제거가능 불연속: 극한은 존재하는데 함숫값이 없거나 다른 경우. 점 하나만 고치면 연속이 됩니다. (예: 2.1의 문제 2)
도약 불연속: 좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 다른 경우. 그래프가 계단처럼 뜁니다.
무한 불연속: 한쪽 극한이 무한대로 발산하는 경우. (예: x1의 x=0)
예를 들어
f(x)=x−21
는 x=2에서 x→2+이면 +∞, x→2−이면 −∞로 발산하므로 무한 불연속입니다.
문제 1. (기초) f(x)=x∣x∣의 x=0에서의 불연속 종류를 말하시오. 답. 도약 불연속입니다. 풀이. 우극한 1, 좌극한 −1로 둘 다 존재하지만 다르므로 도약 불연속입니다.
문제 2. (표준) f(x)=x2−9x−3의 x=3에서의 불연속 종류를 말하시오. 답. 제거가능 불연속입니다. 풀이.(x−3)(x+3)x−3=x+31이므로 limx→3f(x)=61으로 극한이 존재합니다. 그런데 f(3)은 정의되지 않으므로, 점 하나만 채우면 연속이 됩니다. 따라서 제거가능입니다.
문제 3. (표준) f(x)=(x−1)21의 x=1에서의 불연속 종류를 말하시오. 답. 무한 불연속입니다. 풀이.x→1일 때 분모가 0으로 가고 값이 +∞로 발산하므로 무한 불연속입니다.
문제 4. (심화) f(x)=x−2x2−x−2의 x=2에서의 불연속을 분류하고, 연속이 되게 하는 f(2)를 구하시오. 답. 제거가능 불연속, f(2)=3. 풀이. 분자 x2−x−2=(x−2)(x+1)이므로 x−2(x−2)(x+1)=x+1, 극한은 2+1=3입니다. 극한이 존재하고 함숫값만 없으므로 제거가능이며, f(2)=3으로 정하면 연속입니다.
함수 f가 닫힌구간 [a,b]에서 연속이고 f(a)와 f(b)가 서로 다른 부호이면, f(c)=0인 c가 a와 b 사이에 적어도 하나 있습니다.
이 정리는 방정식 f(x)=0의 해가 어떤 구간 안에 있음을 보장합니다. 값은 못 구해도 존재는 증명할 수 있습니다.
예를 들어 f(x)=x3−x−1을 봅시다. f는 다항함수라 연속입니다.
f(1)=1−1−1=−1<0,f(2)=8−2−1=5>0
부호가 다르므로 f(c)=0인 c가 1과 2 사이에 있습니다. 즉 x3−x−1=0은 구간 (1,2)에 해를 가집니다.
문제 1. (표준) f(x)=x2−2가 구간 [1,2]에서 f(x)=0인 해를 가짐을 보이시오. 답. 가집니다. 풀이.f는 연속이고 f(1)=1−2=−1<0, f(2)=4−2=2>0. 부호가 다르므로 중간값 정리에 의해 (1,2)에 해가 있습니다. (실제로 2≈1.414)
문제 2. (표준) f(x)=x3−3x+1이 구간 (0,1)에 해를 가짐을 보이시오. 답. 가집니다. 풀이.f(0)=1>0, f(1)=1−3+1=−1<0. 연속이고 부호가 다르므로 (0,1)에 해가 있습니다.
문제 3. (심화) f(x)=cosx−x가 어떤 양수 구간에서 해를 가짐을 보이시오. 답.(0,1)에서 해를 가집니다. 풀이.f(0)=cos0−0=1>0입니다. f(1)=cos1−1인데 cos1≈0.540이므로 f(1)≈−0.460<0입니다. 연속이고 부호가 다르므로 (0,1)에 해가 있습니다.
문제 5. (표준) f(x)=x3+x−3이 구간 (1,2)에 해를 가짐을 보이시오. 답. 가집니다. 풀이.f(1)=1+1−3=−1<0, f(2)=8+2−3=7>0. 연속이고 부호가 다르므로 (1,2)에 해가 있습니다.
문제 6. (표준) f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧xsin3xk(x=0)(x=0)가 연속이 되게 하는 k를 구하시오. 답.k=3. 풀이.limx→0xsin3x=3(2강 방식)이므로 k=3이어야 연속입니다.
문제 7. (심화) f(x)=⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧ax+bx2cx(x≤1)(1<x<3)(x≥3)가 x=1과 x=3에서 모두 연속이고 a=2일 때 b,c를 구하시오. 답.b=−1, c=3. 풀이.x=1: 좌극한 a+b=2+b, 우극한 12=1. 같으면 2+b=1, b=−1. x=3: 좌극한 32=9, 우극한 3c. 같으면 3c=9, c=3입니다.
문제 8. (심화) f(x)=∣x−1∣x−1의 x=1에서의 불연속 종류를 말하시오. 답. 도약 불연속입니다. 풀이.x>1이면 ∣x−1∣=x−1이라 값이 1, x<1이면 ∣x−1∣=−(x−1)이라 값이 −1. 좌·우극한이 다르므로 도약입니다.
문제 9. (심화) f(x)=x5−3x+1이 서로 다른 구간에서 적어도 두 개의 해를 가짐을 보이시오. 답.(0,1)과 (1,2) 각각에 해가 있습니다. 풀이.f(0)=1>0, f(1)=1−3+1=−1<0이므로 (0,1)에 해가 있습니다. 또 f(1)=−1<0, f(2)=32−6+1=27>0이므로 (1,2)에도 해가 있습니다. 두 구간이 겹치지 않으므로 해는 최소 두 개입니다.
문제 10. (심화) f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧xx+1−1m(x=0,x>−1)(x=0)가 x=0에서 연속이 되게 하는 m을 구하시오. 답.m=21. 풀이. 2강에서 본 대로 limx→0xx+1−1=21입니다. 따라서 m=21여야 연속입니다.