곡선은 다루기 어렵지만 직선은 쉽습니다. 한 점 근처에서라면 곡선을 그 점의 접선으로 바꿔 함숫값을 어림할 수 있는데, 이것이 선형근사입니다. 그리고 입력이 조금 변할 때 출력이 얼마나 변하는지를 미분으로 재는 것이 미분소입니다. 이 강의는 접선으로 값을 어림하고, 그 어림의 오차와 상대오차를 미분소로 다룹니다.
한 점에서의 선형근사식을 세울 수 있습니다.
선형근사로 제곱근·거듭제곱 등의 값을 어림할 수 있습니다.
미분소 d y = f ′ ( x ) d x d y = f ′ ( x ) d x
측정 오차가 결과에 미치는 영향(오차 전파)을 어림할 수 있습니다.
절대오차와 상대오차·백분율오차를 구분해 계산할 수 있습니다.
기호
읽는 법
뜻
L ( x ) L ( x ) 엘 엑스
x = a x = a
d x d x 디엑스
입력의 미분소(작은 변화)
d y d y 디와이
출력의 미분소 = f ′ ( x ) d x = f ′ ( x ) d x
Δ y Δ y 델타 와이
출력의 실제 변화량
\dfrac{dy}
상대오차
값에 대한 오차의 비율
미분가능한 함수는 한 점 근처에서 접선과 거의 겹칩니다.
f f x = a x = a a a
f ( x ) ≈ L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) f ( x ) ≈ L ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a )
로 어림할 수 있습니다. L ( x ) L ( x ) a a
이 식은 접선의 방정식과 똑같습니다. 곧 곡선 대신 접선 위의 값을 읽는 것입니다. x x a a f ( x ) = x f ( x ) = x a = 4 a = 4 f ( 4 ) = 2 f ( 4 ) = 2 f ′ ( x ) = 1 2 x f ′ ( x ) = 2 x 1 f ′ ( 4 ) = 1 4 f ′ ( 4 ) = 4 1 L ( x ) = 2 + 1 4 ( x − 4 ) L ( x ) = 2 + 4 1 ( x − 4 )
문제 1. (기초) f ( x ) = x 2 f ( x ) = x 2 a = 3 a = 3 답. L ( x ) = 6 x − 9 L ( x ) = 6 x − 9 풀이. f ( 3 ) = 9 f ( 3 ) = 9 f ′ ( x ) = 2 x f ′ ( x ) = 2 x f ′ ( 3 ) = 6 f ′ ( 3 ) = 6 L ( x ) = 9 + 6 ( x − 3 ) = 6 x − 9 L ( x ) = 9 + 6 ( x − 3 ) = 6 x − 9
문제 2. (기초) f ( x ) = x f ( x ) = x a = 9 a = 9 답. L ( x ) = 3 + 1 6 ( x − 9 ) L ( x ) = 3 + 6 1 ( x − 9 ) 풀이. f ( 9 ) = 3 f ( 9 ) = 3 f ′ ( x ) = 1 2 x f ′ ( x ) = 2 x 1 f ′ ( 9 ) = 1 6 f ′ ( 9 ) = 6 1 L ( x ) = 3 + 1 6 ( x − 9 ) L ( x ) = 3 + 6 1 ( x − 9 )
문제 3. (표준) f ( x ) = 1 x f ( x ) = x 1 a = 1 a = 1 답. L ( x ) = 2 − x L ( x ) = 2 − x 풀이. f ( 1 ) = 1 f ( 1 ) = 1 f ′ ( x ) = − 1 x 2 f ′ ( x ) = − x 2 1 f ′ ( 1 ) = − 1 f ′ ( 1 ) = − 1 L ( x ) = 1 − 1 ⋅ ( x − 1 ) = 2 − x L ( x ) = 1 − 1 ⋅ ( x − 1 ) = 2 − x
문제 4. (표준) f ( x ) = e x f ( x ) = e x a = 0 a = 0 답. L ( x ) = 1 + x L ( x ) = 1 + x 풀이. f ( 0 ) = 1 f ( 0 ) = 1 f ′ ( x ) = e x f ′ ( x ) = e x f ′ ( 0 ) = 1 f ′ ( 0 ) = 1 L ( x ) = 1 + x L ( x ) = 1 + x 0 0 e x ≈ 1 + x e x ≈ 1 + x
선형근사의 쓸모는 계산기 없이 값을 어림하는 것입니다.
구하려는 수를 어떤 함수 f f f ( x ) f ( x ) a a f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a )
예를 들어 4.1 4 . 1 f ( x ) = x f ( x ) = x a = 4 a = 4 L ( x ) = 2 + 1 4 ( x − 4 ) L ( x ) = 2 + 4 1 ( x − 4 ) L ( 4.1 ) = 2 + 1 4 ( 0.1 ) = 2.025 L ( 4 . 1 ) = 2 + 4 1 ( 0 . 1 ) = 2 . 0 2 5 4.1 ≈ 2.0248 4 . 1 ≈ 2 . 0 2 4 8
문제 1. (기초) 선형근사로 9.1 9 . 1 답. ≈ 3.0167 ≈ 3 . 0 1 6 7 풀이. f ( x ) = x f ( x ) = x a = 9 a = 9 L ( x ) = 3 + 1 6 ( x − 9 ) L ( x ) = 3 + 6 1 ( x − 9 ) L ( 9.1 ) = 3 + 1 6 ( 0.1 ) = 3 + 0.0167 = 3.0167 L ( 9 . 1 ) = 3 + 6 1 ( 0 . 1 ) = 3 + 0 . 0 1 6 7 = 3 . 0 1 6 7
문제 2. (표준) 선형근사로 8.06 3 3 8 . 0 6 답. ≈ 2.005 ≈ 2 . 0 0 5 풀이. f ( x ) = x 1 / 3 f ( x ) = x 1 / 3 a = 8 a = 8 f ( 8 ) = 2 f ( 8 ) = 2 f ′ ( x ) = 1 3 x − 2 / 3 f ′ ( x ) = 3 1 x − 2 / 3 f ′ ( 8 ) = 1 3 ⋅ 1 4 = 1 12 f ′ ( 8 ) = 3 1 ⋅ 4 1 = 1 2 1 L ( 8.06 ) = 2 + 1 12 ( 0.06 ) = 2 + 0.005 = 2.005 L ( 8 . 0 6 ) = 2 + 1 2 1 ( 0 . 0 6 ) = 2 + 0 . 0 0 5 = 2 . 0 0 5
문제 3. (표준) 선형근사로 ( 1.02 ) 10 ( 1 . 0 2 ) 1 0 답. ≈ 1.2 ≈ 1 . 2 풀이. f ( x ) = x 10 f ( x ) = x 1 0 a = 1 a = 1 f ( 1 ) = 1 f ( 1 ) = 1 f ′ ( x ) = 10 x 9 f ′ ( x ) = 1 0 x 9 f ′ ( 1 ) = 10 f ′ ( 1 ) = 1 0 L ( 1.02 ) = 1 + 10 ( 0.02 ) = 1.2 L ( 1 . 0 2 ) = 1 + 1 0 ( 0 . 0 2 ) = 1 . 2
문제 4. (심화) 선형근사로 ln ( 1.05 ) ln ( 1 . 0 5 ) 답. ≈ 0.05 ≈ 0 . 0 5 ≈ 0.0488 ≈ 0 . 0 4 8 8 풀이. f ( x ) = ln x f ( x ) = ln x a = 1 a = 1 f ( 1 ) = 0 f ( 1 ) = 0 f ′ ( x ) = 1 x f ′ ( x ) = x 1 f ′ ( 1 ) = 1 f ′ ( 1 ) = 1 L ( 1.05 ) = 0 + 1 ⋅ ( 0.05 ) = 0.05 L ( 1 . 0 5 ) = 0 + 1 ⋅ ( 0 . 0 5 ) = 0 . 0 5 0.0488 0 . 0 4 8 8 ln ln
입력의 작은 변화 d x d x
y = f ( x ) y = f ( x )
d y = f ′ ( x ) d x d y = f ′ ( x ) d x
로 정의합니다. d x d x d y d y
실제 변화량 Δ y = f ( x + d x ) − f ( x ) Δ y = f ( x + d x ) − f ( x ) d y d y d y d y Δ y Δ y d x d x y = x 2 y = x 2 x = 3 x = 3 d x = 0.1 d x = 0 . 1 d y = 2 x d x = 6 ⋅ 0.1 = 0.6 d y = 2 x d x = 6 ⋅ 0 . 1 = 0 . 6 Δ y = 3. 1 2 − 3 2 = 9.61 − 9 = 0.61 Δ y = 3 . 1 2 − 3 2 = 9 . 6 1 − 9 = 0 . 6 1 0.01 0 . 0 1
문제 1. (기초) y = x 3 y = x 3 x = 2 x = 2 d x = 0.01 d x = 0 . 0 1 d y d y 답. 0.12 0 . 1 2 풀이. d y = 3 x 2 d x = 3 ⋅ 4 ⋅ 0.01 = 0.12 d y = 3 x 2 d x = 3 ⋅ 4 ⋅ 0 . 0 1 = 0 . 1 2
문제 2. (표준) y = x y = x x = 100 x = 1 0 0 d x = 1 d x = 1 d y d y Δ y Δ y 답. d y = 0.05 d y = 0 . 0 5 Δ y ≈ 0.0499 Δ y ≈ 0 . 0 4 9 9 풀이. d y = 1 2 x d x = 1 20 ⋅ 1 = 0.05 d y = 2 x 1 d x = 2 0 1 ⋅ 1 = 0 . 0 5 Δ y = 101 − 100 ≈ 10.0499 − 10 = 0.0499 Δ y = 1 0 1 − 1 0 0 ≈ 1 0 . 0 4 9 9 − 1 0 = 0 . 0 4 9 9
문제 3. (표준) y = 1 x y = x 1 x = 2 x = 2 d x = 0.1 d x = 0 . 1 d y d y 답. − 0.025 − 0 . 0 2 5 풀이. d y = − 1 x 2 d x = − 1 4 ⋅ 0.1 = − 0.025 d y = − x 2 1 d x = − 4 1 ⋅ 0 . 1 = − 0 . 0 2 5 x x y y
문제 4. (심화) y = tan x y = tan x x = π 4 x = 4 π d x = 0.02 d x = 0 . 0 2 d y d y 답. 0.04 0 . 0 4 풀이. d y = 2 x d x d y = sec 2 x d x 2 π 4 = ( 2 ) 2 = 2 sec 2 4 π = ( 2 ) 2 = 2 d y = 2 ⋅ 0.02 = 0.04 d y = 2 ⋅ 0 . 0 2 = 0 . 0 4
측정에는 오차가 따릅니다. 측정값의 오차가 계산 결과에 얼마나 번지는지를 미분소로 어림합니다.
측정량 x x d x d x y = f ( x ) y = f ( x ) d y = f ′ ( x ) d x d y = f ′ ( x ) d x
예를 들어 정사각형의 한 변을 10 1 0 ± 0.1 ± 0 . 1 A = x 2 A = x 2 d A = 2 x d x = 2 ⋅ 10 ⋅ 0.1 = 2 d A = 2 x d x = 2 ⋅ 1 0 ⋅ 0 . 1 = 2 ± 2 ± 2 2 2
문제 1. (기초) 한 변 x = 5 x = 5 d x = 0.2 d x = 0 . 2 답. ± 2 ± 2 풀이. A = x 2 A = x 2 d A = 2 x d x = 2 ⋅ 5 ⋅ 0.2 = 2 d A = 2 x d x = 2 ⋅ 5 ⋅ 0 . 2 = 2 ± 2 ± 2
문제 2. (표준) 반지름 r = 10 r = 1 0 d r = 0.05 d r = 0 . 0 5 답. ± π ± π 3.14 3 . 1 4 풀이. A = π r 2 A = π r 2 d A = 2 π r d r = 2 π ⋅ 10 ⋅ 0.05 = π d A = 2 π r d r = 2 π ⋅ 1 0 ⋅ 0 . 0 5 = π ± π ± π
문제 3. (표준) 모서리 x = 20 x = 2 0 d x = 0.1 d x = 0 . 1 답. ± 120 ± 1 2 0 풀이. V = x 3 V = x 3 d V = 3 x 2 d x = 3 ⋅ 400 ⋅ 0.1 = 120 d V = 3 x 2 d x = 3 ⋅ 4 0 0 ⋅ 0 . 1 = 1 2 0 ± 120 ± 1 2 0
문제 4. (심화) 반지름 r = 6 r = 6 d r = 0.03 d r = 0 . 0 3 V = 4 3 π r 3 V = 3 4 π r 3 답. ≈ 4.07 ≈ 4 . 0 7 풀이. d V d r = 4 π r 2 d r d V = 4 π r 2 d V = 4 π r 2 d r = 4 π ⋅ 36 ⋅ 0.03 = 4.32 π ≈ 13.57 d V = 4 π r 2 d r = 4 π ⋅ 3 6 ⋅ 0 . 0 3 = 4 . 3 2 π ≈ 1 3 . 5 7 4 π ⋅ 36 ⋅ 0.03 = 4.32 π 4 π ⋅ 3 6 ⋅ 0 . 0 3 = 4 . 3 2 π 13.57 1 3 . 5 7 ± 13.57 ± 1 3 . 5 7
오차의 크기 자체보다 값에 대한 비율이 더 뜻있는 경우가 많습니다.
절대오차는 d y d y d y y y d y d y y × 100 % y d y × 1 0 0 %
거듭제곱 관계 y = x n y = x n d y y = n x n − 1 d x x n = n ⋅ d x x y d y = x n n x n − 1 d x = n ⋅ x d x y y x x n n n = 3 n = 3
문제 1. (기초) y = x 2 y = x 2 x x 1 % 1 % y y 답. 2 % 2 % 풀이. d y y = 2 ⋅ d x x = 2 ⋅ 1 % = 2 % y d y = 2 ⋅ x d x = 2 ⋅ 1 % = 2 %
문제 2. (표준) 정육면체 부피 V = x 3 V = x 3 0.5 % 0 . 5 % 답. 1.5 % 1 . 5 % 풀이. d V V = 3 ⋅ d x x = 3 ⋅ 0.5 % = 1.5 % V d V = 3 ⋅ x d x = 3 ⋅ 0 . 5 % = 1 . 5 %
문제 3. (표준) 원의 넓이 A = π r 2 A = π r 2 r = 8 r = 8 2 % 2 % 답. ≈ 8.04 ≈ 8 . 0 4 풀이. 반지름 오차 d r = 8 ⋅ 0.02 = 0.16 d r = 8 ⋅ 0 . 0 2 = 0 . 1 6 d A = 2 π r d r = 2 π ⋅ 8 ⋅ 0.16 = 2.56 π ≈ 8.04 d A = 2 π r d r = 2 π ⋅ 8 ⋅ 0 . 1 6 = 2 . 5 6 π ≈ 8 . 0 4
문제 4. (심화) y = 1 x 2 y = x 2 1 x x p p y y 답. − 2 p − 2 p 2 p 2 p 풀이. y = x − 2 y = x − 2 d y y = ( − 2 ) ⋅ d x x = − 2 p y d y = ( − 2 ) ⋅ x d x = − 2 p x x y y 2 p 2 p
선형근사: f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) f ( x ) ≈ f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a )
값 어림: 구할 수를 f ( x ) f ( x ) a a
미분소: d y = f ′ ( x ) d x d y = f ′ ( x ) d x d x d x d y ≈ Δ y d y ≈ Δ y
오차 전파: x x d x d x y y d y = f ′ ( x ) d x d y = f ′ ( x ) d x
상대오차: d y y y d y × 100 % × 1 0 0 %
거듭제곱 법칙: y = x n y = x n d y y = n d x x y d y = n x d x n n
볼록성 주의: 위로 볼록한 함수는 접선이 곡선보다 위 → 근사가 과대.
문제 1. (기초) f ( x ) = x f ( x ) = x a = 25 a = 2 5 25.5 2 5 . 5 답. ≈ 5.05 ≈ 5 . 0 5 풀이. f ( 25 ) = 5 f ( 2 5 ) = 5 f ′ ( 25 ) = 1 10 f ′ ( 2 5 ) = 1 0 1 L ( 25.5 ) = 5 + 1 10 ( 0.5 ) = 5.05 L ( 2 5 . 5 ) = 5 + 1 0 1 ( 0 . 5 ) = 5 . 0 5
문제 2. (기초) y = x 4 y = x 4 x = 1 x = 1 d x = 0.02 d x = 0 . 0 2 d y d y 답. 0.08 0 . 0 8 풀이. d y = 4 x 3 d x = 4 ⋅ 1 ⋅ 0.02 = 0.08 d y = 4 x 3 d x = 4 ⋅ 1 ⋅ 0 . 0 2 = 0 . 0 8
문제 3. (표준) 선형근사로 16.32 4 4 1 6 . 3 2 답. ≈ 2.01 ≈ 2 . 0 1 풀이. f ( x ) = x 1 / 4 f ( x ) = x 1 / 4 a = 16 a = 1 6 f ( 16 ) = 2 f ( 1 6 ) = 2 f ′ ( x ) = 1 4 x − 3 / 4 f ′ ( x ) = 4 1 x − 3 / 4 f ′ ( 16 ) = 1 4 ⋅ 1 8 = 1 32 f ′ ( 1 6 ) = 4 1 ⋅ 8 1 = 3 2 1 L ( 16.32 ) = 2 + 1 32 ( 0.32 ) = 2 + 0.01 = 2.01 L ( 1 6 . 3 2 ) = 2 + 3 2 1 ( 0 . 3 2 ) = 2 + 0 . 0 1 = 2 . 0 1
문제 4. (표준) 선형근사로 cos 1 ° cos 1 ° 답. ≈ 1 ≈ 1 풀이. f ( x ) = cos x f ( x ) = cos x a = 0 a = 0 f ( 0 ) = 1 f ( 0 ) = 1 f ′ ( x ) = − sin x f ′ ( x ) = − sin x f ′ ( 0 ) = 0 f ′ ( 0 ) = 0 1 ° = π 180 ≈ 0.01745 1 ° = 1 8 0 π ≈ 0 . 0 1 7 4 5 L = 1 + 0 ⋅ 0.01745 = 1 L = 1 + 0 ⋅ 0 . 0 1 7 4 5 = 1
문제 5. (표준) y = x 2 + x y = x 2 + x x = 4 x = 4 d x = 0.1 d x = 0 . 1 d y d y Δ y Δ y 답. d y = 0.9 d y = 0 . 9 Δ y = 0.91 Δ y = 0 . 9 1 풀이. d y = ( 2 x + 1 ) d x = 9 ⋅ 0.1 = 0.9 d y = ( 2 x + 1 ) d x = 9 ⋅ 0 . 1 = 0 . 9 Δ y = ( 4. 1 2 + 4.1 ) − ( 16 + 4 ) = ( 16.81 + 4.1 ) − 20 = 0.91 Δ y = ( 4 . 1 2 + 4 . 1 ) − ( 1 6 + 4 ) = ( 1 6 . 8 1 + 4 . 1 ) − 2 0 = 0 . 9 1
문제 6. (표준) 반지름 r = 15 r = 1 5 d r = 0.1 d r = 0 . 1 답. 약 1.33 % 1 . 3 3 % 풀이. d A A = 2 ⋅ d r r = 2 ⋅ 0.1 15 = 0.2 15 ≈ 0.0133 A d A = 2 ⋅ r d r = 2 ⋅ 1 5 0 . 1 = 1 5 0 . 2 ≈ 0 . 0 1 3 3 1.33 % 1 . 3 3 %
문제 7. (표준) 구의 반지름을 측정해 부피를 구할 때 부피의 백분율오차를 3 % 3 % 답. 1 % 1 % 풀이. V = 4 3 π r 3 V = 3 4 π r 3 d V V = 3 ⋅ d r r V d V = 3 ⋅ r d r 3 ⋅ d r r ≤ 3 % 3 ⋅ r d r ≤ 3 % d r r ≤ 1 % r d r ≤ 1 %
문제 8. (심화) f ( x ) = ( 1 + x ) k f ( x ) = ( 1 + x ) k a = 0 a = 0 1 + k x 1 + k x ( 1.03 ) 1 / 2 ( 1 . 0 3 ) 1 / 2 답. L = 1 + k x L = 1 + k x ( 1.03 ) 1 / 2 ≈ 1.015 ( 1 . 0 3 ) 1 / 2 ≈ 1 . 0 1 5 풀이. f ( 0 ) = 1 f ( 0 ) = 1 f ′ ( x ) = k ( 1 + x ) k − 1 f ′ ( x ) = k ( 1 + x ) k − 1 f ′ ( 0 ) = k f ′ ( 0 ) = k L ( x ) = 1 + k x L ( x ) = 1 + k x k = 1 2 k = 2 1 x = 0.03 x = 0 . 0 3 1 + 1 2 ( 0.03 ) = 1.015 1 + 2 1 ( 0 . 0 3 ) = 1 . 0 1 5
문제 9. (심화) sin x sin x a = 0 a = 0 sin x ≈ x sin x ≈ x x = 0.05 x = 0 . 0 5 답. sin x ≈ x sin x ≈ x x = 0.05 x = 0 . 0 5 − 2 × 1 0 − 5 − 2 × 1 0 − 5 풀이. f ( 0 ) = 0 f ( 0 ) = 0 f ′ ( 0 ) = cos 0 = 1 f ′ ( 0 ) = cos 0 = 1 L ( x ) = x L ( x ) = x sin x − x sin x − x − x 3 6 − 6 x 3 x = 0.05 x = 0 . 0 5 − 0.0 5 3 6 ≈ − 2.08 × 1 0 − 5 − 6 0 . 0 5 3 ≈ − 2 . 0 8 × 1 0 − 5
문제 10. (심화) 진자의 주기 T = 2 π L g T = 2 π g L L L 2 % 2 % 답. 1 % 1 % 풀이. T = 2 π g − 1 / 2 L 1 / 2 T = 2 π g − 1 / 2 L 1 / 2 L L 1 2 2 1 d T T = 1 2 ⋅ d L L = 1 2 ⋅ 2 % = 1 % T d T = 2 1 ⋅ L d L = 2 1 ⋅ 2 % = 1 %
선형근사식 f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a )
4.1 4 . 1 미분소 d y = f ′ ( x ) d x d y = f ′ ( x ) d x Δ y Δ y
측정오차의 전파 d y = f ′ ( x ) d x d y = f ′ ( x ) d x
절대오차·상대오차·백분율오차를 구분할 수 있는가?
y = x n y = x n n n 위로 볼록한 함수에서 접선 근사가 과대평가임을 설명할 수 있는가? (ln ln
( 1 + x ) k ≈ 1 + k x ( 1 + x ) k ≈ 1 + k x