이 문제집은 1단원 네 강의(함수와 그래프의 언어, 극한의 정의와 계산, 연속과 불연속, 무한대와 점근)에서 배운 개념을 실전 수준으로 묶어 훈련합니다. 각 문제는 강의 본문의 드릴보다 한 단계 어렵게, 여러 개념을 엮은 복합·응용 유형으로 구성했습니다. 먼저 스스로 풀고, 그다음 답과 단계별 풀이로 검산하시기를 권합니다.
문제마다 난이도를 (기초/표준/심화)로 표시했습니다. 표기는 강의와 동일하게 KaTeX를 사용합니다.
문제 1. (표준) f(x)=x2−x−6x+3의 정의역을 구하시오. 답.x≥−3이면서 x=−2, x=3인 모든 실수. 풀이. 두 조건을 함께 봅니다. 근호 안 x+3≥0이므로 x≥−3입니다. 분모 x2−x−6=(x−3)(x+2)=0이므로 x=3, x=−2입니다. x≥−3 범위 안에 −2가 들어오므로 이것도 빼야 합니다. 따라서 정의역은 x≥−3이면서 x=−2, x=3입니다.
문제 2. (표준) f(x)=2x−3, g(x)=x2+1일 때 (f∘g)(x)와 (g∘f)(x)를 각각 구하고, 두 식이 같아지는 x를 모두 구하시오. 답.(f∘g)(x)=2x2−1, (g∘f)(x)=4x2−12x+10, 같아지는 x=26±14. 풀이.(f∘g)(x)=f(x2+1)=2(x2+1)−3=2x2−1입니다. (g∘f)(x)=g(2x−3)=(2x−3)2+1=4x2−12x+9+1=4x2−12x+10입니다. 두 식을 같다고 놓으면 2x2−1=4x2−12x+10, 정리하면 0=2x2−12x+11입니다. 근의 공식으로 x=412±144−88=412±56=412±214=26±14입니다.
문제 3. (표준) f(x)=3x+2이고 (g∘f)(x)=6x+7일 때 g(x)를 구하시오. 답.g(x)=2x+3. 풀이.(g∘f)(x)=g(3x+2)=6x+7입니다. t=3x+2로 두면 x=3t−2이므로 오른쪽을 t로 바꿉니다. 6x+7=6⋅3t−2+7=2(t−2)+7=2t+3입니다. 따라서 g(t)=2t+3, 즉 g(x)=2x+3입니다. 검산하면 g(3x+2)=2(3x+2)+3=6x+7로 맞습니다.
문제 4. (표준) f(x)=x2−2x+3의 최솟값을 완전제곱으로 구하고, 이 함수가 우함수도 기함수도 아님을 보이시오. 답. 최솟값 2(꼭짓점 x=1), 어느 대칭도 아님. 풀이.x2−2x+3=(x−1)2+2이므로 x=1에서 최솟값 2를 가집니다. f(−x)=x2+2x+3인데 이는 f(x)=x2−2x+3과 다르므로 우함수가 아니고, −f(x)=−x2+2x−3과도 다르므로 기함수도 아닙니다.
문제 5. (심화) f(x)=x+32x−1 (x=−3)의 역함수를 구하고, 그 정의역을 밝히시오. 답.f−1(x)=2−x3x+1 (x=2). 풀이.y=x+32x−1에서 양변에 x+3을 곱하면 y(x+3)=2x−1, 즉 yx+3y=2x−1입니다. x가 든 항을 모으면 yx−2x=−1−3y, x(y−2)=−(3y+1), 따라서 x=y−2−(3y+1)=2−y3y+1입니다. 이름을 바꾸면 f−1(x)=2−x3x+1입니다. 원래 함수의 치역이 y=2(수평점근선 y=2에 닿지 않음)이므로 역함수의 정의역은 x=2입니다.
문제 6. (심화) 함수 f가 모든 실수에서 정의되고 f(x)+2f(−x)=3x+6을 만족할 때 f(x)를 구하시오. 답.f(x)=−3x+2. 풀이. 주어진 식 f(x)+2f(−x)=3x+6에서 x 자리에 −x를 넣으면 f(−x)+2f(x)=−3x+6입니다. 첫 식을 (가), 둘째 식을 (나)라 하면, (나)에 2를 곱한 2f(−x)+4f(x)=−6x+12에서 (가)를 빼면 4f(x)−f(x)=(−6x+12)−(3x+6), 즉 3f(x)=−9x+6입니다. 따라서 f(x)=−3x+2입니다. 검산하면 f(x)+2f(−x)=(−3x+2)+2(3x+2)=−3x+2+6x+4=3x+6으로 맞습니다.
문제 7. (심화) f(x)=x2−4x의 그래프를 완전제곱으로 정리해 꼭짓점을 구하고, 이 함수가 y=x2을 평행이동한 것임을 설명하시오. 또 x≥2로 제한할 때 역함수를 구하시오. 답. 꼭짓점 (2,−4), y=x2을 오른쪽 2·아래로 4 이동. x≥2에서 f−1(x)=2+x+4. 풀이.x2−4x=(x−2)2−4이므로 꼭짓점은 (2,−4)이고, y=x2을 오른쪽 2·아래로 4 옮긴 것입니다. x≥2에서는 일대일이므로 역함수가 있습니다. y=(x−2)2−4에서 (x−2)2=y+4, x≥2이므로 x−2=y+4, 즉 x=2+y+4입니다. 이름을 바꾸면 f−1(x)=2+x+4입니다.
문제 8. (심화) f(x)=1−x1 (x=1)일 때 (f∘f)(x)와 (f∘f∘f)(x)를 구하시오. 답.(f∘f)(x)=xx−1, (f∘f∘f)(x)=x. 풀이. 먼저 (f∘f)(x)=f(1−x1)=1−1−x11입니다. 분모를 통분하면 1−1−x1=1−x(1−x)−1=1−x−x이므로 (f∘f)(x)=−x/(1−x)1=−x1−x=xx−1입니다. 이어서 (f∘f∘f)(x)=f(xx−1)=1−xx−11이고, 1−xx−1=xx−(x−1)=x1이므로 값은 1/x1=x입니다. 즉 세 번 합성하면 원래로 돌아옵니다.
문제 9. (표준) limx→−2x2−4x2+2x를 구하시오. 답.21. 풀이. 대입하면 00입니다. 분자 x2+2x=x(x+2), 분모 x2−4=(x−2)(x+2)입니다. 공통인수 x+2를 약분하면 x−2x입니다. 대입하면 −2−2−2=−4−2=21입니다.
문제 10. (표준) limx→1x2−1x3−2x2+x을 구하시오. 답.0. 풀이. 대입하면 00입니다. 분자 x3−2x2+x=x(x2−2x+1)=x(x−1)2, 분모 x2−1=(x−1)(x+1)입니다. 공통인수 x−1을 약분하면 x+1x(x−1)입니다. 대입하면 21⋅0=0입니다.
문제 11. (표준) limx→0x+1−1x+4−2을 구하시오. 답.21. 풀이. 분자와 분모를 각각 유리화합니다. 분자에 켤레 x+4+2, 분모에 켤레 x+1+1을 곱해 정리하면, 분자는 (x+4)−4=x, 분모는 (x+1)−1=x가 됩니다. 즉 식은 x(x+4+2)x(x+1+1)=x+4+2x+1+1입니다. 대입하면 2+21+1=42=21입니다.
문제 12. (표준) limx→0xsin5x−sin2x를 구하시오. 답.3. 풀이. 분자를 두 항으로 나눕니다. xsin5x−xsin2x입니다. 각각 xsin5x=5⋅5xsin5x→5, xsin2x=2⋅2xsin2x→2입니다. 따라서 극한은 5−2=3입니다.
문제 13. (표준) limx→3x−3x+1−2을 구하시오. 답.41. 풀이. 대입하면 00입니다. 분자에 켤레 x+1+2를 곱하면 분자는 (x+1)−4=x−3이 되어 (x−3)(x+1+2)x−3=x+1+21입니다. 대입하면 2+21=41입니다.
문제 14. (표준) limx→2x+2−2x−2를 구하시오. 답.4. 풀이. 대입하면 00입니다. 분모에 켤레 x+2+2를 곱하면 분모가 (x+2)−4=x−2가 되어 x−2(x−2)(x+2+2)=x+2+2입니다. 대입하면 4+2=4입니다.
문제 15. (표준) limx→1x−12x−1−1을 구하시오. 답.1. 풀이. 대입하면 00입니다. 분자에 켤레 2x−1+1을 곱하면 분자는 (2x−1)−1=2x−2=2(x−1)이 되어 (x−1)(2x−1+1)2(x−1)=2x−1+12입니다. 대입하면 1+12=1입니다.
문제 16. (심화) limx→0x3tanx−sinx을 구하시오. 답.21. 풀이.tanx−sinx=cosxsinx−sinx=sinx⋅cosx1−cosx입니다. 따라서 식은 xsinx⋅x21−cosx⋅cosx1로 쪼갤 수 있습니다. 각 인수의 극한은 xsinx→1, x21−cosx→21, cosx1→1입니다. 곱하면 1⋅21⋅1=21입니다.
문제 17. (심화) 다항함수 f에 대해 limx→2x−2f(x)=3이 성립할 때 limx→2x2−4f(x)를 구하시오. 답.43. 풀이. 극한이 유한하고 분모가 0으로 가므로 분자도 0으로 가야 합니다. 즉 f(2)=0입니다. 구하는 식을 변형하면 x2−4f(x)=x−2f(x)⋅x+21입니다. 첫 인수의 극한은 3, 둘째 인수의 극한은 2+21=41이므로, 곱하면 3⋅41=43입니다.
문제 18. (심화) limx→01+x−1−xx를 구하시오. 답.1. 풀이. 분모에 켤레 1+x+1−x를 곱합니다. 분모는 (1+x)−(1−x)=2x가 되어 식은 2xx(1+x+1−x)=21+x+1−x입니다. 대입하면 21+1=1입니다.
문제 19. (심화) limx→∞xsinx1를 구하시오. 답.1. 풀이.t=x1로 치환하면 x→∞일 때 t→0+이고 x=t1입니다. 식은 t1sint=tsint가 되고, t→0에서 tsint→1이므로 극한은 1입니다.
문제 20. (표준) f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x−2x2+x−6k(x=2)(x=2)가 x=2에서 연속이 되게 하는 k를 구하시오. 답.k=5. 풀이.x=2이면 분자 x2+x−6=(x−2)(x+3)이므로 x−2(x−2)(x+3)=x+3입니다. 극한은 limx→2(x+3)=5입니다. 연속이려면 k=limx→2f(x)=5여야 합니다.
문제 21. (표준) f(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x+a3x2+b(x<1)(x=1)(x>1)가 x=1에서 연속이 되게 하는 a,b를 구하시오. 답.a=1, b=2. 풀이. 연속이려면 좌극한 = 우극한 = 함숫값 =3이어야 합니다. 좌극한은 limx→1−(2x+a)=2+a이므로 2+a=3, 즉 a=1입니다. 우극한은 limx→1+(x2+b)=1+b이므로 1+b=3, 즉 b=2입니다.
문제 22. (표준) f(x)=x2−2x−3x2−9의 불연속점을 모두 찾고 각각의 종류를 분류하시오. 답.x=3은 제거가능 불연속, x=−1은 무한 불연속. 풀이. 분모 x2−2x−3=(x−3)(x+1)이므로 분모가 0인 점은 x=3, x=−1입니다. 분자는 x2−9=(x−3)(x+3)입니다. 약분하면 x+1x+3입니다(x=3). x=3에서는 약분되어 극한이 3+13+3=46=23로 유한하므로 제거가능 불연속입니다. x=−1에서는 약분 후에도 분모가 0이고 분자 −1+3=2=0이라 발산하므로 무한 불연속입니다.
문제 23. (표준) f(x)=∣x−1∣x−1⋅x의 x=1에서의 불연속 종류를 말하시오. 답. 도약 불연속입니다. 풀이.x>1이면 ∣x−1∣=x−1이라 ∣x−1∣x−1=1이므로 f(x)=x, 우극한은 limx→1+x=1입니다. x<1이면 ∣x−1∣=−(x−1)이라 값이 −1이므로 f(x)=−x, 좌극한은 limx→1−(−x)=−1입니다. 좌·우극한 −1과 1이 모두 존재하나 다르므로 도약 불연속입니다.
문제 24. (심화) f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧xx+4−2c(x=0)(x=0)가 x=0에서 연속이 되게 하는 c를 구하시오. 답.c=41. 풀이.x=0에서 분자에 켤레 x+4+2를 곱하면 x(x+4+2)(x+4)−4=x(x+4+2)x=x+4+21입니다. 극한은 2+21=41이므로 연속이려면 c=41입니다.
문제 25. (심화) f(x)=⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧xsin2xax+b(x<0)(x=0)(x>0)가 x=0에서 연속이 되게 하는 a,b를 구하시오. 답.a=2, b=2. 풀이. 좌극한은 limx→0−xsin2x=2limx→0−2xsin2x=2입니다. 우극한은 limx→0+(x+b)=b입니다. 연속이려면 좌극한 = 우극한 = 함숫값이므로 2=b=a, 즉 a=2, b=2입니다.
문제 26. (심화) f(x)=x3−6x+2가 서로 겹치지 않는 세 구간에서 각각 실근을 하나씩 가짐을 중간값 정리로 보이시오. 답.(−3,−2), (0,1), (2,3)에 각각 근이 있습니다. 풀이.f는 다항함수라 연속입니다. f(−3)=−27+18+2=−7<0, f(−2)=−8+12+2=6>0이므로 (−3,−2)에 근이 있습니다. f(0)=2>0, f(1)=1−6+2=−3<0이므로 (0,1)에 근이 있습니다. f(2)=8−12+2=−2<0, f(3)=27−18+2=11>0이므로 (2,3)에 근이 있습니다. 세 구간이 겹치지 않으므로 서로 다른 세 근이 존재합니다.
문제 27. (심화) 연속함수 f가 f(0)=1, f(2)=5를 만족할 때, 방정식 f(x)=x+2가 구간 (0,2)에서 적어도 하나의 해를 가짐을 보이시오. 답. 적어도 하나 존재합니다. 풀이.g(x)=f(x)−(x+2)로 두면 g는 연속입니다. g(0)=f(0)−2=1−2=−1<0이고 g(2)=f(2)−4=5−4=1>0입니다. g가 연속이고 g(0)과 g(2)의 부호가 다르므로 중간값 정리에 의해 g(c)=0인 c가 (0,2)에 있습니다. 이때 f(c)=c+2이므로 원래 방정식의 해입니다.
문제 28. (심화) f(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ax+bx2cx+1(x≤1)(1<x<3)(x≥3)가 x=1과 x=3에서 모두 연속이고 a=3일 때 b,c를 구하시오. 답.b=−2, c=38. 풀이.x=1: 좌극한 겸 함숫값 a+b=3+b, 우극한 limx→1+x2=1. 같다고 놓으면 3+b=1, b=−2입니다. x=3: 좌극한 limx→3−x2=9, 우극한 겸 함숫값 c⋅3+1=3c+1. 같다고 놓으면 3c+1=9, 3c=8, c=38입니다.
문제 29. (표준) limx→∞x2+5(2x−1)(3x+2)를 구하시오. 답.6. 풀이. 분자를 전개하면 (2x−1)(3x+2)=6x2+4x−3x−2=6x2+x−2입니다. 분자·분모 모두 2차이므로 최고차 계수의 비를 봅니다. x2으로 나누면 1+5/x26+1/x−2/x2→16=6입니다.
문제 30. (표준) limx→∞(x−1x2−x+1x2)을 구하시오. 답.2. 풀이. 두 분수를 통분합니다. (x−1)(x+1)x2(x+1)−x2(x−1)=x2−1x2⋅2=x2−12x2입니다. 분자·분모 모두 2차이므로 x2으로 나누면 1−1/x22→2입니다.
문제 31. (표준) limx→∞(x2+5x−x2+x)을 구하시오. 답.2. 풀이. 켤레 x2+5x+x2+x를 곱합니다. 분자는 (x2+5x)−(x2+x)=4x가 되어 x2+5x+x2+x4x입니다. x>0이므로 분모·분자를 x로 나누면 1+5/x+1+1/x4→1+14=2입니다.
문제 32. (표준) limx→−∞x+14x2+1을 구하시오. 답.−2. 풀이.x→−∞이므로 x<0입니다. 근호를 묶어낼 때 x2=∣x∣=−x에 주의합니다. 4x2+1=∣x∣4+1/x2=−x4+1/x2입니다. 따라서 x+1−x4+1/x2=1+1/x−4+1/x2→1−4=−2입니다. 부호에 주의하지 않으면 +2로 틀립니다.
문제 33. (표준) f(x)=x2−42x2−3x−2의 수평점근선과 수직점근선을 모두 구하시오. 답. 수평 y=2, 수직 x=−2(단, x=2는 제거가능 불연속으로 점근선 아님). 풀이. 최고차가 둘 다 2차이므로 수평점근선은 계수 비 12=2, 즉 y=2입니다. 분모 x2−4=(x−2)(x+2)가 0인 점은 x=2, x=−2입니다. 분자 2x2−3x−2=(2x+1)(x−2)이므로 x=2는 약분되어 극한이 유한합니다(limx→2x+22x+1=45). 따라서 x=2는 수직점근선이 아니라 제거가능 불연속이고, x=−2에서는 분자 2(−2)+1=−3=0이라 발산하므로 수직점근선 x=−2입니다.
문제 34. (심화) limx→∞(x2+ax−x)=3이 되도록 상수 a를 정하시오. 답.a=6. 풀이. 켤레 x2+ax+x를 곱하면 x2+ax+x(x2+ax)−x2=x2+ax+xax입니다. x>0이므로 x로 나누면 1+a/x+1a→1+1a=2a입니다. 이 값이 3이어야 하므로 2a=3, 즉 a=6입니다.
문제 35. (심화) limx→∞2x−3ax2+bx+1이 21x를 뺐을 때 유한한 극한을 가지도록 a를 정하시오. 즉 limx→∞(2x−3ax2+bx+1−21x)이 유한하도록 하시오. 답.a=1. 풀이. 이 유리함수는 분자 차수가 분모보다 1 크면 기울어진 직선 점근선을 가집니다. 다항식 나눗셈에서 몫의 일차항은 2xax2=2ax입니다. 주어진 식이 21x를 빼서 유한해지려면 몫의 기울기가 21와 같아야 하므로 2a=21, 즉 a=1입니다.
문제 37. (심화) limx→∞x(x2+1−x)를 구하시오. 답.21. 풀이. 안쪽을 먼저 켤레로 유리화합니다. x2+1−x=x2+1+x(x2+1)−x2=x2+1+x1입니다. 따라서 전체는 x2+1+xx입니다. x>0이므로 x로 나누면 1+1/x2+11→1+11=21입니다.
문제 38. (심화) limx→∞(x2+2x−x2−2x)를 구하고, 같은 식에서 x→−∞일 때의 극한도 구하시오. 답.x→∞일 때 2, x→−∞일 때 −2. 풀이. 켤레를 곱하면 분자는 (x2+2x)−(x2−2x)=4x가 되어 x2+2x+x2−2x4x입니다. x→∞(x>0)에서는 x2⋯=x⋯이므로 x로 나누면 1+2/x+1−2/x4→24=2입니다. x→−∞(x<0)에서는 x2⋯=−x⋯이므로 분모가 −x(⋯+⋯)가 되어 −x(⋯)4x=−(1+2/x+1−2/x)4→−24=−2입니다.