세상의 많은 물음은 "얼마나 빨리 변하는가"입니다. 속도는 위치가 얼마나 빨리 변하는지이고, 접선의 기울기는 그래프가 한 점에서 얼마나 가파른지입니다. 이 두 물음은 사실 같은 것이며, 그것을 재는 도구가 미분계수입니다. 이 강의는 미분계수를 극한으로 정의하고, 그 정의에서 도함수를 뽑아내며, 다항함수를 손으로 미분하는 법을 익힙니다.
평균변화율과 순간변화율의 차이를 말로 설명할 수 있습니다.
미분계수 f ′ ( a ) f ′ ( a )
미분계수가 접선의 기울기임을 이해하고 접선의 방정식을 구할 수 있습니다.
도함수 f ′ ( x ) f ′ ( x )
거듭제곱 법칙으로 다항함수를 빠르게 미분할 수 있습니다.
미분가능하면 연속임을 알고, 연속이지만 미분불가능한 예를 들 수 있습니다.
기호
읽는 법
뜻
\dfrac{\Delta y}
델타 와이 분의 델타 엑스
두 점 사이 평균변화율(기울기)
f ′ ( a ) f ′ ( a ) 에프 프라임 에이
x = a x = a
f ′ ( x ) f ′ ( x ) 에프 프라임 엑스
도함수(각 x x
\dfrac{dy}
디와이 디엑스
도함수의 라이프니츠 표기
h → 0 h → 0 에이치가 0으로
두 점 간격을 한없이 좁힘
두 점 사이에서 함수가 평균적으로 얼마나 변했는지는 기울기로 잽니다. x x a a a + h a + h
Δ y Δ x = f ( a + h ) − f ( a ) h Δ x Δ y = h f ( a + h ) − f ( a )
입니다. 이것은 두 점 ( a , f ( a ) ) ( a , f ( a ) ) ( a + h , f ( a + h ) ) ( a + h , f ( a + h ) ) h h
f f x = a x = a
f ′ ( a ) = h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h f ′ ( a ) = h → 0 lim h f ( a + h ) − f ( a )
이며, 이 극한이 존재할 때 f f x = a x = a
직관은 이렇습니다. 평균변화율은 "구간에서의 평균 기울기"이고, 미분계수는 "한 점에서의 순간 기울기"입니다. 간격 h h
예를 들어 f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 x = 3 x = 3
f ′ ( 3 ) = h → 0 ( 3 + h ) 2 − 3 2 h = h → 0 9 + 6 h + h 2 − 9 h = h → 0 6 h + h 2 h = h → 0 ( 6 + h ) = 6 f ′ ( 3 ) = h → 0 lim h ( 3 + h ) 2 − 3 2 = h → 0 lim h 9 + 6 h + h 2 − 9 = h → 0 lim h 6 h + h 2 = h → 0 lim ( 6 + h ) = 6
따라서 f ′ ( 3 ) = 6 f ′ ( 3 ) = 6
문제 1. (기초) f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 x = 1 x = 1 x = 3 x = 3 답. 4 4 풀이. 평균변화율은 f ( 3 ) − f ( 1 ) 3 − 1 = 9 − 1 2 = 8 2 = 4 3 − 1 f ( 3 ) − f ( 1 ) = 2 9 − 1 = 2 8 = 4
문제 2. (기초) f ( x ) = 2 x + 1 f ( x ) = 2 x + 1 f ′ ( a ) f ′ ( a ) 답. 2 2 풀이. f ( a + h ) − f ( a ) h = [ 2 ( a + h ) + 1 ] − [ 2 a + 1 ] h = 2 h h = 2 h f ( a + h ) − f ( a ) = h [ 2 ( a + h ) + 1 ] − [ 2 a + 1 ] = h 2 h = 2 h → 0 h → 0
문제 3. (표준) f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 f ′ ( a ) f ′ ( a ) 답. 2 a 2 a 풀이. ( a + h ) 2 − a 2 h = 2 a h + h 2 h = 2 a + h h ( a + h ) 2 − a 2 = h 2 a h + h 2 = 2 a + h h → 0 h → 0 2 a 2 a
문제 4. (표준) f ( x ) = x 2 − 4 x f ( x ) = x 2 − 4 x f ′ ( 1 ) f ′ ( 1 ) 답. − 2 − 2 풀이. f ( 1 + h ) − f ( 1 ) h = [ ( 1 + h ) 2 − 4 ( 1 + h ) ] − [ 1 − 4 ] h = [ 1 + 2 h + h 2 − 4 − 4 h ] − ( − 3 ) h = − 2 h + h 2 h = − 2 + h h f ( 1 + h ) − f ( 1 ) = h [ ( 1 + h ) 2 − 4 ( 1 + h ) ] − [ 1 − 4 ] = h [ 1 + 2 h + h 2 − 4 − 4 h ] − ( − 3 ) = h − 2 h + h 2 = − 2 + h h → 0 h → 0 − 2 − 2
미분계수 f ′ ( a ) f ′ ( a ) y = f ( x ) y = f ( x ) ( a , f ( a ) ) ( a , f ( a ) )
점 ( a , f ( a ) ) ( a , f ( a ) )
y − f ( a ) = f ′ ( a ) ( x − a ) y − f ( a ) = f ′ ( a ) ( x − a )
예를 들어 f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 x = 3 x = 3 f ′ ( 3 ) = 6 f ′ ( 3 ) = 6 f ( 3 ) = 9 f ( 3 ) = 9
y − 9 = 6 ( x − 3 ) ⇒ y = 6 x − 9 y − 9 = 6 ( x − 3 ) ⇒ y = 6 x − 9
입니다.
문제 1. (기초) f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 x = 2 x = 2 답. 4 4 풀이. f ′ ( x ) = 2 x f ′ ( x ) = 2 x f ′ ( 2 ) = 4 f ′ ( 2 ) = 4
문제 2. (표준) f ( x ) = x 2 − 2 x f ( x ) = x 2 − 2 x x = 3 x = 3 답. y = 4 x − 9 y = 4 x − 9 풀이. f ′ ( x ) = 2 x − 2 f ′ ( x ) = 2 x − 2 f ′ ( 3 ) = 4 f ′ ( 3 ) = 4 f ( 3 ) = 9 − 6 = 3 f ( 3 ) = 9 − 6 = 3 y − 3 = 4 ( x − 3 ) y − 3 = 4 ( x − 3 ) y = 4 x − 9 y = 4 x − 9
문제 3. (표준) 곡선 y = x 2 y = x 2 10 1 0 답. ( 5 , 25 ) ( 5 , 2 5 ) 풀이. f ′ ( x ) = 2 x = 10 f ′ ( x ) = 2 x = 1 0 x = 5 x = 5 y = 5 2 = 25 y = 5 2 = 2 5 ( 5 , 25 ) ( 5 , 2 5 )
문제 4. (심화) 곡선 y = x 2 y = x 2 ( 0 , − 1 ) ( 0 , − 1 ) x x 답. x = 1 x = 1 x = − 1 x = − 1 풀이. 접점을 ( t , t 2 ) ( t , t 2 ) f ′ ( t ) = 2 t f ′ ( t ) = 2 t y − t 2 = 2 t ( x − t ) y − t 2 = 2 t ( x − t ) ( 0 , − 1 ) ( 0 , − 1 ) − 1 − t 2 = 2 t ( 0 − t ) = − 2 t 2 − 1 − t 2 = 2 t ( 0 − t ) = − 2 t 2 − 1 − t 2 = − 2 t 2 − 1 − t 2 = − 2 t 2 t 2 = 1 t 2 = 1 t = ± 1 t = ± 1
a a x x
f f
f ′ ( x ) = h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h f ′ ( x ) = h → 0 lim h f ( x + h ) − f ( x )
이며, d y d x d x d y d d x f ( x ) d x d f ( x )
도함수를 구한 뒤 특정 점을 대입하면 그 점의 미분계수가 됩니다. 즉 f ′ ( a ) f ′ ( a ) f ′ ( x ) f ′ ( x ) x = a x = a
예를 들어 f ( x ) = x 3 f ( x ) = x 3 ( x + h ) 3 = x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 ( x + h ) 3 = x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3
f ′ ( x ) = h → 0 ( x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 ) − x 3 h = h → 0 ( 3 x 2 + 3 x h + h 2 ) = 3 x 2 f ′ ( x ) = h → 0 lim h ( x 3 + 3 x 2 h + 3 x h 2 + h 3 ) − x 3 = h → 0 lim ( 3 x 2 + 3 x h + h 2 ) = 3 x 2
입니다.
문제 1. (기초) f ( x ) = 5 f ( x ) = 5 답. 0 0 풀이. f ( x + h ) − f ( x ) h = 5 − 5 h = 0 h f ( x + h ) − f ( x ) = h 5 − 5 = 0 f ′ ( x ) = 0 f ′ ( x ) = 0
문제 2. (표준) f ( x ) = x 2 + x f ( x ) = x 2 + x 답. 2 x + 1 2 x + 1 풀이. [ ( x + h ) 2 + ( x + h ) ] − [ x 2 + x ] h = 2 x h + h 2 + h h = 2 x + h + 1 h [ ( x + h ) 2 + ( x + h ) ] − [ x 2 + x ] = h 2 x h + h 2 + h = 2 x + h + 1 h → 0 h → 0 2 x + 1 2 x + 1
문제 3. (표준) f ( x ) = 1 x f ( x ) = x 1 답. − 1 x 2 − x 2 1 풀이. 1 x + h − 1 x h = 1 h ⋅ x − ( x + h ) x ( x + h ) = 1 h ⋅ − h x ( x + h ) = − 1 x ( x + h ) h x + h 1 − x 1 = h 1 ⋅ x ( x + h ) x − ( x + h ) = h 1 ⋅ x ( x + h ) − h = x ( x + h ) − 1 h → 0 h → 0 − 1 x 2 − x 2 1
문제 4. (심화) f ( x ) = x f ( x ) = x 답. 1 2 x 2 x 1 풀이. x + h − x h h x + h − x x + h + x x + h + x ( x + h ) − x = h ( x + h ) − x = h h h ( x + h + x ) = 1 x + h + x h ( x + h + x ) h = x + h + x 1 h → 0 h → 0 1 2 x 2 x 1
정의로 매번 극한을 잡는 것은 번거롭습니다. 다항함수는 다음 규칙으로 즉시 미분합니다.
거듭제곱 법칙. d d x x n = n x n − 1 d x d x n = n x n − 1 n n
선형성. d d x [ a f ( x ) + b g ( x ) ] = a f ′ ( x ) + b g ′ ( x ) d x d [ a f ( x ) + b g ( x ) ] = a f ′ ( x ) + b g ′ ( x )
거듭제곱 법칙은 앞에서 정의로 확인한 x 2 → 2 x x 2 → 2 x x 3 → 3 x 2 x 3 → 3 x 2 d d x c = 0 d x d c = 0
예를 들어
d d x ( 4 x 3 − 2 x 2 + 7 x − 5 ) = 4 ⋅ 3 x 2 − 2 ⋅ 2 x + 7 ⋅ 1 − 0 = 12 x 2 − 4 x + 7 d x d ( 4 x 3 − 2 x 2 + 7 x − 5 ) = 4 ⋅ 3 x 2 − 2 ⋅ 2 x + 7 ⋅ 1 − 0 = 1 2 x 2 − 4 x + 7
입니다. 지수가 음수나 분수여도 규칙은 같습니다. 1 x = x − 1 x 1 = x − 1 d d x x − 1 = − 1 ⋅ x − 2 = − 1 x 2 d x d x − 1 = − 1 ⋅ x − 2 = − x 2 1 x = x 1 / 2 x = x 1 / 2 d d x x 1 / 2 = 1 2 x − 1 / 2 = 1 2 x d x d x 1 / 2 = 2 1 x − 1 / 2 = 2 x 1
문제 1. (기초) f ( x ) = x 4 f ( x ) = x 4 답. 4 x 3 4 x 3 풀이. 거듭제곱 법칙으로 d d x x 4 = 4 x 4 − 1 = 4 x 3 d x d x 4 = 4 x 4 − 1 = 4 x 3
문제 2. (기초) f ( x ) = 3 x 2 − 5 x + 2 f ( x ) = 3 x 2 − 5 x + 2 답. 6 x − 5 6 x − 5 풀이. 항별로 미분하면 3 ⋅ 2 x − 5 ⋅ 1 + 0 = 6 x − 5 3 ⋅ 2 x − 5 ⋅ 1 + 0 = 6 x − 5
문제 3. (표준) f ( x ) = 2 x 3 f ( x ) = x 3 2 답. − 6 x 4 − x 4 6 풀이. 2 x 3 = 2 x − 3 x 3 2 = 2 x − 3 d d x 2 x − 3 = 2 ⋅ ( − 3 ) x − 4 = − 6 x − 4 = − 6 x 4 d x d 2 x − 3 = 2 ⋅ ( − 3 ) x − 4 = − 6 x − 4 = − x 4 6
문제 4. (표준) f ( x ) = x x f ( x ) = x x 답. 3 2 x 2 3 x 풀이. x x = x ⋅ x 1 / 2 = x 3 / 2 x x = x ⋅ x 1 / 2 = x 3 / 2 d d x x 3 / 2 = 3 2 x 1 / 2 = 3 2 x d x d x 3 / 2 = 2 3 x 1 / 2 = 2 3 x
문제 5. (표준) f ( x ) = x 2 − 3 x + 1 x f ( x ) = x x 2 − 3 x + 1 답. 1 − 1 x 2 1 − x 2 1 풀이. 먼저 항별로 나눕니다. x 2 − 3 x + 1 x = x − 3 + x − 1 x x 2 − 3 x + 1 = x − 3 + x − 1 1 − 0 + ( − 1 ) x − 2 = 1 − 1 x 2 1 − 0 + ( − 1 ) x − 2 = 1 − x 2 1
문제 6. (심화) f ( x ) = x 3 − 3 x f ( x ) = x 3 − 3 x x x 답. x = 1 x = 1 x = − 1 x = − 1 풀이. 접선이 수평이면 기울기 f ′ ( x ) = 0 f ′ ( x ) = 0 f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 = 3 ( x 2 − 1 ) = 0 f ′ ( x ) = 3 x 2 − 3 = 3 ( x 2 − 1 ) = 0 x 2 = 1 x 2 = 1 x = ± 1 x = ± 1
미분가능성은 연속성보다 강한 조건입니다.
f f x = a x = a f f x = a x = a
이유는 이렇습니다. 미분가능하면 f ( a + h ) − f ( a ) h h f ( a + h ) − f ( a ) f ′ ( a ) f ′ ( a ) h h f ( a + h ) − f ( a ) f ( a + h ) − f ( a ) f ′ ( a ) ⋅ 0 = 0 f ′ ( a ) ⋅ 0 = 0 h → 0 f ( a + h ) = f ( a ) lim h → 0 f ( a + h ) = f ( a )
역이 성립하지 않는 대표 예는 f ( x ) = ∣ x ∣ f ( x ) = ∣ x ∣ x = 0 x = 0 x > 0 x > 0 + 1 + 1 x < 0 x < 0 − 1 − 1
문제 1. (기초) 미분가능하지만 연속이 아닐 수 있는가?답. 없습니다.풀이. 미분가능이면 반드시 연속입니다. 따라서 "미분가능한데 불연속"인 함수는 존재하지 않습니다.
문제 2. (표준) f ( x ) = ∣ x − 2 ∣ f ( x ) = ∣ x − 2 ∣ x = 2 x = 2 답. 좌·우 미분계수가 − 1 − 1 + 1 + 1 풀이. x > 2 x > 2 f ( x ) = x − 2 f ( x ) = x − 2 + 1 + 1 x < 2 x < 2 f ( x ) = − ( x − 2 ) f ( x ) = − ( x − 2 ) − 1 − 1 x = 2 x = 2 f ( 2 ) = 0 f ( 2 ) = 0
문제 3. (심화) f ( x ) = { x 2 ( x ≤ 1 ) a x + b ( x > 1 ) f ( x ) = { x 2 a x + b ( x ≤ 1 ) ( x > 1 ) x = 1 x = 1 a , b a , b 답. a = 2 a = 2 b = − 1 b = − 1 풀이. 먼저 연속이어야 하므로 좌·우 함숫값이 같아야 합니다. 좌쪽 1 2 = 1 1 2 = 1 a + b a + b a + b = 1 a + b = 1 2 x 2 x x = 1 x = 1 2 2 a a a = 2 a = 2 b = 1 − a = − 1 b = 1 − a = − 1
평균변화율 = f ( b ) − f ( a ) b − a = b − a f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( a ) = f ′ ( a )
미분계수 정의: f ′ ( a ) = h → 0 f ( a + h ) − f ( a ) h f ′ ( a ) = lim h → 0 h f ( a + h ) − f ( a )
도함수 정의: f ′ ( x ) = h → 0 f ( x + h ) − f ( x ) h f ′ ( x ) = lim h → 0 h f ( x + h ) − f ( x )
거듭제곱: d d x x n = n x n − 1 d x d x n = n x n − 1
선형성: 상수배는 앞으로, 합은 항별로, 상수는 0.
접선: y − f ( a ) = f ′ ( a ) ( x − a ) y − f ( a ) = f ′ ( a ) ( x − a ) ⇔ f ′ ( a ) = 0 ⇔ f ′ ( a ) = 0
미분가능 ⇒ ⇒ ∣ x ∣ ∣ x ∣
문제 1. (기초) f ( x ) = 3 x 2 f ( x ) = 3 x 2 x = 1 x = 1 x = 4 x = 4 답. 15 1 5 풀이. f ( 4 ) − f ( 1 ) 4 − 1 = 48 − 3 3 = 45 3 = 15 4 − 1 f ( 4 ) − f ( 1 ) = 3 4 8 − 3 = 3 4 5 = 1 5
문제 2. (기초) f ( x ) = x 5 − 2 x + 1 f ( x ) = x 5 − 2 x + 1 답. 5 x 4 − 2 5 x 4 − 2 풀이. 항별로 미분하면 5 x 4 − 2 + 0 = 5 x 4 − 2 5 x 4 − 2 + 0 = 5 x 4 − 2
문제 3. (기초) f ( x ) = 1 x 2 f ( x ) = x 2 1 답. − 2 x 3 − x 3 2 풀이. 1 x 2 = x − 2 x 2 1 = x − 2 d d x x − 2 = − 2 x − 3 = − 2 x 3 d x d x − 2 = − 2 x − 3 = − x 3 2
문제 4. (표준) f ( x ) = 4 x f ( x ) = 4 x x = 4 x = 4 답. 1 1 풀이. 4 x = 4 x 1 / 2 4 x = 4 x 1 / 2 f ′ ( x ) = 4 ⋅ 1 2 x − 1 / 2 = 2 x f ′ ( x ) = 4 ⋅ 2 1 x − 1 / 2 = x 2 x = 4 x = 4 2 2 = 1 2 2 = 1
문제 5. (표준) f ( x ) = x 2 + 2 x f ( x ) = x 2 + 2 x x = 1 x = 1 답. y = 4 x − 1 y = 4 x − 1 풀이. f ′ ( x ) = 2 x + 2 f ′ ( x ) = 2 x + 2 f ′ ( 1 ) = 4 f ′ ( 1 ) = 4 f ( 1 ) = 1 + 2 = 3 f ( 1 ) = 1 + 2 = 3 y − 3 = 4 ( x − 1 ) y − 3 = 4 ( x − 1 ) y = 4 x − 1 y = 4 x − 1
문제 6. (표준) 곡선 y = x 3 − 3 x 2 y = x 3 − 3 x 2 답. ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 2 , − 4 ) ( 2 , − 4 ) 풀이. f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x = 3 x ( x − 2 ) = 0 f ′ ( x ) = 3 x 2 − 6 x = 3 x ( x − 2 ) = 0 x = 0 x = 0 x = 2 x = 2 f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) = 0 f ( 2 ) = 8 − 12 = − 4 f ( 2 ) = 8 − 1 2 = − 4 ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 2 , − 4 ) ( 2 , − 4 )
문제 7. (표준) f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 h → 0 f ( 2 + h ) − f ( 2 ) h lim h → 0 h f ( 2 + h ) − f ( 2 ) 답. 4 4 풀이. 이 극한은 정의상 f ′ ( 2 ) f ′ ( 2 ) f ′ ( x ) = 2 x f ′ ( x ) = 2 x f ′ ( 2 ) = 4 f ′ ( 2 ) = 4
문제 8. (표준) f ( x ) = x 3 f ( x ) = x 3 x → 2 f ( x ) − f ( 2 ) x − 2 lim x → 2 x − 2 f ( x ) − f ( 2 ) 답. 12 1 2 풀이. 이 극한은 미분계수 정의의 다른 형태로 f ′ ( 2 ) f ′ ( 2 ) f ′ ( x ) = 3 x 2 f ′ ( x ) = 3 x 2 f ′ ( 2 ) = 12 f ′ ( 2 ) = 1 2
문제 9. (심화) f ( x ) = x 2 − 6 x + 5 f ( x ) = x 2 − 6 x + 5 − 2 − 2 답. y = − 2 x + 1 y = − 2 x + 1 풀이. f ′ ( x ) = 2 x − 6 = − 2 f ′ ( x ) = 2 x − 6 = − 2 x = 2 x = 2 f ( 2 ) = 4 − 12 + 5 = − 3 f ( 2 ) = 4 − 1 2 + 5 = − 3 y − ( − 3 ) = − 2 ( x − 2 ) y − ( − 3 ) = − 2 ( x − 2 ) y = − 2 x + 1 y = − 2 x + 1
문제 10. (심화) 곡선 y = x 2 y = x 2 ( 1 , 1 ) ( 1 , 1 ) x x 답. ( 1 2 , 0 ) ( 2 1 , 0 ) 풀이. f ′ ( x ) = 2 x f ′ ( x ) = 2 x f ′ ( 1 ) = 2 f ′ ( 1 ) = 2 y − 1 = 2 ( x − 1 ) y − 1 = 2 ( x − 1 ) y = 2 x − 1 y = 2 x − 1 y = 0 y = 0 0 = 2 x − 1 0 = 2 x − 1 x = 1 2 x = 2 1 ( 1 2 , 0 ) ( 2 1 , 0 )
문제 11. (심화) f ( x ) = x 3 − x f ( x ) = x 3 − x x = − 1 x = − 1 x = 2 x = 2 답. 13 1 3 풀이. f ′ ( x ) = 3 x 2 − 1 f ′ ( x ) = 3 x 2 − 1 f ′ ( − 1 ) = 3 − 1 = 2 f ′ ( − 1 ) = 3 − 1 = 2 f ′ ( 2 ) = 12 − 1 = 11 f ′ ( 2 ) = 1 2 − 1 = 1 1 2 + 11 = 13 2 + 1 1 = 1 3
문제 12. (심화) f ( x ) = { a x 2 + b x ( x ≤ 2 ) 3 x − 2 ( x > 2 ) f ( x ) = { a x 2 + b x 3 x − 2 ( x ≤ 2 ) ( x > 2 ) x = 2 x = 2 a , b a , b x = 2 x = 2 답. a = 1 2 a = 2 1 b = 1 b = 1 풀이. 연속 조건은 좌·우 함숫값이 같아야 하므로 4 a + 2 b = 3 ⋅ 2 − 2 = 4 4 a + 2 b = 3 ⋅ 2 − 2 = 4 2 a x + b 2 a x + b x = 2 x = 2 4 a + b 4 a + b 3 3 4 a + b = 3 4 a + b = 3 b = 1 b = 1 4 a + 2 = 4 4 a + 2 = 4 a = 1 2 a = 2 1
문제 13. (심화) f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 x = a x = a x = a + 2 x = a + 2 x = 3 x = 3 a a 답. a = 2 a = 2 풀이. 할선 기울기는 ( a + 2 ) 2 − a 2 2 = 4 a + 4 2 = 2 a + 2 2 ( a + 2 ) 2 − a 2 = 2 4 a + 4 = 2 a + 2 x = 3 x = 3 f ′ ( 3 ) = 6 f ′ ( 3 ) = 6 2 a + 2 = 6 2 a + 2 = 6 a = 2 a = 2
평균변화율과 순간변화율의 차이를 할선과 접선으로 설명할 수 있는가?
f ( x ) = x 2 − x f ( x ) = x 2 − x f ′ ( a ) f ′ ( a ) 2 a − 1 2 a − 1 거듭제곱 법칙으로 d d x ( x 4 − 1 x ) d x d ( x 4 − x 1 ) 4 x 3 + 1 x 2 4 x 3 + x 2 1
f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 x = 2 x = 2 y = 4 x − 4 y = 4 x − 4 x x 1 2 x 2 x 1 "미분가능하면 연속"의 이유를 말할 수 있는가?
연속이지만 미분불가능한 함수의 예를 들 수 있는가? (예: ∣ x ∣ ∣ x ∣
곡선 y = x 3 − 3 x y = x 3 − 3 x x = ± 1 x = ± 1