1 ∣ k ∣ > K ∣ k ∣ > K
1 2 π ⋅ 2 ∫ K ∞ 4 k 2 d k = 4 π K = 4 π ⋅ 60 ≈ 0.0106 2 π 1 ⋅ 2 ∫ K ∞ k 2 4 d k = π K 4 = π ⋅ 6 0 4 ≈ 0 . 0 1 0 6
만큼 빠지는데, 실제 차이 2 − 1.98934 = 0.01066 2 − 1 . 9 8 9 3 4 = 0 . 0 1 0 6 6 잘린 꼬리의 크기가 이론과 맞으므로 코드가 틀린 것이 아니라 유한 구간의 한계입니다.
다섯째, 불확정성 곱이 세 가지 σ σ 0.500000 0 . 5 0 0 0 0 0 Δ x Δ x 0.354 → 0.707 → 1.414 0 . 3 5 4 → 0 . 7 0 7 → 1 . 4 1 4 Δ k Δ k 가우스가 하한을 달성하는 유일한 함수라는 심화 3의 결론이 숫자로 확인됩니다.
코드로 할 수 없는 일도 분명히 해 둡니다. 무한 적분을 유한 구간으로 자르는 순간 근사가 됩니다. 넷째 항목이 그 한계를 보여 주며, 잘린 양이 얼마인지는 이론으로만 알 수 있습니다. 그리고 심화 2의 델타 함수는 애초에 함수가 아니므로 수치로 표현할 수 없고, 뾰족해지는 함수열로만 흉내 낼 수 있습니다.
푸리에 변환과 역변환의 정의를 쓰세요.
급수에서 변환으로 넘어가는 극한 과정을 요약하세요.
상자함수와 가우스함수의 변환을 쓰세요.
함수의 매끄러움과 변환의 감소 속도의 관계를 쓰세요.
이동, 스케일, 미분에 대한 변환 성질을 쓰세요.
미분이 곱셈이 되는 성질이 왜 유용합니까?
불확정성 원리를 쓰고 등호 조건을 말하세요.
플랑슈렐 정리를 쓰고 세 가지 관점에서 해석하세요.
샘플링 정리를 쓰세요.
FFT의 계산량과 정의대로 계산할 때의 계산량을 비교하세요.
정답.
F ( k ) = ∫ f e − i k x d x F ( k ) = ∫ f e − i k x d x f ( x ) = 1 2 π ∫ F e i k x d k f ( x ) = 2 π 1 ∫ F e i k x d k 주기 2 L 2 L π L L π L → ∞ L → ∞ 0 0
각각 2 sin a k k k 2 s i n a k 2 π e − k 2 / 2 2 π e − k 2 / 2
매끄러울수록 변환이 빨리 줄어듭니다. 도약이 있으면 1 k k 1
e − i k b F ( k ) e − i k b F ( k ) 1 ∣ c ∣ F ( k / c ) ∣ c ∣ 1 F ( k / c ) i k F ( k ) i k F ( k ) 미분방정식이 대수방정식으로 바뀌어 풀 수 있기 때문입니다.
Δ x Δ k ≥ 1 2 Δ x Δ k ≥ 2 1 ∫ ∣ f ∣ 2 = 1 2 π ∫ ∣ F ∣ 2 ∫ ∣ f ∣ 2 = 2 π 1 ∫ ∣ F ∣ 2 최대 진동수가 K K π K K π
정의대로는 O ( N 2 ) O ( N 2 ) O ( N log N ) O ( N log N )
기호
읽는 법
뜻
F [ f ] F [ f ] F ( k ) F ( k ) 푸리에 변환
진동수 영역의 표현입니다
\mathcal{F}^
역변환
시간 영역으로 되돌립니다
\operatorname
싱크함수
sin x x x s i n x
Δ x Δ x Δ k Δ k 퍼짐
표준편차로 잰 폭입니다
플랑슈렐 정리
Plancherel
에너지 보존입니다
δ δ 디랙 델타
값을 뽑아내는 분포입니다
대역제한
band-limited
변환이 유한 구간 밖에서 0 0
에일리어싱
aliasing
표본이 성기어 진동수가 접히는 현상입니다
DFT, FFT
이산 변환, 고속 변환
계산량이 O ( N 2 ) O ( N 2 ) O ( N log N ) O ( N log N )
다음 61강에서 이 단원과 S3 전체를 마칩니다. 심화 5에서 잠깐 쓴 합성곱 을 정식으로 다루는데, 두 함수를 섞는 이 연산이 푸리에 변환에서 단순한 곱셈이 됩니다. 그 사실 하나로 신호의 필터링, 확률변수의 합, 신경망의 국소 연산이 모두 같은 구조임이 드러납니다.