미분과 적분은 모두 "한없이 가까이 가면 어떻게 되는가"라는 질문 위에 세워집니다. 그 질문을 정확히 적는 도구가 극한입니다. 이 강의는 극한을 말로 정의하고, 손으로 계산하는 방법을 단계별로 익힙니다.
극한 x → a f ( x ) = L lim x → a f ( x ) = L
좌극한과 우극한을 구분하고, 극한 존재 조건을 판정할 수 있습니다.
대입, 인수분해, 유리화로 0 / 0 0 / 0
극한 법칙(합·곱·몫)을 정확히 적용할 수 있습니다.
x → 0 sin x x = 1 lim x → 0 x sin x = 1
기호
읽는 법
뜻
x → a f ( x ) lim x → a f ( x ) 엑스가 에이로 갈 때 에프의 극한
x x a a f ( x ) f ( x )
x → a − x → a − 엑스가 에이 왼쪽에서
x x a a
x → a + x → a + 엑스가 에이 오른쪽에서
x x a a
L L 엘
극한값
\tfrac{0}
영 분의 영
그대로는 값이 정해지지 않는 부정형
극한의 정의는 이렇습니다.
x x a a x ≠ a x = a f ( x ) f ( x ) L L x → a f ( x ) = L lim x → a f ( x ) = L
핵심은 x ≠ a x = a a a a a
예를 들어
f ( x ) = x 2 − 1 x − 1 f ( x ) = x − 1 x 2 − 1
는 x = 1 x = 1 x ≠ 1 x = 1
x 2 − 1 x − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) x − 1 = x + 1 x − 1 x 2 − 1 = x − 1 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = x + 1
이므로, x x f ( x ) f ( x ) 1 + 1 = 2 1 + 1 = 2
x → 1 x 2 − 1 x − 1 = 2 x → 1 lim x − 1 x 2 − 1 = 2
입니다. f ( 1 ) f ( 1 )
문제 1. (기초) f ( x ) = x + 3 f ( x ) = x + 3 x → 2 f ( x ) lim x → 2 f ( x ) 답. 5 5 풀이. x x x + 3 x + 3 2 + 3 = 5 2 + 3 = 5
문제 2. (기초) g ( x ) = ( x − 4 ) ( x + 1 ) x − 4 g ( x ) = x − 4 ( x − 4 ) ( x + 1 ) x → 4 g ( x ) lim x → 4 g ( x ) 답. 5 5 풀이. x ≠ 4 x = 4 ( x − 4 ) ( x + 1 ) x − 4 = x + 1 x − 4 ( x − 4 ) ( x + 1 ) = x + 1 4 + 1 = 5 4 + 1 = 5 g ( 4 ) g ( 4 )
문제 3. (표준) f ( x ) = { x 2 ( x ≠ 2 ) 100 ( x = 2 ) f ( x ) = { x 2 1 0 0 ( x = 2 ) ( x = 2 ) x → 2 f ( x ) lim x → 2 f ( x ) 답. 4 4 풀이. 극한은 x ≠ 2 x = 2 f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 2 2 = 4 2 2 = 4 f ( 2 ) = 100 f ( 2 ) = 1 0 0
x x a a
x → a − f ( x ) , x → a + f ( x ) x → a − lim f ( x ) , x → a + lim f ( x )
극한이 존재할 조건은 이렇습니다.
좌극한과 우극한이 모두 존재하고 서로 같을 때에만 x → a f ( x ) lim x → a f ( x )
예를 들어 절댓값 함수의 부호를 생각해 봅시다.
f ( x ) = ∣ x ∣ x f ( x ) = x ∣ x ∣
x > 0 x > 0 ∣ x ∣ = x ∣ x ∣ = x f ( x ) = 1 f ( x ) = 1 x < 0 x < 0 ∣ x ∣ = − x ∣ x ∣ = − x f ( x ) = − 1 f ( x ) = − 1
따라서
x → 0 + f ( x ) = 1 , x → 0 − f ( x ) = − 1 x → 0 + lim f ( x ) = 1 , x → 0 − lim f ( x ) = − 1
두 값이 다르므로 x → 0 f ( x ) lim x → 0 f ( x )
문제 1. (기초) f ( x ) = ∣ x ∣ x f ( x ) = x ∣ x ∣ x → 0 + f ( x ) lim x → 0 + f ( x ) 답. 1 1 풀이. x > 0 x > 0 ∣ x ∣ = x ∣ x ∣ = x ∣ x ∣ x = x x = 1 x ∣ x ∣ = x x = 1
문제 2. (표준) f ( x ) = { x + 1 ( x < 1 ) 3 x ( x ≥ 1 ) f ( x ) = { x + 1 3 x ( x < 1 ) ( x ≥ 1 ) x → 1 f ( x ) lim x → 1 f ( x ) 답. 존재하지 않습니다.풀이. 좌극한은 x < 1 x < 1 x → 1 − ( x + 1 ) = 2 lim x → 1 − ( x + 1 ) = 2 x ≥ 1 x ≥ 1 x → 1 + 3 x = 3 lim x → 1 + 3 x = 3 2 ≠ 3 2 = 3
문제 3. (표준) f ( x ) = { x 2 ( x < 2 ) 2 x ( x ≥ 2 ) f ( x ) = { x 2 2 x ( x < 2 ) ( x ≥ 2 ) x → 2 f ( x ) lim x → 2 f ( x ) 답. 4 4 풀이. 좌극한 x → 2 − x 2 = 4 lim x → 2 − x 2 = 4 x → 2 + 2 x = 4 lim x → 2 + 2 x = 4
문제 4. (심화) f ( x ) = { x + a ( x < 0 ) x 2 + 1 ( x ≥ 0 ) f ( x ) = { x + a x 2 + 1 ( x < 0 ) ( x ≥ 0 ) x → 0 f ( x ) lim x → 0 f ( x ) a a 답. a = 1 a = 1 풀이. 좌극한 x → 0 − ( x + a ) = a lim x → 0 − ( x + a ) = a x → 0 + ( x 2 + 1 ) = 1 lim x → 0 + ( x 2 + 1 ) = 1 a = 1 a = 1
다항함수, 그리고 정의역 안의 점에서는 유리함수·근호함수 대부분이 연속입니다. 연속인 점에서는 극한이 곧 함숫값입니다.
x → a f ( x ) = f ( a ) x → a lim f ( x ) = f ( a )
그래서 먼저 대입해 봅니다. 값이 잘 나오면 그것이 답입니다.
예를 들어
x → 3 ( x 2 − 2 x + 5 ) = 3 2 − 2 ⋅ 3 + 5 = 9 − 6 + 5 = 8 x → 3 lim ( x 2 − 2 x + 5 ) = 3 2 − 2 ⋅ 3 + 5 = 9 − 6 + 5 = 8
문제는 대입했을 때 0 0 0 0
문제 1. (기초) x → 2 ( 3 x 2 − x ) lim x → 2 ( 3 x 2 − x ) 답. 10 1 0 풀이. 다항식이므로 대입합니다. 3 ⋅ 2 2 − 2 = 12 − 2 = 10 3 ⋅ 2 2 − 2 = 1 2 − 2 = 1 0
문제 2. (기초) x → 1 x + 3 x + 1 lim x → 1 x + 1 x + 3 답. 2 2 풀이. 대입하면 분모 1 + 1 = 2 ≠ 0 1 + 1 = 2 = 0 1 + 3 1 + 1 = 4 2 = 2 1 + 1 1 + 3 = 2 4 = 2
문제 3. (표준) x → 4 2 x + 1 lim x → 4 2 x + 1 답. 3 3 풀이. 근호 안이 2 ⋅ 4 + 1 = 9 ≥ 0 2 ⋅ 4 + 1 = 9 ≥ 0 9 = 3 9 = 3
대입해서 0 0 0 0
예를 들어
x → 3 x 2 − 9 x − 3 x → 3 lim x − 3 x 2 − 9
를 봅시다. 대입하면 9 − 9 3 − 3 = 0 0 3 − 3 9 − 9 = 0 0
x 2 − 9 x − 3 = ( x − 3 ) ( x + 3 ) x − 3 = x + 3 ( x ≠ 3 ) x − 3 x 2 − 9 = x − 3 ( x − 3 ) ( x + 3 ) = x + 3 ( x = 3 )
이제 대입하면
x → 3 ( x + 3 ) = 6 x → 3 lim ( x + 3 ) = 6
입니다.
문제 1. (기초) x → 2 x 2 − 4 x − 2 lim x → 2 x − 2 x 2 − 4 답. 4 4 풀이. x 2 − 4 x − 2 = ( x − 2 ) ( x + 2 ) x − 2 = x + 2 x − 2 x 2 − 4 = x − 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) = x + 2 2 + 2 = 4 2 + 2 = 4
문제 2. (표준) x → 1 x 2 − 3 x + 2 x − 1 lim x → 1 x − 1 x 2 − 3 x + 2 답. − 1 − 1 풀이. 분자를 인수분해하면 x 2 − 3 x + 2 = ( x − 1 ) ( x − 2 ) x 2 − 3 x + 2 = ( x − 1 ) ( x − 2 ) x − 2 x − 2 1 − 2 = − 1 1 − 2 = − 1
문제 3. (표준) x → − 2 x 2 − x − 6 x + 2 lim x → − 2 x + 2 x 2 − x − 6 답. − 5 − 5 풀이. 분자는 x 2 − x − 6 = ( x + 2 ) ( x − 3 ) x 2 − x − 6 = ( x + 2 ) ( x − 3 ) x − 3 x − 3 − 2 − 3 = − 5 − 2 − 3 = − 5
문제 4. (심화) x → 1 x 3 − 1 x 2 − 1 lim x → 1 x 2 − 1 x 3 − 1 답. 3 2 2 3 풀이. 분자 x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) x 3 − 1 = ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) x 2 − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) x 2 − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) x − 1 x − 1 x 2 + x + 1 x + 1 x + 1 x 2 + x + 1 1 + 1 + 1 1 + 1 = 3 2 1 + 1 1 + 1 + 1 = 2 3
분자나 분모에 근호가 있고 0 0 0 0
예를 들어
x → 0 x + 1 − 1 x x → 0 lim x x + 1 − 1
를 봅시다. 대입하면 1 − 1 0 = 0 0 0 1 − 1 = 0 0 x + 1 + 1 x + 1 + 1
x + 1 − 1 x ⋅ x + 1 + 1 x + 1 + 1 = ( x + 1 ) − 1 x ( x + 1 + 1 ) = x x ( x + 1 + 1 ) x x + 1 − 1 ⋅ x + 1 + 1 x + 1 + 1 = x ( x + 1 + 1 ) ( x + 1 ) − 1 = x ( x + 1 + 1 ) x
x x
1 x + 1 + 1 x + 1 + 1 1
이제 대입하면
x → 0 1 x + 1 + 1 = 1 1 + 1 = 1 2 x → 0 lim x + 1 + 1 1 = 1 + 1 1 = 2 1
입니다.
문제 1. (표준) x → 0 x + 4 − 2 x lim x → 0 x x + 4 − 2 답. 1 4 4 1 풀이. 켤레 x + 4 + 2 x + 4 + 2 ( x + 4 ) − 4 = x ( x + 4 ) − 4 = x x x ( x + 4 + 2 ) = 1 x + 4 + 2 x ( x + 4 + 2 ) x = x + 4 + 2 1 1 2 + 2 = 1 4 2 + 2 1 = 4 1
문제 2. (표준) x → 9 x − 9 x − 3 lim x → 9 x − 3 x − 9 답. 6 6 풀이. 분모의 켤레 x + 3 x + 3 ( x ) 2 − 9 = x − 9 ( x ) 2 − 9 = x − 9 ( x − 9 ) ( x + 3 ) x − 9 = x + 3 x − 9 ( x − 9 ) ( x + 3 ) = x + 3 9 + 3 = 6 9 + 3 = 6
문제 3. (심화) x → 0 1 + x − 1 − x x lim x → 0 x 1 + x − 1 − x 답. 1 1 풀이. 켤레 1 + x + 1 − x 1 + x + 1 − x ( 1 + x ) − ( 1 − x ) = 2 x ( 1 + x ) − ( 1 − x ) = 2 x 2 x x ( 1 + x + 1 − x ) = 2 1 + x + 1 − x x ( 1 + x + 1 − x ) 2 x = 1 + x + 1 − x 2 2 1 + 1 = 1 1 + 1 2 = 1
극한은 다음 법칙을 따릅니다. 두 극한이 모두 존재하면,
lim ( f ± g ) = lim f ± lim g , lim ( f g ) = lim f ⋅ lim g , lim f g = lim f lim g ( lim g ≠ 0 ) lim ( f ± g ) = lim f ± lim g , lim ( f g ) = lim f ⋅ lim g , lim g f = lim g lim f ( lim g = 0 )
삼각함수에서는 다음 기본 극한이 핵심입니다.
x → 0 sin x x = 1 x → 0 lim x sin x = 1
이 극한은 라디안으로 잰 각에서 성립합니다. 여기서 다음도 따라 나옵니다.
x → 0 1 − cos x x = 0 , x → 0 tan x x = 1 x → 0 lim x 1 − cos x = 0 , x → 0 lim x tan x = 1
tan x = sin x cos x tan x = cos x sin x
tan x x = sin x x ⋅ 1 cos x → 1 ⋅ 1 1 = 1 x tan x = x sin x ⋅ cos x 1 → 1 ⋅ 1 1 = 1
로 얻습니다.
문제 1. (기초) x → 0 sin 3 x 3 x lim x → 0 3 x sin 3 x 답. 1 1 풀이. t = 3 x t = 3 x x → 0 x → 0 t → 0 t → 0 sin t t → 1 t sin t → 1
문제 2. (표준) x → 0 sin 5 x x lim x → 0 x sin 5 x 답. 5 5 풀이. sin 5 x x = 5 ⋅ sin 5 x 5 x x sin 5 x = 5 ⋅ 5 x sin 5 x sin 5 x 5 x → 1 5 x sin 5 x → 1 5 ⋅ 1 = 5 5 ⋅ 1 = 5
문제 3. (표준) x → 0 sin 2 x sin 3 x lim x → 0 sin 3 x sin 2 x 답. 2 3 3 2 풀이. sin 2 x sin 3 x = sin 2 x 2 x ⋅ 3 x sin 3 x ⋅ 2 x 3 x sin 3 x sin 2 x = 2 x sin 2 x ⋅ sin 3 x 3 x ⋅ 3 x 2 x 2 3 3 2 2 3 3 2
문제 4. (심화) x → 0 1 − cos x x 2 lim x → 0 x 2 1 − cos x 답. 1 2 2 1 풀이. 켤레 1 + cos x 1 + cos x 1 − 2 x = 2 x 1 − cos 2 x = sin 2 x 2 x x 2 ( 1 + cos x ) = ( sin x x ) 2 ⋅ 1 1 + cos x x 2 ( 1 + cos x ) sin 2 x = ( x sin x ) 2 ⋅ 1 + cos x 1 1 2 ⋅ 1 1 + 1 = 1 2 1 2 ⋅ 1 + 1 1 = 2 1
극한은 x ≠ a x = a f ( a ) f ( a )
극한 존재 ⟺ 좌극한 = 우극한.
먼저 대입. 잘 나오면 그것이 답(연속인 점).
0 0 0 0 0 0 0 0 극한 법칙: 합·차·곱·몫 각각 분배(단, 몫은 분모 극한 ≠ 0 = 0
삼각 기본: x → 0 sin x x = 1 lim x → 0 x sin x = 1 x → 0 1 − cos x x 2 = 1 2 lim x → 0 x 2 1 − cos x = 2 1
문제 1. (기초) x → 5 ( 2 x − 3 ) lim x → 5 ( 2 x − 3 ) 답. 7 7 풀이. 대입하면 2 ⋅ 5 − 3 = 7 2 ⋅ 5 − 3 = 7
문제 2. (기초) x → 0 x 2 + 2 x x lim x → 0 x x 2 + 2 x 답. 2 2 풀이. x 2 + 2 x x = x ( x + 2 ) x = x + 2 x x 2 + 2 x = x x ( x + 2 ) = x + 2 0 + 2 = 2 0 + 2 = 2
문제 3. (표준) x → 3 x 2 − 9 x 2 − 2 x − 3 lim x → 3 x 2 − 2 x − 3 x 2 − 9 답. 3 2 2 3 풀이. 분자 ( x − 3 ) ( x + 3 ) ( x − 3 ) ( x + 3 ) x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3 ) ( x + 1 ) x 2 − 2 x − 3 = ( x − 3 ) ( x + 1 ) x + 3 x + 1 x + 1 x + 3 6 4 = 3 2 4 6 = 2 3
문제 4. (표준) x → 0 x + 9 − 3 x lim x → 0 x x + 9 − 3 답. 1 6 6 1 풀이. 켤레 x + 9 + 3 x + 9 + 3 ( x + 9 ) − 9 = x ( x + 9 ) − 9 = x 1 x + 9 + 3 x + 9 + 3 1 1 3 + 3 = 1 6 3 + 3 1 = 6 1
문제 5. (표준) f ( x ) = { 2 x + 1 ( x < 3 ) x 2 − 2 ( x ≥ 3 ) f ( x ) = { 2 x + 1 x 2 − 2 ( x < 3 ) ( x ≥ 3 ) x → 3 f ( x ) lim x → 3 f ( x ) 답. 7 7 풀이. 좌극한 x → 3 − ( 2 x + 1 ) = 7 lim x → 3 − ( 2 x + 1 ) = 7 x → 3 + ( x 2 − 2 ) = 9 − 2 = 7 lim x → 3 + ( x 2 − 2 ) = 9 − 2 = 7
문제 6. (표준) x → 0 tan x x lim x → 0 x tan x 답. 1 1 풀이. tan x x = sin x x ⋅ 1 cos x x tan x = x sin x ⋅ cos x 1 1 ⋅ 1 1 = 1 1 ⋅ 1 1 = 1
문제 7. (표준) x → 4 x − 4 x − 2 lim x → 4 x − 2 x − 4 답. 4 4 풀이. 분모의 켤레 x + 2 x + 2 x − 4 x − 4 x + 2 x + 2 4 + 2 = 4 4 + 2 = 4
문제 8. (심화) x → 2 x 3 − 8 x − 2 lim x → 2 x − 2 x 3 − 8 답. 12 1 2 풀이. x 3 − 8 = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x 3 − 8 = ( x − 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 ) x 2 + 2 x + 4 x 2 + 2 x + 4 4 + 4 + 4 = 12 4 + 4 + 4 = 1 2
문제 9. (심화) x → 0 sin x x + x 2 lim x → 0 x + x 2 sin x 답. 1 1 풀이. sin x x + x 2 = sin x x ( 1 + x ) = sin x x ⋅ 1 1 + x x + x 2 sin x = x ( 1 + x ) sin x = x sin x ⋅ 1 + x 1 1 ⋅ 1 1 = 1 1 ⋅ 1 1 = 1
문제 10. (심화) x → 1 x − 1 x − 1 lim x → 1 x − 1 x − 1 답. 1 2 2 1 풀이. 분모 x − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) x − 1 = ( x − 1 ) ( x + 1 ) x − 1 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 1 x + 1 ( x − 1 ) ( x + 1 ) x − 1 = x + 1 1 1 1 + 1 = 1 2 1 + 1 1 = 2 1
문제 11. (심화) x → 0 1 − cos 2 x x 2 lim x → 0 x 2 1 − cos 2 x 답. 2 2 풀이. t = 2 x t = 2 x 1 − cos 2 x x 2 = 1 − cos 2 x ( 2 x ) 2 ⋅ 4 x 2 1 − cos 2 x = ( 2 x ) 2 1 − cos 2 x ⋅ 4 1 2 2 1 1 2 ⋅ 4 = 2 2 1 ⋅ 4 = 2 1 − cos 2 x = 2 2 x 1 − cos 2 x = 2 sin 2 x 2 2 x x 2 → 2 x 2 2 sin 2 x → 2
문제 12. (심화) x → 2 1 x − 1 2 x − 2 lim x → 2 x − 2 x 1 − 2 1 답. − 1 4 − 4 1 풀이. 분자를 통분하면 2 − x 2 x 2 x 2 − x 2 − x 2 x ( x − 2 ) = − ( x − 2 ) 2 x ( x − 2 ) = − 1 2 x 2 x ( x − 2 ) 2 − x = 2 x ( x − 2 ) − ( x − 2 ) = 2 x − 1 − 1 4 4 − 1
극한이 함숫값과 다를 수 있는 이유를 예로 설명할 수 있는가?
극한이 존재하려면 왜 좌극한과 우극한이 같아야 하는지 말할 수 있는가?
x → 3 x 2 − 2 x − 3 x − 3 lim x → 3 x − 3 x 2 − 2 x − 3 4 4 x → 0 x + 1 − 1 x lim x → 0 x x + 1 − 1 1 2 2 1 ∣ x ∣ x x ∣ x ∣ x → 0 x → 0 x → 0 sin 4 x 2 x lim x → 0 2 x sin 4 x 2 2 0 0 0 0 x → 0 1 − cos x x lim x → 0 x 1 − cos x 0 0