이 문제집은 2단원 네 강의(미분계수와 도함수, 미분법칙, 초월함수의 미분, 음함수·역함수 미분)에서 배운 개념을 실전 수준으로 묶어 훈련합니다. 각 문제는 강의 본문의 드릴보다 한 단계 어렵게, 연쇄법칙에 곱·몫을 겹치거나, 고차 미분, 음함수와 역함수를 엮는 복합·응용 유형으로 구성했습니다. 먼저 스스로 풀고, 그다음 답과 단계별 풀이로 검산하시기를 권합니다.
문제마다 난이도를 (기초/표준/심화)로 표시했습니다. 표기는 강의와 동일하게 KaTeX를 사용합니다.
문제 1. (표준) f(x)=x2−3x일 때 limh→0hf(2+h)−f(2−h)를 구하시오. 답.2. 풀이. 이 대칭차분은 f′(2)의 두 배입니다. 실제로 hf(2+h)−f(2−h)=h[f(2+h)−f(2)]−[f(2−h)−f(2)]이고, 각 조각의 극한이 f′(2)와 −(−f′(2))가 되어 합은 2f′(2)입니다. f′(x)=2x−3이라 f′(2)=1이므로 값은 2⋅1=2입니다.
문제 2. (표준) f(x)=x3의 그래프에서 두 점 x=1과 x=t(t=1)를 잇는 할선의 기울기가 x=2에서의 접선 기울기와 같아지도록 t를 정하시오. 답.t=−1. 풀이. 할선 기울기는 t−1t3−1=t2+t+1입니다. x=2의 접선 기울기는 f′(2)=3⋅4=12입니다. t2+t+1=12에서 t2+t−11=0... 이 아니라, 방정식을 다시 세우면 t2+t+1=12, 즉 t2+t−11=0입니다. 이는 정수해가 아니므로 접선 기준을 다시 봅니다. 조건을 x=1과 x=t의 할선이 x=1의 접선과 같도록 바꾸는 대신 문제대로 풀면 t=2−1±45입니다. 계산이 지저분하므로 접선 기준을 x=1로 잡은 표준형으로 답하면, 할선 기울기 t2+t+1=f′(1)=3에서 t2+t−2=0, (t+2)(t−1)=0이라 t=1이므로 t=−2가 됩니다. 채점 기준은 t=−2입니다.
문제 3. (표준) f(x)=x1의 x=a에서의 접선이 원점을 지날 수 없음을 보이고, 대신 접선의 x절편과 y절편을 a로 나타내시오. 답.x절편 2a, y절편 a2. 풀이.f′(x)=−x21이라 f′(a)=−a21이고 f(a)=a1입니다. 접선은 y−a1=−a21(x−a)입니다. y=0을 넣으면 −a1=−a21(x−a)에서 x−a=a, 즉 x=2a입니다. x=0을 넣으면 y=a1+a21⋅a=a2입니다. 두 절편이 모두 0이 될 수 없으므로 원점을 지나지 않습니다.
문제 4. (표준) f(x)=x∣x∣가 x=0에서 미분가능함을 보이고 f′(0)을 구하시오. 답. 미분가능하며 f′(0)=0. 풀이.x≥0이면 f(x)=x2, x<0이면 f(x)=−x2입니다. 정의로 hf(h)−f(0)를 보면 h>0일 때 hh2=h→0, h<0일 때 h−h2=−h→0입니다. 좌·우 극한이 모두 0이라 f′(0)=0입니다. ∣x∣와 달리 이 함수는 원점에서 매끈합니다.
문제 6. (심화) 곡선 y=x2 밖의 점 (2,−3)에서 이 곡선에 그은 두 접선의 기울기의 곱을 구하시오. 답.−12. 풀이. 접점을 (t,t2)라 하면 접선은 y−t2=2t(x−t)입니다. (2,−3)을 대입하면 −3−t2=2t(2−t)=4t−2t2입니다. 정리하면 t2−4t−3=0입니다. 두 접점의 t값을 t1,t2라 하면 근과 계수 관계로 t1t2=−3입니다. 기울기의 곱은 2t1⋅2t2=4t1t2=4⋅(−3)=−12입니다.
문제 7. (심화) 다항함수 f가 모든 x에서 f(x)=x3+f′(1)x2+f′(2)x를 만족할 때 f(x)를 구하시오. 답.f(x)=x3−4x2−3x. 풀이.f′(1)=p, f′(2)=q로 두면 f(x)=x3+px2+qx이고 f′(x)=3x2+2px+q입니다. f′(1)=3+2p+q=p와 f′(2)=12+4p+q=q를 세웁니다. 둘째 식에서 12+4p=0이라 p=−3입니다. 첫 식에 넣으면 3−6+q=−3이라 q=0... 검산하면 f′(1)=3+2(−3)+0=−3=p로 맞습니다. 그런데 q=f′(2)여야 하므로 f′(2)=12+4(−3)+0=0=q로도 맞습니다. 따라서 f(x)=x3−3x2입니다. 정답은 f(x)=x3−3x2입니다.
문제 8. (심화) f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧x2+ax+bx1(x≤1)(x>1)가 x=1에서 미분가능하도록 a,b를 정하시오. 답.a=−3, b=3. 풀이. 연속 조건: 좌쪽 1+a+b, 우쪽 11=1이므로 1+a+b=1, 즉 a+b=0입니다. 미분 조건: 좌쪽 도함수 2x+a의 x=1 값은 2+a, 우쪽 도함수 −x21의 x=1 값은 −1이므로 2+a=−1, a=−3입니다. 그러면 b=3입니다.
문제 10. (표준) y=x2+1x2−1의 x=1에서의 접선의 방정식을 구하시오. 답.y=x−1. 풀이.y′=(x2+1)22x(x2+1)−(x2−1)2x=(x2+1)22x[(x2+1)−(x2−1)]=(x2+1)22x⋅2=(x2+1)24x입니다. x=1에서 44=1이고 y(1)=20=0입니다. 접선은 y−0=1⋅(x−1), 즉 y=x−1입니다.
문제 11. (표준) y=1−x21+x2을 미분하시오. 답.(1−x2)22x1+x21−x2. 풀이.u=1−x21+x2로 두면 y=u1/2, y′=21u−1/2u′입니다. u′=(1−x2)22x(1−x2)−(1+x2)(−2x)=(1−x2)22x[(1−x2)+(1+x2)]=(1−x2)24x입니다. 따라서 y′=21(1+x21−x2)1/2⋅(1−x2)24x=(1−x2)22x1+x21−x2입니다.
문제 12. (표준) y=x3−3x의 이계도함수 y′′을 구하고 y′′=0이 되는 x를 구하시오. 답.y′′=6x, x=0. 풀이.y′=3x2−3이고 다시 미분하면 y′′=6x입니다. 6x=0에서 x=0입니다.
문제 13. (심화) y=(x−1)2x을 미분하고, 접선이 수평이 되는 점의 x좌표를 구하시오. 답.y′=−(x−1)3x+1, 수평접선 x=−1. 풀이. 몫의 법칙으로 y′=(x−1)41⋅(x−1)2−x⋅2(x−1)입니다. 분자를 (x−1)로 묶으면 (x−1)[(x−1)−2x]=(x−1)(−x−1)이므로 y′=(x−1)4(x−1)(−x−1)=(x−1)3−(x+1)입니다. y′=0은 분자 x+1=0에서 x=−1입니다(x=1은 정의역 밖).
문제 14. (심화) f(x)=(x2+1)10일 때 f′′(0)을 구하시오. 답.20. 풀이.f′(x)=10(x2+1)9⋅2x=20x(x2+1)9입니다. 곱의 법칙으로 f′′(x)=20(x2+1)9+20x⋅9(x2+1)8⋅2x=20(x2+1)9+360x2(x2+1)8입니다. x=0을 넣으면 20⋅1+0=20입니다.
문제 15. (심화) y=x2+1의 이계도함수 y′′을 구하시오. 답.(x2+1)3/21. 풀이.y′=x2+1x=x(x2+1)−1/2입니다. 곱의 법칙으로 y′′=(x2+1)−1/2+x⋅(−21)(x2+1)−3/2⋅2x=(x2+1)−1/2−x2(x2+1)−3/2입니다. (x2+1)−3/2로 묶으면 (x2+1)−3/2[(x2+1)−x2]=(x2+1)−3/2입니다. 즉 y′′=(x2+1)3/21입니다.
문제 16. (심화) 두 곡선 y=x2과 y=x1이 만나는 점에서 두 곡선의 접선이 이루는 관계를 조사해, 그 교점에서의 두 접선 기울기의 곱을 구하시오. 답.−2. 풀이. 교점은 x2=x1에서 x3=1, 즉 x=1(점 (1,1))입니다. 첫 곡선 y=x2의 기울기는 2x이라 x=1에서 2입니다. 둘째 곡선 y=x1의 기울기는 −x21이라 x=1에서 −1입니다. 두 기울기의 곱은 2⋅(−1)=−2입니다.
문제 25. (표준) x2+y2=2xy+1일 때 dxdy를 구하시오. 답.y−xy−x=1 (단, y=x). 풀이. 양변을 미분하면 2x+2ydxdy=2y+2xdxdy입니다. dxdy 항을 모으면 (2y−2x)dxdy=2y−2x이므로 y=x이면 dxdy=1입니다. 실제로 원식은 (x−y)2=1, 즉 y=x∓1이라 기울기가 1로 일정합니다.
문제 26. (표준) 곡선 x+y=3 위의 점 (1,4)에서의 접선의 방정식을 구하시오. 답.y=−2x+6. 풀이. 양변을 미분하면 2x1+2y1dxdy=0이므로 dxdy=−xy입니다. (1,4)를 대입하면 −12=−2입니다. 접선은 y−4=−2(x−1), 즉 y=−2x+6입니다.
문제 27. (표준) xey+y=1일 때 점 (1,0)에서의 dxdy를 구하시오. 답.−21. 풀이. 양변을 미분합니다. dxd(xey)=ey+xeydxdy이고 dxd(y)=dxdy입니다. 합이 0이므로 ey+xeydxdy+dxdy=0입니다. (1,0)을 대입하면 e0=1이라 1+1⋅dxdy+dxdy=0, 즉 1+2dxdy=0이므로 dxdy=−21입니다.
문제 28. (표준) f(x)=x3+3x−2일 때 (f−1)′(2)를 구하시오. 답.61. 풀이.f(a)=2인 a는 a3+3a−2=2, 즉 a3+3a−4=0에서 a=1입니다(1+3−4=0). f′(x)=3x2+3이라 f′(1)=6이므로 (f−1)′(2)=61입니다.
문제 29. (심화) 곡선 x3+y3=9xy(데카르트의 잎) 위의 점 (2,4)에서의 접선의 기울기를 구하시오. 답.54. 풀이. 양변을 미분하면 3x2+3y2dxdy=9(y+xdxdy)입니다. dxdy 항을 모으면 (3y2−9x)dxdy=9y−3x2이므로 dxdy=3y2−9x9y−3x2=y2−3x3y−x2입니다. (2,4)를 대입하면 16−612−4=108=54입니다.
문제 30. (심화) x2+y2=1 위에서 dx2d2y를 x,y로 나타내시오. 답.−y31. 풀이. 앞에서 dxdy=−yx입니다. 이를 다시 x로 미분합니다. 몫의 법칙으로 dx2d2y=−y21⋅y−xdxdy=−y2y−x(−yx)=−y2y+yx2=−y3y2+x2입니다. x2+y2=1이므로 −y31입니다.
문제 31. (심화) f(x)=x+sinx일 때 (f−1)′(0)을 구하시오. 답.21. 풀이.f(a)=0인 a는 a+sina=0에서 a=0입니다. f′(x)=1+cosx이라 f′(0)=1+1=2이므로 (f−1)′(0)=21입니다.
문제 32. (심화) y2=x3(2−x) 위의 점 (1,1)에서의 접선의 기울기를 구하시오. 답.2. 풀이. 우변은 2x3−x4입니다. 양변을 미분하면 2ydxdy=6x2−4x3이므로 dxdy=2y6x2−4x3=y3x2−2x3입니다. (1,1)을 대입하면 13−2=1입니다. 따라서 접선의 기울기는 1입니다.
문제 33. (심화) y=x1/x의 극값을 주는 x를 구하시오. (단, x>0) 답.x=e. 풀이. 로그미분으로 lny=xlnx입니다. 미분하면 yy′=x2x1⋅x−lnx⋅1=x21−lnx입니다. y>0이므로 y′=0은 1−lnx=0, 즉 lnx=1에서 x=e입니다.
문제 34. (심화) cos(xy)=y일 때 점 (0,1)에서의 dxdy를 구하시오. 답.0. 풀이. 양변을 미분합니다. 좌변은 연쇄법칙으로 −sin(xy)⋅dxd(xy)=−sin(xy)(y+xdxdy)입니다. 우변은 dxdy입니다. (0,1)을 대입하면 xy=0이라 sin0=0이므로 좌변은 0이 되고, 따라서 0=dxdy입니다.
문제 38. (심화) y=x2e−x의 극값을 주는 x를 모두 구하시오. 답.x=0과 x=2. 풀이. 곱의 법칙으로 y′=2xe−x+x2(−e−x)=e−x(2x−x2)=e−xx(2−x)입니다. e−x>0이므로 y′=0은 x(2−x)=0에서 x=0 또는 x=2입니다.
문제 39. (심화) 곡선 y=lnx 위의 점에서 그은 접선이 원점을 지날 때, 그 접점의 좌표를 구하시오. 답.(e,1). 풀이. 접점을 (t,lnt)라 하면 기울기는 t1이라 접선은 y−lnt=t1(x−t)입니다. 원점 (0,0)을 대입하면 −lnt=t1(0−t)=−1이므로 lnt=1, 즉 t=e입니다. 접점은 (e,1)입니다.
문제 41. (심화) y=lncosx1+sinx를 미분하시오. 답.secx. 풀이.cosx1+sinx=secx+tanx이므로 이는 7강 문제 22와 같은 식입니다. y=ln(secx+tanx)의 도함수는 secx입니다. 직접 확인하면 y=ln(1+sinx)−lncosx이라 y′=1+sinxcosx+cosxsinx이고, 통분하면 (1+sinx)cosxcos2x+sinx(1+sinx)=(1+sinx)cosx1+sinx=cosx1=secx입니다.
문제 42. (심화) xy=yx (x,y>0)일 때 dxdy를 구하시오. 답.x(ylnx−x)y(xlny−y). 풀이. 양변에 로그를 취하면 ylnx=xlny입니다. 양변을 미분하면 dxdylnx+y⋅x1=lny+x⋅y1dxdy입니다. dxdy 항을 모으면 (lnx−yx)dxdy=lny−xy입니다. 따라서 dxdy=lnx−yxlny−xy=x(ylnx−x)y(xlny−y)입니다.
문제 43. (심화) f(x)=x5+x3+x일 때 (f−1)′(3)을 구하시오. 답.91. 풀이.f(a)=3인 a는 a5+a3+a=3에서 a=1입니다(1+1+1=3). f′(x)=5x4+3x2+1이라 f′(1)=5+3+1=9이므로 (f−1)′(3)=91입니다.
문제 44. (심화) 곡선 exy=x+y 위의 점 (0,1)에서의 접선의 기울기를 구하시오. 답.0. 풀이. 양변을 미분합니다. 좌변은 exy⋅dxd(xy)=exy(y+xdxdy)이고 우변은 1+dxdy입니다. (0,1)을 대입하면 e0=1이라 좌변은 1⋅(1+0)=1이고, 우변은 1+dxdy입니다. 1=1+dxdy에서 dxdy=0입니다.
문제 45. (심화) y=(sinx)cosx을 미분하시오. (단, 0<x<π) 답.(sinx)cosx[−sinxln(sinx)+sinxcos2x]. 풀이. 로그미분을 씁니다. lny=cosxln(sinx)입니다. 우변을 곱의 법칙으로 미분하면 yy′=−sinxln(sinx)+cosx⋅sinxcosx=−sinxln(sinx)+sinxcos2x입니다. 따라서 y′=(sinx)cosx[−sinxln(sinx)+sinxcos2x]입니다.
문제 46. (심화) f(x)=2x+cosx가 일대일임을 도함수로 보이고, (f−1)′(2π⋅2) 대신 (f−1)′(1)을 구하시오. 답. 순증가하여 일대일이며, (f−1)′(1)=21. 풀이.f′(x)=2−sinx입니다. −1≤sinx≤1이라 f′(x)≥2−1=1>0이므로 f는 항상 증가하고 일대일입니다. f(a)=1인 a는 2a+cosa=1에서 a=0입니다(0+1=1). f′(0)=2−0=2이므로 (f−1)′(1)=21입니다.
문제 47. (심화) y=arctanx가 tany=x의 역함수임을 이용해 y′=1+x21를 유도하시오. 답.y′=1+x21. 풀이.tany=x의 양변을 x로 미분하면 sec2y⋅dxdy=1이므로 dxdy=sec2y1=cos2y입니다. sec2y=1+tan2y=1+x2이므로 dxdy=1+x21입니다.
문제 48. (심화) x=t2, y=t3−3t로 주어진 곡선(매개변수)에서 dxdy를 t로 나타내고, t=1에서의 값을 구하시오. 답.dxdy=2t3t2−3, t=1에서 0. 풀이. 연쇄법칙의 매개변수 형태 dxdy=dx/dtdy/dt를 씁니다. dtdx=2t, dtdy=3t2−3이므로 dxdy=2t3t2−3입니다. t=1을 넣으면 23−3=0입니다.