집합 X의 각 원소 x에 대해, 집합 Y의 원소 y를 정확히 하나 대응시키는 규칙을 함수라 하고 f:X→Y로 씁니다.
여기서 가장 중요한 말은 정확히 하나입니다. 입력 하나에 출력이 두 개면 함수가 아닙니다.
예를 들어 f(x)=x2은 함수입니다. x=3을 넣으면 9 하나가 나옵니다.
f(3)=32=9
반대로 "y2=x에서 x에 대응하는 y"는 함수가 아닙니다. x=4를 넣으면 y=2와 y=−2 두 개가 나오기 때문입니다.
입력들의 모임을 정의역, 실제로 나오는 출력들의 모임을 치역이라 합니다.
문제 1. (기초) f(x)=2x+1일 때 f(0), f(3), f(−2)를 구하시오. 답.f(0)=1, f(3)=7, f(−2)=−3. 풀이. 대입만 하면 됩니다. f(0)=2⋅0+1=1. f(3)=2⋅3+1=7. f(−2)=2⋅(−2)+1=−4+1=−3.
문제 2. (기초) 다음 대응 중 함수인 것을 고르시오. (가) 사람에게 그 사람의 생년월일을 대응. (나) 사람에게 그 사람의 형제를 대응. 답. (가)만 함수입니다. 풀이. (가)는 사람 한 명에게 생년월일이 정확히 하나 정해지므로 함수입니다. (나)는 형제가 없거나 여럿일 수 있어 "정확히 하나"가 깨지므로 함수가 아닙니다.
문제 3. (표준) f(x)=x2−x일 때 f(a+1)을 전개하시오. 답.f(a+1)=a2+a. 풀이.x 자리에 a+1을 넣습니다. f(a+1)=(a+1)2−(a+1). 전개하면 (a2+2a+1)−(a+1)=a2+2a+1−a−1=a2+a.
문제 4. (표준) f(x)=3x−4일 때 f(x)=5가 되는 x를 구하시오. 답.x=3. 풀이.3x−4=5이므로 3x=9, 따라서 x=3입니다.
두 결과 (x+1)2과 x2+1은 다릅니다. 그러므로 합성의 순서를 바꾸면 결과가 달라집니다.
문제 1. (기초) f(x)=2x, g(x)=x+3일 때 (g∘f)(x)를 구하시오. 답.(g∘f)(x)=2x+3. 풀이.(g∘f)(x)=g(f(x))=g(2x)=2x+3입니다.
문제 2. (표준) 같은 f,g에 대해 (f∘g)(x)를 구하고 (g∘f)(x)와 비교하시오. 답.(f∘g)(x)=2x+6이고, (g∘f)(x)=2x+3과 다릅니다. 풀이.(f∘g)(x)=f(g(x))=f(x+3)=2(x+3)=2x+6. 앞 문제의 2x+3과 다르므로 순서가 결과를 바꿉니다.
문제 3. (표준) f(x)=x2, g(x)=x−1일 때 (f∘g)(3)을 구하시오. 답.4. 풀이. 안쪽부터 계산합니다. g(3)=3−1=2. 그다음 f(2)=22=4입니다.
문제 4. (심화) f(x)=x+2이고 (g∘f)(x)=x2+4x+5일 때 g(x)를 구하시오. 답.g(x)=x2+1. 풀이.(g∘f)(x)=g(x+2)=x2+4x+5입니다. t=x+2로 두면 x=t−2이므로 오른쪽을 t로 바꿉니다. x2+4x+5=(x+2)2+1=t2+1입니다. 따라서 g(t)=t2+1, 즉 g(x)=x2+1입니다. 검산하면 g(x+2)=(x+2)2+1=x2+4x+5로 맞습니다.
문제 2. (표준) f(x)=x3+x가 기함수인지 판정하시오. 답. 기함수입니다. 풀이.f(−x)=(−x)3+(−x)=−x3−x=−(x3+x)=−f(x)입니다. 따라서 기함수입니다.
문제 3. (표준) y=x2을 왼쪽으로 1, 아래로 4 옮긴 식을 쓰시오. 답.y=(x+1)2−4. 풀이. 왼쪽으로 1은 x 자리에 x+1, 아래로 4는 −4입니다. 따라서 y=(x+1)2−4입니다.
문제 4. (심화) y=(x−2)2+3의 꼭짓점을 구하고, 우함수·기함수 중 어느 것도 아님을 설명하시오. 답. 꼭짓점 (2,3). 어느 대칭도 아닙니다. 풀이.y=x2의 꼭짓점 (0,0)을 오른쪽 2, 위로 3 옮기므로 꼭짓점은 (2,3)입니다. g(x)=(x−2)2+3에 대해 g(−x)=(−x−2)2+3=(x+2)2+3인데, 이는 g(x)=(x−2)2+3과도 다르고 −g(x)와도 다르므로 우함수도 기함수도 아닙니다.
문제 1. (기초) f(x)=2x−1일 때 f(5)를 구하시오. 답.2. 풀이.f(5)=25−1=24=2입니다.
문제 2. (기초) f(x)=x+4의 정의역을 구하시오. 답.x≥−4. 풀이. 근호 안 x+4≥0이므로 x≥−4입니다.
문제 3. (표준) f(x)=x2+1, g(x)=2x−3일 때 (f∘g)(2)를 구하시오. 답.2. 풀이.g(2)=2⋅2−3=1. 그다음 f(1)=12+1=2입니다.
문제 4. (표준) f(x)=5x+2의 역함수를 구하시오. 답.f−1(x)=5x−2. 풀이.y=5x+2에서 5x=y−2, x=5y−2. 이름을 바꾸면 f−1(x)=5x−2입니다.
문제 5. (표준) f(x)=x−32x+1의 정의역을 구하시오. 답.x=3인 모든 실수. 풀이. 분모 x−3=0이어야 하므로 x=3입니다.
문제 6. (표준) f(x)=x2, g(x)=x+a이고 (g∘f)(2)=7일 때 a를 구하시오. 답.a=3. 풀이.f(2)=4이므로 (g∘f)(2)=g(4)=4+a=7. 따라서 a=3입니다.
문제 7. (표준) f(x)=x3−2x가 기함수임을 보이시오. 답. 기함수입니다. 풀이.f(−x)=(−x)3−2(−x)=−x3+2x=−(x3−2x)=−f(x)입니다.
문제 8. (표준) y=x2을 오른쪽으로 3 옮긴 뒤 위로 1 옮긴 식과 그 꼭짓점을 구하시오. 답.y=(x−3)2+1, 꼭짓점 (3,1). 풀이. 오른쪽 3은 x→x−3, 위로 1은 +1. 꼭짓점은 (3,1)입니다.
문제 9. (심화) f(x)=2x−1, g(x)=x2일 때 (f∘g)(x)=(g∘f)(x)가 되는 x를 모두 구하시오. 답.x=1. 풀이.(f∘g)(x)=f(x2)=2x2−1. (g∘f)(x)=g(2x−1)=(2x−1)2=4x2−4x+1. 두 식을 같다고 놓으면 2x2−1=4x2−4x+1. 정리하면 0=2x2−4x+2, 즉 x2−2x+1=0, (x−1)2=0. 따라서 x=1입니다.
문제 10. (심화) f(x)=x−1의 역함수와 그 정의역을 구하시오. 답.f−1(x)=x2+1, 정의역 x≥0. 풀이.y=x−1에서 y≥0이고 y2=x−1, 즉 x=y2+1. 이름을 바꾸면 f−1(x)=x2+1입니다. 원래 함수의 치역이 y≥0이었으므로 역함수의 정의역은 x≥0입니다.
문제 11. (심화) f(x)=x1일 때 (f∘f)(x)를 구하시오. (x=0) 답.(f∘f)(x)=x. 풀이.f(f(x))=f(x1)=1/x1=x입니다. 즉 f는 자기 자신이 역함수입니다.
문제 12. (심화) f(x)=x2 (x≥0)와 f(x)=x2 (모든 실수) 중 역함수를 가지는 것은 어느 쪽인지 설명하시오. 답.x≥0으로 제한한 쪽만 역함수를 가집니다. 풀이. 모든 실수에서 x2은 2와 −2가 모두 4로 가서 일대일이 아니므로 되돌릴 수 없습니다. x≥0으로 제한하면 서로 다른 입력이 서로 다른 출력으로 가서 일대일이 되고, 역함수 x를 가집니다.