지금까지는 x x a a x x
x → ∞ x → ∞ 수평점근선과 수직점근선을 구할 수 있습니다.
∞ − ∞ ∞ − ∞ ∞ / ∞ ∞ / ∞ 무한대를 숫자처럼 다루면 왜 틀리는지 설명할 수 있습니다.
기호
읽는 법
뜻
x → ∞ x → ∞ 엑스가 무한대로
x x
x → − ∞ x → − ∞ 엑스가 음의 무한대로
x x
lim = ∞ lim = ∞ 극한이 무한대
함숫값이 한없이 커져 수렴하지 않음
수평점근선
수평점근선
x → ± ∞ x → ± ∞ y = L y = L
수직점근선
수직점근선
함숫값이 발산하는 세로 직선 x = a x = a
x → ∞ f ( x ) = L lim x → ∞ f ( x ) = L x x f ( x ) f ( x ) L L
가장 기본은 이것입니다.
x → ∞ 1 x = 0 x → ∞ lim x 1 = 0
x x 1 x x 1 1 x 2 x 2 1 1 x 3 x 3 1
주의할 것은 ∞ ∞ ∞ − ∞ = 0 ∞ − ∞ = 0
문제 1. (기초) x → ∞ 5 x lim x → ∞ x 5 답. 0 0 풀이. 5 x = 5 ⋅ 1 x x 5 = 5 ⋅ x 1 1 x → 0 x 1 → 0
문제 2. (기초) x → ∞ ( 3 + 2 x ) lim x → ∞ ( 3 + x 2 ) 답. 3 3 풀이. 2 x → 0 x 2 → 0 3 + 0 = 3 3 + 0 = 3
문제 3. (기초) x → ∞ 7 x 2 lim x → ∞ x 2 7 답. 0 0 풀이. x 2 x 2 7 x 2 → 0 x 2 7 → 0
분수식 ( 다항식 ) ( 다항식 ) ( 다항식 ) ( 다항식 ) x → ∞ x → ∞
분자 최고차 차수를 m m n n
m < n m < n 0 0 m = n m = n m > n m > n ± ∞ ± ∞
예를 들어
x → ∞ 3 x 2 + x 2 x 2 − 5 x → ∞ lim 2 x 2 − 5 3 x 2 + x
를 봅시다. 분모 최고차 x 2 x 2
3 x 2 + x 2 x 2 − 5 = 3 + 1 x 2 − 5 x 2 2 x 2 − 5 3 x 2 + x = 2 − x 2 5 3 + x 1
x → ∞ x → ∞ 1 x → 0 x 1 → 0 5 x 2 → 0 x 2 5 → 0
x → ∞ 3 x 2 + x 2 x 2 − 5 = 3 + 0 2 − 0 = 3 2 x → ∞ lim 2 x 2 − 5 3 x 2 + x = 2 − 0 3 + 0 = 2 3
입니다. 분자·분모 최고차가 같으므로 계수의 비 3 2 2 3
문제 1. (표준) x → ∞ 2 x + 1 x − 3 lim x → ∞ x − 3 2 x + 1 답. 2 2 풀이. 분모 x x 2 + 1 / x 1 − 3 / x → 2 + 0 1 − 0 = 2 1 − 3 / x 2 + 1 / x → 1 − 0 2 + 0 = 2 2 1 1 2
문제 2. (표준) x → ∞ x 2 − 4 x 3 + 1 lim x → ∞ x 3 + 1 x 2 − 4 답. 0 0 풀이. 분자 차수 2가 분모 차수 3보다 작습니다. x 3 x 3 1 / x − 4 / x 3 1 + 1 / x 3 → 0 1 = 0 1 + 1 / x 3 1 / x − 4 / x 3 → 1 0 = 0
문제 3. (표준) x → ∞ 4 x 3 + 2 x 2 x 3 − x 2 lim x → ∞ 2 x 3 − x 2 4 x 3 + 2 x 답. 2 2 풀이. 최고차가 둘 다 3차이므로 계수 비 4 2 = 2 2 4 = 2 x 3 x 3 4 + 2 / x 2 2 − 1 / x → 4 2 = 2 2 − 1 / x 4 + 2 / x 2 → 2 4 = 2
문제 4. (심화) x → ∞ x 2 + 1 2 x + 3 lim x → ∞ 2 x + 3 x 2 + 1 답. ∞ ∞ 풀이. 분자 차수 2가 분모 차수 1보다 큽니다. x x x + 1 / x 2 + 3 / x 2 + 3 / x x + 1 / x x → ∞ x → ∞ → 2 → 2 + ∞ + ∞
∞ − ∞ ∞ − ∞
예를 들어
x → ∞ ( x 2 + x − x ) x → ∞ lim ( x 2 + x − x )
를 봅시다. 이는 ∞ − ∞ ∞ − ∞ x 2 + x + x x 2 + x + x
x 2 + x − x = ( x 2 + x − x ) ( x 2 + x + x ) x 2 + x + x = ( x 2 + x ) − x 2 x 2 + x + x = x x 2 + x + x x 2 + x − x = x 2 + x + x ( x 2 + x − x ) ( x 2 + x + x ) = x 2 + x + x ( x 2 + x ) − x 2 = x 2 + x + x x
이제 분모·분자를 x x x > 0 x > 0 x = x 2 x = x 2
x x 2 + x + x = 1 1 + 1 x + 1 x 2 + x + x x = 1 + x 1 + 1 1
x → ∞ x → ∞ 1 x → 0 x 1 → 0
x → ∞ ( x 2 + x − x ) = 1 1 + 1 = 1 2 x → ∞ lim ( x 2 + x − x ) = 1 + 1 1 = 2 1
입니다.
문제 1. (표준) x → ∞ ( x 2 + 4 x − x ) lim x → ∞ ( x 2 + 4 x − x ) 답. 2 2 풀이. 켤레를 곱하면 4 x x 2 + 4 x + x x 2 + 4 x + x 4 x x x 4 1 + 4 / x + 1 → 4 1 + 1 = 2 1 + 4 / x + 1 4 → 1 + 1 4 = 2
문제 2. (심화) x → ∞ ( x 2 + 3 x − x 2 − x ) lim x → ∞ ( x 2 + 3 x − x 2 − x ) 답. 2 2 풀이. 켤레 x 2 + 3 x + x 2 − x x 2 + 3 x + x 2 − x ( x 2 + 3 x ) − ( x 2 − x ) = 4 x ( x 2 + 3 x ) − ( x 2 − x ) = 4 x 4 x x 2 + 3 x + x 2 − x x 2 + 3 x + x 2 − x 4 x x x 4 1 + 3 / x + 1 − 1 / x → 4 1 + 1 = 2 1 + 3 / x + 1 − 1 / x 4 → 1 + 1 4 = 2
문제 3. (심화) x → ∞ 4 x 2 + 1 x + 2 lim x → ∞ x + 2 4 x 2 + 1 답. 2 2 풀이. 분자에서 x 2 x 2 4 x 2 + 1 = x 4 + 1 / x 2 4 x 2 + 1 = x 4 + 1 / x 2 x > 0 x > 0 x 4 + 1 / x 2 x + 2 = 4 + 1 / x 2 1 + 2 / x → 4 1 = 2 x + 2 x 4 + 1 / x 2 = 1 + 2 / x 4 + 1 / x 2 → 1 4 = 2
점근선은 그래프가 멀리서 붙어가는 직선입니다. 두 종류를 각각 다른 극한으로 찾습니다.
수평점근선은 x → ± ∞ x → ± ∞
x → ∞ f ( x ) = L lim x → ∞ f ( x ) = L x → − ∞ f ( x ) = L lim x → − ∞ f ( x ) = L y = L y = L
수직점근선은 특정 x = a x = a
x → a + f ( x ) = ± ∞ lim x → a + f ( x ) = ± ∞ x → a − f ( x ) = ± ∞ lim x → a − f ( x ) = ± ∞ x = a x = a
예를 들어
f ( x ) = 2 x + 1 x − 3 f ( x ) = x − 3 2 x + 1
를 봅시다. 수평점근선은
x → ∞ 2 x + 1 x − 3 = 2 x → ∞ lim x − 3 2 x + 1 = 2
이므로 y = 2 y = 2 x = 3 x = 3 2 ⋅ 3 + 1 = 7 ≠ 0 2 ⋅ 3 + 1 = 7 = 0 x = 3 x = 3
문제 1. (기초) f ( x ) = 1 x − 2 f ( x ) = x − 2 1 답. x = 2 x = 2 풀이. 분모가 0이 되는 x = 2 x = 2 x = 2 x = 2
문제 2. (표준) f ( x ) = 3 x − 1 x + 4 f ( x ) = x + 4 3 x − 1 답. 수평 y = 3 y = 3 x = − 4 x = − 4 풀이. x → ∞ x → ∞ 3 1 = 3 1 3 = 3 y = 3 y = 3 x = − 4 x = − 4 3 ( − 4 ) − 1 = − 13 ≠ 0 3 ( − 4 ) − 1 = − 1 3 = 0 x = − 4 x = − 4
문제 3. (표준) f ( x ) = x 2 x 2 + 1 f ( x ) = x 2 + 1 x 2 답. y = 1 y = 1 풀이. 최고차가 둘 다 2차이고 계수 비 1 1 = 1 1 1 = 1 y = 1 y = 1 x 2 + 1 x 2 + 1
문제 4. (심화) f ( x ) = x 2 − 1 x − 1 f ( x ) = x − 1 x 2 − 1 답. 점근선이 없습니다(단, x = 1 x = 1 풀이. x ≠ 1 x = 1 ( x − 1 ) ( x + 1 ) x − 1 = x + 1 x − 1 ( x − 1 ) ( x + 1 ) = x + 1 y = x + 1 y = x + 1 ( 1 , 2 ) ( 1 , 2 ) x → ∞ x → ∞ x = 1 x = 1
기본: x → ∞ 1 x k = 0 lim x → ∞ x k 1 = 0 k > 0 k > 0
무한대는 숫자가 아님. ∞ − ∞ ∞ − ∞
유리함수 x → ∞ x → ∞ m m n n m < n m < n m = n m = n m > n m > n
근호·∞ − ∞ ∞ − ∞ x > 0 x > 0 x 2 = x x 2 = x
수평점근선: x → ± ∞ x → ± ∞ L L y = L y = L
수직점근선: x = a x = a ≠ 0 = 0 x = a x = a
문제 1. (기초) x → ∞ 4 x + 1 lim x → ∞ x + 1 4 답. 0 0 풀이. 분모가 한없이 커지므로 0으로 갑니다.
문제 2. (기초) x → ∞ 6 x 3 x + 2 lim x → ∞ 3 x + 2 6 x 답. 2 2 풀이. 최고차 계수 비 6 3 = 2 3 6 = 2 x x 6 3 + 2 / x → 2 3 + 2 / x 6 → 2
문제 3. (표준) x → ∞ 5 x 2 − 1 x 2 + 2 x lim x → ∞ x 2 + 2 x 5 x 2 − 1 답. 5 5 풀이. 둘 다 2차이므로 계수 비 5 1 = 5 1 5 = 5
문제 4. (표준) x → ∞ 2 x + 3 x 2 + 1 lim x → ∞ x 2 + 1 2 x + 3 답. 0 0 풀이. 분자 차수 1 < 분모 차수 2이므로 극한은 0입니다.
문제 5. (표준) f ( x ) = 5 x − 2 2 x + 1 f ( x ) = 2 x + 1 5 x − 2 답. 수평 y = 5 2 y = 2 5 x = − 1 2 x = − 2 1 풀이. 계수 비 5 2 2 5 y = 5 2 y = 2 5 x = − 1 2 x = − 2 1 5 ( − 1 2 ) − 2 = − 9 2 ≠ 0 5 ( − 2 1 ) − 2 = − 2 9 = 0 x = − 1 2 x = − 2 1
문제 6. (표준) x → ∞ ( x 2 + 6 x − x ) lim x → ∞ ( x 2 + 6 x − x ) 답. 3 3 풀이. 켤레를 곱하면 6 x x 2 + 6 x + x x 2 + 6 x + x 6 x x x 6 1 + 6 / x + 1 → 6 2 = 3 1 + 6 / x + 1 6 → 2 6 = 3
문제 7. (표준) x → − ∞ 3 x + 1 x − 2 lim x → − ∞ x − 2 3 x + 1 답. 3 3 풀이. 최고차 계수 비 3 1 = 3 1 3 = 3 x → − ∞ x → − ∞ x x 3 + 1 / x 1 − 2 / x → 3 1 − 2 / x 3 + 1 / x → 3
문제 8. (심화) x → ∞ 9 x 2 + x 2 x − 1 lim x → ∞ 2 x − 1 9 x 2 + x 답. 3 2 2 3 풀이. 분자에서 x 2 x 2 9 x 2 + x = x 9 + 1 / x 9 x 2 + x = x 9 + 1 / x x > 0 x > 0 x 9 + 1 / x 2 x − 1 = 9 + 1 / x 2 − 1 / x → 3 2 2 x − 1 x 9 + 1 / x = 2 − 1 / x 9 + 1 / x → 2 3
문제 9. (심화) x → ∞ ( x 2 + 2 x − x 2 − 2 x ) lim x → ∞ ( x 2 + 2 x − x 2 − 2 x ) 답. 2 2 풀이. 켤레를 곱하면 분자는 ( x 2 + 2 x ) − ( x 2 − 2 x ) = 4 x ( x 2 + 2 x ) − ( x 2 − 2 x ) = 4 x 4 x x 2 + 2 x + x 2 − 2 x x 2 + 2 x + x 2 − 2 x 4 x x x 4 1 + 2 / x + 1 − 2 / x → 4 2 = 2 1 + 2 / x + 1 − 2 / x 4 → 2 4 = 2
문제 10. (심화) f ( x ) = x 2 − 4 x − 2 f ( x ) = x − 2 x 2 − 4 x = 2 x = 2 답. 약분되어 극한이 유한하기 때문입니다.풀이. ( x − 2 ) ( x + 2 ) x − 2 = x + 2 x − 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) = x + 2 x → 2 f ( x ) = 4 lim x → 2 f ( x ) = 4 x = 2 x = 2
문제 11. (심화) x → ∞ 2 x 2 x + 1 lim x → ∞ 2 x + 1 2 x 답. 1 1 풀이. 분자·분모를 2 x 2 x 1 1 + 2 − x 1 + 2 − x 1 x → ∞ x → ∞ 2 − x → 0 2 − x → 0 1 1 + 0 = 1 1 + 0 1 = 1
x → ∞ 1 x k = 0 lim x → ∞ x k 1 = 0 무한대를 숫자처럼 다루면 왜 틀리는지 예로 말할 수 있는가?
유리함수의 x → ∞ x → ∞
x → ∞ 3 x 2 + 1 6 x 2 − x lim x → ∞ 6 x 2 − x 3 x 2 + 1 1 2 2 1 x 2 + x − x x 2 + x − x 1 2 2 1 수평점근선과 수직점근선을 각각 어떤 극한으로 찾는지 말할 수 있는가?
분모가 0이 되어도 수직점근선이 아닐 수 있는 이유를 말할 수 있는가?
f ( x ) = 4 x − 1 2 x + 3 f ( x ) = 2 x + 3 4 x − 1 y = 2 y = 2