다항함수와 유리함수 너머에는 지수·로그·삼각함수가 있습니다. 이들을 초월함수라 부릅니다. 대수 연산만으로 값을 딱 떨어지게 구할 수 없기 때문입니다. 이 강의는 이 초월함수들의 도함수를 유도하고, 앞 강의의 곱·몫·연쇄법칙과 결합해 자유롭게 미분하는 법을 익힙니다. 여기서 자연상수 e e
sin x sin x cos x cos x tan x tan x e x e x a x a x ln x ln x a x log a x 초월함수를 연쇄법칙과 결합해 미분할 수 있습니다.
곱·몫·합성이 섞인 초월함수 식을 미분할 수 있습니다.
기호
읽는 법
뜻
e e 자연상수 이
≈ 2.718 ≈ 2 . 7 1 8
e x e x 이의 엑스승
자연지수함수
ln x ln x 자연로그 엑스
밑이 e e e x log e x
a x a x 에이의 엑스승
밑이 a a
a x log a x 로그 에이 엑스
밑이 a a
sec x sec x 시컨트 엑스
\dfrac{1}
삼각함수 미분의 출발점은 1단원에서 배운 기본 극한 x → 0 sin x x = 1 lim x → 0 x sin x = 1 x → 0 1 − cos x x = 0 lim x → 0 x 1 − cos x = 0
d d x sin x = cos x , d d x cos x = − sin x d x d sin x = cos x , d x d cos x = − sin x
sin x sin x sin ( x + h ) = sin x cos h + cos x sin h sin ( x + h ) = sin x cos h + cos x sin h
sin ( x + h ) − sin x h = sin x ⋅ cos h − 1 h + cos x ⋅ sin h h h sin ( x + h ) − sin x = sin x ⋅ h cos h − 1 + cos x ⋅ h sin h
이고, h → 0 h → 0 cos h − 1 h → 0 h cos h − 1 → 0 sin h h → 1 h sin h → 1 sin x ⋅ 0 + cos x ⋅ 1 = cos x sin x ⋅ 0 + cos x ⋅ 1 = cos x − sin x − sin x
문제 1. (기초) y = sin x + cos x y = sin x + cos x 답. cos x − sin x cos x − sin x 풀이. 항별로 미분하면 cos x + ( − sin x ) = cos x − sin x cos x + ( − sin x ) = cos x − sin x
문제 2. (기초) y = 3 sin x y = 3 sin x x = 0 x = 0 답. 3 3 풀이. y ′ = 3 cos x y ′ = 3 cos x x = 0 x = 0 3 cos 0 = 3 ⋅ 1 = 3 3 cos 0 = 3 ⋅ 1 = 3
문제 3. (표준) y = sin ( 2 x ) y = sin ( 2 x ) 답. 2 cos ( 2 x ) 2 cos ( 2 x ) 풀이. 연쇄법칙으로 바깥 sin sin cos ( 2 x ) cos ( 2 x ) 2 x 2 x 2 2 2 cos ( 2 x ) 2 cos ( 2 x )
문제 4. (표준) y = cos ( x 2 ) y = cos ( x 2 ) 답. − 2 x sin ( x 2 ) − 2 x sin ( x 2 ) 풀이. 바깥 cos cos − sin ( x 2 ) − sin ( x 2 ) x 2 x 2 2 x 2 x − 2 x sin ( x 2 ) − 2 x sin ( x 2 )
탄젠트는 tan x = sin x cos x tan x = cos x sin x
d d x tan x = cos x cos x − sin x ( − sin x ) 2 x = 2 x + 2 x 2 x = 1 2 x = 2 x d x d tan x = cos 2 x cos x cos x − sin x ( − sin x ) = cos 2 x cos 2 x + sin 2 x = cos 2 x 1 = sec 2 x
여기서 피타고라스 항등식 2 x + 2 x = 1 sin 2 x + cos 2 x = 1
d d x tan x = 2 x = 1 2 x d x d tan x = sec 2 x = cos 2 x 1
입니다.
문제 1. (기초) y = tan x y = tan x x = 0 x = 0 답. 1 1 풀이. y ′ = 2 x = 1 2 x y ′ = sec 2 x = cos 2 x 1 x = 0 x = 0 1 2 0 = 1 1 = 1 cos 2 0 1 = 1 1 = 1
문제 2. (표준) y = tan ( 3 x ) y = tan ( 3 x ) 답. 3 2 ( 3 x ) 3 sec 2 ( 3 x ) 풀이. 연쇄법칙으로 바깥 tan tan 2 ( 3 x ) sec 2 ( 3 x ) 3 x 3 x 3 3 3 2 ( 3 x ) 3 sec 2 ( 3 x )
문제 3. (표준) y = 2 x y = sin 2 x 답. 2 sin x cos x 2 sin x cos x 풀이. y = ( sin x ) 2 y = ( sin x ) 2 2 sin x ⋅ ( sin x ) ′ = 2 sin x cos x 2 sin x ⋅ ( sin x ) ′ = 2 sin x cos x sin ( 2 x ) sin ( 2 x )
문제 4. (심화) y = sin x 1 + cos x y = 1 + cos x sin x 답. 1 1 + cos x 1 + cos x 1 풀이. 몫의 법칙으로 y ′ = cos x ( 1 + cos x ) − sin x ( − sin x ) ( 1 + cos x ) 2 = cos x + 2 x + 2 x ( 1 + cos x ) 2 y ′ = ( 1 + cos x ) 2 cos x ( 1 + cos x ) − sin x ( − sin x ) = ( 1 + cos x ) 2 cos x + cos 2 x + sin 2 x cos x + 1 cos x + 1 1 + cos x ( 1 + cos x ) 2 = 1 1 + cos x ( 1 + cos x ) 2 1 + cos x = 1 + cos x 1
자연지수함수 e x e x
d d x e x = e x d x d e x = e x
이것이 밑을 하필 e e e x + h − e x h = e x ⋅ e h − 1 h h e x + h − e x = e x ⋅ h e h − 1 e e h → 0 e h − 1 h = 1 lim h → 0 h e h − 1 = 1 a > 0 a > 0 a = e ln a a = e l n a a x = e x ln a a x = e x l n a
d d x a x = a x ln a d x d a x = a x ln a
가 됩니다. a = e a = e ln e = 1 ln e = 1 e x e x
예를 들어 y = e 2 x y = e 2 x y ′ = e 2 x ⋅ 2 = 2 e 2 x y ′ = e 2 x ⋅ 2 = 2 e 2 x
문제 1. (기초) y = e x + x 2 y = e x + x 2 답. e x + 2 x e x + 2 x 풀이. 항별로 미분하면 e x + 2 x e x + 2 x e x e x
문제 2. (기초) y = 2 x y = 2 x 답. 2 x ln 2 2 x ln 2 풀이. d d x a x = a x ln a d x d a x = a x ln a a = 2 a = 2 2 x ln 2 2 x ln 2
문제 3. (표준) y = e − x 2 y = e − x 2 답. − 2 x e − x 2 − 2 x e − x 2 풀이. 바깥 e ( ⋅ ) e ( ⋅ ) e − x 2 e − x 2 − x 2 − x 2 − 2 x − 2 x − 2 x e − x 2 − 2 x e − x 2
문제 4. (표준) y = x 2 e x y = x 2 e x 답. x e x ( x + 2 ) x e x ( x + 2 ) 풀이. 곱의 법칙으로 y ′ = 2 x e x + x 2 e x = e x ( 2 x + x 2 ) = x e x ( x + 2 ) y ′ = 2 x e x + x 2 e x = e x ( 2 x + x 2 ) = x e x ( x + 2 )
자연로그 ln x ln x e x e x
d d x ln x = 1 x ( x > 0 ) d x d ln x = x 1 ( x > 0 )
일반 밑 로그는 밑변환 a x = ln x ln a log a x = ln a ln x ln a ln a
d d x a x = 1 x ln a d x d log a x = x ln a 1
가 됩니다. 연쇄법칙과 결합하면 d d x ln g ( x ) = g ′ ( x ) g ( x ) d x d ln g ( x ) = g ( x ) g ′ ( x )
예를 들어 y = ln ( x 2 + 1 ) y = ln ( x 2 + 1 ) y ′ = ( x 2 + 1 ) ′ x 2 + 1 = 2 x x 2 + 1 y ′ = x 2 + 1 ( x 2 + 1 ) ′ = x 2 + 1 2 x
문제 1. (기초) y = ln x + x y = ln x + x 답. 1 x + 1 x 1 + 1 풀이. 항별로 미분하면 1 x + 1 x 1 + 1
문제 2. (표준) y = ln ( 3 x + 1 ) y = ln ( 3 x + 1 ) 답. 3 3 x + 1 3 x + 1 3 풀이. d d x ln g = g ′ g d x d ln g = g g ′ g = 3 x + 1 g = 3 x + 1 g ′ = 3 g ′ = 3 3 3 x + 1 3 x + 1 3
문제 3. (표준) y = 2 x y = log 2 x 답. 1 x ln 2 x ln 2 1 풀이. d d x a x = 1 x ln a d x d log a x = x ln a 1 a = 2 a = 2 1 x ln 2 x ln 2 1
문제 4. (심화) y = ln x x + 1 y = ln x + 1 x 답. 1 x ( x + 1 ) x ( x + 1 ) 1 풀이. 로그 성질로 먼저 y = ln x − ln ( x + 1 ) y = ln x − ln ( x + 1 ) y ′ = 1 x − 1 x + 1 y ′ = x 1 − x + 1 1 ( x + 1 ) − x x ( x + 1 ) = 1 x ( x + 1 ) x ( x + 1 ) ( x + 1 ) − x = x ( x + 1 ) 1
실전에서는 초월함수가 곱·몫·합성으로 얽힙니다. 앞 강의의 세 법칙을 그대로 쓰되, 각 조각의 미분에 이번 강의의 공식을 넣습니다.
예를 들어 y = e x sin x y = e x sin x
y ′ = e x sin x + e x cos x = e x ( sin x + cos x ) y ′ = e x sin x + e x cos x = e x ( sin x + cos x )
또 y = ln x x y = x ln x
y ′ = 1 x ⋅ x − ln x ⋅ 1 x 2 = 1 − ln x x 2 y ′ = x 2 x 1 ⋅ x − ln x ⋅ 1 = x 2 1 − ln x
그리고 y = sin ( e x ) y = sin ( e x ) sin sin cos ( e x ) cos ( e x ) e x e x e x e x y ′ = e x cos ( e x ) y ′ = e x cos ( e x )
문제 1. (표준) y = x ln x y = x ln x 답. ln x + 1 ln x + 1 풀이. 곱의 법칙으로 y ′ = 1 ⋅ ln x + x ⋅ 1 x = ln x + 1 y ′ = 1 ⋅ ln x + x ⋅ x 1 = ln x + 1
문제 2. (표준) y = e x cos x y = e x cos x 답. e x ( cos x − sin x ) e x ( cos x − sin x ) 풀이. 곱의 법칙으로 y ′ = e x cos x + e x ( − sin x ) = e x ( cos x − sin x ) y ′ = e x cos x + e x ( − sin x ) = e x ( cos x − sin x )
문제 3. (심화) y = ln ( sin x ) y = ln ( sin x ) 답. cos x sin x sin x cos x 풀이. d d x ln g = g ′ g d x d ln g = g g ′ g = sin x g = sin x g ′ = cos x g ′ = cos x cos x sin x sin x cos x cot x cot x
문제 4. (심화) y = e sin x y = e s i n x x = 0 x = 0 답. 1 1 풀이. 연쇄법칙으로 y ′ = e sin x ⋅ cos x y ′ = e s i n x ⋅ cos x x = 0 x = 0 e sin 0 cos 0 = e 0 ⋅ 1 = 1 e s i n 0 cos 0 = e 0 ⋅ 1 = 1
d d x sin x = cos x d x d sin x = cos x d d x cos x = − sin x d x d cos x = − sin x d d x tan x = 2 x d x d tan x = sec 2 x d d x e x = e x d x d e x = e x d d x a x = a x ln a d x d a x = a x ln a d d x ln x = 1 x d x d ln x = x 1 d d x a x = 1 x ln a d x d log a x = x ln a 1 연쇄 결합: d d x ln g = g ′ g d x d ln g = g g ′ d d x e g = e g g ′ d x d e g = e g g ′ d d x sin g = g ′ cos g d x d sin g = g ′ cos g
삼각함수 공식은 라디안 기준.
로그는 곱·몫을 먼저 ln ln
문제 1. (기초) y = 2 e x − 3 sin x y = 2 e x − 3 sin x 답. 2 e x − 3 cos x 2 e x − 3 cos x 풀이. 항별로 미분하면 2 e x − 3 cos x 2 e x − 3 cos x
문제 2. (기초) y = ln ( 5 x ) y = ln ( 5 x ) 답. 1 x x 1 풀이. d d x ln ( 5 x ) = 5 5 x = 1 x d x d ln ( 5 x ) = 5 x 5 = x 1 ln ( 5 x ) = ln 5 + ln x ln ( 5 x ) = ln 5 + ln x 1 x x 1
문제 3. (표준) y = cos ( 3 x − 1 ) y = cos ( 3 x − 1 ) 답. − 3 sin ( 3 x − 1 ) − 3 sin ( 3 x − 1 ) 풀이. 바깥 cos cos − sin ( 3 x − 1 ) − sin ( 3 x − 1 ) 3 x − 1 3 x − 1 3 3 − 3 sin ( 3 x − 1 ) − 3 sin ( 3 x − 1 )
문제 4. (표준) y = e 3 x sin x y = e 3 x sin x 답. e 3 x ( 3 sin x + cos x ) e 3 x ( 3 sin x + cos x ) 풀이. 곱의 법칙으로 y ′ = 3 e 3 x sin x + e 3 x cos x = e 3 x ( 3 sin x + cos x ) y ′ = 3 e 3 x sin x + e 3 x cos x = e 3 x ( 3 sin x + cos x )
문제 5. (표준) y = e x x y = x e x 답. e x ( x − 1 ) x 2 x 2 e x ( x − 1 ) 풀이. 몫의 법칙으로 y ′ = e x ⋅ x − e x ⋅ 1 x 2 = e x ( x − 1 ) x 2 y ′ = x 2 e x ⋅ x − e x ⋅ 1 = x 2 e x ( x − 1 )
문제 6. (표준) y = tan ( x 2 + 1 ) y = tan ( x 2 + 1 ) 답. 2 x 2 ( x 2 + 1 ) 2 x sec 2 ( x 2 + 1 ) 풀이. 바깥 tan tan 2 ( x 2 + 1 ) sec 2 ( x 2 + 1 ) x 2 + 1 x 2 + 1 2 x 2 x 2 x 2 ( x 2 + 1 ) 2 x sec 2 ( x 2 + 1 )
문제 7. (표준) y = ln ( x 2 + 4 ) y = ln ( x 2 + 4 ) x = 0 x = 0 답. 0 0 풀이. y ′ = 2 x x 2 + 4 y ′ = x 2 + 4 2 x x = 0 x = 0 0 4 = 0 4 0 = 0
문제 8. (심화) y = sin ( cos x ) y = sin ( cos x ) 답. − sin x cos ( cos x ) − sin x cos ( cos x ) 풀이. 바깥 sin sin cos ( cos x ) cos ( cos x ) cos x cos x − sin x − sin x − sin x cos ( cos x ) − sin x cos ( cos x )
문제 9. (심화) y = x x y = x x x > 0 x > 0 답. x x ( ln x + 1 ) x x ( ln x + 1 ) 풀이. 양변에 자연로그를 취하면 ln y = x ln x ln y = x ln x x x y ′ y = ln x + x ⋅ 1 x = ln x + 1 y y ′ = ln x + x ⋅ x 1 = ln x + 1 y ′ = y ( ln x + 1 ) = x x ( ln x + 1 ) y ′ = y ( ln x + 1 ) = x x ( ln x + 1 )
문제 10. (심화) y = sin x e x y = e x sin x 답. cos x − sin x e x e x cos x − sin x 풀이. y = e − x sin x y = e − x sin x y ′ = − e − x sin x + e − x cos x = e − x ( cos x − sin x ) = cos x − sin x e x y ′ = − e − x sin x + e − x cos x = e − x ( cos x − sin x ) = e x cos x − sin x
문제 11. (심화) y = ln 1 + x 1 − x y = ln 1 − x 1 + x 답. 1 1 − x 2 1 − x 2 1 풀이. 로그 성질로 y = 1 2 [ ln ( 1 + x ) − ln ( 1 − x ) ] y = 2 1 [ ln ( 1 + x ) − ln ( 1 − x ) ] 1 2 [ 1 1 + x − − 1 1 − x ] = 1 2 [ 1 1 + x + 1 1 − x ] 2 1 [ 1 + x 1 − 1 − x − 1 ] = 2 1 [ 1 + x 1 + 1 − x 1 ] 1 2 ⋅ ( 1 − x ) + ( 1 + x ) ( 1 + x ) ( 1 − x ) = 1 2 ⋅ 2 1 − x 2 = 1 1 − x 2 2 1 ⋅ ( 1 + x ) ( 1 − x ) ( 1 − x ) + ( 1 + x ) = 2 1 ⋅ 1 − x 2 2 = 1 − x 2 1
문제 12. (심화) y = e 2 x cos ( 3 x ) y = e 2 x cos ( 3 x ) 답. e 2 x ( 2 cos 3 x − 3 sin 3 x ) e 2 x ( 2 cos 3 x − 3 sin 3 x ) 풀이. 곱의 법칙과 연쇄를 함께 씁니다. ( e 2 x ) ′ = 2 e 2 x ( e 2 x ) ′ = 2 e 2 x ( cos 3 x ) ′ = − 3 sin 3 x ( cos 3 x ) ′ = − 3 sin 3 x y ′ = 2 e 2 x cos 3 x + e 2 x ( − 3 sin 3 x ) = e 2 x ( 2 cos 3 x − 3 sin 3 x ) y ′ = 2 e 2 x cos 3 x + e 2 x ( − 3 sin 3 x ) = e 2 x ( 2 cos 3 x − 3 sin 3 x )
sin x sin x tan x tan x 2 x sec 2 x e x e x e e y = e − 3 x y = e − 3 x − 3 e − 3 x − 3 e − 3 x y = ln ( 2 x + 5 ) y = ln ( 2 x + 5 ) 2 2 x + 5 2 x + 5 2 y = a x y = a x ln a ln a y = x 2 sin x y = x 2 sin x 2 x sin x + x 2 cos x 2 x sin x + x 2 cos x y = x x y = x x x x