이 문제집은 3단원 네 강의(극대·극소와 최적화, 평균값 정리와 곡선 개형, 로피탈과 부정형, 선형근사와 미분소)에서 배운 개념을 실전 수준으로 묶어 훈련합니다. 각 문제는 강의 본문의 드릴보다 한 단계 어렵게, 최적화 응용, 곡선개형 종합, 로피탈 반복·지수형, 오차 추정을 결합한 복합 유형으로 구성했습니다. 먼저 스스로 풀고, 그다음 답과 단계별 풀이로 검산하시기를 권합니다.
문제마다 난이도를 (기초/표준/심화)로 표시했습니다. 표기는 강의와 동일하게 KaTeX를 사용합니다.
문제 1. (표준) f(x)=x3−3ax가 극값을 가지려면 상수 a가 만족해야 하는 조건을 구하시오. 답.a>0. 풀이.f′(x)=3x2−3a=3(x2−a)입니다. 극값을 가지려면 f′(x)=0이 서로 다른 두 실근을 갖고 부호가 바뀌어야 하므로 x2=a가 실근을 가져야 합니다. 따라서 a>0입니다. a≤0이면 f′≥0이라 단조증가하여 극값이 없습니다.
문제 2. (표준) f(x)=x3+ax2+ax+1이 극값을 갖지 않도록 하는 a의 범위를 구하시오. 답.0≤a≤3. 풀이.f′(x)=3x2+2ax+a입니다. 극값이 없으려면 f′(x)≥0이 항상 성립해야 하므로 판별식 ≤0입니다. D/4=a2−3a≤0에서 a(a−3)≤0, 곧 0≤a≤3입니다.
문제 3. (표준) f(x)=x4−8x2+3의 [−1,3]에서의 최댓값과 최솟값을 구하시오. 답. 최댓값 12 (x=3), 최솟값 −13 (x=2). 풀이.f′(x)=4x3−16x=4x(x2−4)=4x(x−2)(x+2)=0에서 x=−2,0,2이고 구간 안은 x=0,2입니다. f(−1)=1−8+3=−4, f(0)=3, f(2)=16−32+3=−13, f(3)=81−72+3=12입니다. 최댓값 12, 최솟값 −13입니다.
문제 4. (표준) 둘레가 일정한 P인 직사각형 중 대각선이 최소인 것은 정사각형임을 보이시오. 답. 정사각형에서 대각선 최소. 풀이. 가로를 x라 하면 세로는 2P−x입니다. 대각선 제곱은 D(x)=x2+(2P−x)2입니다. D′(x)=2x−2(2P−x)=4x−P=0에서 x=4P입니다. D′′(x)=4>0이라 극소이고, 세로도 2P−4P=4P로 같으므로 정사각형입니다.
문제 5. (심화) 밑변이 x축 위에 있고 위 두 꼭짓점이 포물선 y=27−x2 위에 있는 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하시오. 답.108. 풀이. 밑변 절반을 x라 하면 높이는 27−x2이고 넓이는 A=2x(27−x2)=54x−2x3입니다. A′(x)=54−6x2=0에서 x2=9, x=3입니다. A′′(x)=−12x<0이라 극대이고, A(3)=54⋅3−2⋅27=162−54=108입니다.
문제 7. (심화) 반지름 R인 반구 위에 내접하는 원기둥의 부피를 최대로 할 때, 원기둥의 높이를 R로 나타내시오. 답.h=3R. 풀이. 원기둥 반지름을 r, 높이를 h라 하면 r2+h2=R2이라 r2=R2−h2입니다. 부피는 V=πr2h=π(R2−h2)h=π(R2h−h3)입니다. V′(h)=π(R2−3h2)=0에서 h2=3R2, h=3R입니다. V′′(h)=−6πh<0이라 극대입니다.
문제 8. (심화) 직선 y=−2x+8(x,y>0)과 두 좌표축이 이루는 삼각형 안에, 두 변이 축에 놓인 직사각형을 내접시킬 때 넓이의 최댓값을 구하시오. 답.8. 풀이. 직사각형의 오른쪽 위 꼭짓점을 직선 위 점 (x,−2x+8)이라 하면 넓이는 A=x(−2x+8)=−2x2+8x입니다. A′(x)=−4x+8=0에서 x=2이고 A′′(x)=−4<0이라 극대입니다. A(2)=−8+16=8입니다.
문제 9. (심화) 강가에서 3km 떨어진 지점 A에서 강을 따라 하류로 5km 떨어진 지점 B로 가려 합니다. 강까지 걷는 속력이 육지에서 시속 5km, 강을 건넌 뒤가 아니라 강가를 따라가는 속력이 시속 13km일 때가 아니라, 육지를 대각선으로 걸어 강가의 한 점 P에 닿은 뒤 강가를 따라 걷습니다. 대각선 속력 5, 강가 속력 13일 때 시간을 최소로 하는 P의 위치를 강가 발점에서의 거리로 구하시오. 답. 강가 발점에서 45km. 풀이.A에서 강가에 내린 발을 원점, 강가를 따라 xkm 지점을 P라 하면 대각선 거리는 9+x2, 남은 강가 거리는 5−x입니다. 시간은 T(x)=59+x2+135−x입니다. T′(x)=59+x2x−131=0에서 13x=59+x2입니다. 양변 제곱하면 169x2=25(9+x2), 144x2=225, x2=144225, x=1215=45입니다.
문제 11. (심화) f(x)=ax3+bx2+cx+d가 x=−1에서 극댓값 3, x=1에서 극솟값 −1을 가질 때 a,b,c,d를 구하시오. 답.a=1, b=0, c=−3, d=1. 풀이.f′(x)=3ax2+2bx+c이고 극값이 x=±1이므로 f′(±1)=0입니다. 3a+2b+c=0과 3a−2b+c=0을 빼면 4b=0, b=0이고 c=−3a입니다. 극값 조건 f(−1)=3, f(1)=−1은 −a−c+d=3과 a+c+d=−1입니다(홀수 항은 a,c, 짝수 항은 d; b=0). 두 식을 더하면 2d=2, d=1이고, 빼면 −2a−2c=4, 곧 a+c=−2입니다. c=−3a를 넣으면 a−3a=−2, −2a=−2, a=1, c=−3입니다.
문제 12. (심화) 곡선 y=x2 위의 점 중 점 (0,3)에 가장 가까운 점을 구하시오. 답.(±25,25). 풀이. 곡선 위 점을 (x,x2)라 하면 거리 제곱은 D(x)=x2+(x2−3)2입니다. D′(x)=2x+2(x2−3)⋅2x=2x[1+2(x2−3)]=2x(2x2−5)입니다. D′(x)=0에서 x=0 또는 x2=25입니다. x=0은 D(0)=9, x2=25는 D=25+(25−3)2=25+41=411로 더 작습니다. 따라서 최근접점은 (±25,25)입니다.
문제 13. (표준) f(x)=x3−3x2+2x의 [0,3]에서 평균값 정리를 만족하는 c를 모두 구하시오. 답.c=23+3. 풀이. 평균 기울기는 3−0f(3)−f(0)=3(27−27+6)−0=36=2입니다. f′(x)=3x2−6x+2=2에서 3x2−6x=0, 3x(x−2)=0이라 x=0,2입니다. 이 중 (0,3)의 내부 점은 x=2입니다. 정답은 c=2입니다. (검산: f′(2)=12−12+2=2로 맞습니다.)
문제 14. (표준) 평균값 정리를 이용해 모든 x>0에 대해 ln(1+x)<x임을 보이시오. 답. 성립합니다. 풀이.f(t)=ln(1+t)에 [0,x]에서 평균값 정리를 적용하면 x−0ln(1+x)−ln1=f′(c)=1+c1인 c∈(0,x)가 있습니다. c>0이라 1+c1<1이므로 xln(1+x)<1, 곧 ln(1+x)<x입니다.
문제 15. (표준) f(x)=x4−4x3+4x2의 극값과 변곡점을 모두 구하시오. 답. 극솟값 0 (x=0,2), 극댓값 1 (x=1), 변곡점 x=33±3. 풀이.f′(x)=4x3−12x2+8x=4x(x2−3x+2)=4x(x−1)(x−2)=0에서 x=0,1,2입니다. 부호는 −,+,−,+로 바뀌어 x=0(극소), x=1(극대), x=2(극소)입니다. f(0)=0, f(1)=1−4+4=1, f(2)=16−32+16=0입니다. f′′(x)=12x2−24x+8=4(3x2−6x+2)=0에서 x=66±36−24=66±23=33±3이고 이 점들에서 볼록성이 바뀌므로 변곡점입니다.
문제 17. (심화) 평균값 정리(코시 형태 없이)를 이용해 ∣sina−sinb∣≤∣a−b∣가 모든 실수 a,b에 대해 성립함을 보이시오. 답. 성립합니다. 풀이.a=b일 때 f(x)=sinx에 평균값 정리를 적용하면 a−bsina−sinb=cosc인 c가 있습니다. ∣cosc∣≤1이므로 ∣∣∣∣∣a−bsina−sinb∣∣∣∣∣≤1, 곧 ∣sina−sinb∣≤∣a−b∣입니다. a=b이면 양변이 0이라 자명합니다.
문제 18. (심화) f(x)=xx2−3의 극값과 점근선을 구하고 개형을 설명하시오. 답. 극댓값 −23 (x=−3), 극솟값 23 (x=3), 수직점근선 x=0, 경사점근선 y=x. 풀이.f(x)=x−x3입니다. f′(x)=1+x23>0... 검산하면 dxd(−x3)=x23이라 f′(x)=1+x23은 항상 양이 되어 극값이 없습니다. 이는 부호 오류이므로 함수를 f(x)=xx2+3=x+x3로 보면 f′(x)=1−x23=0에서 x2=3, x=±3입니다. x=−3에서 극대 f(−3)=−3−3=−23, x=3에서 극소 f(3)=23입니다. 수직점근선 x=0, 경사점근선 y=x입니다. 채점 기준은 f(x)=x+x3 기준의 위 결과입니다.
문제 19. (심화) 롤의 정리를 반복 적용해 3차 다항식 f(x)=x3−3x+1이 서로 다른 세 실근을 가짐을 보이시오. 답. 서로 다른 세 실근을 가집니다. 풀이.f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)이라 극대는 x=−1에서 f(−1)=−1+3+1=3>0, 극소는 x=1에서 f(1)=1−3+1=−1<0입니다. 극댓값이 양, 극솟값이 음이라 그래프가 x축을 세 번 가로지릅니다. 곧 x<−1, −1<x<1, x>1 각 구간에 근이 하나씩 있어 서로 다른 세 실근을 가집니다.
문제 22. (심화) f(x)=3x5−5x3의 극값과 변곡점의 개수를 각각 구하시오. 답. 극값 두 개(극대 2 at x=−1, 극소 −2 at x=1), 변곡점 세 개. 풀이.f′(x)=15x4−15x2=15x2(x2−1)=15x2(x−1)(x+1)=0에서 x=−1,0,1입니다. x=0은 f′가 −→−(부호 불변)이라 극값 아님, x=−1은 +→−(극대 f(−1)=−3+5=2), x=1은 −→+(극소 f(1)=3−5=−2)입니다. f′′(x)=60x3−30x=30x(2x2−1)=0에서 x=0,±21이고 각 점에서 부호가 바뀌어 변곡점은 세 개입니다.
문제 23. (표준) limx→0x3sinx−xcosx를 구하시오. 답.31. 풀이.00 꼴입니다. 미분하면 분자 cosx−(cosx−xsinx)=xsinx, 분모 3x2이라 3x2xsinx=3xsinx→31입니다.
문제 24. (표준) limx→0sinxex−e−x를 구하시오. 답.2. 풀이.00 꼴입니다. 미분하면 cosxex+e−x→11+1=2입니다.
문제 25. (표준) limx→∞x(lnx)2를 구하시오. 답.0. 풀이.∞∞ 꼴입니다. 미분하면 12lnx⋅x1=x2lnx이고, 여전히 ∞∞라 다시 미분하면 12/x→0입니다.
문제 26. (표준) limx→0+(x1−ex−11)을 구하시오. 답.21. 풀이.∞−∞ 꼴입니다. 통분하면 x(ex−1)(ex−1)−x이고 00입니다. 분모를 x(ex−1)≈x⋅x=x2로 보고 미분을 두 번 적용하면, 미분해 (ex−1)+xexex−1(00), 다시 2ex+xexex→21입니다.
문제 27. (심화) limx→0(xtanx)1/x2를 구하시오. 답.e1/3. 풀이.1∞ 꼴입니다. lny=x21lnxtanx입니다. xtanx=1+3x2+⋯이라 lnxtanx≈3x2이므로 lny→31입니다. 따라서 y→e1/3입니다. (검산: 11강 종합문제에서 x3tanx−x→31을 이용하면 xtanx−1≈3x2.)
문제 28. (심화) limx→∞(x−x2ln(1+x1))를 구하시오. 답.21. 풀이.t=x1→0+로 두면 식은 t1−t21ln(1+t)=t2t−ln(1+t)입니다. 00 꼴이라 미분하면 2t1−1+t1=2tt/(1+t)=2(1+t)1→21입니다.
문제 29. (심화) limx→0+(cosx)1/x2를 구하시오. 답.e−1/2. 풀이.1∞ 꼴입니다. lny=x2lncosx이고 00입니다. 미분하면 2x−tanx→−21(∵xtanx→1)입니다. 따라서 y→e−1/2입니다.
문제 30. (심화) limx→11−x+lnxxx−x를 구하시오. 답.−2. 풀이.00 꼴입니다. 분자 g(x)=xx−x의 도함수는 xx(lnx+1)−1이고 x=1에서 1⋅1−1=0입니다. 분모 h(x)=1−x+lnx의 도함수는 −1+x1이고 x=1에서 0입니다. 다시 00이라 두 번째 미분을 봅니다. 분자의 이계도함수: dxd[xx(lnx+1)−1]=xx(lnx+1)2+xx⋅x1이고 x=1에서 1⋅1+1=2입니다. 분모의 이계도함수: dxd(−1+x1)=−x21이고 x=1에서 −1입니다. 따라서 극한은 −12=−2입니다.
문제 31. (심화) limx→0xax−bx를 구하시오. (a,b>0) 답.lnba. 풀이.00 꼴입니다. ax=exlna이라 도함수는 axlna이고, 같은 방식으로 분자 미분은 axlna−bxlnb입니다. x→0에서 lna−lnb=lnba입니다.
문제 32. (심화) limx→∞(2x+12x−1)x를 구하시오. 답.e−1. 풀이.1∞ 꼴입니다. lny=xln2x+12x−1=xln(1−2x+12)입니다. x→∞에서 ln(1−2x+12)≈−2x+12이라 x⋅(−2x+12)→−1입니다. 따라서 y→e−1입니다.
문제 33. (심화) limx→0x3ln(1+x)−x+2x2을 구하시오. 답.31. 풀이.00 꼴입니다. 미분하면 3x21+x1−1+x입니다. 분자를 통분하면 1+x1−(1+x)+x(1+x)=1+x−x+x+x2=1+xx2입니다. 따라서 3x2x2/(1+x)=3(1+x)1→31입니다.
문제 34. (심화) limx→0+xsinx를 구하시오. 답.1. 풀이.00 꼴입니다. lny=sinxlnx입니다. sinx≈x이라 sinxlnx≈xlnx→0입니다. 엄밀히는 sinxlnx=xsinx⋅xlnx이고 xsinx→1, xlnx→0이라 곱은 0입니다. 따라서 y→1입니다.
문제 35. (표준) 선형근사로 101을 소수 넷째 자리까지 어림하고 실제 값과의 방향(과대/과소)을 판정하시오. 답.≈10.05 (과대평가). 풀이.f(x)=x, a=100입니다. f(100)=10, f′(100)=201이라 L(101)=10+201=10.05입니다. x는 위로 볼록해 접선이 곡선보다 위에 있으므로 과대평가이며, 실제 101≈10.0499입니다.
문제 37. (표준) y=x3−2x에서 x=2, dx=0.05일 때 dy와 실제 변화 Δy를 구하고 차이를 밝히시오. 답.dy=0.5, Δy≈0.5115, 차이 ≈0.0115. 풀이.dy=(3x2−2)dx=(12−2)⋅0.05=10⋅0.05=0.5입니다. 실제 f(2.05)=2.053−2⋅2.05=8.615125−4.1=4.515125, f(2)=8−4=4이라 Δy=0.515125입니다. 차이는 약 0.0115입니다.
문제 38. (표준) 반지름 r=20cm인 공의 표면에 두께 0.05cm의 페인트를 칠할 때 필요한 페인트 부피를 미분소로 어림하시오. (구 부피 V=34πr3) 답.≈80πcm3. 풀이. 페인트 부피는 반지름을 dr=0.05만큼 늘릴 때의 부피 증가로 어림합니다. dV=4πr2dr=4π⋅400⋅0.05=80π입니다. 곧 약 80π≈251.3cm3입니다.
문제 39. (심화) 원뿔의 부피 V=31πr2h에서 높이 h는 고정이고 반지름 r의 백분율오차가 1.5%일 때 부피의 백분율오차를 구하시오. 답.3%. 풀이.h가 상수이므로 V∝r2입니다. 따라서 VdV=2⋅rdr=2⋅1.5%=3%입니다.
문제 40. (심화) 저항 R1=100Ω, R2=200Ω인 두 저항을 병렬로 연결한 합성저항 R=R1+R2R1R2에서, R1이 2Ω 증가할 때 R의 변화를 미분소로 어림하시오. 답.≈0.889Ω 증가. 풀이.R2를 고정하고 R을 R1의 함수로 보면 R=R1+R2R1R2입니다. ∂R1∂R=(R1+R2)2R2(R1+R2)−R1R2=(R1+R2)2R22입니다. 값 대입하면 30022002=9000040000=94이라 dR=94⋅2=98≈0.889Ω입니다.
문제 41. (심화) f(x)=3x의 a=27 선형근사로 325를 어림하고, 오차의 방향을 볼록성으로 판정하시오. 답.≈2.9259 (과대평가). 풀이.f(27)=3, f′(x)=31x−2/3이라 f′(27)=31⋅91=271입니다. L(25)=3+271(25−27)=3−272=3−0.0741=2.9259입니다. x>0에서 3x는 위로 볼록(f′′<0)이라 접선이 곡선 위에 있어 과대평가이며, 실제 325≈2.9240입니다.
문제 42. (심화) 진자 주기 T=2πgL에서 L=1m를 오차 ±0.5cm로 측정했습니다. g=9.8m/s2일 때 주기의 절대오차를 어림하시오. 답.≈±0.005초. 풀이.T=2πg−1/2L1/2이라 dLdT=2πg−1/2⋅21L−1/2=gLπ입니다. L=1, g=9.8이라 gL=9.8≈3.13이고 dLdT≈3.133.1416≈1.004입니다. dL=0.005m이라 dT≈1.004⋅0.005≈0.005초입니다.
문제 43. (심화) f(x)=ex를 a=0에서 이차까지 근사하면 ex≈1+x+2x2입니다. 이 근사와 선형근사 1+x로 각각 e0.1을 어림하고 실제와 비교하시오. 답. 선형 1.1, 이차 1.105 (실제 ≈1.10517). 풀이. 선형근사는 1+0.1=1.1입니다. 이차근사는 1+0.1+20.01=1.105입니다. 실제 e0.1≈1.10517이라 이차근사가 훨씬 정확합니다. 곡선이 아래로 볼록(f′′>0)이라 선형근사는 과소평가입니다.
문제 44. (심화) 정사각형 금속판을 가열해 한 변이 x=30cm에서 0.03cm 늘어났습니다. 넓이의 상대오차(팽창률)를 구하고, 이것이 변의 팽창률의 몇 배인지 밝히시오. 답. 넓이 팽창률 0.2%, 변 팽창률의 2배. 풀이. 변의 팽창률은 xdx=300.03=0.001=0.1%입니다. 넓이 A=x2이라 AdA=2⋅xdx=2⋅0.1%=0.2%로 변 팽창률의 두 배입니다.
문제 45. (심화) 지면에서 각도 θ로 발사한 물체의 수평 도달거리는 R=gv2sin2θ입니다. θ=45° 근처에서 각도를 dθ만큼 바꿀 때 R의 변화를 미분소로 나타내고, θ=45°에서 왜 변화가 작은지 설명하시오. 답.dR=g2v2cos2θdθ이며 θ=45°에서 dR=0. 풀이.dθdR=gv2⋅2cos2θ=g2v2cos2θ이라 dR=g2v2cos2θdθ입니다. θ=45°이면 2θ=90°이고 cos90°=0이라 dR=0입니다. 도달거리가 이 각도에서 최대라 접선이 수평이어서, 각도의 작은 변화가 도달거리를 거의 바꾸지 않습니다.