극한을 계산하다 보면 0 0 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞
0 0 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ 로피탈 정리를 조건을 확인하고 적용할 수 있습니다.
로피탈을 여러 번 반복 적용할 수 있습니다.
0 ⋅ ∞ 0 ⋅ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ 1 ∞ 1 ∞ 0 0 0 0 ∞ 0 ∞ 0
기호
읽는 법
뜻
\dfrac{0}
영 분의 영
대표적 부정형(값 미정)
\dfrac{\infty}
무한대 분의 무한대
또 다른 부정형
\lim\dfrac{f'}
리미트 에프프라임 지프라임
로피탈로 바꾼 도함수의 비
ln ln 자연로그
밑이 e e
e^
이엑스
지수함수(로그의 역)
극한에서 분자와 분모가 동시에 0 0 ∞ ∞
f ( x ) g ( x ) g ( x ) f ( x ) x → a x → a 0 0 0 0 0 0 ± ∞ ± ∞ ∞ ∞ ∞ ∞
부정형이라고 극한이 없는 것은 아닙니다. 값이 있을 수도, 없을 수도 있어 "형태만으로는 알 수 없다"는 뜻입니다. 예를 들어 2 x x → 2 x 2 x → 2 x 2 x → 0 x x 2 → 0 0 0 0 0
문제 1. (기초) x → 0 3 x x lim x → 0 x 3 x 답. 0 0 0 0 3 3 풀이. 분자·분모가 모두 0 0 0 0 0 0 3 x x = 3 x 3 x = 3 3 3
문제 2. (기초) x → ∞ 5 x x lim x → ∞ x 5 x 답. ∞ ∞ ∞ ∞ 5 5 풀이. 분자·분모가 모두 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 5 5
문제 3. (표준) x → 2 x 2 − 4 x − 2 lim x → 2 x − 2 x 2 − 4 답. 0 0 0 0 4 4 풀이. x = 2 x = 2 x 2 − 4 → 0 x 2 − 4 → 0 x − 2 → 0 x − 2 → 0 ( x − 2 ) ( x + 2 ) x − 2 = x + 2 → 4 x − 2 ( x − 2 ) ( x + 2 ) = x + 2 → 4
부정형을 도함수의 비로 바꾸는 것이 로피탈 정리입니다.
로피탈 정리. x → a x → a f ( x ) g ( x ) g ( x ) f ( x ) 0 0 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ g ′ ( x ) ≠ 0 g ′ ( x ) = 0 x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) x → a lim g ′ ( x ) f ′ ( x )
x → a f ( x ) g ( x ) = x → a f ′ ( x ) g ′ ( x ) x → a lim g ( x ) f ( x ) = x → a lim g ′ ( x ) f ′ ( x )
입니다.
주의할 점은 반드시 부정형일 때만 쓴다는 것입니다. 부정형이 아닌데 분자·분모를 각각 미분하면 틀린 답이 나옵니다. 예를 들어 x → 0 sin x x lim x → 0 x sin x 0 0 0 0 x → 0 cos x 1 = cos 0 = 1 lim x → 0 1 cos x = cos 0 = 1
문제 1. (기초) x → 0 sin x x lim x → 0 x sin x 답. 1 1 풀이. 0 0 0 0 cos x 1 1 cos x x → 0 x → 0 cos 0 = 1 cos 0 = 1
문제 2. (기초) x → 0 e x − 1 x lim x → 0 x e x − 1 답. 1 1 풀이. 0 0 0 0 e x 1 1 e x x → 0 x → 0 e 0 = 1 e 0 = 1
문제 3. (표준) x → 1 ln x x − 1 lim x → 1 x − 1 ln x 답. 1 1 풀이. x → 1 x → 1 ln 1 = 0 ln 1 = 0 x − 1 → 0 x − 1 → 0 0 0 0 0 1 / x 1 = 1 x 1 1 / x = x 1 x → 1 x → 1 1 1
문제 4. (표준) x → ∞ ln x x lim x → ∞ x ln x 답. 0 0 풀이. ∞ ∞ ∞ ∞ 1 / x 1 = 1 x → 0 1 1 / x = x 1 → 0 x x ln x ln x
한 번 적용해도 여전히 부정형이면 다시 적용합니다.
로피탈을 적용한 결과가 또 0 0 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞
예를 들어 x → 0 1 − cos x x 2 lim x → 0 x 2 1 − cos x 0 0 0 0 sin x 2 x 2 x sin x 0 0 0 0 cos x 2 → 1 2 2 cos x → 2 1
문제 1. (표준) x → 0 1 − cos x x 2 lim x → 0 x 2 1 − cos x 답. 1 2 2 1 풀이. 0 0 0 0 sin x 2 x 2 x sin x 0 0 0 0 cos x 2 2 cos x x → 0 x → 0 1 2 2 1
문제 2. (표준) x → 0 x − sin x x 3 lim x → 0 x 3 x − sin x 답. 1 6 6 1 풀이. 0 0 0 0 1 − cos x 3 x 2 3 x 2 1 − cos x 0 0 0 0 sin x 6 x 6 x sin x 0 0 0 0 cos x 6 → 1 6 6 cos x → 6 1
문제 3. (표준) x → ∞ x 2 e x lim x → ∞ e x x 2 답. 0 0 풀이. ∞ ∞ ∞ ∞ 2 x e x e x 2 x ∞ ∞ ∞ ∞ 2 e x → 0 e x 2 → 0
문제 4. (심화) x → 0 e x − 1 − x x 2 lim x → 0 x 2 e x − 1 − x 답. 1 2 2 1 풀이. 0 0 0 0 e x − 1 2 x 2 x e x − 1 0 0 0 0 e x 2 → 1 2 2 e x → 2 1
0 ⋅ ∞ 0 ⋅ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞
0 ⋅ ∞ 0 ⋅ ∞ 0 0 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞
예를 들어 x → 0 + x ln x lim x → 0 + x ln x 0 ⋅ ( − ∞ ) 0 ⋅ ( − ∞ ) x ln x = ln x 1 / x x ln x = 1 / x ln x − ∞ ∞ ∞ − ∞ 1 / x − 1 / x 2 = − x → 0 − 1 / x 2 1 / x = − x → 0
문제 1. (표준) x → 0 + x ln x lim x → 0 + x ln x 답. 0 0 풀이. ln x 1 / x 1 / x ln x − ∞ ∞ ∞ − ∞ 1 / x − 1 / x 2 = − x − 1 / x 2 1 / x = − x x → 0 + x → 0 + 0 0
문제 2. (표준) x → ∞ x sin 1 x lim x → ∞ x sin x 1 답. 1 1 풀이. ∞ ⋅ 0 ∞ ⋅ 0 sin ( 1 / x ) 1 / x 1 / x sin ( 1 / x ) 0 0 0 0 t = 1 x → 0 t = x 1 → 0 sin t t → 1 t sin t → 1
문제 3. (심화) x → 1 ( 1 ln x − 1 x − 1 ) lim x → 1 ( ln x 1 − x − 1 1 ) 답. 1 2 2 1 풀이. ∞ − ∞ ∞ − ∞ ( x − 1 ) − ln x ( x − 1 ) ln x ( x − 1 ) ln x ( x − 1 ) − ln x 0 0 0 0 1 − 1 x ln x + x − 1 x = 1 − 1 x ln x + 1 − 1 x ln x + x x − 1 1 − x 1 = ln x + 1 − x 1 1 − x 1 0 0 0 0 x x x − 1 x ln x + x − 1 x ln x + x − 1 x − 1 1 ln x + 1 + 1 = 1 ln x + 2 ln x + 1 + 1 1 = ln x + 2 1 x → 1 x → 1 1 2 2 1
문제 4. (심화) x → 0 + x ln x lim x → 0 + x ln x 답. 0 0 풀이. 0 ⋅ ( − ∞ ) 0 ⋅ ( − ∞ ) ln x x − 1 / 2 x − 1 / 2 ln x − ∞ ∞ ∞ − ∞ 1 / x − 1 2 x − 3 / 2 = − 2 x 1 / 2 = − 2 x → 0 − 2 1 x − 3 / 2 1 / x = − 2 x 1 / 2 = − 2 x → 0
1 ∞ 1 ∞ 0 0 0 0 ∞ 0 ∞ 0
y = f ( x ) g ( x ) y = f ( x ) g ( x ) ln y = g ( x ) ln f ( x ) ln y = g ( x ) ln f ( x ) L L lim y = e L lim y = e L
예를 들어 x → ∞ ( 1 + 1 x ) x lim x → ∞ ( 1 + x 1 ) x 1 ∞ 1 ∞ ln y = x ln ( 1 + 1 x ) = ln ( 1 + 1 / x ) 1 / x ln y = x ln ( 1 + x 1 ) = 1 / x ln ( 1 + 1 / x ) 0 0 0 0 t = 1 x t = x 1 ln ( 1 + t ) t → 1 t ln ( 1 + t ) → 1 lim y = e 1 = e lim y = e 1 = e
문제 1. (표준) x → ∞ ( 1 + 1 x ) x lim x → ∞ ( 1 + x 1 ) x 답. e e 풀이. ln y = ln ( 1 + 1 / x ) 1 / x ln y = 1 / x ln ( 1 + 1 / x ) t = 1 / x → 0 t = 1 / x → 0 ln ( 1 + t ) t t ln ( 1 + t ) 1 / ( 1 + t ) 1 → 1 1 1 / ( 1 + t ) → 1 ln y → 1 ln y → 1 y → e y → e
문제 2. (표준) x → 0 + x x lim x → 0 + x x 답. 1 1 풀이. 0 0 0 0 ln y = x ln x ln y = x ln x 0 0 y → e 0 = 1 y → e 0 = 1
문제 3. (심화) x → ∞ x 1 / x lim x → ∞ x 1 / x 답. 1 1 풀이. ∞ 0 ∞ 0 ln y = ln x x ln y = x ln x 0 0 y → e 0 = 1 y → e 0 = 1
문제 4. (심화) x → 0 ( 1 + 3 x ) 1 / x lim x → 0 ( 1 + 3 x ) 1 / x 답. e 3 e 3 풀이. 1 ∞ 1 ∞ ln y = ln ( 1 + 3 x ) x ln y = x ln ( 1 + 3 x ) 0 0 0 0 3 / ( 1 + 3 x ) 1 → 3 1 3 / ( 1 + 3 x ) → 3 y → e 3 y → e 3
로피탈은 0 0 0 0 ∞ ∞ ∞ ∞
적용: lim f g = lim f ′ g ′ lim g f = lim g ′ f ′
반복: 결과가 또 부정형이면 다시. 매번 확인.
0 ⋅ ∞ 0 ⋅ ∞ ∞ − ∞ ∞ − ∞ 지수형 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 ln y ln y L L e L e L
성장 순서: ln x ≪ x n ≪ e x ln x ≪ x n ≪ e x
문제 1. (기초) x → 0 tan x x lim x → 0 x tan x 답. 1 1 풀이. 0 0 0 0 2 x 1 → 2 0 = 1 1 sec 2 x → sec 2 0 = 1
문제 2. (기초) x → 0 e 2 x − 1 x lim x → 0 x e 2 x − 1 답. 2 2 풀이. 0 0 0 0 2 e 2 x 1 → 2 1 2 e 2 x → 2
문제 3. (표준) x → 0 sin 3 x sin 5 x lim x → 0 sin 5 x sin 3 x 답. 3 5 5 3 풀이. 0 0 0 0 3 cos 3 x 5 cos 5 x → 3 ⋅ 1 5 ⋅ 1 = 3 5 5 cos 5 x 3 cos 3 x → 5 ⋅ 1 3 ⋅ 1 = 5 3
문제 4. (표준) x → ∞ x 3 e x lim x → ∞ e x x 3 답. 0 0 풀이. ∞ ∞ ∞ ∞ 3 x 2 e x → 6 x e x → 6 e x → 0 e x 3 x 2 → e x 6 x → e x 6 → 0
문제 5. (표준) x → 0 ln ( 1 + x ) x lim x → 0 x ln ( 1 + x ) 답. 1 1 풀이. 0 0 0 0 1 / ( 1 + x ) 1 → 1 1 1 / ( 1 + x ) → 1
문제 6. (표준) x → 0 tan x − x x 3 lim x → 0 x 3 tan x − x 답. 1 3 3 1 풀이. 0 0 0 0 2 x − 1 3 x 2 = 2 x 3 x 2 3 x 2 sec 2 x − 1 = 3 x 2 tan 2 x tan x x → 1 x tan x → 1 2 x 3 x 2 = 1 3 ( tan x x ) 2 → 1 3 3 x 2 tan 2 x = 3 1 ( x tan x ) 2 → 3 1
문제 7. (표준) x → 0 + x 2 ln x lim x → 0 + x 2 ln x 답. 0 0 풀이. 0 ⋅ ( − ∞ ) 0 ⋅ ( − ∞ ) ln x x − 2 x − 2 ln x − ∞ ∞ ∞ − ∞ 1 / x − 2 x − 3 = − x 2 2 → 0 − 2 x − 3 1 / x = − 2 x 2 → 0
문제 8. (심화) x → ∞ ( 1 + a x ) x lim x → ∞ ( 1 + x a ) x a a 답. e a e a 풀이. 1 ∞ 1 ∞ ln y = ln ( 1 + a / x ) 1 / x ln y = 1 / x ln ( 1 + a / x ) t = 1 / x → 0 t = 1 / x → 0 ln ( 1 + a t ) t t ln ( 1 + a t ) a / ( 1 + a t ) 1 → a 1 a / ( 1 + a t ) → a y → e a y → e a
문제 9. (심화) x → 0 ( 1 x − 1 sin x ) lim x → 0 ( x 1 − sin x 1 ) 답. 0 0 풀이. ∞ − ∞ ∞ − ∞ sin x − x x sin x x sin x sin x − x 0 0 0 0 cos x − 1 sin x + x cos x sin x + x cos x cos x − 1 0 0 0 0 − sin x 2 cos x − x sin x → 0 2 = 0 2 cos x − x sin x − sin x → 2 0 = 0
문제 10. (심화) x → 0 + ( sin x ) x lim x → 0 + ( sin x ) x 답. 1 1 풀이. 0 0 0 0 ln y = x ln ( sin x ) ln y = x ln ( sin x ) ln ( sin x ) = ln sin x x + ln x ln ( sin x ) = ln x sin x + ln x x → 0 + x → 0 + ln 1 = 0 ln 1 = 0 x ln x → 0 x ln x → 0 ln y → 0 ln y → 0 y → 1 y → 1
문제 11. (심화) x → ∞ ( x + 1 x − 1 ) x lim x → ∞ ( x − 1 x + 1 ) x 답. e 2 e 2 풀이. 1 ∞ 1 ∞ ln y = x ln x + 1 x − 1 = x ln ( 1 + 2 x − 1 ) ln y = x ln x − 1 x + 1 = x ln ( 1 + x − 1 2 ) ln ( 1 + 2 / ( x − 1 ) ) 1 / x 1 / x ln ( 1 + 2 / ( x − 1 ) ) x → ∞ x → ∞ ln ( 1 + 2 x − 1 ) ≈ 2 x − 1 ln ( 1 + x − 1 2 ) ≈ x − 1 2 x ⋅ 2 x − 1 → 2 x ⋅ x − 1 2 → 2 y → e 2 y → e 2
문제 12. (심화) x → 0 e x − e − x − 2 x x − sin x lim x → 0 x − sin x e x − e − x − 2 x 답. 2 2 풀이. 0 0 0 0 e x + e − x − 2 1 − cos x 1 − cos x e x + e − x − 2 0 0 0 0 e x − e − x sin x sin x e x − e − x 0 0 0 0 e x + e − x cos x → 2 1 = 2 cos x e x + e − x → 1 2 = 2
어떤 꼴이 부정형인지(0 0 , ∞ ∞ , 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 0 0 , ∞ ∞ , 0 ⋅ ∞ , ∞ − ∞ , 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0
로피탈을 부정형에서만 써야 하는 이유를 설명할 수 있는가?
x → 0 sin x x = 1 lim x → 0 x sin x = 1 반복 적용에서 매번 부정형인지 확인하는가?
x → 0 + x ln x = 0 lim x → 0 + x ln x = 0 1 ∞ 1 ∞ e L e L 성장 속도 ln x ≪ x n ≪ e x ln x ≪ x n ≪ e x
x → ∞ ( 1 + a / x ) x = e a lim x → ∞ ( 1 + a / x ) x = e a