두 지점을 잇는 평균 속도가 시속 60km였다면, 그 사이 어느 순간엔가 계기판이 정확히 60을 가리켰을 것입니다. 이 당연해 보이는 사실이 평균값 정리이며, 미분(순간의 정보)과 함수 전체의 행동을 잇는 다리입니다. 이 다리를 건넌 뒤에는 1계·2계 도함수만으로 곡선의 전체 모습을 그려 낼 수 있습니다.
롤의 정리.f가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능하며 f(a)=f(b)이면, f′(c)=0인 c가 (a,b) 안에 적어도 하나 있습니다.
직관은 이렇습니다. 같은 높이에서 출발해 같은 높이로 돌아왔다면, 도중에 반드시 방향을 바꾸는 곳(수평접선)이 있습니다. 봉우리나 골짜기가 그 자리입니다. 예를 들어 f(x)=x2−4x+3은 f(1)=0, f(3)=0으로 두 끝 값이 같습니다. f′(x)=2x−4=0에서 c=2이고, 이 값은 (1,3) 안에 있습니다.
문제 1. (기초) f(x)=x2−6x+8에 대해 [2,4]에서 롤의 정리를 만족하는 c를 구하시오. 답.c=3. 풀이.f(2)=4−12+8=0, f(4)=16−24+8=0으로 끝 값이 같습니다. f′(x)=2x−6=0에서 c=3이고 (2,4) 안에 있습니다.
문제 2. (표준) f(x)=x3−x에 대해 [−1,1]에서 f′(c)=0인 c를 모두 구하시오. 답.c=±31. 풀이.f(−1)=−1+1=0, f(1)=1−1=0으로 같습니다. f′(x)=3x2−1=0에서 x2=31, c=±31이고 둘 다 (−1,1) 안에 있습니다.
문제 3. (표준) f(x)=∣x∣는 [−1,1]에서 f(−1)=f(1)인데 왜 롤의 정리의 결론(f′(c)=0)이 성립하지 않는지 설명하시오. 답.x=0에서 미분가능하지 않기 때문입니다. 풀이. 롤의 정리는 (a,b) 전체에서 미분가능함을 전제합니다. ∣x∣는 x=0에서 미분불가능하므로 전제가 깨지고, 실제로 도함수가 0인 점이 없습니다.
곧 구간 전체의 평균 기울기(할선)와 같은 순간 기울기(접선)를 갖는 점이 반드시 존재한다는 뜻입니다. 예를 들어 f(x)=x2을 [0,2]에서 봅시다. 평균 기울기는 2−0f(2)−f(0)=24=2입니다. f′(x)=2x=2에서 c=1이고, 이는 (0,2) 안에 있습니다.
평균값 정리의 중요한 따름 결과는 이렇습니다. 어떤 구간에서 항상 f′(x)=0이면 f는 그 구간에서 상수입니다. 순간변화율이 늘 0이면 값이 변할 수 없기 때문입니다.
문제 1. (기초) f(x)=x2의 [1,3]에서 평균값 정리의 c를 구하시오. 답.c=2. 풀이. 평균 기울기는 3−19−1=4입니다. f′(x)=2x=4에서 c=2이고 (1,3) 안에 있습니다.
문제 2. (표준) f(x)=x3의 [0,3]에서 평균값 정리의 c를 구하시오. 답.c=3. 풀이. 평균 기울기는 3−027−0=9입니다. f′(x)=3x2=9에서 x2=3, (0,3) 안이므로 c=3입니다.
문제 3. (표준) f(x)=x의 [0,4]에서 평균값 정리의 c를 구하시오. 답.c=1. 풀이. 평균 기울기는 4−02−0=21입니다. f′(x)=2x1=21에서 x=1, c=1입니다.
문제 4. (심화) 어떤 자동차가 2시간 동안 180km를 달렸습니다. 순간 속력이 어느 순간 90km/h였음을 평균값 정리로 설명하시오. 답. 반드시 존재합니다. 풀이. 위치함수 s(t)는 연속이고 미분가능합니다. 평균 속력은 2−0s(2)−s(0)=2180=90입니다. 평균값 정리에 따라 s′(c)=90인 순간 c가 (0,2) 안에 있고, s′(c)는 그 순간의 속력이므로 어느 순간 정확히 90km/h였습니다.
f′′(x)>0인 구간에서 그래프는 아래로 볼록(컵 모양, ⌣)하고, f′′(x)<0인 구간에서 위로 볼록(돔 모양, ⌢)합니다.
이유는 f′′가 f′의 변화율이기 때문입니다. f′′>0이면 기울기 f′가 점점 커져 곡선이 위로 휘어 올라갑니다. 예를 들어 f(x)=x3은 f′′(x)=6x이므로 x<0에서 위로 볼록, x>0에서 아래로 볼록입니다.
문제 1. (기초) f(x)=x2이 어디서 아래로 볼록인지 답하시오. 답. 모든 x. 풀이.f′′(x)=2>0이 항상 성립하므로 전 구간에서 아래로 볼록합니다.
문제 2. (표준) f(x)=x3−3x2의 오목·볼록 구간을 구하시오. 답.x<1에서 위로 볼록, x>1에서 아래로 볼록. 풀이.f′(x)=3x2−6x, f′′(x)=6x−6=6(x−1)입니다. x<1이면 f′′<0(위로 볼록), x>1이면 f′′>0(아래로 볼록)입니다.
문제 3. (표준) f(x)=x4이 항상 아래로 볼록인지 확인하시오. 답.x=0에서 아래로 볼록, x=0에서는 f′′=0. 풀이.f′′(x)=12x2입니다. x=0이면 f′′>0이라 아래로 볼록이고, x=0에서만 f′′=0입니다. 이 점은 볼록성이 바뀌지 않으므로 변곡점이 아닙니다.
개형 절차. ① 정의역·대칭·절편을 본다. ② f′로 증가·감소와 극값을 정한다. ③ f′′로 오목·볼록과 변곡점을 정한다. ④ 점근선(필요 시)을 본다. ⑤ 이 정보를 이어 곡선을 그린다.
예를 들어 f(x)=x3−3x를 그려 봅시다. f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)이라 x=−1에서 극대 f(−1)=2, x=1에서 극소 f(1)=−2입니다. f′′(x)=6x이라 x=0이 변곡점 (0,0)이고, x<0에서 위로 볼록, x>0에서 아래로 볼록입니다. 원점 대칭(기함수)임을 함께 쓰면 봉우리(−1,2)에서 골짜기(1,−2)로 내려오며 원점을 지나는 S자 곡선이 됩니다.
문제 1. (기초) f(x)=x2−2x의 극값과 대략적 개형을 설명하시오. 답. 극솟값 −1 (x=1)인 아래로 볼록한 포물선. 풀이.f′(x)=2x−2=0에서 x=1, f(1)=−1입니다. f′′(x)=2>0이라 전 구간 아래로 볼록한 포물선이고 꼭짓점이 (1,−1)입니다.
문제 5. (표준) 평균값 정리를 이용해 모든 x에서 f′(x)=3이고 f(0)=2이면 f(x)=3x+2임을 보이시오. 답.f(x)=3x+2. 풀이.g(x)=f(x)−(3x+2)라 하면 g′(x)=f′(x)−3=0이 모든 x에서 성립합니다. 평균값 정리의 따름으로 g는 상수이고, g(0)=f(0)−2=0이므로 g(x)≡0입니다. 따라서 f(x)=3x+2입니다.
문제 6. (표준) f(x)=x2+1x의 오목·볼록을 판정할 때 변곡점의 개수를 구하시오. 답. 세 개. 풀이.f′(x)=(x2+1)21−x2이고, f′′(x)=(x2+1)32x(x2−3)입니다(전개·정리). f′′=0은 x=0,±3이고 각 점에서 부호가 바뀌므로 변곡점은 세 개입니다.
문제 7. (심화) f(x)=x+2sinx의 [0,2π]에서 극값을 갖는 x를 구하시오. 답.x=32π(극대), x=34π(극소). 풀이.f′(x)=1+2cosx=0에서 cosx=−21, 곧 x=32π,34π입니다. f′′(x)=−2sinx이라 f′′(32π)=−2⋅23<0(극대), f′′(34π)=−2⋅(−23)>0(극소)입니다.
문제 8. (심화) 롤의 정리를 이용해 방정식 x3+x−1=0이 실근을 정확히 하나만 가짐을 보이시오. 답. 실근은 하나뿐입니다. 풀이.f(x)=x3+x−1은 연속이고 f(0)=−1<0, f(1)=1>0이라 중간값 정리로 실근이 적어도 하나 있습니다. 만약 서로 다른 두 실근 a<b가 있으면 f(a)=f(b)=0이라 롤의 정리로 f′(c)=0인 c가 있어야 합니다. 그러나 f′(x)=3x2+1≥1>0이라 f′는 결코 0이 되지 않습니다. 모순이므로 실근은 하나뿐입니다.
문제 9. (심화) f(x)=ax3+bx2가 x=2에서 변곡점을 갖고 f′′(0)=−6일 때 a,b를 구하시오. 답.a=21, b=−3. 풀이.f′′(x)=6ax+2b입니다. f′′(0)=2b=−6에서 b=−3입니다. 변곡점 조건 f′′(2)=12a+2b=0에서 12a−6=0, a=21입니다.